Перегляд вихідного коду сторінки Напрямкова статистика

'''На́прямкова стати́стика''' (також '''кругова́ стати́стика''' та '''сфери́чна стати́стика''', {{lang-en|directional statistics, circular statistics, spherical statistics}})&nbsp;— піддисципліна [[Статистика|статистики]], яка займається [[Орієнтація (геометрія)|напрямками]] ([[Одиничний вектор|одиничними векторами]] в [[Евклідів простір|евклідовому просторі]], '''R'''<sup>''n''</sup>), [[Декартова система координат|осями]] ([[Пряма|прямими]], що проходять крізь початок координат у '''R'''<sup>''n''</sup>) або [[Повертання (математика)|повертаннями]] в '''R'''<sup>''n''</sup>. Загалом, напрямкова статистика має справу зі спостереженнями на компактних [[Ріманів многовид|ріманових многовидах]], включно з {{Iw|Многовид Штіфеля|многовидом Штіфеля||Stiefel manifold}}.

[[Файл:Fb5_cover.jpg|праворуч|міні|250x250пкс| Загальну форму [[Білки|білка]] можливо параметрувати як послідовність точок на одиничній [[Сфера|сфері]]. Показано два види сферичної [[Гістограма|гістограми]] таких точок для великої колекції білкових структур. Статистична обробка таких даних належить до сфери напрямкової статистики.<ref name="compbiol.plosjournals.org">{{Cite journal|last=Hamelryck|first=Thomas|last2=Kent|first2=John T.|last3=Krogh|first3=Anders|year=2006|title=Hamelryck, T., Kent, J., Krogh, A. (2006) Sampling realistic protein conformations using local structural bias. PLoS Comput. Biol., 2(9): e131|journal=PLOS Computational Biology|lang=en|volume=2|issue=9|pages=e131|bibcode=2006PLSCB...2..131H|doi=10.1371/journal.pcbi.0020131|pmc=1570370|pmid=17002495|doi-access=free}}</ref>]]

Той факт, що 0 [[Градус (геометрія)|градусів]] і 360 градусів&nbsp;— ідентичні [[кут]]и, тож, наприклад, 180 градусів не є осмисленим [[Середні величини|середнім значенням]] 2 градусів і 358 градусів, є однією з ілюстрацій того, що для аналізу деяких типів даних (у цьому випадку кутових даних) потрібні спеціальні статистичні методи. До інших прикладів даних, які можна розглядати як напрямкові, належать статистичні дані, що містять періоди часу (наприклад, час доби, тиждень, місяць, рік тощо), напрямки за компасом, [[Двогранний кут|двогранні кути]] в молекулах, орієнтації, повертання тощо.

== Кругові розподіли ==
{{main|{{Iw|Круговий розподіл|||Circular distribution}}}}
{{Якір|Розподіли}}

Будь-яку [[Густина ймовірності|функцію густини ймовірності]] (ФГЙ) <math>\ p(x)</math> на прямій можливо «{{Iw|Намотаний розподіл|намотати|en|Wrapped distribution}}»{{sfn|Бабак|Єременко|Куц|Мислович|2019|p=80}}<ref name="КуцШенгур2010" /><ref name="КуцШенгур2011a" /><ref name="КуцШенгур2011b" /><ref name="КуцЛисенкоЛевченко2020" /> ({{lang-en|wrap}}) на коло одиничного радіуса.<ref>Bahlmann, C., (2006), [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.330.9384&rep=rep1&type=pdf Directional features in online handwriting recognition], Pattern Recognition {{ref-en}}, 39</ref> Тобто ФГЙ намотаної змінної

<math display="block">\theta = x_w=x \bmod 2\pi\ \ \in (-\pi,\pi]</math>

це

<math display="block">p_w(\theta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{p(\theta+2\pi k)}.</math>

Цю концепцію можливо розширити на багатовимірний контекст шляхом розширення простої суми до низки <math>F</math> сум, які охоплюють усі виміри в просторі ознак:

<math display="block">p_w(\boldsymbol\theta) = \sum_{k_1=-\infty}^{\infty} \cdots \sum_{k_F=-\infty}^\infty {p(\boldsymbol\theta + 2\pi k_1\mathbf{e}_1 + \dots + 2\pi k_F\mathbf{e}_F)}</math>

де <math>\mathbf{e}_k = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)^{\mathsf{T}}</math>&nbsp;— <math>k</math>-й базисний вектор евклідового простору.

В наступних розділах показано декі доречні кругові розподіли.

=== Круговий розподіл фон Мізеса ===
{{Main|{{Iw|Розподіл фон Мізеса|||von Mises distribution}}}}

''Розподіл фон Мізеса'' ({{lang-en|von Mises distribution}})&nbsp;— це круговий розподіл, який, як і будь-який інший круговий розподіл, можна розглядати як намотування певного розподілу ймовірності на прямій на коло. Розподіл імовірності на прямій, що лежить в основі розподілу фон Мізеса, математично непіддатливий; проте для статистичних цілей немає потреби мати справу з лінійним розподілом в основі. Корисність розподілу фон Мізеса подвійна: він математично найпіддатливіший серед усіх кругових розподілів, що уможливлює простіший статистичний аналіз, і він є близьким наближенням до {{Iw|Намотаний нормальний розподіл|намотаного нормального розподілу|en|Wrapped normal distribution}},<ref name="КуцШенгур2010" /><ref name="КуцШенгур2011a" /><ref name="КуцШенгур2011b" /> який, як і нормальний розподіл на прямій, важливий, оскільки це граничний випадок для суми великої кількості малих кутових відхилень. Насправді розподіл фон Мізеса часто називають «круговим нормальним» ({{lang-en|"circular normal"}}) розподілом через його легкість у використанні та тісний зв'язок із круговим нормальним розподілом.{{sfn|Fisher|1993}}

ФГЙ розподілу фон Мізеса:

<math display="block">f(\theta;\mu,\kappa) = \frac{e^{\kappa\cos(\theta-\mu)}}{2\pi I_0(\kappa)}</math>

де <math>I_0</math>&nbsp;— видозмінена [[функція Бесселя]] порядку 0.

=== Круговий рівномірний розподіл ===
{{main|{{Iw|Круговий рівномірний розподіл|||Circular uniform distribution}}}}

ФГЙ ''кругового рівномірного розподілу'' ({{lang-en|circular uniform distribution}}) задають як

<math display="block">U(\theta) = \frac 1 {2\pi}.</math>

Її також можливо розглядати як випадок <math>\kappa = 0</math> розподілу фон Мізеса, наведеного вище.

=== Намотаний нормальний розподіл ===
{{Main|{{Iw|Намотаний нормальний розподіл|||Wrapped normal distribution}}}}

ФГЙ намотаного нормального розподілу:

<math display="block">
WN(\theta;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \sum^{\infty}_{k=-\infty} \exp \left[\frac{-(\theta - \mu - 2\pi k)^2}{2 \sigma^2} \right] = \frac{1}{2\pi}\vartheta\left(\frac{\theta-\mu}{2\pi},\frac{i\sigma^2}{2\pi}\right)</math>

де μ та σ&nbsp;— математичне сподівання та стандартне відхилення ненамотаного розподілу відповідно, а <math>\vartheta(\theta,\tau)</math>&nbsp;— [[тета-функція Якобі]]

<math display="block">
\vartheta(\theta,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty (w^2)^n q^{n^2} 
</math>

де <math>w \equiv e^{i\pi \theta}</math>, а <math>q \equiv e^{i\pi\tau}.</math>

=== Намотаний розподіл Коші ===
{{Main|{{Iw|Намотаний розподіл Коші|||Wrapped Cauchy distribution}}}}

ФГЙ ''намотаного розподілу Коші''{{sfn|Бабак|Єременко|Куц|Мислович|2019|p=81}}<ref name="КуцШенгур2010" /><ref name="КуцШенгур2011a" /><ref name="КуцШенгур2011b" /> ({{lang-en|wrapped Cauchy distribution, WC}}) така:

<math display="block">WC(\theta;\theta_0,\gamma) = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+(\theta+2\pi n-\theta_0)^2)}
= \frac{1}{2\pi}\,\,\frac{\sinh\gamma}{\cosh\gamma-\cos(\theta-\theta_0)}</math>

де <math>\gamma</math>&nbsp;— коефіцієнт масштабу, а <math>\theta_0</math>&nbsp;— позиція піку.

=== Намотаний розподіл Леві ===
{{Main|{{Iw|Намотаний розподіл Леві|||Wrapped Lévy distribution}}}}

ФГЙ ''намотаного розподілу Леві''<ref name="КуцШенгур2011a" /> ({{lang-en|wrapped Lévy distribution, WL}}):

<math display="block">f_{WL}(\theta;\mu,c) = \sum_{n=-\infty}^\infty \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\,\frac{e^{-c/2(\theta+2\pi n-\mu)}}{(\theta+2\pi n-\mu)^{3/2}}</math>

де значення доданка береться нульовим, коли <math>\theta+2\pi n-\mu \le 0</math>, <math>c</math>&nbsp;— коефіцієнт масштабу, а <math>\mu</math>&nbsp;— параметр розташування.

=== Проєктований нормальний розподіл ===
{{Main|{{Iw|Проєктований нормальний розподіл|||Projected normal distribution}}}}

Проєктований нормальний розподіл ({{lang-en|projected normal distribution}})&nbsp;— це круговий розподіл, що подає напрямок випадкової величини з [[Багатовимірний нормальний розподіл|багатовимірним нормальним розподілом]], отримуваний шляхом радіальної проєкції цієї змінної на одиничну (''n''-1)-сферу. Через це, на відміну від інших широко використовуваних кругових розподілів, він ані симетричний, ані [[Одномодовість|одномодовий]].

== Розподіли на многовидах вищої вимірності ==
[[Файл:Point_sets_from_Kent_distributions_mapped_onto_a_sphere_-_journal.pcbi.0020131.g004.svg|міні|250x250пкс| Три набори точок, вибрані з різних розподілів Кента на сфері.]]

Також існують розподіли на [[Двовимірна сфера|двовимірній сфері]] (як-от {{Iw|розподіл Кента|3=en|4=Kent distribution}}<ref>Kent, J (1982) [https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a097475.pdf The Fisher–Bingham distribution on the sphere]{{Недоступне посилання}}. {{ref-en}} J Royal Stat Soc, 44, 71–80.</ref>), [[Гіперсфера|''N''-вимірній сфері]] ({{Iw|розподіл фон Мізеса — Фішера|3=en|4=Von Mises–Fisher distribution}}<ref>Fisher, RA (1953) Dispersion on a sphere. {{ref-en}} Proc. Roy. Soc. London Ser. A., 217, 295—305</ref>) й на [[Тор (геометрія)|торі]] ({{Iw|двовимірний розподіл фон Мізеса|3=en|4=Bivariate von Mises distribution}}<ref>{{Cite journal|last=Mardia|first=KM. Taylor|last2=CC|last3=Subramaniam|first3=GK.|year=2007|title=Protein Bioinformatics and Mixtures of Bivariate von Mises Distributions for Angular Data|journal=Biometrics|language=en|volume=63|issue=2|pages=505–512|doi=10.1111/j.1541-0420.2006.00682.x|pmid=17688502}}</ref>).

{{Iw|Матричний розподіл фон Мізеса — Фішера|||Matrix von Mises–Fisher distribution}}<ref>{{Cite journal|last=Pal|first=Subhadip|last2=Sengupta|first2=Subhajit|last3=Mitra|first3=Riten|last4=Banerjee|first4=Arunava|date=September 2020|title=Conjugate Priors and Posterior Inference for the Matrix Langevin Distribution on the Stiefel Manifold|journal=Bayesian Analysis|language=en|volume=15|issue=3|pages=871–908|doi=10.1214/19-BA1176|issn=1936-0975|doi-access=free}}</ref>&nbsp;— розподіл на {{Iw|многовид Штіфеля|многовиді Штіфеля|en|Stiefel manifold}}, який можливо використовувати для побудови ймовірнісних розподілів за [[Матриця повороту|матрицями повороту]].<ref>{{Cite journal|last=Downs|year=1972|title=Orientational statistics|url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1972-12_59_3/page/665|journal=Biometrika|language=en|volume=59|issue=3|pages=665–676|doi=10.1093/biomet/59.3.665}}</ref>

{{Iw|Розподіл Бінгема|3=en|4=Bingham distribution}}&nbsp;— це розподіл над осями в ''N'' вимірах або, що еквівалентно, над точками на (''N''&nbsp;−&nbsp;1)-вимірній сфері з ототожненими антиподами.<ref>{{Cite journal|last=Bingham|first=C.|author-link=Крістофер Бінгем|year=1974|title=An Antipodally Symmetric Distribution on the Sphere|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-statistics_1974-11_2_6/page/1201|journal=Ann. Stat.|language=en|volume=2|issue=6|pages=1201–1225|doi=10.1214/aos/1176342874|doi-access=free}}</ref> Наприклад, якщо ''N''&nbsp;=&nbsp;2, осі&nbsp;— неорієнтовані прямі, що проходять крізь початок координат на площині. У цьому випадку кожна вісь перетинає одиничне коло на площині (яке є одновимірною сферою) у двох точках, що є антиподами одна одної. Для ''N''&nbsp;=&nbsp;4 розподіл Бінгема є розподілом у просторі одиничних [[Кватерніони|кватерніонів]] ({{Iw|версор|версо́рів|en|Versor}}). Оскільки версор відповідає матриці повороту, розподіл Бінгема для ''N''&nbsp;=&nbsp;4 можливо використовувати для побудови розподілу ймовірності в просторі обертань, як і матричний розподіл фон Мізеса — Фішера.

Ці розподіли, наприклад, використовують у [[Геологія|геології]],<ref>{{Cite journal|last=Peel|first=D.|last2=Whiten|first2=WJ.|last3=McLachlan|first3=GJ.|year=2001|title=Fitting mixtures of Kent distributions to aid in joint set identification|url=http://www.maths.uq.edu.au/~gjm/pwm_jasa01.pdf|journal=J. Am. Stat. Assoc.|language=en|volume=96|issue=453|pages=56–63|doi=10.1198/016214501750332974}}</ref> [[Кристалографія|кристалографії]]<ref>{{Cite journal|last=Krieger Lassen|first=N. C.|last2=Juul Jensen|first2=D.|last3=Conradsen|first3=K.|year=1994|title=On the statistical analysis of orientation data|journal=Acta Crystallogr|language=en|volume=A50|issue=6|pages=741–748|doi=10.1107/S010876739400437X}}</ref> та [[Біоінформатика|біоінформатиці]].<ref name="compbiol.plosjournals.org" /><ref>Kent, J.T., Hamelryck, T. (2005). [http://www.amsta.leeds.ac.uk/statistics/workshop/lasr2005/Proceedings/kent.pdf Using the Fisher–Bingham distribution in stochastic models for protein structure] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240120062215/http://www.amsta.leeds.ac.uk/statistics/workshop/lasr2005/Proceedings/kent.pdf |date=2024-01-20 }}. In S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Walls (Eds.), Quantitative Biology, Shape Analysis, and Wavelets {{ref-en}}, pp. 57–60. Leeds, Leeds University Press</ref><ref>{{Cite journal|last=Boomsma|first=Wouter|last2=Mardia|first2=Kanti V.|last3=Taylor|first3=Charles C.|last4=Ferkinghoff-Borg|first4=Jesper|last5=Krogh|first5=Anders|last6=Hamelryck|first6=Thomas|year=2008|title=A generative, probabilistic model of local protein structure|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=105|issue=26|pages=8932–8937|bibcode=2008PNAS..105.8932B|doi=10.1073/pnas.0801715105|pmc=2440424|pmid=18579771|doi-access=free}}</ref>

== Моменти ==

Необроблені векторні (або тригонометричні) моменти кругового розподілу визначають як

: <math>
m_n=\operatorname E(z^n)=\int_\Gamma P(\theta) z^n \, d\theta
</math>

де <math>\Gamma</math> це будь-який інтервал довжини <math>2\pi</math>, <math>P(\theta)</math> це ФГЙ кругового розподілу, а <math>z=e^{i \theta}</math>. Оскільки інтеграл <math>P(\theta)</math> одиничний, а інтервал інтегрування скінченний, з цього випливає, що моменти будь-якого кругового розподілу завжди скінченні й добре визначені.

Моменти вибірки визначають аналогічно:

: <math>
\overline{m}_n=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N z_i^n.
</math>

Результуючий вектор сукупності, довжину та середній кут визначають за аналогією з відповідними параметрами вибірки.

: <math>
\rho=m_1
</math>

: <math>
R=|m_1|
</math>

: <math>
\theta_n=\operatorname{Arg}(m_n).
</math>

Крім того, довжини старших моментів визначають як

: <math>
R_n=|m_n|
</math>

а кутові частини вищих моментів це просто <math>(n \theta_n) \bmod 2\pi</math>. Довжини всіх моментів лежатимуть між 0 та 1.

== Міри розташування та розсіяння ==

Як для сукупності, так і для вибраної з цієї сукупності вибірки, можна визначити різні показники [[Центральна тенденція|центральної тенденції]] та [[Статистична дисперсія|статистичної дисперсії]].{{sfn|Fisher|1993}}

=== Центральна тенденція ===
{{main|{{Iw|Кругове середнє|||Circular mean}}}}

Найпоширенішою мірою розташування є кругове середнє ({{lang-en|circular mean}}). Кругове середнє сукупності&nbsp;— це просто перший момент розподілу, тоді як середнє вибірки&nbsp;— це перший момент вибірки. Вибіркове середнє слугуватиме незміщеною оцінкою середнього сукупності.

Коли дані зосереджені, [[Медіана (статистика)|медіану]] та [[Мода (статистика)|моду]] можна визначати за аналогією з лінійним випадком, але для розсіяніших або багатомодових даних ці поняття не несуть користі.

=== Дисперсія ===
{{Див. також|{{Iw|Метод Ямартіно|||Yamartino method}}}}

Найпоширенішими мірами кругового розсіяння є:

* '''{{якір2|Дисперсія|Кругова дисперсія}}''' ({{lang-en|circular variance}}). Для вибірки кругову дисперсію визначають як

<math display="block">
\overline{\operatorname{Var}(z)} = 1 - \overline{R},
</math>

: а для генеральної сукупності як

<math display="block">
\operatorname{Var}(z) = 1 - R
</math>

: Обидві матимуть значення між 0 та 1.

* '''{{якір2|Стандартне відхилення|Кругове стандартне відхилення}}''' ({{lang-en|circular standard deviation}}).

<math display="block">
S(z) = \sqrt{\ln(1/R^2)} = \sqrt{-2\ln(R)}
</math> <math display="block">
\overline{S}(z) = \sqrt{\ln(1/{\overline{R}}^2)} = \sqrt{-2\ln({\overline{R}})}
</math>

: зі значеннями від 0 до нескінченності. Це визначення стандартного відхилення (замість квадратного кореня з дисперсії) корисне, оскільки для намотаного нормального розподілу воно є оцінкою стандартного відхилення нормального розподілу в основі. Таким чином, це дозволить стандартизувати круговий розподіл, як у випадку на прямій, для малих значень стандартного відхилення. Це також стосується розподілу фон Мізеса, який дуже наближений до намотаного нормального розподілу. Зверніть увагу, що для малого <math>S(z)</math> буде <math>S(z)^2 = 2 \operatorname{Var}(z)</math>.

* '''{{якір2|Розсіяння|Кругове розсіяння}}''' ({{lang-en|circular dispersion}}).

<math display="block">\delta = \frac{1-R_2}{2R^2}</math> <math display="block">
\overline{\delta}=\frac{1-{\overline{R}_2}}{2{\overline{R}}^2}
</math>

: зі значеннями від 0 до нескінченності. Ця міра розсіяння корисна для статистичного аналізу дисперсії.

== Розподіл середнього ==

За набору ''N'' вимірювань <math>z_n=e^{i\theta_n}</math> середнє значення ''z'' визначають як

: <math>
\overline{z}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N z_n
</math>

що можна виразити як

: <math>
\overline{z} = \overline{C}+i\overline{S}
</math>

де

: <math>
\overline{C} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \cos(\theta_n) \text{ та } \overline{S} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \sin(\theta_n)
</math>

або, іншим чином, як:

: <math>
\overline{z} = \overline{R}e^{i\overline{\theta}}
</math>

де

: <math>
\overline{R} = \sqrt{{\overline{C}}^2+{\overline{S}}^2} \text{ та } \overline{\theta} = \arctan (\overline{S} / \overline{C}).
</math>

Розподіл середнього кута (<math>\overline{\theta}</math>) для кругової ФГЙ ''P''(''θ'') буде задано як

: <math>
P(\overline{C},\overline{S}) \, d\overline{C} \, d\overline{S} =
P(\overline{R},\overline{\theta}) \, d\overline{R} \, d\overline{\theta} = 
\int_\Gamma \cdots \int_\Gamma \prod_{n=1}^N \left[ P(\theta_n) \, d\theta_n \right]
</math>

де <math>\Gamma</math> знаходиться на будь-якому інтервалі довжини <math>2\pi</math> і на інтеграл поширюється обмеження, що <math>\overline{S}</math> та <math>\overline{C}</math> сталі, або, іншим чином, що <math>\overline{R}</math> та <math>\overline{\theta}</math> сталі.

Розрахунок розподілу середнього для більшості кругових розподілів аналітично неможливий, і для здійснення дисперсійного аналізу потрібні числові або математичні наближення.{{sfn|Jammalamadaka|Sengupta|2001}}

До цього розподілу вибіркових середніх можна застосовувати [[Центральна гранична теорема|центральну граничну теорему]]. (основна стаття: {{Iw|Центральна гранична теорема для напрямкової статистики|3=en|4=Central limit theorem for directional statistics}}). Можливо показати,{{sfn|Jammalamadaka|Sengupta|2001}} що розподіл <math>[\overline{C},\overline{S}]</math> при границі розміру великої вибірки наближається до [[Двовимірний нормальний розподіл|двовимірного нормального розподілу]].

== Перевірка допасованості та значущості ==

Для циклічних даних&nbsp;— (наприклад, чи вони рівномірно розподілені) :

* {{Iw|Тест Рейлі|3=en|4=Rayleigh test}} для одномодового кластера
* [[Тест Куйпера]] для можливо багатомодових даних.

== Див. також ==

* [[Коефіцієнт кругової кореляції]]
* {{Iw|Нормальний розподіл комплексної величини|3=en|4=Complex normal distribution}}
* {{Iw|Намотаний розподіл|3=en|4=Wrapped distribution}}{{sfn|Бабак|Єременко|Куц|Мислович|2019|p=80}}<ref name="КуцШенгур2010" /><ref name="КуцШенгур2011a" /><ref name="КуцШенгур2011b" /><ref name="КуцЛисенкоЛевченко2020" />

== Примітки ==
{{reflist|refs=

<ref name="КуцШенгур2010">{{cite journal|last1=Куц|first1=Ю.В.|last2=Шенгур|first2=С.В.|year=2010|title=Програмний комплекс для моделювання та статистичного опрацювання результатів кутових та фазових спостережень|url=https://dspace.nau.edu.ua/bitstream/NAU/24258/1/Shengur9.pdf|department=Інформаційні системи, обчислювана й електронна техніка, системи зв'язку та приладобудування|journal=Вісний Інженерної академії України|language=uk|location=Київ|issue=3-4|archive-url=https://web.archive.org/web/20220321190021/https://dspace.nau.edu.ua/bitstream/NAU/24258/1/Shengur9.pdf|archive-date=2022-03-21|url-status=live}}</ref>

<ref name="КуцШенгур2011a">{{cite journal|last1=Куц|first1=Ю.В.|last2=Шенгур|first2=С.В.|year=2011|title=Знаходження довірчого інтервалу в задачах кутометрії за апроксимацією емпіричних даних розподілом Джонсона|url=https://dspace.nau.edu.ua/handle/NAU/24256|journal=Відбір і обробка інформації|language=uk|location=Київ|publisher=[[Фізико-механічний інститут імені Г. В. Карпенка НАН України|ФМІ]]|volume=35|issue=111|archive-url=https://web.archive.org/web/20220323232257/https://dspace.nau.edu.ua/bitstream/NAU/24256/1/Shengur12.pdf|archive-date=2022-03-23|url-status=live}}</ref>

<ref name="КуцШенгур2011b">{{cite journal|last1=Куц|first1=Ю.В.|last2=Шенгур|first2=С.В.|year=2011|title=Віртуальний прилад для генерування вибірок випадкових кутів|url=https://dspace.nau.edu.ua/handle/NAU/24257|journal=Електроніка та системи управління|language=uk|location=Київ|publisher=[[Національний авіаційний університет|НАУ]]|volume=1|issue=27|archive-url=https://web.archive.org/web/20220323232219/https://dspace.nau.edu.ua/bitstream/NAU/24257/1/Shengur11.pdf|archive-date=2022-03-23|url-status=live}}</ref>

<ref name="КуцЛисенкоЛевченко2020">{{cite conference|last1=Куц|first1=Ю.В.|last2=Лисенко|first2=Ю.Ю.|last3=Левченко|first3=О.Е.|last4=Редька|first4=М.О.|year=2020|title=Вираження невизначеності вимірювань фазового зсуву сигналів|url=http://umj.metrology.kharkov.ua/article/download/212829/212868|conference=Метрологія та вимірювальна техніка|language=uk|location=Харків|publisher=ННЦ «Інститут метрології»|pages=148|archive-url=https://web.archive.org/web/20220412223331/http://umj.metrology.kharkov.ua/article/download/212829/212868|archive-date=2022-04-12|url-status=dead}}</ref>

}}

== Книги з напрямкової статистики ==

* {{cite book|last=Batschelet|first=E.|title=Circular statistics in biology|url=https://archive.org/details/circularstatisti0000bats|publisher={{Iw|Academic Press}}|location=London|year=1981|ISBN=0-12-081050-6|ref=harv}}
* {{cite book|authorlink=Ніколас Фішер (статистик)|last=Fisher|first=N. I.|title=Statistical Analysis of Circular Data|language=en|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1993|ISBN=0-521-35018-2|ref=harv}}
* {{cite book|authorlink1=Ніколас Фішер (статистик)|last1=Fisher|first1=N. I.|last2=Lewis|first2=T.|last3=Embleton|first3=BJJ|title=Statistical Analysis of Spherical Data|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1993|ISBN=0-521-45699-1|ref=harv}}
* {{cite book|last1=Jammalamadaka|first1=S. Rao|last2=Sengupta|first2=A.|title=Topics in Circular Statistics|publisher=World Scientific|location=New Jersey|year=2001|ISBN=981-02-3778-2|url=https://books.google.com/books?id=sKqWMGqQXQkC&q=Jammalamadaka+Topics+in+circular|access-date=2011-05-15|ref=harv}}
* {{cite book|authorlink1=Кантілал Мардіа|last1=Mardia|first1=K. V.|last2=Jupp|first2=P.|title=Directional Statistics|edition=2nd|publisher=John Wiley and Sons Ltd.|year=2000|ISBN=0-471-95333-4|ref=harv}}
* {{cite book|last1=Ley|first1=C.|last2=Verdebout|first2=T.|title=Modern Directional Statistics|publisher=[[CRC Press]] [[Taylor_&_Francis_Group|Taylor & Francis Group]]|year=2017|ISBN=978-1-4987-0664-3|ref=harv}}
* {{cite book|last1=Бабак|first1=В.П.|last2=Єременко|first2=В.С.|last3=Куц|first3=Ю.В.|last4=Мислович|first4=М.В.|last5=Щербак|first5=Л.М.|year=2019|title=Моделі та міри у вимірюваннях|url=https://ela.kpi.ua/items/522ff0d3-f2b7-4892-8016-a76f1af7ad70|chapter=Розділ 3. Моделі та міри у вимірюваннях випадкових кутових величин|language=uk|location=Київ|publisher=[[Наукова думка]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20240519161317/https://ela.kpi.ua/bitstreams/7b0f0f2e-aef2-4782-a854-c2cb5020e755/download|archive-date=2024-05-19|url-status=live|ref=harv}}

{{Розподіли ймовірності|directional}}

[[Категорія:Напрямкова статистика| ]]
[[Категорія:Типи розподілів імовірності]]
[[Категорія:Типи статистичних даних]]
[[Категорія:Математична статистика]]