Перегляд вихідного коду сторінки Найбільший та найменший елемент

В [[математика|математиці]], а саме в [[теорія порядку|теорії порядку]], для [[частково впорядкована множина|частково впорядкованої множини]] (''P'',≤)

'''найбільшим елементом''' називається такий елемент <math>g \in P,</math> для якого справедливо:
:<math>\forall x \in P: x \le g.</math>

'''найменшим елементом''' називається такий елемент <math>l \in P,</math> для якого справедливо:
:<math>\forall x \in P: l \le x.</math>

Найбільшого або найменшого елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то вони єдині.

=== Теорема ===
В кожній частково [[Впорядкована множина|упорядкованій множині]] існує не більше одного найменшого (а в силу [[двоїстість (теорія порядку)|принципу двоїстості]], і найбільшого) елементу.

====Доведення ====
Припустимо, що x і y – два найменші елементи в множині A , тоді :<math> x \le y</math> в силу 
того, що x –  найменший елемент і :<math> y \le x</math>  в силу того, що y –  найменший елемент. Але тоді із 
антисиметричності відношення <math> \le </math> випливає, що x=y .

== Див. також ==
* [[Двоїстість (теорія порядку)]]
* [[Максимальні та мінімальні елементи]]
* [[Верхня та нижня межа]]
* [[Інфімум та супремум]]

== Джерела ==
* {{Биркгоф.Теория решёток}}

{{Теорія порядку|state=expanded}}

[[Категорія:Теорія порядку]]