Перегляд вихідного коду сторінки Наближення порожньої ґратки

{{short description|Теоретична модель зонної теорії кристалів, в якій потенціал періодичний та слабкий}}
{{Методи розрахунку електронної структури}}
'''Наближення порожньої ґратки'''&nbsp;— це модель [[Зонна теорія|зонної теорії]] [[кристал]]ів, в якій [[Електростатичний потенціал|потенціал]] [[Кристалічна ґратка|кристалічної ґратки]] ''періодичний'' та ''ґранично слабкий''. Енергія електронів у «порожній ґратці» точно така сама, як і вільних електронів. Головним здобутком такого підходу є схема класифікації електронних зон{{R|KittelQT|page=245}}, а практично застосовними є лише його розширення, зокрема, у вигляді ґраничних випадків [[Наближення майже вільних електронів|майже вільних електронів]] та [[Наближення сильного зв'язку|сильного зв'язку]].

== Розсіювання та періодичність ==
[[Файл:Linear chain Free electron bands.svg|thumb|right|350px|Зони вільних електронів в одновимірній порожній ґратці у схемі повторюваної зони (ліворуч) та зведеної зони (праворуч).]]

[[Розсіювання частинок і хвиль|Розсіювання]] електронів на вузлах ґратки визначається просторовим розташуванням вузлів. Кожен вузол є [[Потенціальна яма|потенціальною ямою]], на якій з певною [[Імовірність|ймовірністю]] відбудеться акт розсіювання. Для частинки в одновимірній ґратці, зокрема, [[Частка в одновимірному періодичному потенціалі#Модель Кроніга-Пенні|модель Кроніга-Пенні]] дає можливість аналітично обчислити зонну структуру за відомими значеннями потенціалу, відстані між сусідніми атомами та розміру потенціальної ями. Для дво- і тривимірних випадків подібні моделі з невеликою кількістю параметрів дають нереалістичні розв'язки.{{R|Kittel|page=310}} Тим не менше, в більшості областей зонну структуру вдається наближено описати за допомогою [[Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці|теорії збурень]], починаючи з розв'язків для порожньої ґратки, тобто [[Плоска хвиля|плоских хвиль]].{{R|KittelQT|page=245}}

В наближенні порожньої ґратки електрони мають лише [[Кінетична енергія|кінетичну енергію]] й закон дисперсії виглядає так:

:<math>E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m}</math>.

Тут <math>\hbar</math>&nbsp;— зведена [[стала Планка]], ''m''&nbsp;— маса електрона, <math>\mathbf{k}</math>&nbsp;— вектор [[Обернений простір|оберненого простору]], який називають [[квазіімпульс]]ом.

Якою малою не була би глибина потенціальної ями, у нескінченній періодичній ґратці рано чи пізно акт взаємодії відбудеться й хвилю буде відбито. Такий процес розсіювання зумовлює відомий [[Умова Брегга — Вульфа|закон Брегга]], а також періодичність закону дисперсії електронів і поділ <math>\mathbf{k}</math>-простору на [[Зона Бріллюена|зони Бріллюена]]. Періодичність закону дисперсії математично виражається так.{{R|KittelQT|page=245}} Якщо два <math>\mathbf{k}</math>-вектори різняться на будь-який вектор <math>\mathbf{G}</math> [[Обернена ґратка|оберненої гратки]], <math>\mathbf{k}=\mathbf{k'}+\mathbf{G}</math>, то їм відповідає одне й те саме значення енергії, <math>E(\mathbf{k}) = E(\mathbf{k'})</math>.

Завдяки цій періодичності для маркування всіх точок <math>E(\mathbf{k})</math> достатньо обмежитися такими значеннями <math>\mathbf{k}</math>, які лежать всередині першої зони Бріллюена; в поданому прикладі одновимірної лінійної ґратки зі [[Період кристалічної ґратки|сталою ґратки]] <math>a</math> це значення <math>-\frac{\pi}{a} \le k \le \frac{\pi}{a}</math>. В такий спосіб у схемі зведених зон з'являються різні гілки закону дисперсії, їх доводиться додатково нумерувати: <math>E_n(\mathbf{k})</math>.

==Енергетичні зони й густина станів==
{{main|Густина станів}}
[[Image:Free-electron DOS.svg|thumb|200px|right|Густина станів вільних електронів у тривимірному ''k''-просторі]]
Густина станів ({{lang-en|DOS}})&nbsp;— це кількість електронних станів в інтервалі енергій <math>[E,E + dE]</math>, пронумерованому векторами <math>[\mathbf{k},\mathbf{k} + d\mathbf{k}]</math> оберненого простору. В одновимірному випадку густина станів, створювана зоною <math>E_n(k)</math> при даній енергії <math>E_0</math>, тим більша, чим менше значення похідної <math>\left . \frac{dE_n(k)}{dk} \right |_{k_0: E_n(k_0)=E_0}</math>.

Хоча елементарні комірки не є [[Сфера|сферично симетричними]], в наближеннях порожньої ґратки та майже вільних електронів квадратичний вигляд закону дисперсії зберігається. Порівняно з одновимірним, у дво- й тривимірному випадках кількість станів, що потрапляють в інтервал <math>[\mathbf{k},\mathbf{k} + d\mathbf{k}]</math>, збільшується внаслідок можливого виродження по напрямку вектора <math>\mathbf{k}</math>. Для тривимірної ґратки густина станів <math>D_3\left(E\right)</math> пропорційна кореню квадратному з енергії, який при квадратичному законі дисперсії у свою чергу пропорційний квазіімпульсу:

:<math>D_3\left(E\right) \sim \sqrt{E} \sim \lVert \mathbf{k} \rVert</math>.
{{clear}}

==Друга й вищі зони Бріллюена==
Вільні електрони, що рухаються порожньою ґраткою із хвильовим вектором <math>\mathbf{k}</math> поза першою зоною Бріллюена, будуть відбиті до першої зони Бріллюена. Хоча <math>\mathbf{k}</math> дуже схожий на вектор [[Імпульс (механіка)|імпульсу]], зберігається лише квазіімпульс, тобто <math>\mathbf{k}</math> зберігається з точністю до <math>\mathbf{G}</math>, будь-якого вектору зворотної ґратки. В [[#Зовнішні посилання|зовнішніх посиланнях]] можна знайти онлайн-ресурси із прикладами та зображеннями вищих зон Бріллюена.

==Модель майже вільних електронів==
{{main|Наближення майже вільних електронів}}
В багатьох звичайних [[Метали|металах]], на кшталт [[Алюміній|алюмінію]], ефект [[Екранування заряду|екранування]] значно послаблює електростатичне поле, створюване іонами ґратки при [[Металічний зв'язок|металічному зв'язку]]. [[Електростатичний потенціал]] в кристалі виражається як

:<math>V(r) = \frac{Z e}{r} e^{-q r}</math>,

де ''Z''&nbsp;— [[атомний номер]] металу, ''e''&nbsp;— [[елементарний заряд]], ''r''&nbsp;— відстань між електроном і [[Ядро атома|ядром]] іона, ''q''&nbsp;— параметр екранування, що обмежує дальнодію потенціалу. [[Перетворення Фур'є]], <math>U_{\mathbf{G}}</math>, потенціалу ґратки <math>V(\mathbf{r})</math> дається формулою

:<math>U_{\mathbf{G}}(q) =  \frac{4 \pi Z e}{q^2 + G^2}</math>.

Значення недіагональних елементів потенціалу <math>U_{\mathbf{G}}</math> (між різними векторами зворотної ґратки) майже дорівнюють нулю. В результаті величина [[Заборонена зона|забороненої зони]] <math>2|U_{\mathbf{G}}|</math> спадає й результат стає подібним до передбаченого в наближенні порожньої ґратки.

==Електронні зони поширених ґраток металів==
За винятком кількох екзотичних структур, переважна більшість металів кристалізується в одному з трьох [[Кристалічна структура|структурних типів]]: об'ємноцентрована чи гранецентрована [[Кубічна сингонія|кубічна структура]], або щільноупакована [[Гексагональна сингонія|гексагональна структура]]. 
<gallery perrow=3>
Image:Cubic-body-centered.svg|[[Об'ємноцентрована кубічна ґратка|Об'ємноцентрована кубічна]] (ОЦК, символ I)
Image:Cubic-face-centered.svg|[[Гранецентрована кубічна ґратка|Гранецентрована кубічна]] (ГЦК, символ F)
Image:Hexagonal close packed.svg|[[Щільне пакування рівних сфер#Проста ГЩ-ґратка|Гексагональна щільноупакована]]
Image:Body-Centered Cubic Lattice (Brillouin zone).png|Перша зона Бріллюена ОЦК ґратки
Image:Fcc brillouin.png|Перша зона Бріллюена ГЦК ґратки
Image:HEX.png|Перша зона Бріллюена ГЩ ґратки
</gallery>

{{multiple image
|align    = left
|image1   = Empty-Lattice-Approximation-BCC-bands.svg
|caption1 = Зони вільних електронів в ОЦК кристалічній структурі
|width1   = 180
|image2   = Empty-Lattice-Approximation-FCC-bands.svg
|caption2 = Зони вільних електронів в ГЦК кристалічній структурі
|width2   = 180
|image3   = Empty-Lattice-Approximation-HCP-bands.svg
|caption3 = Зони вільних електронів в гексагональній щільноупакованій кристалічній структурі
|width3   = 300
}}

{{clear}}

==Джерела==
{{reflist|refs=
<ref name=KittelQT>{{cite book| author=Киттель Ч.| title=Квантовая теория твёрдых тел| year=1967| publisher=Наука| location={{М.}}| language=російською}}</ref>
<ref name=Kittel>{{cite book| author=Киттель Ч.| title=Введение в физику твёрдого тела| year=1978| publisher=Наука| location={{М.}}| language=російською}}</ref>
}}

==Зовнішні посилання==
*[http://phycomp.technion.ac.il/~nika/brillouin_zones.html Тривимірні зображення зон Бріллюена (Техніон)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061205220050/http://phycomp.technion.ac.il/~nika/brillouin_zones.html |date=5 грудня 2006 }}
*[http://lampx.tugraz.at/~hadley/ss1/bzones/drawing_BZ.php Онлайн-побудова зображень зон Бріллюена] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200811162302/http://lampx.tugraz.at/~hadley/ss1/bzones/drawing_BZ.php |date=11 серпня 2020 }}
*[https://github.com/hedhyw/BrillouinZones Програма на Python для побудови зображень зон Бріллюена] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211008182728/https://github.com/hedhyw/BrillouinZones |date=8 жовтня 2021 }}

[[Категорія:Фізика твердого тіла]]