Перегляд вихідного коду сторінки Міра різноманітності

'''Міра різноманітності''' (також індекс різноманітності) — безрозмірний показник, що застосовується в біології для визначення ступеню рівномірності розподілу ознак об'єктів вибірки. Подвійним поняттям для різноманітності є поняття '''однорідності''' або '''концентрації'''. Міри різноманітності є унарними [[Коефіцієнт подібності|мірами близькості]]. <br>
Міри різноманітності є сенс використовувати виключно для оцінки інвентаризаційної різноманітності, тобто різноманітності в середині об'єкту. <br> 
Здається, що першою мірою різноманітності, використаною в біології був індекс Шеннона, адаптований [[Роберт Макартур |Робертом Макартуром]] для дослідження трофічних мереж <ref>''[[Роберт МакАртур|MacArthur R.H.]]'' [http://biocomparison.ucoz.ru/_ld/0/36_macarthur_1955.pdf Fluctuations of animal populations, and measure of community stability] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131112154042/http://biocomparison.ucoz.ru/_ld/0/36_macarthur_1955.pdf |date=12 листопада 2013 }} // Ecology. 1955. V. 36. № 7. P. 353-356.</ref>:
<center> <math> H = -\sum_{i=1}^n p_i \log_2 p_i </math> </center>, <br>
де <math> p_i = {x_i \over \sum_{i=1}^{n} x_i} </math> і відповідає числу ознак (наприклад, особин) певного об'єкту (наприклад, виду) у виборці (наприклад, в біоценозі). Теоретично Н-функція набуває максимального значення тоді, коли має місце повна вирівненість розподілу <math> \log_2 N </math>, що відповідає найбільшій різноманітності системи (N – загальне число об'єктів (наприклад, видів в біоценозі)), а мінімальне дорівнює 0. Інколи, щоб позбутися від незвичної для біолога одиниці вимірювання "біт" здійснюють нормування індексу, наприклад так: <math> {H \over H_{max}} </math><ref>''Hurlbert S.H.'' [http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/ecocomunidades/Hurlbert%20-%20The%20Nonconcept%20of%20Species%20Diversity--%20A%20Critique%20and%20Alternative%20Parameters.pdf The nonconcept of species diversity: a critique and alternative parameters] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150724120445/http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/ecocomunidades/Hurlbert%20-%20The%20Nonconcept%20of%20Species%20Diversity--%20A%20Critique%20and%20Alternative%20Parameters.pdf |date=24 липня 2015 }} // Ecology. V. 52. №4. P. 577-586.</ref>. Є думка, що індекс Шеннона надає більшого значення рідкісним видам, ніж інші індекси<ref name="odum_indices">{{книга-ру|автор=Одум Ю.|заглавие=Экология|ответственный=под ред. академика В.Е. Соколова|издание=перев. с англ. Б.Я.Виленкина|место=М.:|издательство=Мир|год=1986|том=2|страницы=133-134|страниц=376}}</ref>. Для прикладу для [[Птахи|орнітофауни]] сосново-березових лісів [[Південна тайга|південної тайги]] [[Урал]]у значення індексу Шеннона становить від 2,6 до 3<ref>{{статья|автор=Захаров В.Д.|заглавие=Анализ видового разнообразия птиц Ильменского заповедника|ссылка=http://elibrary.ru/item.asp?id=11160511|язык=рус.|издание=Вестник Оренбургского государственного университета|издательство=Оренбургский государственный университет|год=2008|выпуск=6|страницы=50-54}}</ref>. Варто відзначити, що різні міри різноманітності були відомі и до праць К.Шеннона<ref> ''Yule G.U.'' The statistical study of literary vocabulary. – London: Cambridge Univ. Press, 1944. – 306 p.</ref>.

== Параметричні родини мір різноманітності ==
Перше узагальнення для мір різноманітності запропонував [[Альфред Реньї]]<ref>''Rényi A.'' (1961) [http://digitalassets.lib.berkeley.edu/math/ucb/text/math_s4_v1_article-27.pdf On measures of entropy and information] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130517085559/http://digitalassets.lib.berkeley.edu/math/ucb/text/math_s4_v1_article-27.pdf |date=17 травня 2013 }} // Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability. 1960. P. 547-561.</ref>. Формула добре відома математикам як формула [[Ентропія Реньї|ентропії Реньї]]. Якщо альфа-індекс дорівнює 0 ми одержуємо <math> \log_2 N </math> (відома як формула Хартлі); при значенні <math> \alpha \rightarrow 1 </math> індекс ідентичний індексу Шеннона; при значенні <math> \alpha \rightarrow \infty </math> одержуємо <math> \log_2 {1 \over p_{max} } </math>, де у знаменнику індекс Бергера-Паркера, який визначається як максимум з усіх розглядуваних долей. Активно обговорювалося питання щодо того, яку основу логарифма найкраще застосовувати. Відомі приклади використання в біології логарифмів з основами 2, 10, e. Від проблеми вибору основи логарифма вільна формула Гілла.

На основі формули ентропії Реньї М. Гіллом був запропонований континуум мір вирівненності (evenness) у вигляді уніфікованої формули, визначеної як антилогарифм від ентропії Реньї<ref>''Hill M.O.'' [http://intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Agrof-Cult-AyP/Curso%20SAF%20A%20y%20P%202011/Propedeutico%20Agroforestal/Lecturas%20optativas/Diversity%20and%20evenness%20a%20unifying%20notation%20and%20consequences.pdf Diversity and evenness: A unifying notation and its consequence] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120710220144/http://intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Agrof-Cult-AyP/Curso%20SAF%20A%20y%20P%202011/Propedeutico%20Agroforestal/Lecturas%20optativas/Diversity%20and%20evenness%20a%20unifying%20notation%20and%20consequences.pdf |date=10 липня 2012 }} // Ecology. 1973. V. 54. №2. P. 427-432.</ref>.
<center> <math>R_\alpha = ( \sum_{i=1}^n p_i^\alpha )^{1 \over 1 - \alpha}; \alpha \geqslant 0. </math> </center>
Наведемо приклади для деяких випадків: <math> R_0 = N; R_1 = e^H ; R_2 = {1 \over \sum_{i=1}^n p_i} </math>, де в знаменнику індекс Сімпсона. Пізніше, на основі даної формули була створена низка мір: міра Шелдона (Sheldon), міра Хейпа (Heip), міра Алатало (Alatalo), міра Молінарі (Molinari) та ін. Без прив'язки до параметричних родин використовуються такі міри:
* індекс Глізона: <math> {N \over ln (p_i)} </math>;
* індекс Маргалефа: <math> {N - 1 \over lg (p_i)} </math>;
* індекс Менхиніка: <math> {N \over \sqrt p_i} </math>;
* індекс вирівненності Пілу (інколи Пієлу, або Пієлоу): <math> \frac {H}{\log N} = {H \over H_{max}} </math>. Є по суті нормуванням індексу Шеннона між 0 та 1.

Існують і інші індекси різноманітності, які застосовуються біологами<ref>''{{нп|Anne E. Magurran|Magurran A.E. |en|Anne E. Magurran}}'' Measuring biological diversity. – Oxford, UK.: Blackwell Publishing, 2004. – 256 p.</ref>, до речі найпростішим показником різноманітності є видове багатство або число видів.

== Міри однорідності (концентрації) ==
Міри однорідності використовуються значно менше. Тут можна відзначити родину мір концентрації (<math> Q_\alpha </math>) О.М. Колмогорова. Його міри коеквівалентні до мір родини Гілла як <math> R_\alpha = {1 \over Q_\alpha} </math>.

== Інформаційні міри різноманітності ==
Дана група індексів рідко використовується з причини складності обчислення. Найвідомішим індексом цього типу є індекс Бріллюена<ref> ''[[Léon Brillouin|Brillouin L.]]'' Science and information theory. - New York: Academic Press, 1956. - 320 p. </ref>. Для біологічних досліджень вперше використаний Рамоном Маргалефом<ref> ''{{нп|Ramon Margalef|Margalef R.|en|Ramon Margalef}}'' Information theory in ecology // Gen. Syst. 1958. №3. P. 36-71.</ref>:
<center> <math> {1 \over N} \log_2 {N! \over n_1! ... n_S!} </math> </center>

== Міри різноманітності на основі дескриптивних множин ==
Міри різноманітності на основі [[Дескриптивна множина|дескриптивних множин]] були запропоновані Б.І. Сьомкіним в 1971 році<ref> ''Сёмкин Б.И.'' О мере сходства между растительными сообществами // Тез. докл. совещ. по классиф. растит. Л.: Наука, 1971. С. 85. </ref>, а також [[Рассел Лінкольн Акофф |Р.Л. Акоффом]] і {{нп|Фред Емері|Ф.Е. Емері|en|Fred Emery}} в 1972 році<ref>''Акофф Р.А., Эмери Ф.Ф.'' [http://biocomparison.ucoz.ru/_ld/0/9_tcR.djvu О целеустремленных системах] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151225042841/http://biocomparison.ucoz.ru/_ld/0/9_tcR.djvu |date=25 грудня 2015 }}. – М.: Сов. радио, 1974. – 272 с.</ref>. Наприклад, Б.І. Сьомкін запропонував '''абсолютну міру різноманітності''', що ґрунтувалася на порівнянні досліджуваної вагової множини з еталоном, що має максимальну різноманітність: <br>
<center><math> K_0(X,X_{max}) = m(X \cap X_{max}) </math>,</center>
де <math>X_{max} = \left \{ x_i, \mu (X_i) = {1 \over n}, i = 1, ..., n \right \} </math>, ''X'' – вагова множина, різноманітність якої визначається; ''n'' – число таксонів.
Також використовується нормована '''відносна міра різноманітності''':
<center><math> R_S = { n \sum_{i=1}^n min (p_i,{1 \over n}) -1 \over n-1}</math></center>

== Істинна різноманітність ==
Істинна різноманітність, або ефективна кількість типів, описує кількість однаково чисельних типів потрібних для того аби середня пропорційна чисельність типів дорівнювала спостережуваній в цікавому нам наборі даних (де всі типи можуть не бути однаково чисельними). Істинна різноманітність в наборі даних обчислюється отриманням [[Обернене число|оберненого]] до [[середнє степеневе|середнього степеневого {{math|''M''<sub>''q''−1</sub>}} пропорційних чисельностей типів в наборі даних. Якщо описати рівнянням:<ref name="Tuomisto2010a">{{cite journal | last1 = Tuomisto | first1 = H | year = 2010 | title = A diversity of beta diversities: straightening up a concept gone awry. Part 1. Defining beta diversity as a function of alpha and gamma diversity | journal = [[Ecography]] | volume = 33 | issue = 1 | pages = 2–22 | doi = 10.1111/j.1600-0587.2009.05880.x | bibcode = 2010Ecogr..33....2T }}</ref><ref name="Tuomisto2010c">{{cite journal | last1 = Tuomisto | first1 = H | year = 2010 | title = A consistent terminology for quantifying species diversity? Yes, it does exist | journal = [[Oecologia]] | volume = 164 | issue = 4| pages = 853–860 | doi = 10.1007/s00442-010-1812-0 | pmid = 20978798 | bibcode = 2010Oecol.164..853T | s2cid = 19902787 }}</ref>

:<math>{}^q\!D={1 \over M_{q-1}}={1 \over \sqrt[q-1]{{\sum_{i=1}^R p_i p_i^{q-1}}}}=\left ( {\sum_{i=1}^R p_i^q} \right )^{1/(1-q)}</math>

{{section-stub|дата=серпень 2017}}
<!--
The [[Fraction (mathematics)|denominator]] {{math|''M''<sub>''q''−1</sub>}} equals the average proportional abundance of the types in the dataset as calculated with the weighted [[generalized mean]] with exponent {{math|''q''-1}}. In the equation, {{math|''R''}} is richness (the total number of types in the dataset), and the proportional abundance of the {{math|''i''}}th type is {{math|''p''<sub>''i''</sub>}}. The proportional abundances themselves are used as the nominal weights. When {{math|''q'' {{=}} 1}}, the above equation is undefined. However, the [[Limit (mathematics)|mathematical limit]] as {{math|''q''}} approaches 1 is well defined and the corresponding diversity is calculated with the following equation:
 
:<math>{}^1\!D={1 \over {\prod_{i=1}^R p_i^{p_i}}} = \exp\left(-\sum_{i=1}^R p_i \ln(p_i)\right)</math>
which is the exponential of the [[Shannon entropy]] calculated with natural logarithms (see below).
-->

== Див. також ==
* [[Біорізноманіття]]
* [[Коефіцієнт подібності]]
* [[Індекс узагальненого біорізноманіття]]
== Посилання ==
*{{СДЕколог|частина =Індекс  видового  різноманіття |сторінки = 101}}

== Примітки ==
{{reflist}}


{{Перекласти|en|Diversity index}}
{{Біологія-доробити}}
{{Інформатика-доробити}}


{{Моделювання екосистем}}


[[Категорія:Екологічна термінологія]]
[[Категорія:Методи біологічних досліджень]]
[[Категорія:Теорія міри]]
[[Категорія:Індекси]]
[[Категорія:Зведені статистики для категорійних даних]]