Перегляд вихідного коду сторінки Міра ймовірності

[[Файл:Maxwell-Distr.png|thumb|300px|У деяких випадках [[Статистична фізика|статистична фізика]] використовує міру ймовірності, але не всі [[Міра множини|міри]], які вона використовує, є ймовірнісними.<ref name=stern>''A course in mathematics for students of physics, Volume 2'' by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 {{isbn|0-521-40650-1}} [https://books.google.com/books?id=eSmC4qQ0SCAC&pg=PA802 page 802] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170422080432/https://books.google.com/books?id=eSmC4qQ0SCAC&pg=PA802 |date=22 квітня 2017 }}</ref><ref name= gut>''The concept of probability in statistical physics'' by Yair M. Guttmann 1999 {{isbn|0-521-62128-3}} [https://books.google.com/books?id=Q1AUhivGmyUC&pg=PA149 page 149]</ref>]]
{{Основи теорії ймовірностей}}
'''Міра ймовірності''' у [[Математика|математиці]]&nbsp;— це [[дійснозначна функція]], визначена на множині подій в [[Ймовірнісний простір|просторі ймовірностей]], що задовольняє властивостям [[Міра множини|вимірювання]], таким як [[адитивність]] на [[Зліченна множина|зліченних множинах]]<ref>''An introduction to measure-theoretic probability'' by George G. Roussas 2004 {{isbn|0-12-599022-7}} [https://books.google.com/books?id=J8ZRgCNS-wcC&pg=PA47 page 47] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190602214944/https://books.google.com/books?id=J8ZRgCNS-wcC&pg=PA47 |date=2 червня 2019 }}</ref>. Різниця між мірою ймовірності та більш загальним поняттям міри (що включає поняття, такі як [[площа]] або [[об'єм]]) полягає в тому, що міра ймовірності повинна встановлювати значення 1 усьому простору ймовірностей.

Інтуїтивно, адитивність означає, що ймовірність, яка відповідає за цією мірою об'єднанню двох подій з порожнім перетином, повинна бути сумою ймовірностей цих подій. Наприклад, значення, яке присвоюється події «1 або 2» при киданні кубика, має бути сумою значень, присвоєних відповідно подіям «1» та «2».

Міри ймовірності знаходять застосування у дуже різних областях, від фізики до фінансів і біології.

== Визначення ==
[[Файл:Probability-measure.svg|thumb|300px|Міра ймовірності відображає ймовірнісний простір 3 подій в [[одиничний інтервал]].]]

Вимоги до функції {{math|''&mu;''}} для вимірювання міри ймовірності в [[Ймовірнісний простір|просторі ймовірностей]], такі:

:* {{math|''&mu;''}} повинна приймати значення в [[Одиничний інтервал|одиничному інтервалі]] [0, 1], відповідно 0 для [[Порожня множина|порожньої множини]] та 1 для всього простору.
:* {{math|''&mu;''}} повинна задовольняти властивості зліченної адитивності, тобто, для всіх [[Зліченна множина|зліченних]] наборів множин <math>\{E_i\}</math>, які попарно [[Неперетинні множини|не перетинаються]], виконується:
: <math> \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i).</math>

Наприклад, нехай трьом елементам 1, 2 і 3, відповідно приписано ймовірності 1/4, 1/4 і 1/2. Тоді, множині {1, 3} буде присвоєна ймовірність 1/4 + 1/2 = 3/4, як відображено на діаграмі справа.

[[Умовна ймовірність]], заснована на перетині подій, визначається як:

: <math>P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.</math>

Вона задовольняє вимогам міри ймовірності, якщо <math>P(A)</math> не дорівнює нулю<ref>''Probability, Random Processes, and Ergodic Properties'' by Robert M. Gray 2009 {{isbn|1-4419-1089-1}} [https://books.google.com/books?id=x-VbL8mZWl8C&pg=PA163 page 163] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170422080936/https://books.google.com/books?id=x-VbL8mZWl8C&pg=PA163 |date=22 квітня 2017 }}</ref>.

Міри ймовірності відрізняються від більш загального поняття [[Теорія нечіткої міри|нечіткої міри]], для якої не потрібно, щоб сума всіх нечітких значень була 1, а адитивна властивість замінюється відношенням порядку, заснованим на включенні [[Підмножина|множин]].

== Приклади застосування ==
''Виміри ринку'', які приписують ймовірності [[Фінансовий ринок|фінансовим ринковим]] просторам на основі реальних ринкових рухів, є прикладами мір ймовірності, які становлять інтерес для [[Фінансова математика|фінансової математики,]] наприклад, у ціноутворенні [[Похідний фінансовий інструмент|фінансових деривативів]]<ref>''Quantitative methods in derivatives pricing'' by Domingo Tavella 2002 {{isbn|0-471-39447-5}} [https://books.google.com/books?id=dHIMulKy8dYC&pg=PA11 page 11] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170422080926/https://books.google.com/books?id=dHIMulKy8dYC&pg=PA11 |date=22 квітня 2017 }}</ref>. Наприклад, [[Нейтральна за ризиком міра|нейтральна за ризиком міра]]&nbsp;— це міра ймовірності, яка припускає, що поточна вартість активів&nbsp;— це [[Математичне сподівання|очікувана вартість]] майбутнього виграшу, взятого стосовно тієї самої нейтральної міри ризику (тобто розрахованої з використанням відповідної функції густини нейтрального ризику), [[Дисконтування|дисконтований]] за [[Безризиковою ставкою|безризиковою ставкою]]. Якщо існує унікальна міра ймовірності, яка повинна використовуватися для цінової вартості активів на ринку, то ринок називається [[Повним ринком|повним ринком]]<ref>''Irreversible decisions under uncertainty'' by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 {{isbn|3-540-73745-6}} [https://books.google.com/books?id=lpsrP5mQG_QC&pg=PA11 page 11] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170422074937/https://books.google.com/books?id=lpsrP5mQG_QC&pg=PA11 |date=22 квітня 2017 }}</ref>.

Не всі міри, які інтуїтивно представляють шанс або ймовірність, є мірами ймовірності. Наприклад, хоча фундаментальна концепція системи [[Статистична механіка|статистичної механіки]] є простором вимірювання, такі заходи не завжди є мірами ймовірності<ref name=stern/>. Взагалі, у статистичній фізиці, якщо розглядати речення виду «ймовірність, що система S знаходиться у стан A дорівнює p», геометрія системи не завжди призводить до визначення міри ймовірності, яка буде [[конгруенцією|конгруентною]], хоча так можна робити у випадку систем з одним ступенем свободи<ref name=gut/>.

В [[Математична біологія|математичній біології]] також використовуються міри ймовірності<ref>''Mathematical Methods in Biology'' by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 {{isbn|0-470-52587-8}} [https://books.google.com/books?id=6GGyquH8kLcC&pg=PA195 page 195] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170422075843/https://books.google.com/books?id=6GGyquH8kLcC&pg=PA195 |date=22 квітня 2017 }}</ref>. Наприклад, у порівняльному [[Аналізі послідовності|аналізі послідовності]] може бути визначена міра ймовірності для ймовірності того, що варіант може бути допустимим для [[амінокислоти]] в послідовності.<ref>''Discovering biomolecular mechanisms with computational biology'' by Frank Eisenhaber 2006 {{isbn|0-387-34527-2}} [https://books.google.com/books?id=Pygg7cIZTwIC&pg=PA127 page 127] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170422075511/https://books.google.com/books?id=Pygg7cIZTwIC&pg=PA127 |date=22 квітня 2017 }}</ref>

== Див. також ==
* [[Міра Бореля]]
* [[Міра Лебега]]
* [[Міра Хаара]]
* [[Теорія нечіткої міри]]
* {{нп|Martingale measure||||}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* ''Probability and Measure'' by [[Patrick Billingsley]], 1995 John Wiley {{isbn|978-0-471-00710-4}}
* ''Probability & Measure Theory'' by Robert B. Ash, Catherine A. Doléans-Dade 1999 Academic Press {{isbn|0-12-065202-1}}.
{{Commonscat-inline}}

[[Категорія:Експеримент (теорія ймовірностей)]]
[[Категорія:Теорія міри]]