Перегляд вихідного коду сторінки Мінімальна поверхня Каталана

[[File:Catalan's Minimal Surface.png|thumb|Catalan's minimal surface.]]
{{Не плутати|Поверхня Каталана|Поверхня Каталана|[[Лінійчата поверхня|лінійчатою поверхнею]] Каталана}}
У [[диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] '''мінімальна поверхня Каталана''' — це [[мінімальна поверхня]], вперше досліджена Еженом Шарлем Каталаном у 1855 році<ref>Catalan, E. "Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires." Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 41, 1019–1023, 1855. {{ref-fr}}</ref>.

Вона має особливу властивість бути мінімальною поверхнею, що містить [[циклоїда|циклоїду]] як [[Геодезична лінія|геодезичну]]. Вона також замітається сімейством [[парабола|параболічних]] кривих<ref>Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Minimal Surfaces, Volume 1. Springer 2010 {{ref-en}}</ref>.

==Параметризація==
Поверхня має математичні характеристики, що виражаються [[Параметричне рівняння|параметричними рівняннями]]<ref>Gray, A. "Catalan's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, pp. 692–693, 1997 {{ref-en}}</ref>:
:<math>\begin{align}
x(u,v) &= u - \sin(u)\cosh(v)\\
y(u,v) &= 1 - \cos(u)\cosh(v)\\
z(u,v) &= 4 \sin(u/2) \sinh(v/2)
\end{align}</math>

[[Параметризація (геометрія)|Параметризацію]] мінімальної поверхні Каталана можна отримати при <math>f(z)= i \frac{1-z^2}{z^3}, g(z)=z</math> (а тоді <math>z=e^{u+iv}</math>) у веєрштрасівській параметризації мінімальної поверхні:
:<math>\begin{align} 
x &= a\Re \left \{\int\limits_0^w (1 - g(z)^2)f(z)dz \right \} \\
y &= a\Re \left \{i\int\limits_0^w (1 + g(z)^2)f(z)dz \right \}\\
z &= a\Re \left \{2\int\limits_0^w g(z)f(z)dz \right \},
\end{align}</math>
де <math>\Re \{z\}</math> позначає дійсну частину <math>z</math>.

== Див. також ==
* [[Поверхня Каталана]]
== Примітки ==
{{reflist}}
== Ланки ==
*  Weisstein, Eric W. "Catalan's Surface." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalansSurface.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220104100433/https://mathworld.wolfram.com/CatalansSurface.html |date=4 січня 2022 }}
*  Weiqing Gu, The Library of Surfaces. https://web.archive.org/web/20130317011222/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/catalan.html
{{geometry-stub}}
{{Мінімальні поверхні|state=autocollapse}}
[[Категорія:Диференціальна геометрія поверхонь]]
[[Категорія:Поверхні]]
[[Категорія:1855 у науці]]