Перегляд вихідного коду сторінки Монотонна послідовність

'''Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою)''' називають [[Числова послідовність|послідовність]] в якій кожен член <math>x_n</math> є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності <math>x_{n-1}</math>.
== Визначення ==
Нехай є [[множина]] <math>X</math>, на якій введено [[відношення порядку]].
Послідовність <math>\{x_n\}</math> елементів множини <math>X</math> називається '''''неспадною''''', якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.
: <math>\{x_n\}</math> — неспадна <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant x_{n+1}</math>

Послідовність <math>\{x_n\}</math> елементів множини <math>X</math> називається '''''незростаючою''''', якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.
: <math>\{x_n\}</math> — незростаюча <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant x_{n+1}</math>

Послідовність <math>\{x_n\}</math> елементів множини <math>X</math> називається ''''' зростаючою''''' , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.
: <math>\{x_n\}</math> — зростаюча <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n < x_{n+1}</math>

Послідовність <math>\{x_n\}</math> елементів множини <math>X</math> називається '''''спадною''''', якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.
: <math>\{x_n\}</math> — спадною <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n > x_{n+1}</math>

Послідовність називається '''''монотонною''''', якщо вона є неспадною або незростаючою.

Послідовність називається '''''строго монотонною''''', якщо вона є зростаючою або спадною.

Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.

==Проміжки монотонності==
Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів <math>n\in\mathbb N</math>, а лише для номерів із деякого діапазону.
:<math>I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}</math>
Тут допускається звернення правої межі <math>N_{+}</math> у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є '''''проміжком монотонності''''' послідовності.

==Приклади==
*Послідовність [[натуральні числа|натуральних чисел]].
**<math>\forall n \in \N \colon x_n = n</math>.
**Початкові відрізки:<math>(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cdots)</math>.
**Зростаюча послідовність.
**Складається з натуральних чисел.
**Обмежена знизу, зверху не обмежена.
*[[Послідовність Фібоначчі]]
** <math>x_n = \begin{cases}
    1, & n = 1 \lor n = 2 \\
    x_{n - 1} + x_{n - 2}, & n \geqslant 3
\end{cases}
</math>
**Початкові відрізки: <math>(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots)</math>.
**Не спадна послідовність.
**Складається з натуральних чисел.
**Обмежена знизу, зверху не обмежена.
*[[Геометрична прогресія]] з основою <math>1/2</math>.
**<math>\forall n \in \N \colon x_n = \frac{1}{2^{n-1}}</math>.
**Початкові відрізки: <math>(1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \cdots)</math>.
**Зростаюча послідовність.
**Складається з [[раціональні числа|раціональних чисел]].
**Обмежена з обох сторін.

*Послідовність, що сходиться до числа [[e (число)|e]].
**<math>\forall n \in \N \colon x_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>.
** Початкові відрізки:<math>(2, 9/4, 64/27, 625/256, \cdots)</math>.
**Зростаюча послідовність.
**Складається з [[раціональні числа|раціональних чисел]], але сходиться до [[трансцендентне число|трансцендентного числа]].
**Обмежена з обох сторін.
*Послідовність раціональних чисел виду <math> x_n=\,\!(n-5)^2 </math> не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку <math>\{1,\,\!2, 3, 4\}</math> і (строго) зростає на проміжку <math>\{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\}</math>.

==Властивості==
*Обмеженість.
**Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу.
**Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху.
**Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку.
*Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей)
**Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею.
**Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.

==Джерела==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}
*{{книга
 |автор          = Заблоцький М., Сторож О., Тарасюк С,
 |частина        = Монотонні послідовністі
 |заголовок      = Математичний аналіз
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Львів
 |видавництво    = «Знання»
 |рік            = 2008
 |том            = 
 |сторінки       = 47
 |сторінок       = 421
 |isbn           = 978-966-346-323-0
 |ref            =
}}

<references/>
{{math-stub}}

[[Категорія:Числові послідовності]]