Перегляд вихідного коду сторінки Момент інерції

{{Фізична величина
| назва = Момент інерції
| зображення = Маховик.jpg
| підпис = [[Махове колесо]] має великий момент інерції для згладжування змін швидкості обертального руху
| символи = <math>I,\, J</math>
| SI = [[Кілограм|кг]]·[[Метр|м]]<sup>2</sup>
| СГС = [[Грам|г]]·[[Сантиметр|см]]<sup>2</sup>
| СГСЕ = 
| СГСМ = 
| інші = 
| базовівеличини = 
| розмірність = [[Маса|M]]·[[Довжина|L]]<sup>2</sup>
| величина = 
| іншівеличини = 
| примітки = 
| nocat = 
}} 
{{Класична механіка}}
[[File:25. Ротационен стол.ogv|thumb|right|280px|]]
'''Моме́нт іне́рції''' (одиниця вимірювання в [[Міжнародна система одиниць (SI)|системі SI]] [кг м²])&nbsp;— [[скаляр]]на [[фізична величина]], яка характеризує розподіл мас у тілі та є мірою [[Інертність (фізика)|інертності]] для [[Обертання|обертального руху]] аналогічно до [[маса|маси]] для [[поступальний рух|поступального руху]]<ref>[https://leksika.com.ua/15980102/ure/moment_inertsiyi Момент інерції] // {{УРЕ}}</ref>. Позначається латинською літерою ''I''.

В загальному випадку значення моменту інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу [[маса|маси]] в [[об'єм]]і: чим більше маси сконцентровано далі від [[Центр інерції|центра мас]] тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.

Момент інерції існує незалежно від того, обертається тіло чи ні, так само як і маса існує незалежно від того, рухається тіло чи ні.

== Визначення ==
Якщо розглядати [[тверде тіло]] як систему з нескінченної кількості [[матеріальна точка|матеріальних точок]], кожна з масою <math>m_i</math>, то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

: <math>I = \sum_i m_i r_i^2</math>,

де <math>r_i</math> — відстань точки до осі.

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

: <math>I = \int \rho r^2\,dV \,\!</math>

де ρ — [[густина]].

Середній квадрат відстані (не плутати з квадратом середньої відстані) точок тіла до осі називають ''квадратом плеча'', або ''радіусом інерції'' тіла{{sfn | Мултановский | 1988 | с=147}}.

== Властивості ==
* Момент інерції завжди додатній
* Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частин (цю ж властивість можна використовувати для обчислення моменту інерції тіла з вирізом).
* Сума моментів інерції відносно двох перпендикулярних осей завжди більша за момент інерції відносно третьої перпендикулярної їм осі{{sfn | Мултановский | 1988 | с=147}}.
* Сума моментів інерції відносно трьох перпендикулярних осей не змінюється при повороті осей навколо точки їх перетину. Ця величина (поділена на 2) називається ''полярним моментом інерції'' відносно точки{{sfn | Мултановский | 1988 | с=148}}.
*  Згідно з [[Теорема Гюйгенса — Штейнера|теоремою Гюйгенса — Штейнера]], момент інерції тіла <math>I</math> відносно довільної осі дорівнює сумі ''моменту інерції'' цього тіла <math>I_0</math> відносно осі, що проходить через [[Центр інерції|центр маси]] тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку [[Маса|маси]] тіла ''m'' на квадрат відстані a між осями: <math>I=I_0+ma^2\,\!</math>.

== Тензор інерції ==

Запишемо формулу для кінетичної енергії тіла, що обертається навколо осі, що проходить через центр мас (тут і далі ми будемо опускати індекси, що нумерують точки){{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=126}}:

: <math> T = \sum \frac{m v^2}{2} = \sum \frac{m}{2} (\mathbf{\Omega \times r})^2 </math>

Розклавши [[Векторний_добуток#Алгебричні_властивості_векторного_добутку|квадрат векторного добутку]], отримаємо

: <math> T = \frac{1}{2}\sum m (\Omega^2 r^2 - (\mathbf{\Omega r})^2)</math>

Перепишемо вираз у тензорному вигляді, через компоненти <math> \Omega_i, r_i</math> векторів <math> \mathbf{\Omega r}</math>:

: <math> T = \frac{1}{2}\sum m (\Omega_i^2 r^2 - \Omega_i r_i \Omega_k r_k)</math>

Використовуючи тотожність <math> \Omega_i = \delta_{ik}\Omega_k </math>, де <math>\delta_{ik}</math>&nbsp;— [[Символ Кронекера|одиничний тензор]], перепишемо останнє рівняння як:

: <math> T = \frac{1}{2}\sum m (\Omega_i \Omega_k \delta_{ik} r^2 - \Omega_i r_i \Omega_k r_k) = \frac{1}{2}\Omega_i \Omega_k\sum m (\delta_{ik} r^2 - r_i r_k)</math>

Ми можемо винести компоненти кутової швидкості за символ суми, оскільки вони є однаковими для всіх точок.

Величина <math> I_{ik} = \sum m (\delta_{ik} r^2 - r_i r_k)</math> називається тензором інерції тіла (для випадку неперервного розподілу маси сума заміняється аналогічним інтегралом).

Запишемо його компоненти у явному вигляді{{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=127}}:

: <math>I_{ik} = \begin{pmatrix} \sum m (y^2 + z^2) & -\sum mxy & -\sum mxz \\ -\sum myx & \sum m (x^2 + z^2) & -\sum myz \\ -\sum mzx & -\sum mzy & \sum m (x^2 + y^2) \end{pmatrix}</math>

Діагональні компоненти тензора називають ''осьовими моментами інерції'' (відносно відповідних осей), а діагональні&nbsp;— ''відцентрові моменти інерції''. В той час як осьові моменти завжди додатні, відцентрові можуть бути і від'ємні.

Тензор інерції симетричний
: <math> I_{\alpha\beta} = I_{\beta\alpha} </math>.

Як і для будь-якого іншого симетричного тензору другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму
(''головної системи координат''). Осі головної системи координат називають ''головними осями інерції''. Діагональні елементи тензору тоді називають ''головними моментами інерції''.

Вираз для кінетичної енергії тоді спрощується до
: <math>T=\frac{1}{2}(I_1\Omega_1^2+I_2\Omega_2^2+I_3\Omega_3^2)</math>

Тіло, всі три головних моменти якого є різними називають ''асиметричним ротатором'', той, у якого збігаються два моменти з трьох&nbsp;— ''симетричним ротатором'', а такий, у якого всі три головних моменти рівні&nbsp;— ''сферичним ротатором''{{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=128}}.

Головні осі інерції тіла, що має деяку симетрію, також зберігають її&nbsp;— наприклад, якщо тіло має вісь симетрії, то одна з головних осей інерції напрямлена вздовж осі симетрії.

== Рівняння динаміки твердого тіла ==
=== Момент кількості руху ===

[[Момент імпульсу]] тіла при обертанні залежить від [[кутова швидкість|вектора кутової швидкості]] й тензора інерції
: <math> L_\alpha = \sum_\beta I_{\beta\alpha} \Omega_{\alpha}</math>

У головній системі координат
: <math> \begin{matrix} L_x = I_x\Omega_x; &  L_y = I_y\Omega_y; & L_z = I_z\Omega_z \end{matrix}</math>.

Якщо вісь обертання тіла не збігається з жодною з головних осей, напрям моменту імпульсу може не збігатися з напрямом вектора кутової швидкості{{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=135}}.

=== Кінетична енергія ===

[[Кінетична енергія]] обертання тіла задається формулою
: <math> T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta} I_{\alpha\beta}\Omega_\alpha\Omega_\beta. </math>

У головній системі координат
: <math> T = \frac{1}{2} (I_x \Omega_x^2 + I_y \Omega_y^2 + I_z \Omega_z^2)</math>

=== Основне рівняння динаміки обертального руху ===

За аналогією з [[закони Ньютона|другим законом Ньютона]] для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім [[сила|силам]], які діють на тіло, відповідають [[момент сили|моменти сил]], [[маса|масі]]&nbsp;— момент інерції, а [[прискорення|прискоренню]]&nbsp;— [[кутове прискорення]].

При одновісному обертанні

: <math> \sum_i \mathbf{M_i} = I \frac{ d \vec{\Omega} }{dt}=I \vec{\epsilon} </math>

Тут '''M<sub>i</sub>'''&nbsp;— моменти зовнішніх сил, <math>\mathbf{\Omega}</math>&nbsp;— кутова швидкість, <math>\mathbf{\epsilon}</math>&nbsp;— кутове прискорення.
=== Функція Лагранжа ===
Для твердого тіла функція Лагранжа дорівнює 

: <math> T = \frac{mV^2}{2} + \frac{1}{2} I_{\alpha\beta}\Omega_\alpha\Omega_\beta-U </math>

== Див. також ==
* [[Список моментів інерції]]
* [[Моменти інерції плоских перерізів]]
* [[Теорема про зміну моменту імпульсу системи]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Джерела ==
* {{книга
|автор       = Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В.
|заголовок   = Класична механіка
|рік         = 2008
|видавництво = ВПЦ "Київський університет"
|місто       = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 480
}}
* {{книга
|автор       = [[Федорченко Адольф Михайлович|Федорченко А. М.]]
|заголовок   = Теоретична механіка
|рік         = 1975
|видавництво = Вища школа
|місто       = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 516
}}
* {{книга
|автор       = В. В. Мултановский
|частина     = Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика
|заголовок   = Курс теоретической физики
|посилання   = http://alexandr4784.narod.ru/mult1/mult1_01_16.pdf
|рік         = 1988
|том         = 1
|видавництво = Просвещение
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 304
|ref         = Мултановский
}}

* {{книга
|автор        = [[Ландау Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Ліфшиць Євген Михайлович|Лифшиц Е. М.]]
|заголовок    = Теоретическая физика
|частина      = Механика
|том          = 1
|рік          = 1965
|видавництво  = Наука
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 204
|ref          = Ландау,Лифшиц
}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Класична механіка]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]