Перегляд вихідного коду сторінки Модуль (математика)

{{Otheruses|Модуль}}
[[Файл:Absolute value.svg|thumb|280px|Графік модуля функції для дійсних чисел.]]
[[Файл:AbsoluteValueDiagram.svg|thumb|Абсолютне значення числа може розглядатися як його відстань від нуля.]]

У [[математика|математиці]] ''абсолютне значення'' або ''модуль'' [[Дійсне число|дійсного числа]] <math>x</math> — це [[Знак (математика)|невід'ємне]] значення <math>x</math> без врахування його [[Знак (математика)|знаку]]. Позначається <math>|x|</math>.

А&nbsp;саме, <math>|x|=x</math>, якщо <math>x</math> додатне, та <math>|x|=-x</math>, якщо <math>x</math> від'ємне значення (у&nbsp;цьому випадку&nbsp;<math>-x</math> додатне), а також <math>|0|=0</math>. Наприклад, абсолютне значення числа&nbsp;3 дорівнює&nbsp;3, а абсолютне значення числа&nbsp;<math>-3</math> також дорівнює&nbsp;<math>3</math>. Абсолютне значення числа також можна розглядати як відстань від нуля.

Узагальнення абсолютного значення для дійсних чисел зустрічається у різноманітних галузях математики.
Наприклад, абсолютне значення визначається для [[Комплексне число|комплексних чисел]], [[Кватерніони|кватерніонів]], [[Впорядковане кільце|упорядкованих кілець]], [[Поле (алгебра)|полів]] і [[Векторний простір|векторних просторів]]. Модуль тісно пов'язаний з поняттям [[Величина|величини]], [[Відстань|відстані]] і [[Норма (математика)|норми]] в різних математичних і фізичних контекстах.

== Термінологія та позначення ==
У 1806 році [[Жан-Роберт Арган]] увів термін ''модуль'', що позначає французьку одиницю виміру, зокрема, для комплексного абсолютного значення,<ref name=oed>[[Oxford English Dictionary]], Draft Revision, June 2008</ref><ref>Nahin, [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070809014544/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html|date=9 серпня 2007}}, and [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200510195538/http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/|date=10 травня 2020}}; for the French sense, see [[Dictionnaire de la langue française (Littré)|Littré]], 1877</ref> і в 1886 році цей термін був запозичений у англійську мову як латинський еквівалент модуля<ref  name=oed>[[Oxford English Dictionary]], Draft Revision, June 2008</ref>. У цьому сенсі термін ''абсолютне значення'' використовувався з 1806 року французькою мовою<ref>[[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Lazare Nicolas M. Carnot]], ''Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace'', p.&nbsp;105 [https://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105 at Google Books] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200507171523/https://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105|date=7 травня 2020}}</ref> і з 1857 року англійською мовою.<ref>James Mill Peirce, ''A Text-book of Analytic Geometry'' [https://archive.org/details/atextbookanalyt00peirgoog/page/n60 <!-- pg=42 --> at Internet Archive].  The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term ''absolute value'' is also used in contrast to ''relative value''.</ref> Позначення <math>|x|</math> (з використанням [[Вертикальна риска|вертикальних рисок]]) було введено [[Карл Вейєрштрасс|Карлом Вейєрштрассом]] у 1841 році.<ref>Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM. {{ISBN|0-89871-420-6}}, p.&nbsp;25</ref> Інші назви для абсолютного значення включають ''числове значення''<ref name=oed /> і ''величину''<ref name=oed />. У [[Мова програмування|мовах програмування]] та обчислювальних програмних пакетах абсолютне значення <math>x</math> зазвичай позначається <math>{\rm abs}(x)</math>, або за допомогою інших подібних виразів.

Позначення вертикальних рисок також використовується в ряді інших математичних контекстів: наприклад, при застосуванні до множини, воно означає його [[Потужність множини|потужність]]; стосовно [[Матриця (математика)|матриці]], воно позначає її [[Детермінант|визначник]]. Вертикальні риски позначають абсолютне значення лише для алгебраїчних об'єктів, для яких визначено поняття абсолютного значення, особливо для елемента [[Теорема Гурвіца про композитні алгебри|нормованої алгебри з діленням]], наприклад, для дійсного числа, комплексного числа або кватерніона. Тісно пов'язаним, але іншим поняттям, є використання вертикальних рисок для [[Норма (математика)|евклідової норми]]<ref>{{Cite book|title=Calculus on Manifolds|last=Spivak|first=Michael|publisher=Westview|year=1965|isbn=0805390219|location=Boulder, CO|pages=1|quote=|via=}}</ref> або для  [[Простір неперервних функцій|простору неперервних функцій]]<ref>{{Cite book|title=Analysis on Manifolds|last=Munkres|first=James|publisher=Westview|year=1991|isbn=0201510359|location=Boulder, CO|pages=4|quote=|via=}}</ref> вектора в <math>\mathbb{R}^{n}</math>, хоча подвійні вертикальні риски з нижнім індексом знизу (<math>\|\cdot\|_{2}</math> або <math>\|\cdot\|_{\infty}</math>) є більш поширеною і менш неоднозначною формою запису.

== Визначення та властивості ==
=== Числа ===
Для будь-якого [[Дійсне число|дійсного числа]] <math>x</math>
''абсолютне значення'' або ''модуль'' позначається <math>|x|</math> і визначається як<ref>Mendelson, [https://books.google.com/books?id=A8hAm38zsCMC&pg=PA2 p.&nbsp;2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200508034516/https://books.google.com/books?id=A8hAm38zsCMC&pg=PA2 |date=8 травня 2020 }}.</ref>

<math>
\begin{align}
  |x|=
\begin{cases}
 x, &\text{при } x\geq0, \\
  {-}x, & \text{при } x<0.
\end{cases}
\end{align}
</math>

Таким чином, абсолютне значення числа <math>x</math> або [[Знак (математика)|додатнє]] або [[Нуль (число)|нуль]], але ніколи не є [[Від'ємне число|від'ємним]]. Якщо число <math>x</math> від'ємне <math>(x<0)</math>, то його модуль завжди додатний <math>(|x|=-x>0)</math>.

В [[Аналітична геометрія|аналітичній геометрії]], ''абсолютне значення дійсного числа''&nbsp;— це [[Відстань|відстань]] від цього числа до нуля уздовж [[Дійсні числа|дійсної прямої]], а в більш загальному сенсі, ''абсолютне значення'' різниці двох дійсних чисел&nbsp;— це відстань між ними. Дійсно, поняття абстрактної [[Метрика|функції відстані]] в математиці можна розглядати як узагальнення абсолютного значення різниці (див. [[#Відстань|"Відстань"]] нижче).

Оскільки [[Знак кореня|символ квадратного кореня]] представляє собою єдиний невід'ємний квадратний корінь (від числа більшого за 0 або 0), то це означає, що
:<math>
\begin{align}
  |x|=\sqrt{x^{2}}
\end{align}
</math>
еквівалентно наведеному вище означенню, і може використовуватися як альтернативне означення ''абсолютного значення'' для дійсних чисел.<ref>{{Cite book| author=Stewart, James B. | coauthors= | title=Calculus: concepts and contexts | year=2001 | publisher=Brooks/Cole | location=Australia  | isbn=0-534-37718-1 | pages=}}, p.&nbsp;A5</ref>

Абсолютне значення має чотири наступні фундаментальні властивості (<math>a</math> і <math>b</math> — дійсні числа), які використовуються для узагальнення даного поняття для інших областях:

:{|
|-
| style="width: 250px" |<math>|a| \ge 0 </math>
| невід'ємність
|-
|<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math>
|додатна визначеність
|-
|<math>|ab| = |a|\,|b|</math>
|[[Мультиплікативна функція|мультиплікативність]]
|-
|<math>|a+b|  \le |a| + |b|  </math>
| {{не перекладено|Напівадитивність|напівадитивність|en|Subadditivity}}, зокрема [[Нерівність трикутника|нерівність трикутника]]
|}

Невід'ємність, додатна визначеність та мультиплікативність очевидні з означення.  Щоб побачити, що має місце напівадитивність, спочатку зауважимо, що одна з двох альтернатив вибору для  <math>s</math> як <math>-1</math> або <math>+1</math> гарантує, що <math>s\cdot(a+b)=|a+b|\geq 0.</math> Тепер, оскільки <math>-1\cdot x\leq|x|</math> та <math>+1\cdot x\leq|x|</math>, то,  залежно від значення <math>s</math>, для всіх дійсних <math>x</math> виконується умова <math>s\cdot x\leq|x|</math>. Отже, <math>|a+b|=s\cdot(a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|</math>, що й потрібно було показати. (Для узагальнення цих аргументів на випадок комплексних чисел див. [[Модуль (математика)#Доведення нерівності трикутника для комплексних чисел|"Доведення нерівності трикутника для комплексних чисел"]].)

Нижче наведено деякі властивості модуля, які є наслідками, що випливають із означення або з вищезазначених чотирьох властивостей:

:{|
|-
| style="width:250px" |<math>\big|\,|a|\,\big| = |a|</math> 
|[[Ідемпотентність|ідемпотентність]] (абсолютне значення абсолютного значення є абсолютним значенням)
|-
| style="width:250px" |<math>|-a| = |a|</math>
|[[Парні та непарні функції|парність]] ({{не перекладено|Симетричність графіка|симетричність графіка|en|Reflection symmetry}})
|-
|<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math>
|{{не перекладено|Тотожність нерозрізних|тотожність нерозрізних|en|Identity of indiscernibles}} (еквівалент додатно визначеності)
|-
|<math>|a - b|  \le |a - c| + |c - b|  </math>
|[[Нерівність трикутника|нерівність трикутника]] (еквівалентна напівадитивності)
|-
|<math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\ </math> (якщо <math>b \ne 0</math>)
|збереження ділення (еквівалентно мультиплікативності)
|-
|<math>|a-b| \geq \big|\,|a| - |b|\,\big| </math>
|[[Нерівність трикутника|обернена нерівність трикутника]] (еквівалентна напівадитивності)
|}

Дві інші корисні властивості щодо нерівностей:

<math>
\begin{align}
|a|\leq b \ \iff \ -b\leq a\leq b,\\
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
|a|\geq b\ \iff \ a\leq -b \ \text{або} \ a\geq b.
\end{align}
</math>

Дані властивості можуть використовуватися для розв'язування нерівностей, пов'язаних із абсолютним значенням <math>x</math>. Наприклад:

<math>
\begin{align}
  |x-3|\leq 9 & \iff -9\leq {x-3} \leq 9 \\ 
& \iff -6\leq x \leq 12.
\end{align}
</math>

Абсолютне значення, як "відстань від нуля", використовується для визначення {{не перекладено|Абсолютна різниця|абсолютної різниці|en|Absolute difference}} між довільними дійсними числами, є стандартною метрикою на множині дійсних чисел.

=== Комплексні числа ===
Оскільки множина [[Комплексні числа|комплексних чисел]] не є [[Лінійно впорядкована множина|впорядкованою]], означення, наведене вище для дійсного абсолютного значення, не можна безпосередньо використовувати у випадку комплексних чисел.  Однак геометричне тлумачення абсолютного значення дійсного числа як його відстані від 0 можна узагальнити.  Абсолютне значення комплексного числа визначається евклідовою відстанню від його відповідної точки в [[Комплексна площина|комплексній площині]] до [[Початок координат|початку координат]]. Цю відстань можна обчислити, використовуючи [[Теорема Піфагора|теорему Піфагора]]: для будь-якого комплексного числа

:<math>
\begin{align}
  z=x+iy,
\end{align}
</math>

де <math>x</math> і <math>y</math> — дійсні числа, ''абсолютне значення'' або ''модуль'' числа <math>z</math> позначається <math>|z|</math>  і визначається як<ref>{{cite book|author=González, Mario O.|title=Classical Complex Analysis|publisher=CRC Press|year=1992|isbn=9780824784157|page=19|url=https://books.google.com/books?id=ncxL7EFr7GsC&pg=PA19|accessdate=24 травня 2020|archive-date=11 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200511204912/https://books.google.com/books?id=ncxL7EFr7GsC&pg=PA19}}</ref>

<math>
\begin{align}
|z|=\sqrt{[{\rm Re}(z)]^{2}+[{\rm Im}(z)]^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\end{align}
</math>

де <math>{\rm Re}(z)=x</math> і <math>{\rm Im}(z)=y</math> позначають дійсну та уявну частини числа&nbsp;<math>z</math> відповідно. Якщо уявна частина <math>y</math> дорівнює нулю, то це означення збігається з означенням абсолютного значення дійсного числа&nbsp;<math>x</math>.

Якщо комплексне число <math>z</math> задано у [[Комплексне число|полярних координатах]]:

<math>
\begin{align}
  z=r{\rm e}^{i\theta},
\end{align}
</math>

де <math>r=\sqrt{[{\rm Re}(z)]^{2}+[{\rm Im}(z)]^{2}} \geq 0 </math> і <math>\theta={\rm arg}(z)</math> — {{не перекладено|Аргумент комплексного числа|аргумент|en|Argument (complex analysis)}} (або фаза) числа&nbsp;<math>z</math>, то його абсолютне значення дорівнює

<math>
\begin{align}
  |z|=r.
\end{align}
</math>

Оскільки добуток будь-якого комплексного числа <math>z</math> та його [[Спряжені числа|комплексно-спряженого]] <math>\bar{z}=x-iy</math> (з тим же абсолютним значенням) — це завжди невід'ємне дійсне число <math>x^{2}+y^{2}</math>, то абсолютне значення комплексного числа можна зручно виразити як

<math>
\begin{align}
  |z|=\sqrt{z\cdot\bar{z}},
\end{align}
</math>

що нагадує альтернативне означення для дійсних чисел: 

<math>|x|=\sqrt{x\cdot x}</math>.
[[Файл:Complex_conjugate_picture.png|thumb|200px|Абсолютним значенням комплексного числа <math>z</math> є відстань <math>r</math> від числа <math>z</math> до початку координат.
З рисунку також видно, що числа <math>z</math> та <math>\bar {z}</math> мають рівні абсолютні значення.]]
Для комплексного абсолютного значення також виконуються чотири основні властивості, що наведені вище для дійсного абсолютного значення.

Мовою [[Теорія груп|теорії груп]] властивість мультиплікативності можна перефразувати наступним чином: абсолютне значення — це [[Гомоморфізм груп|груповий гомоморфізм]] з {{не перекладено|Група мультиплікативності|мультиплікативної групи|en|Multiplicative group}} комплексних чисел в [[Група (математика)|групу]] з множенням [[Додатне число|додатних дійсних чисел]].<ref>{{citation|last=Lorenz|first=Falko|title=Algebra. Vol. II. Fields with structure, algebras and advanced topics|year=2008|series=Universitext|page=39|location=New York|publisher=Springer|doi=10.1007/978-0-387-72488-1|isbn=978-0-387-72487-4|mr=2371763}}.</ref>

Важливо, що властивість {{не перекладено|Напівадитивність|напівадитивності|en|Subadditivity}} ("[[Нерівність трикутника|нерівність трикутника]]") узагальнюється на будь-який скінченний набір з <math>n</math> комплексних чисел <math>(z_{k})_{k=1}^{n}</math> наступним чином:

<math>
\begin{align}
  \left|\sum_{k=1}^{n}\right|\leq \sum_{k=1}^{n}|z_{k}|. \quad\quad (*)
\end{align}
</math>

Ця нерівність застосовується  також у випадку нескінченних [[Індексовані набори|індексованих наборів]] за умови, що [[Ряд (математика)|нескінченний ряд]] <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty}z_{k}</math> є [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжним]]. Якщо [[Інтеграл Лебега|інтеграл Лебега]] розглядати як неперервний аналог підсумовування, то дана нерівність аналогічно виконується для [[Комплекснозначна функція|комплекснозначних]], вимірних функцій <math>f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}</math> при інтегруванні над [[Вимірна функція|вимірною підмножиною]]&nbsp;<math>E</math>:

<math>
\begin{align}
\left|\int_{E}f\operatorname{d}x\right|\leq \int_{E}|f|\operatorname{d}x. \quad\quad(**)
\end{align}
</math>

(Це включає функції, [[Інтеграл Рімана|інтегровані за Ріманом]], на відрізку <math>[a;b]</math>, як частковий випадок.)

=== Доведення комплексної нерівності трикутника ===
Нерівність трикутника, що визначена співвідношенням <math>(*)</math>, можна довести, використавши три прості властивості комплексних чисел. А саме, для кожного комплексного числа <math>z\in \mathbb{C}</math>:

:(i): існує <math> c \in \mathbb{C}</math> таке, що <math>|c|=1</math> і<math>|z|= c\cdot z</math>;
:(ii): <math>\mathrm{Re}(z)\leq |z|</math>.
Також для індексованого набору комплексних чисел <math>(w_{k})_{k=1}^{n}</math>: 

<math>
 \sum_{k}w_{k}=\sum_{k}\operatorname{Re}(w_{k})+  i\sum_{k}\operatorname{Im}(w_{k}).
</math>.

Зокрема,

:(iii):  якщо <math>\sum_{k}w_{k}\in \mathbb{R}</math>, то <math>\sum_{k}w_{k}=\sum_{k}\operatorname{Re}(w_{k})</math>.

Доведення <math>(*)</math>: Виберемо <math>c\in \mathbb{C}</math> таке, що <math>|c|=1</math> та <math>\sum_{k}z_{k}=c\big(\sum_{k}z_{k}\big)</math> (підсумовування по <math>k=1,\dots , n</math>). Тоді наступні обчислення приводять до бажаної нерівності:
<math>
\begin{align}
  \left|\sum_{k}z_{k}\right| &
  \overset{(i)}{=} c\left(\sum_{k}z_{k}\right)=\sum_{k}cz_{k} \overset{(iii)}{=} \sum_{k}\operatorname{Re}(cz_{k})\overset{(ii)}{\leq} \sum_{k}|cz_{k}| =\\
 & =\sum_{k}|c||z_{k}|=\sum_{k}|z_{k}|.
\end{align}
</math>.

З даного доведення випливає, що рівність <math>(*)</math> виконується тотожно в тому випадку, якщо всі <math>cz_{k}</math> — це невід'ємні дійсні числа, що, в свою чергу, виконується тотожно, якщо всі ненульові <math>z_{k}</math> мають один і той самий {{не перекладено|Аргумент комплексного числа|аргумент|en|Argument (complex analysis)}}, тобто <math>z_{k}=a_{k}\zeta</math> для комплексної константи <math>\zeta</math> і дійсних констант <math>a_{k}\geq0</math>, <math>1\leq k\leq n</math>.

Оскільки функція <math>f</math> є вимірною, то <math>|f|</math> є також вимірною функцією, то доведення нерівності <math>(**)</math> проводиться аналогічно, лише замінюючи  <math>\sum_{k}(\cdot)</math> на <math>\int_{E}(\cdot)\operatorname{d}x</math> та <math>z_{k}</math> на <math>f(x)</math>.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|location=New York|pages=325}}</ref>

== Функція абсолютного значення ==
Функція дійсного абсолютного значення є [[Неперервна функція|неперервною]] у всіх точках. Вона [[Диференційовна функція|диференційована]] у всіх точках, за винятком <math>x=0</math>. Вона  є [[Монотонна функція|монотонно спадною]] на інтервалі <math>(-\infty,0]</math> і монотонно зростаючою на інтервалі <math>[0,+\infty)</math>. Оскільки дійсне число і його [[Протилежне число|протилежне]] мають однакові абсолютні значення, то вона є [[Парна функція|парною функцією]], а отже, не має [[Обернена функція|оберненої]].  Функція дійсного абсолютного значення є [[Кусково-лінійна функція|кусково-лінійною]] та [[Опукла функція|опуклою]].

Дійсна та комплексна функції абсолютного значення є [[Ідемпотентність|ідемпотентними]].
[[Файл:Absolute value composition.svg|256px|thumb|Графіки композиції функції абсолютного значення та кубічної функції у різному порядку.]]

=== Зв'язок із функцією sign ===
Функція модуля дійсного числа вказує на його значення незалежно від його знаку, тоді як функція [[Signum-функція|sign]] визначає знак числа незалежно від його значення. Наступні співвідношення показують зв'язок між цими двома функціями:
<math>
\begin{align}
  |x|=x\operatorname{sgn}(x) \quad
  \text{або} \quad |x|\operatorname{sgn}(x)=x,
\end{align}
</math>

а також при <math>x\neq 0</math>,

<math>
\operatorname{sgn} (x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{|x|}.
</math>

=== Похідна ===
Функція абсолютного значення має похідну для кожного <math>x\neq0</math>, але не є [[Диференційовна функція|диференційованою]] при <math>x=0</math>. [[Похідна|Похідна функції]] для <math>x\neq0</math> задається {{не перекладено|Кусково-стала функція|кусково-сталою функцією|en|Step function}}:<ref name="MathWorld">{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html |title=Weisstein, Eric W. ''Absolute Value.'' From MathWorld – A Wolfram Web Resource. |accessdate=24 травня 2020 |archive-date=13 травня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200513134242/https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html }}</ref><ref name="BS163">Bartel and Sherbert, p.&nbsp;163</ref>

<math>
\begin{align}
  \frac{{\rm d}(x)}{{\rm d}x}=\frac{x}{|x|}=
  \begin{cases}
   1, &\text{при } x>0, \\
  -1, & \text{при } x<0.
  \end{cases}
\end{align}
</math>

[[Субдиференціал]] функції <math>|x|</math> у точці <math>x=0</math>&nbsp;— це [[Проміжок (математика)|числовий проміжок]] <math>[-1;1]</math>.<ref>Peter Wriggers, Panagiotis Panatiotopoulos, eds., ''New Developments in Contact Problems'', 1999, {{ISBN|3-211-83154-1}}, [https://books.google.com/books?id=tiBtC4GmuKcC&pg=PA31 p.&nbsp;31–32] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200511001857/https://books.google.com/books?id=tiBtC4GmuKcC&pg=PA31 |date=11 травня 2020 }}</ref>

[[Комплексна функція|Комплексна]] функція абсолютного значення є неперервною у всіх точках, але вона ніде не є [[Голоморфна функція|комплексно-диференційованою]], оскільки не виконуються [[Умови Коші — Рімана|умови Коші—Рімана]].<ref name="MathWorld"/>

Друга похідна функції <math>|x|</math> відносно <math>x</math> дорівнює нулю у всіх точка, крім нуля, де вона не існує. [[Друга похідна|Другу похідну]] як {{не перекладено|Узалальнена функція|узагальнену функцію|en|Generalized function}} можна розглядати як двократну [[Дельта-функція Дірака|дельта-функцію Дірака]].
=== Первісна ===
[[Первісна|Первісною]] (невизначеним інтегралом) функції дійсного абсолютного значення є

<math>
\begin{align}
  \int  |x|{\rm d}x =\frac{x|x|}{2}+C,
\end{align}
</math>

де <math>C</math> — довільна [[Стала інтегрування|константа інтегрування]]. Це не є {{не перекладено|Комплексна первісна|комплексною первісною|en|Antiderivative (complex analysis)}}, оскільки такі первісні можуть існувати тільки для комплексно-диференційованих ([[Голоморфна функція|голоморфних]]) функцій, а комплексна функції абсолютного значення не є такою.

== Відстань ==
Див. також [[Метричний простір]]

Абсолютне значення тісно пов'язане з поняттям відстані.  Як зазначалося вище, ''модуль'' дійсного або комплексного числа&nbsp;— це [[Відстань|відстань]] від даного числа до  початку координат вздовж прямої дійсних чисел (для дійсних чисел), або в комплексній площині (для комплексних чисел) і, у загальному випадку, абсолютне значення  різниці двох дійсних чи комплексних чисел — це відстань між ними.

Звичайна [[Евклідова відстань|евклідова відстань]] між двома точками <math>A=(a_{1};a_{2};\dots;a_{n})</math> та <math>B=(b_{1};b_{2};\dots;b_{n})</math> у [[Евклідовий простір|евклідовому <math>n</math>-вимірному просторі]] визначається як

<math>
\begin{align}
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}.
\end{align}
</math>

Це можна розглядати як узагальнення, оскільки <math>a_{1}</math> та <math>b_{1}</math> є дійсними числами, тобто в одновимірному просторі, відповідно до альтернативного означення модуля,
<math>
\begin{align}
  |a_{1}-b_{1}|=\sqrt{(a_{1}-b_{1})^{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}},
\end{align}
</math>

а для комплексних чисел <math>a=a_{1}+ia_{2}</math> та <math>b=b_{1}+ib_{2}</math>, тобто у двовимірному просторі, модуль визначається наступним чином:

<math>
\begin{align}
  |a-b|& =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|\\
  & =\sqrt{(a_{1}-b_{1})^{2}+i(a_{2}-b_{2})^{2}} =\sqrt{\sum_{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}.
\end{align}
</math>

Усе вищесказане свідчить про те, що "абсолютна значення"&nbsp;— відстань для дійсних та комплексних чисел - узгоджується з стандартною евклідовою відстанню, яку вони наслідують у результаті їх розгляду  як одно- та двовимірні евклідові простори, відповідно.

Такі властивості абсолютного значення різниці двох дійсних або комплексних чисел як невід'ємність, [[тотожність]] нерозрізних, симетричність і нерівність трикутника, які були наведені вище, можуть слугувати підставою для більш загального поняття [[Метрика|функції відстані]] наступним чином:

Дійснозначна функція <math>d</math> на множині <math>X\times X</math> називається [[Метрика|метрикою]] (або ''функцією відстані'') на множині <math>X</math>, якщо вона задовольняє наступні чотири аксіоми:<ref>Ці аксіоми не є мінімальними; наприклад, невід'ємність може бути отримана з інших трьох аксіом: <math>0=d(a,a)\leq d(a,b)+d(b,a)=2d(a,b)</math>.</ref>

:{|
|-
|style="width:250px" | <math>d(a, b) \ge 0 </math>
|невід'ємність
|-
|<math>d(a, b) = 0 \iff a = b </math>
|тотожність нерозрізних
|-
|<math>d(a, b) = d(b, a) </math>
|симетричність
|-
|<math>d(a, b)  \le d(a, c) + d(c, b)  </math>
|нерівність трикутника
|}

== Узагальнення ==
=== Упорядковані кільця ===
Наведене вище означення абсолютного значення для дійсних чисел можна узагальнити для будь-якого [[Упорядковане кільце|впорядкованого кільця]]. Тобто, якщо&nbsp;<math>a</math>&nbsp;— елемент упорядкованого кільця <math>R</math>, то абсолютне значення елемента <math>a</math> (позначається як&nbsp;<math>|a|</math>) визначається наступним чином:<ref>Mac Lane, [https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&pg=PA264 p.&nbsp;264] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200511080444/https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&pg=PA264 |date=11 травня 2020 }}.</ref>

<math>
\begin{align}
  |a|=
\begin{cases}
  a, &\text{при } a\geq0, \\
  -a, & \text{при } a<0.
\end{cases}
\end{align}
</math>

де ''<math>-a</math>'' — [[Протилежне число|протилежний елемент]] до елементу ''<math>a</math>'', <math>0</math> — адитивний [[Нейтральний елемент|протилежний елемент]], а знаки <math><</math> та <math>\geq</math> мають звичайне значення щодо впорядкування у кільці.

=== Поля ===
Основна стаття: [[Абсолютне значення (алгебра)]]

Чотири основні властивості абсолютного значення для дійсних чисел можуть бути використані для узагальнення поняття модуля на випадок довільного поля наступним чином:

Дійснозначна функція <math>v</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>{\mathbb F}</math> називається ''абсолютним значенням'' (також модулем, або величиною)<ref>Shechter, [https://books.google.com/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA260 p.&nbsp;260] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200508014652/https://books.google.com/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA260|date=8 травня 2020}}.</ref>, якщо вона задовольняє наступні чотири аксіоми:

:{| cellpadding=10
|-
|<math>v(a) \ge 0 </math>
|невід'ємність
|-
|<math>v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0} </math>
|додатна визначеність
|-
|<math>v(ab) = v(a) v(b) </math>
|мультиплікативність
|-
|<math>v(a+b)  \le v(a) + v(b)  </math>
|напівадитивність або нерівність трикутника
|}

Де <math>\textbf{0}</math> позначає {{не перекладено|Нуль-елемент|нуль-елемент|en|Additive identity}} поля <math>{\mathbb F}</math>. З аксіом додатньо визначеності та мультиплікативності випливає, що функція <math>v({\bf 1})=1</math>, де <math>{\bf 1}</math> позначає [[Одиничний елемент|одиничний елемент]] поля <math>{\mathbb F}</math>. Вищезазначені дійсні та комплексні абсолютні значення є прикладами абсолютних значень для довільного поля.

Якщо функція <math>v</math> — абсолютне значення над полем <math>{\mathbb F}</math>, то функція <math>d</math> на <math>{\mathbb F}\times {\mathbb F}</math>, визначена як <math>d(a,b)=v(a-b)</math>, є метрикою та наступні умови еквівалентні:

* {{mvar|d}} задовольняє [[Ультраметричний простір|ультраметричну]] нерівність <math>d(x, y) \leq \max(d(x,z),d(y,z))</math> для усіх {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}} на&nbsp;{{mvar|F}}.
* <math> \big\{ v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) : n \in \mathbb{N} \big\} </math> [[Обмежена множина|обмежена]] на&nbsp;'''R'''.
* <math> v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) \le 1\ </math> для всіх <math>n \in \mathbb{N}.</math>
* <math> v(a) \le 1 \Rightarrow v(1+a) \le 1\ </math> для всіх <math>a \in F.</math>
* <math> v(a + b) \le \mathrm{max}\{v(a), v(b)\}\ </math> для всіх <math>a, b \in F.</math>

Абсолютне значення, яка задовольняє будь-яку (тут усі) з вищезазначених умов, називається ''неархімедовим'', в противному випадку воно вважається [[Аксіома Архімеда|архімедовим]].<ref>Shechter, [https://books.google.com/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA260 pp.&nbsp;260–261] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200508014652/https://books.google.com/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA260 |date=8 травня 2020 }}.</ref>

=== Векторні простори ===
Основна стаття: [[Норма (математика)]]

Знову ж таки, основні властивості абсолютного значення для дійсних чисел можна використати з незначною модифікацією для узагальнення поняття на випадок довільного векторного простору.

Дійснозначна функції на [[Векторний простір|векторному просторі]] <math>V</math> над полем <math>{\mathbb F}</math> (позначається як  <math>\| \cdot \|</math>) називається ''абсолютним значенням'', але як правило її називають [[Норма (математика)|нормою]], якщо вона задовольняє наступні аксіоми:

Для будь-яких <math>a\in {\mathbb F}</math> та <math>\textbf{v},\textbf{u} \in V</math>,

:{| cellpadding=10
|-
|<math>\|\mathbf{v}\|  \ge 0 </math>
|невід'ємність
|-
|<math>\|\mathbf{v}\| = 0 \iff \mathbf{v} = 0</math>
|додатна визначеність
|-
|<math>\|a \mathbf{v}\| = |a| \|\mathbf{v}\| </math>
|додатна однорідність або додатна
|-
|<math>\|\mathbf{v} + \mathbf{u}\| \le \|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{u}\| </math>
|напівадитивність або нерівність трикутника
|}

Норму вектора також називають його ''довжиною'' чи ''величиною''.

У випадку [[Евклідів простір|евклідового простору]] <math>{\mathbb R}^{n}</math> функція, визначена як

<math>
\begin{align}
  \|(x_{1}, x_{2},\dots, x_{n})\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}},
\end{align}
</math>

є нормою, яку називається [[Евклідова норма|евклідовою нормою]]. Якщо дійсні числа <math>{\mathbb R}</math> розглядати як одновимірний векторний простір <math>{\mathbb R}^{1}</math>, абсолютне значення є [[Норма (математика)|нормою]], а також  <math>p</math>-нормою (див. [[Простір Lp|простір <math>L^{p})</math>]] для будь-якого <math>p</math>.  Насправді, абсолютне значення є "єдиною" нормою на векторному просторі&nbsp;<math>{\mathbb R}^{1}</math>, у тому сенсі, що для будь-якої норми  <math>\|\cdot\|</math> на одновимірному векторному просторі <math>{\mathbb R}^{1}</math>, <math>\|x\|=\|1\||x|</math>.  Комплексне абсолютне значення — це особливий випадок норми у [[Передгільбертів простір|передгільбертовому просторі]].  Воно співпадає з евклідовою нормою, якщо [[Комплексна площина|комплексну площину]] ототожнювати з двовимірною [[Евклідова площина|евклідовою площиною]] <math>{\mathbb R}^{2}</math>.

=== Алгебра композицій ===
Головна стаття: [[Алгебра композицій]]

Будь-яка алгебра композицій <math>A</math> допускає [[Інволюція (математика)|інволюцію]] <math> x \to x^*</math>, яка називається ''спряженням''. Добуток в алгебрі <math>A</math> елемента <math>x</math> і його спряженого&nbsp;<math>x^{*}</math> записується як <math>N(x)=xx^{*}</math> і називається ''нормою'' елемента&nbsp;<math>x</math>.

Дійсні числа <math>\mathbb{R}</math>, комплексні числа <math>\mathbb{C}</math> та кватерніони <math>\mathbb{H}</math> — це композиційні алгебри з нормами, заданими {{не перекладено|Визначені квадратичні форми|визначеними квадратичними формами|en|Definite quadratic form}}. Абсолютне значення в цих [[Алгебра з діленням|алгебрах з діленням]] визначається [[Квадратний корінь|квадратним коренем]] норми алгебри композиції.

У загальному випадку алгебри композиції може мати [[Квадратична форма|квадратичну форму]], яка є невизначеною та має [[Ізотропний вектор|нуль-вектори]]. Однак, як і у випадку алгебр з діленням, якщо елемент <math>x</math> має ненульову норму, то <math>x</math> має [[Обернений елемент|оберненний елемент]], що задається співвідношенням <math>x^{*}/N(x)</math>.

== Примітки ==
{{Reflist|35em}}

== Література ==
* Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley and Sons, 2011 {{ISBN|978-0-471-43331-6}};
* Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; [[Princeton University Press]]; (тверда обкладинка, 1998) {{ISBN|0-691-02795-1}};
* Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999 {{ISBN|978-0-8218-1646-2}};
* Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008 {{ISBN|978-0-07-148754-2}};
* O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Argand/  "Jean Robert Argand"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200813164644/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Argand/ |date=13 серпня 2020 }};
* Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp. 259–263, [https://books.google.com.ua/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA259&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false "Absolute Values"], Academic Press (1997) {{ISBN|0-12-622760-8}}.

== Зовнішні посилання ==
*{{не перекладено|Hazewinkel, Michiel|Hazewinkel, Michiel|en|Michiel Hazewinkel}}, ed. (2001) [1994], [https://encyclopediaofmath.org/wiki/P/a010370 "Absolute value"], [[Encyclopedia of Mathematics]], [[Springer Science+Business Media]] B.V. / \\ Kluwer Academic Publishers, {{ISBN|978-1-55608-010-4}};
* [https://planetmath.org/AbsoluteValue absolute value] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200311212807/https://planetmath.org/AbsoluteValue |date=11 березня 2020 }} на [[PlanetMath]];
* {{не перекладено|Weisstein, Eric W.|Weisstein, Eric W.|en|Eric W. Weisstein}} [https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html "Absolute Value"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200513134242/https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html |date=13 травня 2020 }}. [[MathWorld]].

== Див. також ==
* [[Абсолютні величини]] (у статистиці)
* [[Абсолютне значення (алгебра)]]
* [[Метричний простір]]
* [[Норма (математика)]]


[[Категорія:Функції та відображення]]