Перегляд вихідного коду сторінки Модель Солоу — Свона

[[Файл:Robert_Solow_by_Olaf_Storbeck.jpg|міні|250x250пкс| [[Роберт Солоу|Роберт Мертон Солоу]]&nbsp;— американський економіст, автор моделі]]
'''Модель Солоу&nbsp;— Свона''' ('''модель Солоу''')&nbsp;— [[Неокласична економіка|неокласична]] [[Економічна модель|модель]] [[Екзогенність|екзогенного]] [[Економічне зростання|економічного зростання]]. Розроблена одночасно і незалежно один від одного [[Роберт Солоу|Робертом Солоу]] і {{нп|Тревор Свон|Тревором Своном|en|Trevor Swan}} в 1956 році.

Попри те, що модель має низку істотних недоліків (наприклад, призначена та незмінна норма заощаджень, нереалістичний розрахунок [[Норма процента|ставки відсотка]] для умов [[Країни, що розвиваються|країн, що розвиваються]]), саме її вважають відправною точкою для пізніших [[Теорія економічного зростання|моделей економічного зростання]], яким вона дала необхідну математичну методологію для аналізу темпів зміни [[капітал]]у.

== Історія створення ==
До появи моделі Солоу&nbsp;— Свона найпоширенішим інструментом вивчення економічного зростання була [[Модель Харрода — Домара|модель Харрода&nbsp;— Доммара]]. Вона базувалася на [[Кейнсіанство|кейнсіанських]] передумовах, оперувала винятково даними макрорівня ([[сукупний попит]], [[сукупна пропозиція]] тощо), ігноруючи мікрорівень окремого споживача або окремого підприємства, увага була сконцентрована на можливих негативних наслідках економічного зростання, зокрема, на безробітті. Також слабкими місцями моделі Харрода&nbsp;— Доммара були відсутність взаємозамінності ресурсів (оскільки застосовувалась ''виробнича функція Леонтьєва'') і нестабільність динамічної рівноваги. [[Неокласична економіка|Неокласична теорія]] потребувала іншої моделі, що спиралася б на неокласичні передумови на мікрорівні і демонструвала механізм економічного зростання на макрорівні. Першим кроком у цьому напрямку й стала модель Солоу&nbsp;— Свона{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=36}}{{Sfn|Palgrave (Uzawa)|2018|с=8886—8887}}.

1956 року незалежно один від одного американський економіст [[Роберт Солоу]] (у статті «Внесок в теорію економічного зростання» в журналі [[Quarterly Journal of Economics|The Quaterly Journal of Economics]]{{Sfn|Solow|1956}}) та  австралійський економіст Тревор Свон (у статті «Економічне зростання і накопичення капіталу» в журналі The Economic Record{{Sfn|Swan|1956}}) запропонували економіко-математичну модель, яка об'єднує неокласичну форму [[Виробнича функція|виробничої функції]] з постійним ефектом від масштабу, спадну віддачу [[Фактори виробництва|факторів виробництва]] з позитивною [[Еластичність (економіка)|еластичністю]] заміни факторів і постійну норму заощаджень. Стаття Солоу була опублікована на 9 місяців раніше за статтю Свона. В серпні 1957 року{{Sfn|Solow R.|1957}} Солоу запропонував зміни у виробничій функції для врахування поступового технологічного зростання, після чого модель набула сучасного вигляду{{Sfn|Нуреев|2008|с=120}}.

1987 року Роберт Солоу «за внесок до теорії економічного зростання» отримав [[Премія Шведського центрального банку з економічних наук на честь Альфреда Нобеля|Нобелівську премію з економіки]]. Співробітники Свона вважали, що йому не таланило з публікаціями&nbsp;— за напрямки, піонером в яких вони вважали саме Свона, інші автори отримали три Нобелівські премії з економіки<ref>{{Cite web|url=http://ecocomm.anu.edu.au/nieb/ANUEconomists2.htm|title=T. W. Swan|date=2003-09-02|publisher=National Institute of Economics and Business|language=en|accessdate=2020-08-25|archive-date=2008-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20080304090448/http://ecocomm.anu.edu.au/nieb/ANUEconomists2.htm}}</ref>.

== Опис моделі ==

=== Базові передумови моделі ===
У моделі розглядається:

* Виробляється тільки один продукт <math>Y</math>, який використовується, як для [[споживання]] <math>C</math>, так і для [[Інвестиція|інвестицій]] <math>I</math>.
* [[Відкрита економіка|Економіка закрита]], тобто усе вироблене прямує тільки на внутрішні інвестиції та споживання, експорт/імпорт/резервування продукції відсутні.
* Підприємства максимізують свій прибуток.
* Підприємства функціонують в умовах [[Досконала конкуренція|досконалої конкуренції]].
* Темпи [[Науково-технічний прогрес|технологічного прогресу]] <math>g</math>, зростання населення <math>n</math>, норма вибуття капіталу <math>\delta</math>, норма [[заощадження|заощаджень]] <math>s</math>&nbsp;— задаються [[Екзогенність|екзогенно]] і залишаються постійними для будь-якого часового проміжку{{Sfn|Ромер Д.|2014|с=26}}. Але це не забороняє їх змінювати при обчисленні нового часового ряду для моделі з новими параметрами.
* Заощадження дорівнюють інвестиціям: <math>S=I=sY</math>, <math>Y=C+I</math>{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=187}}.
* [[Фіскальна політика]] (податки й державні витрати) у моделі відсутня.
* Час <math>t</math> змінюється неперервно{{Sfn|Solow|1956}}{{Sfn|Palgrave (Uzawa)|2018|с=8886—8887}}.

[[Виробнича функція]] зазвичай має вигляд <math>Q = A f(K,L)</math> або <math>Q = f(K,L)</math> де <math>Q</math>&nbsp;— кількість зроблених товарів, <math>A</math>&nbsp;— досить довільний коефіцієнт, який трактується як вплив поточної технології на продуктивність праці, <math>K</math>&nbsp;— агрегований [[капітал]], <math>L</math>&nbsp;— кількість [[праця|праці]]. У моделі Солоу&nbsp;— Свона кількість праці залежить від чисельності населення (припускається, що кожна особа в середньому відпрацює деякий час). Але результат цієї праці залежить від застосованих на виробництві технологій, тобто від коефіцієнту ефективності праці <math>A</math>. Попервах цей коефіцієнт задавався як константа. Після вдосконалення моделі в 1957 році, для врахування технологічного зростання у виробничій функції незмінну <math>A</math> перетворили на додатковий параметр функції, який отримав здатність змінюватись у часі за тою ж схемою, що й <math>L</math>. Тому в моделі кількість ефективної праці є добутком поточних значень <math>AL</math>.

Виробнича функція моделі Солоу&nbsp;— Свона задовольняє [[Неокласична економіка|неокласичним]] передумовам{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=186}}{{Sfn|Ромер Д.|2014|с=27}}:
* функція має постійну віддачу від масштабу: <math>Y(a K, a AL)=a Y(K, AL)</math>, тобто однаковий відсоток збільшення факторів дає такий самий відсоток збільшення результату;
* населення в моделі рівне сукупним трудовим ресурсам, воно [[Експоненційне зростання|експоненційно зростає]] з постійним темпом <math>n</math>{{Sfn|Solow|1956}}: <math>L_t=L_0e^{nt},\ n=const</math>.
* технологічний прогрес експоненційно збільшує продуктивність праці (нейтральний по [[Рой Харрод|Харроду]]): <math>Y_t=Y(K_t, A_tL_t),\ A_t=A_0e^{gt},\ g = const</math>;
* [[Граничний продукт|гранична продуктивність]] чинників позитивна і спадна: <math>\frac{\partial Y}{\partial K}>0,\ \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2}<0,\ \frac{\partial Y}{\partial L}>0,\ \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2}<0</math>;
* якщо задіяність (наявність) одного з факторів нескінченно мала, то його продуктивність нескінченно велика, якщо ж задіяність одного з факторів нескінченно велика, то його продуктивність нескінченно мала (див. [[умови Інади]]): <math>\lim_{K \to 0}{\frac{\partial Y}{\partial K}}=\lim_{L \to 0}{\frac{\partial Y}{\partial L}}=+\infin,\ 
\lim_{K \to +\infin}{\frac{\partial Y}{\partial K}}=\lim_{L \to +\infin}{\frac{\partial Y}{\partial L}}=0</math>;
* для виробництва необхідний кожен фактор: <math>Y(K,0)=Y(0, AL)=0</math>.

Для пошуку розв'язку моделі використовують питомі показники{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=187}}:
* випуск на одиницю ефективної праці <math>y=\frac{Y}{AL}</math>,
* запас капіталу на одиницю ефективної праці <math>k=\frac{K}{AL}</math>,
* споживання на одиницю ефективної праці <math>c=\frac{C}{AL}</math>,
* інвестиції на одиницю ефективної праці <math>i=\frac{I}{AL}</math>.

Тоді виробничу функцію можна записати в наступному вигляді: <math>y=\frac{Y}{AL}=Y\biggl(\frac{K}{AL}, 1\biggr)=f(k)</math>.

Найчастіше як конкретний приклад виробничої функції, що задовольняє передумовам моделі, застосовують виробничу [[Модель Кобба — Дугласа|функцію Кобба&nbsp;&nbsp;— Дугласа]]{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=186}}{{Sfn|Ромер Д.|2014|с=28}} :

: <math>Y=K^\alpha(AL)^{1-\alpha},\ y=k^\alpha,\ 0<\alpha<1</math>,

щоб підкреслити розрахунок для певного часу від початкових значень, до формули додають часовий індекс:

: <math>Y(t)=K(t)^\alpha(A(t)L(t))^{1-\alpha}\,</math>

Де <math>\alpha</math>&nbsp;— [[Еластичність (економіка)|еластичність]] випуску за капіталом, <math>(1-\alpha)</math>&nbsp;— еластичність випуску за працею.

Поведінка споживачів в явному вигляді в моделі не розглядається. Функція корисності відсутня. Замість цього є екзогенно задана норма заощаджень <math>s</math> в межах <math>0<s<1</math>, що трактується як збереження домогосподарствами частки свого доходу <math>s</math>, а на споживання залишається частка <math>1-s</math>. Співвідношення між ними не залежить від будь-яких подій в економіці{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=37}}.

=== Стаціонарний стан в моделі ===
[[Файл:Solow(eq).jpg|міні|350x350пкс| Модель Солоу&nbsp;— Свона, фазова площина, рівновага]]
Виходячи з передумов моделі, в кожен момент часу <math>t</math> капітал збільшується на розмір інвестицій, тобто на <math>sY</math>, та зменшується на <math>\delta K</math>. Таким чином, можна записати похідну капіталу за часом <math>\dot{K}</math> в наступному вигляді{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=188}} :

: <math>\dot{K}=sY_t-\delta K_t</math>.

Враховуючи що <math>k=\frac{K}{AL}</math>, похідну капіталоозброєність праці з постійною ефективністю <math>\dot{k}</math> за часом можна виразити таким чином{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=188}} :

: <math>\dot{k}=\frac{\dot{K}}{A_tL_t}-\frac{K_t(\dot{L}A_t+L_t\dot{A})}{(A_tL_t)^2}=\frac{sY_t-\delta K_t}{A_tL_t}-\frac{K}{AL}\times
\frac{\dot{L}}{L_t}-\frac{K_t}{A_tL_t}\times\frac{\dot{A}}{A_t}=sf(k_t)-(n+g+\delta)k_t</math>,

де <math>\dot{L}</math>&nbsp;— похідна розміру населення за часом,
: <math>\dot{A}</math>&nbsp;— похідна ефективності праці за часом.

Виходячи з раніше прийнятих передумов:
: <math>\frac{\dot{L}}{L_t}=n</math>
: <math>\frac{\dot{A}}{A_t}=g</math>

Якщо інвестиції на одиницю ефективної праці <math>i_t=sf(k_t)</math> перевищують вибуття капіталу на одиницю ефективної праці <math>(n+g+\delta)k_t</math>, то росте капіталоозброєність праці з постійною ефективністю <math>k</math>, в іншому випадку&nbsp;— падає{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=72}}. У [[Стаціонарний стан дисипативної системи|стаціонарному стані]] рівень капіталу на одиницю ефективної праці <math>k</math> постійний, тобто <math>\dot{k}=0</math>, тобто стійкий рівень капіталоозброєності праці з постійною ефективністю <math>k^*</math> знаходиться з рівняння{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=189}}{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=92}} :

: <math>sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*</math>.

[[Файл:Solow(s_change).jpg|міні|350x350пкс| Модель Солоу&nbsp;— Свона, фазова площина, зміна норми заощаджень]]
У стаціонарному стані темп зростання продуктивності праці дорівнює темпу технічного прогресу, а темп економічного зростання&nbsp;— сумі темпу технічного прогресу і темпу зростання населення{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}}.
Графічно досягнення рівноваги в моделі показано на ілюстрації.

При зростанні норми заощаджень інвестиції перевищують вибуття капіталу, <math>k</math> росте до досягнення рівноваги при більш високому рівні <math>k</math>. У процесі переходу до нового стаціонарного стану темп зростання продуктивності праці випереджатиме темп технічного прогресу і при досягненні нової рівноваги вони зрівняються. Перехід до нового стаціонарного стану при зміні норми заощаджень показаний графічно на ілюстрації.

У стаціонарному стані темп приросту показників на одиницю ефективної праці дорівнює нулю{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}} :

: <math>\frac{\dot{y}}{y}=g_y=\frac{\dot{c}}{c}=g_c=\frac{\dot{h}}{h}=g_h=\frac{\dot{k}}{k}=g_k=0</math>.

Показники на одиницю праці зростають з темпом технологічного прогресу <math>g</math>{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}} :

: <math>\frac{\bigl(\dot{\frac{Y}{L}}\bigr)}{\frac{Y}{L}}=g_{Y/L}=\frac{\bigl(\dot{\frac{C}{L}}\bigr)}{\frac{C}{L}}=g_{C/L}=\frac{\bigl(\dot{\frac{H}{L}}\bigr)}{\frac{H}{L}}=g_{H/L}=\frac{\bigl(\dot{\frac{K}{L}}\bigr)}{\frac{K}{L}}=g_{K/L}=g</math>.

Валові показники зростають у темпі, що дорівнює сумі темпів приросту технологічного прогресу <math>g</math> і населення <math>n</math>{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}} :

: <math>\frac{\dot{Y}}{Y}=g_Y=\frac{\dot{C}}{C}=g_C=\frac{\dot{H}}{H}=g_H=\frac{\dot{K}}{K}=g_K=g+n</math>.

=== Оптимальний рівень норми заощаджень (Золоте правило) ===
[[Файл:Solow(golden_rule).jpg|міні|350x350пкс| Модель Солоу&nbsp;— Свона, фазова площина, «Золоте правило»]]
[[Файл:Solow(golden_rule,_path1).jpg|міні|350x350пкс| Модель Солоу&nbsp;— Свона, перехід до «Золотого правила», {{Nobr|варіант 1}}]]
[[Файл:Solow(golden_rule,_path2).jpg|міні|369x369пкс| Модель Солоу&nbsp;— Свона, перехід до «Золотого правила», {{Nobr|варіант 2}}]]
Після знаходження стійкого рівня <math>k^*</math> наступним завданням є пошук такого значення норми заощаджень <math>s^*</math>, при якому в стійкому стані споживання на одиницю ефективної праці <math>c</math> максимально. Тобто, необхідно розв'язати задачу{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=58}}{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=191}} :

: <math>\max_s{c[k(s)]}</math>

за умови:

: <math>\dot{k}=0</math>.

Записавши <math>c</math> через <math>k</math>, маємо{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}} :

: <math>c[k(s)]=(1-s)y=f[k(s)]-(n+g+\delta)k(s)</math>.

Похідна <math>\frac{\partial c}{\partial s}</math> дорівнює{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}} :

: <math>\frac{\partial c}{\partial s}=\biggl(\frac{\partial f}{\partial k}-(n+g+\delta) \biggr)\frac{\partial k}
{\partial s}</math>.

У точці максимуму <math>\frac{\partial c}{\partial s}=0</math>. Із ростом норми заощаджень капіталоозброєність одиниці ефективної праці зростає, тому <math>\frac{\partial k}{\partial s}>0</math>. Значить, у точці максимуму має виконуватися рівність{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}} :

: <math>\frac{\partial f(k^{**})}{\partial k}=n+g+\delta</math>,

де <math>k^{**}</math>&nbsp;— стійкий рівень капіталоозброєності на одиницю ефективної праці, що відповідає максимальному споживанню.

Таким чином, норма заощаджень <math>s^*</math>, що максимізує споживання <math>c</math>, знаходиться з розв'язку системи рівнянь{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}} :

: <math>\begin{cases}
s^*f(k^{**})=(n+g+\delta)k^{**}, \\
\frac{\partial f(k^{**})}{\partial k}=n+g+\delta.
\end{cases}</math>

За результатом розв'язку цієї системи оптимальна норма заощадження, що відповідає «Золотому правилу», дорівнює еластичності випуску за капіталом{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}} :

: <math>s^*=\frac{k^{**}}{f(k^{**})}\times \frac{\partial f(k^{**})}{\partial k}</math>.

Графічно «Золоте правило» норми заощадження в моделі показано на ілюстрації. Обирається така норма заощаджень, за якої нахил кривої <math>f(k)</math> дорівнює <math>n+g+\delta</math>, оскільки саме в цій точці максимальний рівень перевищення кривої <math>f(k)</math> над кривою <math>(n+g+\delta)k</math> (що складає споживання <math>c</math>). Таким чином, норма заощаджень, що забезпечує максимальний стійкий рівень споживання, дорівнює [[Еластичність (економіка)|еластичності]] випуску за капіталом в стійкому стані, відповідному цій нормі заощаджень. Отримане значення <math>s^*</math> називають «Золотим правилом» норми заощадження, а <math>k^{**}</math>&nbsp;— капіталоозброєністю на одиницю ефективної праці, що відповідає «Золотому правилу»{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}.

Якщо норма заощаджень <math>s</math> вище «Золотого правила», то за її зниження до рівня «Золотого правила» споживання <math>c</math> спочатку різко зростає, потім знижується, але в підсумку стабілізується на рівні вище початкового{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=194}}. Зміна показників із плином часу при такому переході до «Золотого правила» представлена на ілюстрації як варіант 1.

Якщо норма заощаджень <math>s</math> нижче «Золотого правила», то за її зростання до рівня «Золотого правила» споживання <math>c</math> спочатку знижується, але потім зростає і перевищує початковий рівень{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}. Зміна показників з плином часу при такому переході до «Золотого правила» представлена на ілюстрації як варіант 2.

Якщо як виробнича функція в моделі застосовується [[Модель Кобба — Дугласа|функція Кобба&nbsp;— Дугласа]] у вигляді <math>Y=K^\alpha(AL)^{1-\alpha}</math> з постійною еластичністю випуску за капіталом, тоді <math>s^*=\alpha</math>{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}.

=== Конвергенція ===
Для оцінки швидкості наближення до стійкого стану, потрібно оцінити розмір <math>\frac{\dot{k}}{k}</math>. Для цього потрібно розділити рівняння <math>\dot{k}=0</math> на <math>k</math> (з урахуванням того, що в стаціонарному стані <math>sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*</math>){{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=201—202}} :

: <math>\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sf(k)}{k}-(n+g+\delta)=(n+g+\delta)\biggl(\frac{f(k)k^*}{f(k^*)k}-1\biggr)</math>

Таким чином, за умови <math>k_0<k^*</math>, чим далі країна знаходиться від рівноважного стану, тим вище темпи зростання. Лінійна апроксимація <math>\dot{k}</math> залежно від <math>k</math> за допомогою розкладання в [[ряд Тейлора]] навколо точки <math>k=k^*</math> виглядає наступним чином{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=202}} :

: <math>\dot{k} \approx \frac{\partial \dot{k}}{\partial k}\vert_{k=k^*}(k-k^*)</math>,

: де <math>\frac{\partial \dot{k}}{\partial k}\vert_{k=k^*}=s\frac{\partial f(k^*)}{\partial k}-(n+g+\delta)=(n+g+\delta)\biggl(
\frac{k^*}{f(k^*)}\times \frac{\partial f(k^*)}{\partial k}-1\biggr)=(n+g+\delta)(\epsilon_{fk}^*-1)</math>,

: де <math>\epsilon_{fk}^*</math>&nbsp;— еластичність випуску за капіталом в стійкому стані.

Це рівняння можливо представити в наступному вигляді{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=202}} :

: <math>k_t-k^*=e^{-\lambda t}(k_0-k^*)</math>,

: де <math>\lambda</math>&nbsp;— коефіцієнт, що характеризує швидкість конвергенції.

Таким чином, модель Солоу&nbsp;— Свона передбачає умовну [[Конвергенція (економіка)|конвергенцію]], тобто, що бідні країни будуть рости швидше багатих і врешті-решт досягнуть їх рівня добробуту за умови, що структурні параметри їх економік однакові{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=200}}.

== Переваги, недоліки і подальший розвиток моделі ==
Модель Солоу&nbsp;— Свона надала необхідну математичну базу (побудова фазової площини) для аналізу темпів зміни капіталу й економічного ефекту від економічного прогресу{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}, на якій у подальшому дослідники створили багато складніших моделей{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=35}}. Саме тому її вважають відправною точкою для всіх сучасних [[Теорія економічного зростання|досліджень економічного зростання]]{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=185}}{{Sfn|Ромер Д.|2014|с=24}}. Модель вплинула на всю [[Макроекономіка|макроекономічну теорію]]{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=35}}.

Але разом з тим модель не змогла дати пояснення багатьом проблемам, пов'язаним з економічним зростанням. З теоретичної точки зору, модель не показує, яким чином рішення домогосподарств впливають на норму [[заощадження]] і, разом з рішеннями фірм, на темпи економічного зростання. Параметри норми заощаджень і темпів [[Науково-технічний прогрес|науково-технічного прогресу]] в моделі просто задаються [[Екзогенність|екзогенно]], рішення економічних агентів на них ніяк не впливають, що не влаштовувало дослідників{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=206}}. Більш того, навіть сильна сторона моделі&nbsp;— віддзеркалення процесу накопичення капіталу&nbsp;— по суті являє собою «[[чорний ящик]]», механізм впливу економічних агентів на який в моделі не розкритий{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}.

Модель Солоу&nbsp;— Свона була піддана всебічному критичному аналізу в ході [[Кембриджська суперечка про капітал|теоретичної дискусії двох Кембриджів про капітал]]. Було показано, що в межах моделі повинні виконуватись припущення, малореальні для практичних умов, але лише за їх виконання висновки з моделей можуть щось дійсно сказати про світ. Приклад таких припущень: модель передбачає безперервно досяжну рівновагу з «повною зайнятістю» всіх ресурсів. Модель також суперечить [[Кейнсіанство|кейнсіанскому підходу]], в якому заощадження визначають розмір інвестицій, а не навпаки.

Емпірична перевірка деяких положень моделі продемонструвала, що вони не знаходять підтвердження на практиці. Модель передбачає наявність умовної [[Конвергенція (економіка)|конвергенції]], що означає, що бідні країни повинні рости швидше багатих за умови подібності структурних параметрів, але в реальності цього не відбувається, як показали дослідження Р. Холла і Ч. Джонса{{Sfn|Hall, Jones|1996}}, Дж. Де Лонга{{Sfn|De Long|1988}}, [[Пол Ромер|П. Ромера]]{{Sfn|Romer P. M.|1989}}. Є лише поодинокі приклади ([[японське економічне диво]], [[Чудо на річці Хан|корейське економічне диво]]), коли бідні країни змогли наздогнати багаті за рівнем ВВП на душу населення. У більшості випадків зближення рівнів розвитку не відбувається{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=698}}. Модель не пояснює, чому бідні країни в більшості випадків залишаються бідними і не можуть наздогнати заможних{{Sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}.

Після появи моделі дослідники намагались з її допомогою порівнювати [[Норма процента|відсоткові ставки]] в різних країнах, і це порівняння відразу показало невідповідність моделі спостереженням{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=206}}.

Значно пізніше публікацій робіт Роберта Солоу і Тревора Свона Втім, коли після [[Друга світова війна|Другої світової війни]] минуло кілька десятків років і накопичилась статистика, з'явилися докладні дослідження щодо конвергенції.

=== Невідповідність моделі емпіричним даним ===
Сумніви в тому, що модель Солоу&nbsp;— Свона адекватно описує економічні процеси, з'явилися вже в 1960-х роках, коли дослідники звернули увагу на [[японське економічне диво]]. У 1950 році розмір [[Валовий внутрішній продукт|ВВП]] на душу населення (в термінах моделі <math>\frac{Y}{L}</math>) В [[Японія|Японії]] був в 5 разів менше за розмір ВВП на душу населення [[Сполучені Штати Америки|США]]<ref>{{Cite web|url=https://www.rug.nl/ggdc/historicaldevelopment/maddison/|title=Maddison Historical Statistics|date=2017-11-10|publisher=University of Groningen|language=en|accessdate=2019-11-30|archive-date=13 серпня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200813020000/https://www.rug.nl/ggdc/historicaldevelopment/maddison/}}</ref>. Виходячи з моделі і припускаючи однакову технологічну структуру економік США і Японії, отримаємо{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=206—207}} :

: <math>\frac{Y}{L}=A \biggl(\frac{K}{L}\biggr)^{\alpha}</math>,

: <math>\frac{\partial f(k)}{\partial k}=\frac{\partial (AK^\alpha L^{1-\alpha})}{\partial K}=\alpha A\biggl(\frac{K}{L}\biggr)^{\alpha-1}=\alpha A^{\frac{1}{\alpha}}
\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)^{-\frac{1-\alpha}{\alpha}}</math>,

: <math>r = \frac{\partial f(k)}{\partial k}-\delta</math>,

: <math>\frac{r_{JPN}+\delta}{r_{USA}+\delta}=\frac{\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{USA}^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}}
{\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{JPN}^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}}=5^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}</math>,

де <math>r_{JPN}</math>&nbsp;— [[Норма процента|відсоткова ставка]] в Японії, <math>r_{USA}</math>&nbsp;— у США, <math>\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{JPN}</math>&nbsp;— ВВП на душу населення в Японії, <math>\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{USA}</math>&nbsp;— ВВП на душу населення в США.

Використовуючи звичайні для розрахунків значення <math>\alpha = \frac{1}{3}</math>, <math>\delta = 0,1</math>, а також оцінку <math>r_{USA}</math> на початок 1950-х років у розмірі 0,065, ми отримаємо, що <math>r_{JPN}=4,025</math>, тобто, що відсоткова ставка в Японії в 1950 році за моделлю повинна бути близько 402,5&nbsp;%, що дуже далеко від реальних значень. Таким чином, вже в 1960-х роках стало зрозуміло, що модель Солоу&nbsp;— Свона&nbsp;— тільки початковий етап в розумінні природи економічного зростання{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=207}}.

=== Подальший розвиток моделі ===
Настільки сильне відхилення реальних значень відсоткової ставки від теоретичних стало причиною розвитку складніших моделей, припущення яких щодо процентної ставки були б більш реалістичними. Одні дослідники пішли шляхом розширення поняття [[капітал]] за рахунок включення в нього [[Людський капітал|людського капіталу]]. При такому підході значення <math>\alpha</math> підвищувався з приблизно ⅓ до приблизно ⅔ (якщо вважати суму людського і фізичного капіталу), за цього різниця процентних ставок у розвиненої і наздоганяючої країн стає набагато менше, ніж передбачена за моделлю Солоу&nbsp;— Свона. Результатом такого підходу стала ''модель Менкен&nbsp;— Ромера&nbsp;— Вейла''{{Sfn|Mankiw, Romer, Weil|1992}}. Інші дослідники стали розробляти моделі, в яких спочатку норма заощаджень, а потім і темпи економічного зростання, не задаються екзогенно, а є наслідком рішень економічних агентів. Першим кроком у цьому напрямку стала [[модель Ремзі — Касса — Купманса]]. [[Модель перетинних поколінь]] (1965 рік) дозволила не тільки моделювати норму заощаджень ендогенно, але і дослідити вплив на рівень споживання типу пенсійної системи (солідарна чи накопичувальна). Значно пізніша {{нп|АК-модель|||AK model}} (1990 рік) також є варіантом розвитку моделі Солоу&nbsp;— Свона{{Sfn|Туманова, Шагас|2004|с=208}}.

== Відзнаки ==
У 1987 році [[Шведська королівська академія наук]] нагородила Роберта Солоу [[Список лауреатів Премії імені Нобеля з економіки|Нобелівською премією з економіки]] за «внесок в теорію економічного зростання», який пов'язаний з розробкою цієї моделі<ref>{{Cite web|url=https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1987/summary/|title=The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1987|publisher=NobelPrize.org|language=en|accessdate=2019-12-06|archive-date=22 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200522192309/https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1987/summary/}}</ref>.

== Примітки ==
{{Reflist|3}}

== Література ==
* {{Стаття|author=[[Хірофумі Удзава|Uzawa H.]]|title=Models of Growth|видання=[[The New Palgrave Dictionary of Economics]]|відповідальний=Macmillan Publishers Ltd|publisher=[[Palgrave Macmillan]] UK|pages=8885—8893|place={{L.}}|date=2018|isbn=978-1-349-95188-8|ref=Palgrave (Uzawa)}}
* {{Стаття|author=[[Роберт Солоу|Solow R. M.]]|title=A Contribution to the Theory of Economic Growth|url=http://www.econ.nyu.edu/user/debraj/Courses/Readings/Solow.pdf|видання=[[The Quarterly Journal of Economics]]|тип=|date=1956|місяць=February|число=|volume=70|номер=1|pages=65—94|ref=Solow|doi=|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=31 липня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200731145804/https://www.econ.nyu.edu/user/debraj/Courses/Readings/Solow.pdf}}
* {{Стаття|author=[[Роберт Солоу|Solow R. M.]]|title=Technical Change and the Aggregate Production Function|url=http://www.piketty.pse.ens.fr/files/Solow1957.pdf|видання={{нп|The Review of Economics and Statistics}}|тип=|date=1957|місяць=August|число=|volume=39|номер=3|pages=312—320|ref=Solow R.|doi=|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=20 вересня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200920105721/http://www.piketty.pse.ens.fr/files/Solow1957.pdf}}
* {{Стаття|author={{нп3|Trevor Swan|Swan T. W.}}|title=Economic growth and capital accumulation|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x|видання=The Economic Record|тип=|date=1956|місяць=November|число=|volume=32|номер=2|pages=334—361|ref=Swan|doi=10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=26 березня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200326210120/https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x}}
* {{Книга
|автор = Туманова Е. А., Шагас Н. Л.
|заголовок = Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода
|місце = М.
|видавництво = ИНФРА-М
|посилання = https://drive.google.com/file/d/0B6xhkmsz1gLLS1VfOE1DU1B6b0E/view
|рік = 2004
|сторінок = 400
|ref = Туманова, Шагас
|ISBN = 5-1600-1864-6
|назва = 
|archivedate = 25 січня 2020
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20200125193532/https://drive.google.com/file/d/0B6xhkmsz1gLLS1VfOE1DU1B6b0E/view
}}
* {{Книга
|автор = [[Роберт Барро|Барро Р. Д.]], Сала-и-Мартин Х.
|заголовок = Экономический рост / Пер. с англ
|посилання = http://files.pilotlz.ru/pdf/cB790-4-ch.pdf
|місце = М.
|видавництво = Бином. Лаборатория знаний
|рік = 2010
|сторінок = 824
|ref = Барро, Сала-и-Мартин
|ISBN = 978-5-94774-790-4
|назва = 
|archivedate = 23 січня 2022
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20220123041626/http://files.pilotlz.ru/pdf/cB790-4-ch.pdf
}}
* {{Книга
|автор = [[Дарон Аджемоглу|Асемоглу Д.]]
|заголовок = Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1
|оригінал = Introduction to Modern Economic Growth (2009)
|місце = М.
|видавництво = [[Издательский дом «Дело» РАНХиГС]]
|рік = 2018
|сторінок = 928
|ref = Аджемоглу
|ISBN = 978-5-7749-1262-9
}}
* {{Книга
|автор = [[Девід Ромер|Ромер Д.]]
|заголовок = Высшая макроэкономика
|оригінал = Advanced Macroeconomics
|місце = М.
|видавництво = Изд. дом ВШЭ
|мова =
|рік = 2014
|сторінок = 855
|ref = Ромер Д.
|ISBN = 978-5-7568-0406-2
}}
* {{Книга
|автор = Бланшар О. Ж., Фишер С.
|заголовок = Лекции по макроэкономике
|оригінал = Lectures on macroeconomics
|місце = М.
|видавництво = [[Издательский дом «Дело» РАНХиГС]]
|мова =
|рік = 2014
|сторінок = 680
|ref = Бланшар О., Фишер С.
|ISBN = 978-5-7749-0829-5
}}
* {{Книга
|автор = Джонс Ч. И., Воллрат Д.
|заголовок = Введение в теорию экономического роста
|оригінал = Introduction to Economic Growth
|місце = М.
|видавництво = [[Издательский дом «Дело» РАНХиГС]]
|рік = 2018
|сторінок = 296
|ref = Джонс
|ISBN = 978-5-7749-1299-5
}}
* {{Стаття|author=[[Акаєв Аскар Акайович|Акаев А. А.]]|title=Модели инновационного экономического роста AN-типа|видання=МИР (Модернизация, Инновация, Развитие)|url=https://www.mir-nayka.com/jour/article/view/32|date=2015|том=6|номер=2|pages=70—79|ref=Акаев|doi=10.18184/2079-4665.2015.6.2.70.79|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=5 серпня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200805225815/https://www.mir-nayka.com/jour/article/view/32}}
* {{Книга
|1 = 
|автор = Нуреев Р. М.
|заголовок = Экономика развития: модели становления рыночной экономики
|посилання = https://publications.hse.ru/books/82220049
|видавництво = НОРМА
|місце = М.
|рік = 2008
|сторінок = 367
|ref = Нуреев
|ISBN = 978-5-468-00159-2
|назва = 
|archivedate = 1 жовтня 2020
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20201001224356/https://publications.hse.ru/books/82220049
}}
* {{Стаття|author=Hall R. E.,|2=Jones C. I.|title=The Productivity of Nations|видання=[[NBER]] Working Paper|url=https://www.nber.org/papers/w5812.pdf|date=1996|номер=5812|ref=Hall, Jones|doi=10.3386/w5812|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=2 червня 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180602025018/http://www.nber.org/papers/w5812.pdf}}
* {{Стаття|author=De Long J. B.|title=Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment|url=https://www.jstor.org/stable/1807174|видання=[[The American Economic Review]]|тип=|date=1988|число=|volume=78|номер=5|pages=1138—1154|ref=De Long|doi=|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=16 червня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200616111514/https://www.jstor.org/stable/1807174}}
* {{Стаття|author=[[Пол Ромер|Romer P. M.]]|title=Human Capital And Growth: Theory and Evidence|url=https://www.nber.org/papers/w3173.pdf|видання=[[NBER]] Working paper|тип=|date=1989|число=|volume=|номер=3173|pages=|ref=Romer P. M.|doi=10.3386/w3173|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=8 серпня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200808035612/https://www.nber.org/papers/w3173.pdf}}
* {{Стаття|author=[[Грегорі Менк'ю|Mankiw G.]], Romer D., {{нп|Weil, David|Weil D.|fr|David Weil}}|title=Contribution to the Empirics of Economic Growth|url=https://eml.berkeley.edu/~dromer/papers/MRW_QJE1992.pdf|видання=[[The Quarterly Journal of Economics]]|тип=|date=1992|число=|volume=107|номер=2|pages=407—437|ref=Mankiw, Romer, Weil|doi=10.2307/2118477|accessdate=23 серпня 2020|archivedate=20 жовтня 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20201020152218/https://eml.berkeley.edu/~dromer/papers/MRW_QJE1992.pdf}}

{{Добра стаття}}
{{Бібліоінформація}}
{{Макроекономіка}}

[[Категорія:Макроекономіка]]
[[Категорія:Економічне зростання]]
[[Категорія:Економічне моделювання]]
[[Категорія:Економічні моделі]]
[[Категорія:1956 у науці]]