Перегляд вихідного коду сторінки Модель Пуанкаре у верхній півплощині

[[Файл:Parallel_rays_in_Poincare_model_of_hyperbolic_geometry.svg|праворуч|міні|350x350пкс|Паралельні промені в моделі Пуанкаре у верхній півплощині]]
'''Модель Пуанкаре у верхній півплощині'''&nbsp;— це [[Верхня півплощина|верхня половина площини]] <math> \{ (x ,y) \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}</math>, позначувана далі як '''H''', разом з [[Метричний тензор|метрикою]] ([[Метрика Пуанкаре|метрикою Пуанкаре]]), яка робить її [[Математична модель|моделлю]] двовимірної [[гіперболічна геометрія|гіперболічної геометрії]].

Еквівалентно, модель Пуанкаре у верхній півплощині іноді описують як [[Комплексна площина|комплексну площину]], в якій [[Комплексне число|уявна компонента]] (координата ''y'', згадана вище) додатна.

Модель Пуанкаре у верхній півплощині носить ім'я [[Анрі Пуанкаре]], але її створив [[Еудженіо Бельтрамі]], який використав її разом з [[Проєктивна модель|моделлю Кляйна]] і [[Конформно-евклідова модель|моделлю Пуанкаре в крузі]], щоб показати, що гіперболічна геометрія {{Не перекладено|Рівнонесуперечливість|настільки ж несуперечлива|en|equiconsistency}}, наскільки [[Евклідова геометрія|несуперечлива евклідова геометрія]].

Ця модель [[Конформне відображення|конформна]], що означає, що кути, виміряні в точці моделі, дорівнюють кутам на гіперболічній площині.

[[Перетворення Мебіуса|Перетворення Келі]] дає [[Ізометрія (математика)|ізометрію]] між моделлю в півплощині і [[Конформно-евклідова модель|моделлю Пуанкаре в крузі]].

Цю модель можна узагальнити до моделі (''n''+1)-вимірного [[гіперболічний простір|гіперболічного простору]], замінивши дійсне число ''x'' вектором у ''n''-вимірному евклідовому векторному просторі.

== Метрика ==
[[Метричний тензор|Метрика]] моделі в півплощині <math>\{ \langle x, y \rangle | y > 0 \}</math> має вигляд

: <math>(d s)^2 = \frac{(d x)^2 + (d y)^2}{y^2} \,</math>,

де <math>s</math> вимірює довжину вздовж (можливо кривої) лінії. ''Прямі'' на гіперболічній площині ([[Геодезична лінія|геодезичні]] для цього метричного тензора, тобто криві, що мінімізують відстань), подаються на цій моделі дугами кіл, [[Перпендикулярність|перпендикулярними]] до осі <math>x</math> (півкола з центром на осі ''<math>x</math>'') і вертикальними променями, перпендикулярними до осі ''<math>x</math>''.

=== Обчислення відстані ===
У загальному випадку ''відстань'' між двома точками вимірюється в цій метриці вздовж геодезичних і дорівнює:

: <math display="block">\begin{align}
\operatorname{dist} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) 
&= \operatorname{arch}(1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 }{ 2 y_1 y_2 })\\
&=2 \operatorname{arsh} \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} { y_1 y_2 }}\\
&= 2 \ln \frac{\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} + \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 + y_1)}^2}} { 2 \sqrt{y_1 y_2}},
\end{align}</math>

де ''arch'' і ''arsh''&nbsp;— це [[обернені гіперболічні функції]]

:: <math>\operatorname{arsh} {x} =\ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)
\, \ 
\operatorname{arch} {x} =\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right); x \ge 1
\,.</math>

Деякі часткові випадки можна спростити:

: <math>\operatorname{dist} (\langle x, y_1 \rangle, \langle x, y_2 \rangle) =\left| \ln\frac{y_2}{y_1} \right| = | \ln(y_2) - \ln(y_1) | </math><ref>{{Cite web|title=mathematics stackexchange|url=http://math.stackexchange.com/q/1386297/88985|accessdate=19 вересня 2015}}</ref>.

: <math>\operatorname{dist} (\langle x_1, y \rangle, \langle x_2, y \rangle) 
= \operatorname {arch} ( 1 + \frac{ (x_2 - x_1)^2}{ 2 y^2})
= 2 \operatorname {arsh} (\frac{|x_2 -x_1|}{2 y}) </math>

: <math>\operatorname{dist} ( \langle x, r \rangle, \langle x \pm r\sin\phi, r\cos\phi \rangle )
= \operatorname {arsh}( \tan \phi) 
= \operatorname {arch}(\frac{1}{\cos \phi })
= \ln(\frac{1 + \sin \phi} {\cos \phi}) </math>

Іншим способом обчислення відстані між двома точками є довжина дуги вздовж (евклідового) півкола:

: <math>\operatorname{dist} (AB) = \left| \ln \left( \frac{ |BA_{\infty}|\ |AB_{\infty}|}{ |AA_{\infty}| \ |BB_{\infty}| } \right) \right|.</math>

де <math>A_{\infty}, B_{\infty}</math>&nbsp;— точки півкола (кінці), що лежать на граничній прямій, а <math> |PQ| </math>&nbsp;— це евклідова довжина сегмента кола, що з'єднує точки <math> P </math> і <math> Q </math> в цій моделі.

== Особливі точки і криві ==

* '''[[Ідеальна точка|Нескінченно віддалені точки]]''' в моделі Пуанкаре у верхній півплощині бувають двох типів:

:* точки на осі <math> x </math>
:* одна уявна точка на <math> y = \infty </math>, яка є [[Ідеальна точка|нескінченно віддаленою точкою]], через яку проходять всі [[Ортогональність|ортогональні]] до осі <math> x </math> прямі.

* '''Прямі''', геодезичні (найкоротші шляхи між точками, розташованими на ній) моделюються:

:* півколами, кінці яких лежать на осі <math> x </math>;
:* Вертикальними променями, ортогональними осі <math> x </math>.

* '''Кола''' (криві, рівновіддалені від центральної точки) з центром у точці <math>( x, y ) </math> і радіусом <math>r </math> моделюються:

:: колами з центром <math>( x, y \cosh (r) ) </math> і радіусом <math>y \sinh (r) </math>

* '''[[Гіперцикл (геометрія)|Гіперцикл]]''' (або еквідистанта, крива, віддалена від гіперболічної прямої, її осі або бази) моделюється

:* або дугою кола, яка перетинає вісь ''<math> x </math>'' у тих самих двох [[Ідеальна точка|нескінченно віддалених точках]], що й півколо, яка є базою, але має з віссю ''<math> x </math>'' гострий або тупий (не прямий) [[кут]].
:* або прямою, яка перетинає вісь ''<math> x </math>'' у тій самій точці, що й вертикальний промінь, який моделює базу, але не перпендикулярною до осі ''<math> x </math>''.

* '''[[Орицикл]]''' (межа сімейства кіл зі спільною дотичною, що проходять через фіксовану точку і лежать по один бік від цієї дотичної, яка утворюється при прямуванні радіуса цих кіл до нескінченності) моделюється

:* або колом, дотичним до осі <math> x </math> (без [[Ідеальна точка|нескінченно віддаленої точки]] перетину, яка є центром),
:* або колом, паралельним <math> x </math>, у випадку, якщо центром є [[Ідеальна точка|нескінченно віддалена точка]] з <math> y = \infty </math>.

=== Короткий огляд евклідових кіл ===
Нехай дано евклідове коло з центром <math>( x_e, y_e ) </math> і радіусом <math>r_e </math>.

* Якщо евклідове коло повністю лежить у верхній півплощині, воно представляє гіперболічне коло з центром <math>( x_e, \sqrt{y_e^2 - r_e^2 } ) </math> і радіусом <math>\frac{1}{2} \ln \left( \frac{y_e + r_e} {y_e - r_e} \right) </math>.
* Якщо евклідове коло повністю лежить у верхній півплощині і дотикається до межі, вона представляє орицикл із центром у нескінченно віддаленій точці з <math>( x_e, 0 )</math>.
* Якщо коло перетинає межу [[Ортогональність|ортогонально]] (<math> y_e = 0</math>), воно представляє гіперболічну пряму.
* Якщо коло перетинає межу не ортогонально, воно представляє гіперцикл.

== Побудови за допомогою циркуля та лінійки ==
Тут показано, як у моделі Пуанкаре виконувати [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудови за допомогою циркуля та лінійки]]<ref>{{Cite web|last=Bochaca|first=Judit Abardia|title=Tools to work with the Half-Plane model|url=http://mat.uab.cat/~juditab/enllac3.htm|website=Tools to work with the Half-Plane mode|accessdate=25 червня 2015|archive-date=22 лютого 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180222225551/http://mat.uab.cat/~juditab/enllac3.htm}}</ref>. Наприклад, як побудувати в евклідовій півплощині півколо, яке моделює гіперболічну пряму, що проходить через дві точки.

=== Побудова гіперболічної прямої, що проходить через дві точки ===
[[Файл:Puancare_Model_-_Line_through_2_points.svg|праворуч|міні|300x300пкс|Побудова прямої (червона), що проходить через дві точки ''A'' і ''B''.<br/>''M''&nbsp;— середина відрізка.<br/>''O''&nbsp;— центр отриманого кола (гіперболічної прямої).]]
Будуємо відрізок, що з'єднує дві точки. Будуємо перпендикуляр, що проходить через середину відрізка. Знаходимо перетин цього перпендикуляра з віссю <math>x</math>. Будуємо коло з центром у точці перетину, що проходить через дані точки (тільки верхню частину вище від ''<math>x</math>'').

Якщо ці дві точки лежать на вертикальному промені, будуємо його (від осі <math>x</math>), цей промінь і буде шуканою прямою.

=== Побудова кола з заданим центром, що проходить через точку ===
[[Файл:Puancare_Model_-_Circle_through_point_C1.svg|праворуч|міні|300x300пкс|Побудова кола з центром в ''A'', що проходить через точку ''B'' (випадок, у якому точки ''A'' і ''B'' не лежать на одній вертикальній прямій). <br/>Пряма, що проходить через ''A'' і ''B'' будується як вище.<br/>''D''&nbsp;— (евклідів) центр шуканого кола, гіперболічним центром того ж кола є точка ''A''.]]
Побудуємо гіперболічне коло з центром ''A'', що проходить через точку ''B''.

* Якщо точки ''A'' і ''B'' не лежать на вертикальній прямій: Будувати ''гіперболічну пряму'' (півколо), що проходить через дві задані точки, як у попередньому випадку. Будуємо дотичну до цього півкола в точці ''B''. Проводимо перпендикуляр до осі ''<math>x</math> через точку A''. Знаходимо перетин цих двох прямих, щоб отримати центр ''D'' модельного кола. Будуємо модельне коло з центром у ''D'', що проходить через задану точку ''B''.

* Якщо точки ''A'' і ''B'' лежать на вертикальній прямій, і точка ''A'' лежить вище від точки ''B'':

Будуємо коло навколо перетину вертикальної прямої та осі ''x'', яке проходить через точку ''A''. Будуємо горизонтальну пряму через точку ''B''. Будуємо дотичну до кола в точці перетину з цією горизонтальною прямою.

Середина відрізка між перетином дотичної з вертикальною прямою і ''B'' є центром модельного кола. Будуємо модельного коло навколо центру, що проходить через точку ''B''.

* Якщо точки ''A'' і ''B'' лежать на вертикальній осі, і центр ''A'' лежить нижче від точки ''B'':

Будуємо коло навколо перетину вертикальної прямої та осі ''x'', яке проходить через заданий центр ''A''. Будуємо дотичну до кола, що проходить через точку ''B''. Будуємо горизонтальну пряму, що проходить через точку дотику, і знаходимо її перетин з вертикальною прямою.

Середня точка між отриманою точкою перетину і точкою є центром модельного кола. Будуємо модельне коло з новим центром, яке проходить через точку ''B''.

=== Знайти центр заданого (гіперболічного) кола ===
Опускаємо перпендикуляр ''p'' з евклідового центра кола на вісь ''x''.

Нехай точка ''q'' є основою цього перпендикуляра на осі ''x''.

Будуємо пряму, дотичну до кола, що проходить через точку ''q''.

Будуємо півколо ''h'' з центром у точці ''q'', що проходить через точку дотику.

Гіперболічним центром є точка, в якій ''h'' і ''p'' перетинаються{{Sfn|Cannon, Floyd, Kenyon, Parry|1997|с=87}}.

== Групи симетрії ==
[[Файл:Poincare_halfplane_heptagonal_hb.svg|праворуч|міні|300x300пкс|Зірчаста правильна [[семикутна мозаїка]] моделі]]
[[Проєктивна група|Проєктивна лінійна група]] <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{C})</math> діє на рімановій сфері [[Перетворення Мебіуса|перетвореннями Мебіуса]]. Підгрупа, яка відображає верхню половину площини <math>\mathbb{H}</math> у себе&nbsp;— це <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>, що складається з перетворень з дійсними коефіцієнтами, яка діє [[Дія групи|транзитивно]] й ізометрично на верхній половині площини, що робить її [[Однорідний простір|однорідним простором]].

Є чотири тісно пов'язані [[Група Лі|групи Лі]], які діють на верхню половину площини [[Дробово-лінійне перетворення|дробово-лінійними перетвореннями]], що зберігають гіперболічну відстань.

* [[Загальна лінійна група#Спеціальна лінійна група|Спеціальна лінійна група]] [[SL(2,R)|SL(2,'''R''')]], яка складається з 2х2 матриць із дійсними елементами і визначником +1. Зауважимо, що доволі часто згадують <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math>, маючи на увазі <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>.
* Група <math>{\rm S^*L}(2,\mathbb{R})</math>, що складається з 2х2 матриць з дійсними елементами з визначником +1 або -1. Зауважимо, що <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math> є підгрупою цієї групи.
* [[Проєктивна група|Проєктивна спеціальна лінійна група]] [[PSL2(R)|PSL(2,'''R''')]]<math>={\rm SL}(2,\mathbb{R})/\left \{ \pm E \right \}</math>, що складається з матриць із <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math> за модулем ± одиничної матриці (тобто це [[факторгрупа]] за групою, що складається з +''E'' і -''E'').
* Група <math>{\rm PS^*L}(2,\mathbb{R})={\rm S^*L}(2,\mathbb{R})/\left \{ \pm E \right \}={\rm PGL}(2,\mathbb{R})</math> також є проєктивною групою і, також за модулем <math>\pm E</math>. <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math> міститься в ній як нормальна підгрупа з індексом два; інший клас суміжності складається з матриць 2х2 з дійсними елементами і визначником −1, також за модулем <math>\pm E</math>.

Зв'язок цих груп з моделлю Пуанкаре такий:

* Група всіх [[Рух (математика)|рухів]] <math>\mathbb{H}</math>, іноді позначувана як <math>Isom(\mathbb{H})</math>, ізоморфна <math>{\rm PS^*L}(2,\mathbb{R})</math>. Вона включає як рухи, що зберігають орієнтацію, так і рухи, що її змінюють. Відображення, що змінює орієнтацію (дзеркальне відображення)&nbsp;— це <math>z\rightarrow -\overline{z}</math>.
* Група рухів, що зберігають орієнтацію, <math>\mathbb{H}</math>, іноді позначувана як <math>Isom^+(\mathbb{H})</math>, ізоморфна <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>.

Важливими підгрупами групи ізометрії є [[Фуксова група|фуксові групи]].

Часто розглядається [[Модулярна група|модулярная група]] <math>{\rm SL}(2,\mathbb{Z})</math>, яка важлива в двох аспектах. По-перше, це група лінійних перетворень площини, які зберігають [[Ґратка (геометрія)|ґратку]] точок. Таким чином, функції, періодичні на квадратній ґратці, такі як [[Модулярна форма|модулярні форми]] і [[еліптична функція]], успадковують симетрію ґратки <math>{\rm SL}(2,\mathbb{Z})</math>. По-друге, <math>{\rm SL}(2,\mathbb{Z})</math> є, звичайно, підгрупою <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math>, а отже, має гіперболічну поведінку, закладену в ній. Зокрема, <math>{\rm SL}(2,\mathbb{Z})</math> можна використати для замощення гіперболічної площини комірками рівної площі.

== Ізометрична симетрія ==
[[Дія групи|Дія]] [[Проєктивна група|проєктивної спеціальної лінійної групи]] <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math> на <math>\mathbb{H}</math> визначається як

: <math>\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} = {(ac|z|^2+bd+(ad+bc)\Re(z)) + i(ad-bc)\Im(z)\over|cz+d|^2}.</math>

Зауважимо, що дія [[Дія групи|транзитивна]], оскільки для будь-яких <math>z_1,z_2\in\mathbb{H}</math> існує елемент <math>g\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>, такий, що <math>gz_1=z_2</math>. Також, якщо для всіх <math>z</math> із <math>\mathbb{H}</math> <math>gz=z</math>, то <math>g=e</math>.

[[Дія групи|Стабілізатор]] або ''стаціонарна підгрупа'' елемента ''<math>z</math>'' із '''<math>\mathbb{H}</math>'''&nbsp;— це множина <math>g\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>, які залишають ''<math>z</math>'' незмінним&nbsp;— <math>gz=z</math>. Стабілізатор ''<math>i</math>''&nbsp;— [[Ортогональна група|група обертання]]

: <math>{\rm SO}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{matrix}\right)\,:\,\theta\in{\mathbf R}\right\}.</math>

Оскільки будь-який елемент ''<math>z</math>'' із '''<math>\mathbb{H}</math>''' відображається в ''i'' деяким елементом <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>, це означає, що стаціонарна група будь-якого елемента ''<math>z</math>'' [[Ізоморфізм|ізоморфна]] <math>{\rm SO}(2)</math>. Таким чином, <math>\mathbb{H}={\rm PSL}(2,\mathbb{R})/{\rm SO}(2)</math>. Також [[Локально тривіальне розшарування|розшаровання]] дотичних векторів одиничної довжини на верхній половині площини, зване {{Не перекладено|Одиничне дотичне розшарування|одиничним дотичним розшаруванням|en|unit tangent bundle}}, ізоморфне <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>.

Верхня половина площини замощується {{Не перекладено|Вільна регулярна множина|вільними регулярними множинами|en|Free regular set}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Free regular set]] (→ [[:en:Group action#Topological properties]]) перекладена як [[Дія групи]], хоча хотіли [[Вільна регулярна множина]] (SashkoR0B0T)--> [[Модулярна група|модулярною групою]] <math>{\rm SL}(2,\mathbb{Z})</math>.

== Геодезичні ==
Геодезичні для метричного тензора є півколами з центрами на осі ''<math>x</math>'' і вертикальними променями з початком на осі ''<math>x</math>''.

Геодезичні зі швидкістю одиниця, що йдуть вертикально через точку ''<math>i</math>'', задають виразом

: <math>\gamma(t) = \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\
          0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i
  = ie^t.</math>

Оскільки <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math> діє транзитивно на верхній половині площини шляхом [[Ізометрія (математика)|ізометрій]], ця геодезична відображається в інші геодезичні за допомогою дії <math>{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>. Таким чином, геодезична загального вигляду з одиничною швидкістю задається як

: <math>\gamma(t) =
\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\
          0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i
 = \frac {aie^t +b} {cie^t +d}. </math>

Це дає повний опис [[Геодезична лінія|геодезичного потоку]] розшаровання дотичних одиничної довжини (комплексне {{Не перекладено|лінійне розшаровання||en|line bundle}}) на верхній половині площини.

== Модель у тривимірних просторах ==
[[Метричний тензор|Метрика]] моделі у півпросторі

: <math>\{ \langle x, y, z \rangle | z > 0 \} \,</math>

задається виразом

: <math>(d s)^2 = \frac{(d x)^2 + (d y)^2 + (d z)^2}{z^2} \,</math>,

де ''s'' вимірює відстань уздовж (можливо) кривої лінії. ''Прямі'' в гіперболічному просторі ([[Геодезична лінія|геодезичні]] для цього метричного тензора, тобто криві, які мінімізують відстань), подаються в цій моделі дугами кіл, що виходять перпендикулярно від площини <math>z = 0</math> (півкола, центри яких лежать на площині ''<math>z = 0</math>'') і променями, що виходять перпендикулярно від площини ''<math>z = 0</math>''.

''Відстань'' між двома точками вимірюється в цій метриці вздовж геодезичної і дорівнює

: <math>\operatorname{dist} (\langle x_1, y_1,z_1 \rangle, \langle x_2, y_2,z_2\rangle) = \operatorname{arch} \left( 1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 + {(z_2 - z_1)}^2 }{ 2 z_1 z_2 } \right)= </math>
: <math>=2\operatorname{arsh} \left(\frac{ \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 + {(z_2 - z_1)}^2} }{ 2 \sqrt{z_1 z_2} } \right)\,.</math>

== Модель в ''n''-вимірному просторі ==
Модель можна узагальнити до моделі (''n''+1)-вимірного [[гіперболічний простір|гіперболічного простору]], замінивши дійсні числа ''<math>x</math>'' векторами в ''n''-вимірному евклідовому просторі.

== Див. також ==
{{Div col||22em}}
* [[Кут паралельності]]
* [[Дифеоморфізм Аносова]]
* [[Фуксова група]]
* [[Фуксова модель]]
* {{Не перекладено|Гіперболічний рух (математика)|Гіперболічний рух|en|Hyperbolic motion}}
* [[Проєктивна модель|Модель Кляйна]]
* [[Псевдосфера]]
* [[Теорема Піка (комплексний аналіз)|Теорема Піка]]
{{Div col end}}

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Книга
|серія = Flavors of Geometry
|видавництво = MSRI Publications
|том = Volume 31
|рік = 1997
|автор = Cannon J. W., Floyd W. J., Kenyon R., Parry W. R.
|ref = Cannon, Floyd, Kenyon, Parry
|частина = Figure 19. Constructing the hyperbolic center of a circle
|назва = Hyperbolic Geometry
}}
* {{Стаття|author=Eugenio Beltrami|title=Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constant|видання=Annali. di Mat.|серія=ser II|том=2|date=1868|pages=232–255}}
* {{Стаття|author=Henri Poincaré|ref=Poincaré|date=1882|title=Théorie des Groupes Fuchsiens|видання=Acta Mathematica|том=1|pages=1|url=https://archive.org/details/thoriedesgroup00poin}} Перша стаття легендарної серії про модель у верхній півплощині.
* {{Книга
|автор = Hershel M. Farkas, Irwin Kra
|ref = Farkas, Kra
|рік = 1980
|видавництво = Springer-Verlag
|місце = New York
|ISBN = 0-387-90465-4
|назва = Riemann Surfaces
}}
* {{Книга
|автор = Jurgen Jost
|ref = Jost
|рік = 2002
|видавництво = Springer-Verlag
|місце = New York
|ISBN = 3-540-43299-X
|частина = Section 2.3
|назва = Compact Riemann Surfaces
}}
* {{Книга
|автор = Saul Stahl
|ref = Stahl
|посилання = https://archive.org/details/poincarehalfplan0000stah
|видавництво = Jones and Bartlett
|рік = 1993
|ISBN = 0-86720-298-X
|назва = The Poincaré Half-Plane
}}
* {{Книга
|автор = John Stillwell
|ref = Stillwell
|рік = 1998
|посилання = https://archive.org/details/numbersgeometry00stil
|сторінки = [https://archive.org/details/numbersgeometry00stil/page/100 100]–104
|видавництво = Springer-Verlag
|місце = NY
|ISBN = 0-387-98289-2
|назва = Numbers and Geometry
}}. Елементарний вступ до моделі Пуанкаре.
{{Refend}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Конформна геометрія]]
[[Категорія:Гіперболічна геометрія]]