Перегляд вихідного коду сторінки Мода (статистика)

'''Мо́да'''&nbsp;— значення [[випадкова величина|випадкової величини]], що трапляється найчастіше в сукупності спостережень. Це таке значення ''x'', в якому [[функція маси імовірності]] набуває максимального значення. Іноді трапляється більше, аніж одна мода (наприклад: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 і 9). У такому випадку, можна сказати, що сукупність мультимодальна. Із структурних середніх величин лише мода має таку унікальну властивість. Як правило, [[Мультимодальний розподіл|мультимодальність]] вказує на те, що набір даних не підпорядковується [[нормальний розподіл|нормальному розподілу]].

Мода, як середня величина, вживається частіше для даних, що мають [[Нечислові дані|нечислову]] природу. Серед перелічених кольорів автомобілів&nbsp;— «білий», «чорний», «синій металік», «білий», «синій металік», «білий»&nbsp;— мода дорівнюватиме значенню «білий». За експертної оцінки з її допомогою визначають найпопулярніші типи продукту, що враховується при прогнозі продажів чи плануванні їх виробництва.

Іншими словами, мода є найпоширеніше значення випадкової величини (ознаки). У [[дискретний варіаційний ряд|дискретному ряду]] вона визначається візуально за найбільшою частотою (часткою), а в [[інтервальний варіаційний ряд|інтервальному]]&nbsp;— таким чином визначається модальний інтервал, а конкретне модальне значення розраховується за формулою:

: <math> Mo={x_0+h\frac{f_{mo}-f_{mo-1}}{(f_{mo}-f_{mo-1})+(f_{mo}-f_{mo+1})}} ;</math>

де
* х<sub>0</sub> та h&nbsp;— нижня межа та ширина модального інтервалу,
* f<sub>mo</sub>, f<sub>mo-1</sub>, f<sub>mo+1</sub>&nbsp;— частоти (частки) відповідно модального, передмодального та післямодального інтервалів.

== Мода вибірки ==

Мода вибірки це такий елемент, що з'являється в наборі найчастіше. Наприклад, модою вибірки [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] є 6. В наступному наборі даних [1, 1, 2, 4, 4] мода не є унікальною&nbsp;— такий набір даних називають бімодальним, а набір із більше ніж однією модою&nbsp;— мультимодальним.

Для вибірки для неперервного розподілу, такої як [0.935…, 1.211…, 2.430…, 3.668…, 3.874…], це поняття в своїй початковій формі є непридатним, оскільки не існує двох точно однакових значень вибірки, оскільки кожне значення буде зустрічатися точно один раз. Для того, щоб визначити моду в даному випадку, типовою практикою є дискретизація даних, після якої значення частоти виникнення призначається [[Проміжок|інтервалам]] із однаковим розміром, оскільки це робиться при побудові [[Гістограма|гістограм]], призначаючи цьому інтервалу значення його середньої точки. Мода як правилом є тим значенням де гістограма досягає свого максимуму. Для малих і середніх за розміром вибірок результат цієї процедури дуже чутливий до обраної величини інтервалу, якщо він може бути обраним занадто вузьким чи занадто широким; зазвичай інтервал обирають так, щоб значна частка даних була сконцентрована у відносно не великій кількість інтервалів (від 5 до 10), так, щоб частка даних що випадає за межі цих інтервалів також була значною. Альтернативним підходом може бути [[ядрова оцінка густини розподілу]], який розмиває точки вибірки таким чином, аби утворити неперервну оцінку функції густини імовірностей, яка забезпечує можливість оцінки моди.

Наступний код для програмного застосунку [[MATLAB]] (або [[GNU Octave|Octave]]) розраховує моду вибірки:

<syntaxhighlight lang="matlab">
X = sort(x);
indices   =  find(diff([X; realmax]) > 0); % індекси, де повторювані значення змінюються
[modeL,i] =  max (diff([0; indices]));     % найдовша довжина серії повторюваних значень
mode      =  X(indices(i));
</syntaxhighlight>

На першому кроці алгоритм потребує відсортувати вибірку в порядку зростання. Потім він розраховує дискретну похідну відсортованого спису, аби знайти індекси де ця похідна є доданою. Потім він розраховує дискретну похідну цього отриманого набору індексів, знаходить максимум цієї похідної індексів, і зрештою отримує значення із відсортованої вибірки у цій точці максимуму, що відповідатиме останньому входженню послідовності повторюваних значень.

== Порівняння середнього, медіани і моди ==
[[Файл:visualisation mode median mean.svg|lang=uk|thumb|upright|Геометрична візуалізація моди, медіани і середнього значення довільної функції густини імовірностей.<ref>{{cite web|title=AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions|url=http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|accessdate=16 березня 2015|archive-date=2 квітня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge}}</ref>]]

{| class="wikitable"
|+ Порівняння різних загальних [[Середнє значення|середніх]] значень на прикладі вибірки вибірки { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }
! Тип
! Опис
! Приклад
! Результат
|-
| align="center" | [[Середнє арифметичне]]
| Сума всіх значень вибірки поділена на кількість цих елементів вибірки: <math>\scriptstyle\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
| align="center" | (1+2+2+3+4+7+9) / 7
| align="center" | '''4'''
|-
| align="center" | [[Медіана (статистика)|Медіана]]
| Середнє значення, що відокремлює більшу половину і меншу половину вибірки
| align="center" | 1, 2, 2, '''3''', 4, 7, 9
| align="center" | '''3'''
|-
| align="center" | Мода
| Значення, що зустрічається у вибірці найчастіше
| align="center" | 1, '''2''', '''2''', 3, 4, 7, 9
| align="center" | '''2'''
|}

=== Застосування ===
На відміну від середнього і медіани, поняття моди має сенс навіть для випадку із «[[Шкала#Шкали найменувань (номінальні)|номінальними даними]]» (тобто таких, що не складаються із [[число]]вих значень, що необхідно для середнього, або навіть можуть не бути впорядкованими значеннями як для випадку із медіаною). Наприклад, якщо мова йде про вибірку [[Корейське ім'я|популярності корейських імен]], можна встановити, що ім'я «[[Кім (корейське ім'я)|Кім]]» зустрічається частіше ніж будь-яке інше. В такому випадку «Кім» буде модою даною вибірки. При проведенні будь-якої процедури голосування, де множина голосів означає перемогу, визначити переможця можна у випадку існування одного значення моди, а якщо результат буде мультимодальним зазвичай проводять другий тур голосування, або застосовують якусь додаткову процедуру визначення переможця.

На відміну від медіани, поняття моди має сенс для будь-які випадкової величини що може приймати значення із [[Векторний простір|векторного простору]], включаючи [[дійсні числа]] (одно-[[Розмірність простору|вимірний]] векторний простір) і [[цілі числа]] (які можна вважати вбудованими в дійсні). Наприклад, для розподілу точок на [[Площина|площині]] зазвичай можна отримати середнє і моду, а концепцію медіани тут застосувати не можна. Медіана матиме сенс якщо існує [[Лінійно впорядкована множина|лінійне впорядкування]] можливих значень.

=== Властивості ===
За умови визначеності, і для спрощення унікальності, наведемо наступні її найбільш важливі властивості.
* Всі три міри мають таку властивість: Якщо над випадковою величиною (або кожним значенням вибірки) виконують лінійне або [[афінне перетворення]], що заміняє величину ''X'' на ''aX''+''b'', то те саме перетворення відбудеться із середнім, медіаною і модою.
* Крім випадку дуже малих вибірок, мода є чутливою до «[[Викид (статистика)|викидів]]» (такі як випадкові, не часті, хибні експериментальні вимірювання). Медіана більш стійка до присутності викидів, в той час як середнє також чутливе до них.
* Для неперервних одномодальних розподілів медіана часто знаходиться між середнім і модою, близько на третій частині відстані між середнім і модою. У вигляді формули, медіана ≈ (2 × середнє + мода)/3. Це правило [[Карл Пірсон|Карла Пірсона]], часто застосовується для злегка не симетричних розподілів, які за формою подібні до нормального розподілу, але це правило не завжди буде вірним в загальному випадку і ці три статистичні міри можуть бути в довільному порядку.<ref>{{cite web |url=http://www.se16.info/hgb/median.htm |title=Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution |work= |date= |accessdate=27 червня 2018 |archive-date=29 травня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180529052739/http://www.se16.info/hgb/median.htm }}</ref><ref>{{cite journal |last=Hippel |first=Paul T. von |year=2005 |url=http://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html |title=Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule |journal=Journal of Statistics Education |volume=13 |issue=2 |pages= |doi=10.1080/10691898.2005.11910556 |accessdate=27 червня 2018 |archive-date=14 жовтня 2008 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081014045349/http://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html }}</ref>
* Для одномодальних розподілів, мода знаходиться в межах <math>\sqrt{3}</math> стандартних відхилень від середнього, а корінь із сереньоквадратичного відхилення від моди знаходиться між значеннями одного стандартного відхилення і двох стандартних відхилень.<ref>{{cite paper |last=Bottomley |first=H. |year=2004 |url=http://www.se16.info/hgb/mode.pdf |title=Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution |work=Unpublished preprint |accessdate=27 червня 2018 |archivedate=14 червня 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180614053052/http://www.se16.info/hgb/mode.pdf }}</ref>

=== Приклад із не симетричними розподілами ===
Прикладом [[Коефіцієнт асиметрії|не симетричного]] розподілу є розподіл особистого достатку людей: Декілька людей є дуже багатими, але серед них є деякі, які є екстремально багатими. Однак, досить велика кількість є бідними.

[[Файл:Comparison mean median mode.svg|lang=uk|thumb|300px|Порівняння середнього, медіани і моди двох [[Логнормальний розподіл|логнормальних розподілів]] із різними коефіцієнтами асиметрії.]]
Добре відомий клас розподілів, які можуть мати довільну асиметрію це [[логнормальний розподіл]]. Він отримується шляхом перетворення випадкової величини ''X'', що має нормальний розподіл у випадкову величину ''Y'' = ''e''<sup>''X''</sup>. Тоді логарифм випадкової величини ''Y'' є нормально розподіленим, з чого і була утворена назва розподілу.

Якщо прийняти, що μ величини ''X'' дорівнює 0, медіана величини ''Y'' буде дорівнювати 1, не залежно від [[Стандартне відхилення|стандартного відхилення]] σ величини ''X''. Це тому що ''X'' має симетричний розподіл, так що його медіана також дорівнює 0. Перетворення величини ''X'' у ''Y'' є монотонним, тому медіана ''e''<sup>0</sup> = 1 для ''Y''.

Коли ''X'' має стандартне відхилення σ = 0.25, розподіл ''Y'' є злегка асиметричним. Використавши формули для логнормального розподілу, отримаємо:
: <math>\begin{array}{rlll}
\text{середнє}   & = e^{\mu + \sigma^2 / 2} & = e^{0 + 0.25^2 / 2} & \approx 1.032 \\
\text{мода}   & = e^{\mu - \sigma^2}     & = e^{0 - 0.25^2}     & \approx 0.939 \\
\text{медіана} & = e^\mu                  & = e^0                & = 1
\end{array}</math>
Насправді, медіана знаходиться приблизно на третині відстані від середнього до моди.

Коли ''X'' має більше стандартне відхилення, σ = 1, розподіл ''Y'' буде сильно асиметричним. Тепер
: <math>\begin{array}{rlll}
\text{середнє}   & = e^{\mu + \sigma^2 / 2} & = e^{0 + 1^2 / 2} & \approx 1.649 \\
\text{мода}   & = e^{\mu - \sigma^2}     & = e^{0 - 1^2}     & \approx 0.368 \\
\text{медіана} & = e^\mu                  & = e^0             & = 1
\end{array}</math>
Тут, [[Коефіцієнт асиметрії|правило Пірсона]] не виконується.

=== Нерівність Ван Звета ===

Ван Звет отримав нерівність, що має достатні умови, за яких вона є правдивою.<ref name=vanZwet1979>{{cite journal | last1 = van Zwet | first1 = WR | year = 1979 | title = Mean, median, mode II | url = | journal = Statistica Neerlandica | volume = 33 | issue = 1| pages = 1–5 | doi=10.1111/j.1467-9574.1979.tb00657.x}}</ref> Нерівність

: Мода ≤ Медіана ≤ Середнє

виконується коли

: F(Медіана&nbsp;&minus; ''x'') + F(Медіана + ''x'') ≥ 1

для всіх ''x'' де F()&nbsp;— кумулятивна функція розподілу імовірностей.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Медіана (статистика)|Медіана]]
* [[Математичне сподівання]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

{{Math-stub}}

{{Статистика|описова}}

[[Категорія:Середні величини]]
[[Категорія:Зведена статистика]]
[[Категорія:Статті з прикладами коду мовою Matlab]]