Перегляд вихідного коду сторінки Множина розв'язків

У [[Математика|математиці]] '''множина розв'язків'''&nbsp;— це [[множина]] значень, які задовольняють заданому набору рівнянь або нерівностей.

Наприклад, для набору <math>\{f_i\}</math> [[многочлен]]ів над [[Кільце (алгебра)|кільцем]] <math>R</math>, множина розв'язків є підмножиною <math>R</math> на якій всі поліноми перетворюються на нуль, формально

: <math>\{x\in R:\forall i\in I, f_i(x)=0\}.\ </math>

[[Допустимий регіон]] [[Оптимізація з обмеженнями|задачі оптимізації з обмеженнями]] є множиною розв'язків [[Обмеження (математика)|обмежень]].

== Приклади ==

# Множиною розв'язків єдиного рівняння <math>x=0</math> є множина {0}.
# Для будь-якого ненульового многочлена <math>f</math> над [[Комплексне число|комплексними числами]] в одній змінній множина розв'язків складається зі скінченної кількості точок.
# Однак для комплексного полінома з більш ніж однією змінною множина розв'язків не має ізольованих точок.

== Зауваження ==
В [[Алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]] множини розв'язків називають [[Алгебричний многовид|алгебричними множинами]], якщо немає нерівностей. Над [[Дійсне число|дійсними числами]] і з нерівностями їх називають [[Напівалгебрична множина|напівалгебричними множинами]].

== Інші значення ==
Загальніше, '''множина розв'язків''' для довільної колекції ''E'' [[Відношення|відношень]] (''E<sub>i</sub>'') (''i'' змінюється в деякому наборі індексів ''I'') для набору невідомих <math>{(x_j)}_{j\in J}</math>, які мають набувати значень у відповідних просторах <math>{(X_j)}_{j\in J}</math>,&nbsp;— множина ''S'' всіх розв'язків відношень ''E'', де розв'язок <math>x^{(k)}</math> це сімейство значень <math display="inline">{\left( x^{(k)}_j \right)}_{j\in J}\in \prod_{j\in J} X_j</math> таке, що підстановка <math>x^{(k)}</math> замість <math>{\left(x_j\right)}_{j\in J}</math> у колекції ''E'' робить усі відношення істинними.

(Замість відношень, що залежать від невідомих, правильніше говорити про [[предикат]]и, колекція ''E'' є їх [[Кон'юнкція|логічною кон'юнкцією]], а множина розв'язків є [[Образ відображення|оберненим відображенням]] булевого значення ''істина'' за допомогою пов'язаної з ним {{Нп|Логічна функція|логічної функції|en|Boolean-valued function}}.)

Наведене вище визначення є окремим випадком цього, якщо множину поліномів ''f<sub>i</sub>'' інтерпретувати як множину рівнянь ''f<sub>i</sub>''(''x'')=0.

=== Приклади ===

* Множиною розв'язків для ''E''={''x''+''y''=0} при <math>(x,y)\in \R^2</math> є <math>S = \{ (a, -a)| a\in \mathbb {R}\}</math>.
* Множиною розв'язків для ''E'' = {''x''+''y''=0} при <math>x \in \R</math> є ''S''={−''y''}. (Тут ''y'' не «оголошено» як невідоме, і тому його слід розглядати як [[Параметр (математика)|параметр]], від якого залежить рівняння, а отже, й множина розв'язків.)
* Множиною розв'язків для <math> E = \{ \sqrt x \leqslant 4 \} </math> при <math>x\in\R</math> є інтервал ''S''=[0,2] (оскільки <math>\sqrt x</math> не визначено для від'ємних значень ''x'').
* Множиною розв'язків для <math> E = \{ e^{i x} = 1 \} </math> при <math>x\in\C</math> є <math>S = 2 \pi\mathbb {Z}</math> (див. [[тотожність Ейлера]]).

== Див. також ==
* [[Розв'язання рівнянь|Розв'язування рівнянь]]
* [[Сторонні та відсутні розв'язки]]{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Рівняння]]
[[Категорія:Нерівності]]