Перегляд вихідного коду сторінки Множина

{{Otheruses|Множина (значення)}}
{{unibox}}'''Множина́'''&nbsp;— одне з найважливіших понять сучасної [[математика|математики]]. Поняття множини введено [[аксіома]]тично як сукупність певних об'єктів довільної природи,<ref name="Cantor">{{cite journal |quote=By an aggregate (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Gansen) M of definite and '''separate''' objects m  (p.85)|last1=Cantor |first1=Georg |last2=Jourdain |first2=((Philip E.B. (Translator))) |title=beiträge zur begründung der transfiniten Mengenlehre |journal=Mathematische Annalen |date=1895 |volume=xlvi;xlix |pages=481–512;207–246 |trans-title=contributions to the founding of the theory of transfinite numbers |publisher=New York Dover Publications (1954 English translation) |language=German |url=http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm|archive-url=https://web.archive.org/web/20110610133240/http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |archive-date=2011-06-10 }}</ref> і тому множину не можна [[Означення|означити]] застосовуючи інші означені поняття. Навпаки, за допомогою поняття «множина» означають багато інших понять, і не лише в математиці. Об'єкти, які складають множину, називають [[Елемент (математика)|елементами]] цієї множини. Наприклад, можна говорити про множину всіх книг у певній бібліотеці, множину літер [[Українська абетка|українського алфавіту]], про множину всіх коренів певного [[рівняння]], множину геометричних фігур, або, навіть, множину, яка складається з інших множин.

== Історія поняття ==
Поняття множини виникло в математиці в кінці 19 століття.<ref name="Ferreirós2007">{{cite book|author=José Ferreirós|title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=TXRBwwEACAAJ|date=16 серпня 2007|publisher=Birkhäuser Basel|isbn=978-3-7643-8349-7|accessdate=21 червня 2022|archive-date=8 травня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220508030213/https://books.google.com/books?id=TXRBwwEACAAJ}}</ref> Перші принципи [[Теорія множин|теорії множин]] були сформульовані [[Бернард Больцано|Бернардом Больцано]] у його роботі ''Парадокси нескінченності''.<ref name="Russ2004">{{cite book|author=Steve Russ|title=The Mathematical Works of Bernard Bolzano|url=https://books.google.com/books?id=zp7cLQn0x3gC&pg=PR28|date=9 грудня 2004|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-151370-1|accessdate=21 червня 2022|archive-date=27 квітня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220427071142/https://books.google.com/books?id=zp7cLQn0x3gC&pg=PR28}}</ref><ref name="EwaldEwald1996">{{cite book|author1=William Ewald|author2=William Bragg Ewald|title=From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA249|year=1996|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-850535-8|page=249|accessdate=21 червня 2022|archive-date=22 квітня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220422125721/https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA249}}</ref><ref name="RusnockSebestík2019">{{cite book|author1=Paul Rusnock|author2=Jan Sebestík|title=Bernard Bolzano: His Life and Work|url=https://books.google.com/books?id=-hqJDwAAQBAJ&pg=PA430|date=25 квітня 2019|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-255683-7|page=430|accessdate=21 червня 2022|archive-date=17 квітня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220417154802/https://books.google.com/books?id=-hqJDwAAQBAJ&pg=PA430}}</ref>

З 1872 по 1897 [[Георг Кантор]] опублікував ряд робіт, в яких були систематично викладені основні розділи теорії множин. У цих роботах він не тільки ввів основні поняття теорії множин, але й збагатив математику міркуваннями нового типу, які застосовував для доведення теорем теорії множин, зокрема вперше до нескінченних множин. Тому загальновизнано, що теорію множини створив Георг Кантор. Зокрема, він визначив множину як «єдине ім'я для сукупності всіх об'єктів, що мають цю властивість», та назвав ці об'єкти елементами множини. Множину всіх об'єктів, які мають властивість <math>A(x)</math> (тобто [[Предикат|твердження, істинність якого залежить від значення змінної]] ''x''), він позначив <math>\{x\mid A(x)\}</math>, а саму властивість <math>A(x)</math> назвав ''характеристичною властивістю'' множини&nbsp;<math>X</math>.

=== Наївна теорія множин ===
{{Main|Наївна теорія множин}}
Основна властивість множини полягає в тому, що вона може мати елементи. Дві множини рівні, якщо вони мають однакові елементи. Тобто, множини ''A'' та ''B'' рівні, якщо кожен елемент ''A'' є елементом ''B'', а кожен елемент ''B'' є елементом ''A''.

Проста концепція множин виявилася надзвичайно корисною в математиці, але якщо не накласти певних обмежень на те, як можна будувати множини, виникають [[парадокс]]и:

* [[Парадокс Расселла]] показує, що «множина всіх множин, які ''не містять самих себе''», тобто <math>\{X | X </math> &mdash; множина і <math> X \notin X\}</math>, не може існувати.
* [[Парадокс Кантора]] показує, що «множина всіх множин» не може існувати.

У [[Наївна теорія множин|наївній теорії множин]] множина визначається як будь-яка ''добре визначена'' сукупність окремих елементів, але через нечіткість терміна ''добре визначений'' виникають проблеми.

=== Аксіоматизація теорії множин ===
Оскільки теорія множин фактично використовується як основа для всіх сучасних математичних теорій, в 1908 році вона була аксіоматизована незалежно [[Бертран Рассел|Бертраном Расселом]] і [[Ернст Цермело|Ернстом Цермело]]. Надалі обидві системи переглядалися і змінювалися, але в основному зберегли свій характер. Вони відомі як [[Парадокс Рассела#Теорія типів Расселла|теорія типів Рассела]] та [[теорія множин Цермело &mdash; Френкеля]]. Згодом теорію множин Кантора стала називатися наївною теорією множин, а теорію, перебудовану після Кантора, &mdash; аксіоматичною теорією множин. Аксіоматична теорія множин приймає поняття множини як [[неозначуване поняття]].<ref name="Ferreiros2001">{{cite book|author=Jose Ferreiros|title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=DITy0nsYQQoC|date=1 листопада 2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-7643-5749-8|accessdate=21 червня 2022|archive-date=15 квітня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220415164818/https://books.google.com/books?id=DITy0nsYQQoC}}</ref>

На практиці, що склалася з середини XX століття, множина визначається як модель, що задовольняє аксіомам ZFC ([[теорія множин Цермело &mdash; Френкеля|аксіоми Цермело-Френкеля]] з [[Аксіома вибору|аксіомою вибору]]). Проте за такого підходу у деяких математичних теоріях виникають сукупності об'єктів, які не є множинами. Такі сукупності називаються [[Клас (теорія множин)|класами]].

== Способи задання множин ==
Множини часто позначають через великі літери [[Латинський алфавіт|латинського алфавіту]]. Множину можна називати ''родиною'' або ''класом'', якщо її елементи самі є множинами.

=== Задання множини за допомогою переліку її елементів ===
Цей спосіб задає множину шляхом перерахування її елементів через кому у фігурних дужках. Наприклад,

: <math>A = \{4, 2, 1, 3\}</math>,
: <math>B = \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}, \mathrm{\color{blue}blue}\}</math>

У множині має значення те, чи належить їй певний елемент чи ні, тому впорядкування елементів у записі не має значення (на противагу, у [[Послідовність|послідовності]], [[Кортеж (інформатика)|кортежі]] чи [[Перестановка|перестановці]] множини порядок елементів у записі має значення). Наприклад, <math>\{2, 4, 6\}</math> та <math>\{4, 6, 2\}</math> представляють ту саму множину.

Для множин з великою кількістю елементів, особливо тих, які слідують за певним шаблоном, перелік елементів можна скорочувати за допомогою [[Три крапки|трьох крапок]] '{{math|...}}'. Наприклад, множина першої тисячі натуральних чисел може бути записана за допомогою переліку її елементів як

: <math>\{1, 2, 3, \dots, 1000\}</math>

==== Задання нескінченної множини за допомогою переліку її елементів ====
[[Нескінченна множина]] &mdash; це множина з нескінченним переліком елементів. Щоб описати нескінченну множину в цьому записі потрібно в кінці переліку або в обох кінцях поставити три крапки, щоб вказати, що перелік продовжується вічно. Наприклад, для множини цілих невід’ємних чисел буде
: <math>\{0, 1, 2, 3 ,\dots\}</math>,
а для множини [[Цілі числа|цілих чисел]] буде
: <math>\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,\dots\}</math>.

=== Семантичний опис ===
Інший спосіб задати множину &mdash; це використовувати правило для визначення елементів:
{{block indent|Нехай, {{mvar|A}} &mdash; множина, елементами якої є перші чотири [[Натуральні числа|натуральних числа]].}}
{{block indent|Нехай, {{mvar|B}} &mdash; множина кольорів [[Прапор Франції|французького прапора]].}}

Таке задання називається ''семантичним описом''.{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/4/mode/2up 4]}}

=== Нотація побудови множини ===
{{Main|Нотація побудови множини}}
В математичних задачах, як правило, розглядають елементи деякої цілком означеної множини ''A''. При цьому необхідні елементи виділяють за деякою їх властивістю (або вказують '''породжуючу процедуру''') ''P'', такою що кожний елемент <math>x \in A</math> або має властивість ''P'' (записується ''P(x)''), або не має її. За допомогою властивості ''P'' виділимо множину всіх тих елементів, які мають властивість ''P''. Цю множину будемо позначати як <math>F = \{x \in A | P(x)\} = \{x | P(x)\}</math>. У цьому записі [[вертикальна риска]] «|» означає «такий, що», це описати можна як «F &mdash; це множина елементів множини ''A'', що задовольняють умову ''P''». Деякі автори замість вертикальної риски використовують [[Двокрапка|двокрапку]] «:». Задання множини вказівкою її властивості (або '''породжуючим предикатом''') слід здійснювати обережно. Наприклад, множина <math>Y = \{X|X \notin X\}</math> (множина всіх множин, які не містять себе як елемента) веде до [[парадокс Рассела|парадокса Рассела]] і є некоректною в [[аксіоматична теорія множин|аксіоматичній теорії множин]].

== Елемент множини ==
{{Main|Елемент (математика)}}
Об'єкти, з яких складається множина, називають '''елементами множини''' або '''точками множини'''. Елементи множин часто позначаються через малі літери латинського алфавіту. Якщо <math>a</math> &mdash; елемент множини <math>A</math>, то пишуть  <math>a \in A</math> (кажуть, що «<math>a</math> належить&nbsp;<math>A</math>»). Якщо <math>a</math> не є елементом множини <math>A</math>, то пишуть <math>a \notin A</math> (кажуть, що «<math>a</math> не належить <math>A</math>»).

Порядок запису елементів множини не впливає на саму множину, тобто <math>\{23, 8\} = \{8, 23\}</math>. Крім цього з вищесказаного випливає, що для множини не визначено кількість входжень однакових елементів, тобто запис <math>A=\{23, 8, 8, 23, 8\}</math>, взагалі кажучи, не має сенсу, коли <math>A</math> &mdash; множина. Однак коректним буде запис множини <math>B = \{23, \{8\}, \{8, 23\}, 8\}</math>.

== Порожня множина ==
{{Main|Порожня множина}}
'''Порожня множина''' (або '''пуста множина''') &mdash; це унікальна множина, яка не має елементів. Вона позначається {{math|∅}} або <math>\emptyset</math>.

== Відношення між множинами ==
{{Main|Підмножина}}
Якщо кожен елемент множини ''A'' також знаходиться в ''B'', то кажуть, що ''A'' є підмножиною ''B'' або міститься в ''B''. Це позначається через <math>A \subseteq B</math> або <math>B \supseteq A</math>. Останнє позначення можна прочитати як ''B'' містить ''A'', ''B'' включає ''A'', або ''B'' є надмножиною ''A''. [[Бінарне відношення|Відношення]] між множинами, встановлене ⊆, називається ''включенням''. Дві множини називають рівними, якщо вони містять одна одну, тобто <math>A \subseteq B</math> та <math>B \subseteq A</math>, пишуть <math>A = B</math>.

Якщо ''A'' є підмножиною ''B'', але ''A'' не дорівнює ''B'', то ''A'' називається ''власною підмножиною'' ''B''. Це можна записати через <math>A \subsetneq B</math>. Так само, <math>B \supsetneq A</math> означає, що ''B'' є ''власною надмножиною'' ''A'', тобто ''B'' містить ''A'' та не дорівнює ''A''.

Третя пара операторів <math>\subset</math> і <math>\supset</math> використовується різними авторами по-різному: часто використовують <math>A \subset B</math> і <math>B \supset A</math>, щоб позначити, що ''A'' є підмножиною ''B'' і не обов'язково власною підмножиною, а іноді <math>A \subset B</math> і <math>B \supset A</math> резервують для випадків, коли ''A'' є власною підмножиною ''B''.

Приклади:
* Множина всіх людей є власною підмножиною множини всіх ссавців.
* <math>\{1, 3\} \subset \{1, 2, 3, 4\}</math>
* <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math>

Порожня множина є підмножиною кожної множини, а кожна множина є підмножиною самої себе:
* <math>\emptyset \subseteq A</math>
* <math>A \subseteq A</math>

== Діаграми Ейлера та Венна ==
[[File:Venn A subset B.svg|thumb|150px|''A'' підмножина ''B''.<br>''B'' надмножина ''A''.]]
[[Діаграма Ейлера]] &mdash; це графічне представлення набору множин, при якому кожна множина зображується у вигляді обмеженої плоскої області з її елементами всередині. Якщо {{mvar|A}} є підмножиною {{mvar|B}}, то область, що представляє {{mvar|A}}, повністю знаходиться всередині області, що представляє {{mvar|B}}. Якщо дві множини не мають спільних елементів, то області не перекриваються.

[[Діаграма Венна]] є графічним представленням {{mvar|n}} множин, у якому {{mvar|n}} областей ділять площину на {{math|2{{sup|''n''}}}} зон таким чином, що для кожного способу вибору деяких з {{mvar|n}} множин (можливо всіх або жодної) існує зона для елементів, які належать до всіх вибраних множин та жодній з інших. Наприклад, якщо множинами є {{mvar|A}}, {{mvar|B}} і {{mvar|C}}, має бути зона для елементів, які знаходяться всередині {{mvar|A}} і {{mvar|C}} та поза {{mvar|B}} (навіть якщо таких елементів не існує).

== Особливі множини чисел в математиці ==
[[File:NumberSetinC.svg|thumb|[[Натуральні числа]] <math>\mathbb{N}</math> містяться в [[Цілі числа|цілих числах]] <math>\mathbb{Z}</math>, які містяться в [[Раціональні числа|раціональних числах]] <math>\mathbb{Q}</math>, які містяться в [[Дійсні числа|дійсних числах]] <math>\mathbb{R}</math>, які, в свою чергу, містяться в [[Комплексні числа|комплексних числах]] <math>\mathbb{C}</math>]]

Існують множини такого математичного значення, до яких математики звертаються так часто, що вони отримали спеціальні назви та умовні позначення для їх ідентифікації.

Багато з цих важливих множин представлені в математичних текстах за допомогою жирного шрифту (наприклад, <math>\bold Z</math>) або {{не перекладено|Ажурний шрифт|ажурного шрифту|en|Blackboard bold}} (наприклад, <math>\mathbb Z</math>). До них належать

* <math>\bold N</math> або <math>\mathbb N</math> &mdash; множина усіх [[Натуральні числа|натуральних чисел]]: <math>\mathbb N = \{1,2,3,...\}</math>;
* <math>\bold Z</math> або <math>\mathbb Z</math> &mdash; множина усіх [[Цілі числа|цілих чисел]]: <math>\mathbb Z=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}</math>;
* <math>\bold Q</math> або <math>\mathbb Q</math> &mdash; множина усіх [[Раціональні числа|раціональних чисел]]: <math>\mathbb Q=\left\{\frac {a}{b} \mid a,b \in \mathbb Z,b\ne0\right\}</math>;
* <math>\bold R</math> або <math>\mathbb R</math> &mdash; множина усіх [[Дійсні числа|дійсних чисел]]; 
* <math>\bold C</math> або <math>\mathbb C</math> &mdash; множина усіх [[Комплексні числа|комплексних чисел]]: <math>\mathbb C = \{a + b i \mid a, b \in \mathbb R, i^{2} = -1\}</math>.

Кожна із наведених вище множин чисел має нескінченну кількість елементів і кожна є підмножиною множин, перерахованих нижче.

Множини додатних чи від’ємних чисел іноді позначаються зі знаками плюс і мінус відповідно у верхньому індексі. Наприклад, <math>\mathbb{Q}^{+}</math> представляє множину додатних раціональних чисел.

Множину натуральних чисел разом з [[0 (число)|нулем]] позначають з ''0'' у нижньому індексі: <math>\mathbb{N}_{0}</math>.

== Потужність множини ==
{{main|Потужність множини}}
Потужність множини {{math|''S''}}, що позначається ''|S|'', &mdash; це кількість елементів {{math|''S''}}. Практично всі з розглянутих вище множин мають визначену кількість елементів. Наприклад, для <math>B = \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}, \mathrm{\color{blue}blue}\}</math> буде <math>|B| = 3</math>. Порожня множина має нуль елементів. Існують множини, які мають нескінченну кількість елементів. Такою є множина всіх натуральних чисел <math>\mathbb N</math>.

Поняття потужності множин стає важливим в контексті встановлення відношень між множинами. Зрозуміло, наприклад, що взаємооднозначне відношення між множинами {{math|''A''}} та {{math|''B''}} можливо встановити лише коли кількість їхніх елементів збігається. Особливо важливою проблема порівняння потужності постає для множин з нескінченною кількістю елементів. Виявляється, що потужності таких множин можуть бути не рівними, і це призводить до деяких цікавих наслідків.

=== Нескінченні множини та нескінченна потужність ===
Насправді всі спеціальні набори чисел, згадані в розділі вище, нескінченні. Нескінченні множини мають ''нескінченну потужність''.

Деякі нескінченні потужності більші за інші. Напевно, одним із найбільш значущих результатів теорії множин є те, що множина дійсних чисел має більшу потужність, ніж множина натуральних чисел. Множини з потужністю, рівною потужності <math>\mathbb N</math>, називаються ''[[Зліченна множина|зліченними множинами]]''. Якщо потужність множини менша або рівна потужності <math>\mathbb N</math>, то цю множину називають ''не більше ніж зліченною''. Множини з потужністю, строго більшою за потужність <math>\mathbb N</math>, називають ''[[Незліченна множина|незліченними множинами]]''. Множини з потужністю, рівною потужності інтервала ''(0,1)'', називаються [[Континуум (теорія множин)|континуальними]].

Можна показати, що потужність [[Пряма|прямої]] (тобто кількість точок на прямій) є такою ж, як і потужність будь-якого [[Відрізок|відрізка]] цієї прямої, усієї [[Площина|площини]] та, насправді, будь-якого [[Розмірність простору|скінченновимірного]] [[Евклідів простір|евклідового простору]], тобто всі тут перелічені множини мають потужність континууму.

=== Континуум-гіпотеза ===
{{Main|Континуум-гіпотеза}}
Гіпотеза континууму, сформульована Георгом Кантором у 1878 році, стверджує, що не існує множини з потужністю строго між потужністю натуральних чисел та потужністю прямої.<ref name = "Cantor1878">{{Cite journal | first = Georg | last = Cantor | title = Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik | volume = 1878 | issue = 84 | year = 1878 | pages = 242–258 | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15 | doi = 10.1515/crll.1878.84.242 | accessdate = 21 червня 2022 | archive-date = 5 лютого 2021 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210205123041/http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15 }}</ref> У 1963 році [[Пол Джозеф Коен|Пол Коен]] довів, що гіпотеза континууму [[Незалежність системи аксіом|не залежить]] від системи аксіом ZFC, що складається з [[Теорія множин Цермело &mdash; Френкеля|теорії множин Цермело–Френкеля]] та [[Аксіома вибору|аксіоми вибору]].<ref name = "Cohen1963">
{{Cite journal
 | first = Paul J. | last = Cohen
 | title = The Independence of the Continuum Hypothesis
 | journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
 | volume = 50 | issue = 6 | date = December 15, 1963 | pages = 1143–1148
 | doi = 10.1073/pnas.50.6.1143
 | pmid = 16578557
 | pmc = 221287 | jstor=71858
 | bibcode = 1963PNAS...50.1143C| doi-access = free
 }}
</ref> (ZFC є найбільш широко вивченою версією аксіоматичної теорії множин).

== Булеан ==
{{Main|Булеан}}
Булеаном множини ''S'' є множина всіх підмножин ''S''. Оскільки порожня множина і сама ''S'' є підмножинами ''S'', то вони будуть елементами булеана множини ''S''. Наприклад, булеаном множини <math>\{1, 2, 3\}</math> буде <math>\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 3\}\}</math>. Булеан множини ''S'' зазвичай позначають як {{math|''P''(''S'')}} або {{math|2{{sup|''S''}}}}.

Якщо множина ''S'' має ''n'' елементів, то {{math|2{{sup|''S''}}}} має {{math|2{{sup|''n''}}}} елементів. Наприклад, множина <math>\{1, 2, 3\}</math> має три елементи, а її булеан, як показано вище, має {{math|2{{sup|3}} {{=}} 8}} елементів.

Якщо множина ''S'' є нескінченною (незалежно від того, чи зліченною чи незліченною), то {{math|2{{sup|''S''}}}} незліченний. Більше того, булеан завжди строго «більший», ніж вихідна множина, у тому сенсі, що будь-яка спроба з’єднати елементи ''S'' з елементами {{math|2{{sup|''S''}}}} у пари залишить деякі елементи {{math|2{{sup|''S''}}}} без пари. (Ніколи не буває [[Бієкція|бієкції]] між ''S'' та {{math|2{{sup|''S''}}}}).

== Розбиття множини ==
{{Main|Розбиття множини}}
Розбиття множини ''S'' &mdash; це множина непорожніх підмножин ''S'', таких, що кожен елемент ''x'' з ''S'' знаходиться тільки в одній із цих підмножин. Тобто ці підмножини [[Неперетинні множини|попарно не перетинаються]] (це означає, що будь-які дві множини розбиття не містять жодного спільного елемента), а об’єднання всіх підмножин розбиття дає S.

== Операції з множинами == <!-- використовується для перенаправлення [[Операції з множинами]] -->
{{Main|Алгебра множин}}
Існує кілька основних операцій для побудови нових множин із заданих множин.

=== Об'єднання множин ===
[[Файл:Venn_A_union_B.png|thumb|<div class="center">'''Об'єднання''' множин {{math|''A''}} та {{math|''B''}}</div>]]
{{main|Об'єднання множин}}
'''Об'єднання''' множин ''A'' та ''B''</small></center></div>
''Об'єднанням множин'' ''А'' та ''B'', що позначається {{nowrap|''A'' ∪ ''B''}}, називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин ''A'', ''B'':
: <math>A \cup B = \{x \mid x \in A</math> або <math>x \in B\}</math>.

Приклади:
* <math>\{1, 2\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\}</math>
* <math>\{1, 2\} \cup \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}\} = \{1, 2, \mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}\}</math>
* <math>\{1, 2\} \cup \{1, 2\} = \{1, 2\}</math>

'''Деякі властивості операції об'єднання:'''
* <math>A \cup B = B \cup A</math> ([[комутативність]]);
* <math>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C</math> ([[асоціативність]]);
* <math>A \subseteq (A \cup B)</math>;
* <math>A \cup A = A</math> ([[ідемпотентність]]);
* <math>A \cup \emptyset = A</math>;
* <math>A \subseteq B</math> [[тоді й лише тоді]], коли <math>A \cup B = B</math>.

=== Перетин множин ===
[[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|thumb|<div class="center">'''Перетин''' множин {{math|''A''}} та {{math|''B''}}</div>]]
{{main|Перетин множин}}
''Перетином множин'' ''А'' та ''B'', що позначається {{nowrap|''A'' ∩ ''B''}}, називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній із множин ''А'', ''B'':
: <math>A \cap B = \{x \mid x \in A</math> та <math>x \in B\}</math>.
Кажуть, що множини ''не перетинаються'', якщо <math>A \cap B = \emptyset</math>.

Приклади:
* <math>\{1, 2\} \cap \{2, 3\} = \{2\}</math>
* <math>\{1, 2\} \cap \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}\} = \emptyset</math>
* <math>\{1, 2\} \cap \{1, 2\} = \{1, 2\}</math>

'''Деякі властивості операції перетину:'''
* <math>A \cap B = B \cap A</math> ([[комутативність]]);
* <math>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C</math> ([[асоціативність]]);
* <math>(A \cap B) \subseteq A</math>;
* <math>A \cap A = A</math> ([[ідемпотентність]]);
* <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>
* <math>A \subseteq B</math> [[тоді й лише тоді]], коли <math>A \cap B = A</math>.

=== Доповнення та різниця множин ===
[[Файл:Venn_B_minus_A.png|thumb|<div class="center">'''Різниця''' множин ''A'' та ''B''</div>]]
[[Файл:Venn_A_complement.png|thumb|<div class="center">'''Доповнення''' A</div>]]
{{main|Доповнення та різниця множин}}
Для двох множин також можна ввести операцію «віднімання». ''Теоретико-множинною різницею'' (або просто ''різницею'') множин ''A'' та ''B'', що позначається {{nowrap|''A'' \ ''B''}} (або {{nowrap|''A'' - ''B''}}), є множина таких елементів множини ''A'', які не&nbsp;належать множині ''B'':

: <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A</math> і <math>x \notin B\}</math>

За домовленістю усі обговорювані множини вважаються підмножинами заданої [[Універсальна множина|універсальної множини]] ''U''. У таких випадках {{nowrap|''U'' \ ''A''}} називають ''доповненням'' до ''A'' і позначають <math>\overline A</math>, <math>A^{\prime}</math> або <math>A^{c}</math>.

: <math>\overline A = U \setminus A</math>

Приклади:
* <math>\{1, 2\} \setminus \{1, 2\} = \emptyset</math>;
* <math>\{1, 2, 3, 4\} \setminus \{1, 3\} = \{2, 4\}</math>;
* Якщо <math>U</math>&nbsp;&mdash; множина [[ціле число|цілих чисел]], то доповнення її підмножини всіх [[парне число|парних чисел]] <math>A</math> є підмножина всіх [[непарне число|непарних чисел]] <math>\overline A</math>.

'''Деякі властивості операцій доповнення та різниці:'''
* <math>A \setminus B \ne B \setminus A</math> при <math>A \ne B</math>;
* <math>A \cup \overline A = U</math>;
* <math>A \cap \overline A = \emptyset</math>;
* <math>\overline{\overline A} = A</math>;
* <math>\emptyset \setminus A = \emptyset</math>;
* <math>A \setminus \emptyset = A</math>;
* <math>A \setminus A = \emptyset</math>;
* <math>A \setminus U = \emptyset</math>;
* <math>A \setminus \overline A = A</math> та <math>\overline A \setminus A = \overline A</math>;
* <math>\overline U = \emptyset</math> та <math>\overline \emptyset = U</math>;
* <math>A \setminus B = A \cap \overline B</math>;
* якщо <math>A \subseteq B</math>, то <math>A \setminus B = \emptyset</math>.

=== Симетрична різниця множин ===
[[Файл:Sym_complement.png|thumb|<div class="center">'''Симетрична різниця''' множин ''A'' та ''B''</div>]]
{{main|Симетрична різниця множин}}
''Симетричною різницею множин'' ''A'' та ''B'', що позначається {{nowrap|''A'' Δ ''B''}}, називається така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох:

: <math>A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)</math>

Наприклад, симетрична різниця множин <math>\{1, 2, 3\}</math> та <math>\{3, 4\}</math> дорівнює <math>\{1, 2, 4\}</math>.

Також, справедлива наступна тотожність:

: <math>A\,\Delta\,B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)</math>

=== Декартів добуток множин ===
{{main|Декартів добуток множин}}
Нову множину можна побудувати, пов'язуючи кожен елемент однієї множини з кожним елементом іншої множини. ''Декартовим добутком'' двох множин ''A'' і ''B'', що позначається {{nowrap|''A'' × ''B''}}, називається множина всіх [[Впорядкована пара|впорядкованих пар]] (''a'', ''b''), таких, що ''a'' належить&nbsp;''A'', а ''b'' належить&nbsp;''B'':

: <math>A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\, b \in B\}</math>

Приклади:
* <math>\{1, 2\} \times \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}, \mathrm{\color{blue}blue}\} = \{(1, \mathrm{\color{red}red}), (1, \mathrm{\color{green}green}), (1, \mathrm{\color{blue}blue}), (2, \mathrm{\color{red}red}), (2, \mathrm{\color{green}green}), (2, \mathrm{\color{blue}blue})\}</math>;
* <math>\{1, 2\} \times \{1, 2\} = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}</math>;
* <math>\{a, b, c\} \times \{d, e, f\} = \{(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)\}</math>

'''Деякі властивості декартового добутку:'''
* <math>A \times \emptyset = \emptyset</math>;
* <math> A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math>;
* <math>(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)</math>.

Нехай ''A'' та ''B'' &mdash; [[Скінченна множина|скінченні множини]], тоді потужність їх декартового добутку дорівнює добутку їх потужностей:
: <math>|A \times B| = |B \times A| = |A| \cdot |B|</math>

== Правила де Моргана ==
{{Main|Правила де Моргана}}
[[Аугустус де Морган]] встановив два закони про множини.

Нехай {{mvar|A}} та {{mvar|B}} &mdash; будь-які дві множини, тоді

доповнення до об'єднання {{mvar|A}} та {{mvar|B}} дорівнює перетину доповнення до {{mvar|A}} і доповненням до {{mvar|B}}:

: <math>\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B</math>

доповнення до перетину {{mvar|A}} та {{mvar|B}} дорівнює об'єднанню доповнення до {{mvar|A}} і доповненням до {{mvar|B}}:

: <math>\overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B</math>

== Формула включень-виключень ==
{{Main|Формула включень-виключень}}
[[Image:A union B.svg|thumb|Для обчислення розміру об’єднання множин використовується принцип включення-виключення: розмір об’єднання &mdash; це розмір двох множин мінус розмір їх перетину.]]
Принцип включення-виключення &mdash; це метод підрахунку, який можна використовувати для підрахунку кількості елементів в об’єднанні двох скінченних множин — якщо відомі потужність кожної множини та потужність їх перетину. Тоді потужність об'єднання можна виразити як

: <math>|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|</math>.

Більш загальну форму принципу можна використовувати для знаходження потужності будь-якого скінченного об’єднання множин:

<math display="block">\begin{align}
\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\ldots\cup A_{n}\right|=& \left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n}\right|\right) \\
&{} - \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right) \\
&{} + \ldots \\
&{} + \left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\ldots\cap A_{n}\right|\right).
\end{align}</math>

== Див. також ==
* [[Мультимножина]]
* [[Нечітка множина]]
* [[Principia Mathematica]]
* [[Циклічний порядок]]
* [[Відображення]]
* [[Відношення]]
* [[Відповідність між множинами]]

== Література ==
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{книга
 |автор          = [[Казимир Куратовський| К. Куратовський]]
 |частина        = 
 |заголовок      = Вступ до теорії множин та топології
 |посилання      = 
 |видання        = 8
 |відповідальний = 
 |місце          = Варшава
 |видавництво    = PWN
 |рік            = 1980
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       =
 |isbn           = 83-01-01372-9
 |ref            =
}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Поняття множини|сторінки=162}}

== Примітки ==
{{Reflist}}


{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Множини|*]]
[[Категорія:Теорія множин| ]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:Поняття в логіці]]
[[Категорія:Математичні об'єкти]]