Перегляд вихідного коду сторінки Множення

[[Файл:Three by Four.svg|thumb|3 × 4 = 12]]
[[Файл:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|4 торбинки, по 3 кульки в кожній дають разом 12 кульок. <br/> 4 кульки кожного із трьох кольорів теж разом дають 12.]]
'''Мно́ження'''&nbsp;— [[бінарна операція]] над математичними об'єктами.

Операнди [[множення]] називаються [[множник]]ами, результат&nbsp;— [[добуток|добутком]].

Позначається хрестиком <math>\ 5\times 3,</math> крапкою <math>\ 5\cdot 3,</math> [[астериск]]ом <math>\ 5*3.</math> В алгебраїчних виразах [[знак множення]] зазвичай опускається. Для позначення послідовного множення багатьох елементів використовується символ <math> \prod </math>.

Операція множення загалом має властивість [[асоціативність|асоціативності]], але [[комутативність]] для неї не обов'язкова.

Множники можуть бути математичними об'єктами як однієї природи, так і різної. Добуток теж може бути математичним об'єктом зовсім іншого типу, відмінного від типу множників.

== Визначення ==

=== Множення натуральних чисел ===
{{Результати обчислення}}
Операція множення [[натуральне число|натуральних чисел]] визначається через операцію [[додавання]]. Для того, щоб перемножити натуральне число <math>\ n</math> на натуральне число <math>\ m</math> необхідно обчислити [[сума|суму]], в якій число <math>\ n</math> береться <math>\ m</math> разів
: <math>\ n \cdot m = n + n + \ldots + n.</math>

Наприклад,
: 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множення натуральних чисел комутативне: від перестановки множників добуток не міняється.

=== Множення цілих чисел ===
Множення цілих чисел зводиться до множення натуральних чисел&nbsp;— [[абсолютна величина|абсолютних величин]] цих чисел, а знак добутку визначається знаками множників. Добуток береться зі знаком «плюс», якщо обидва множники додатні або [[від'ємні числа|від'ємні]], зі знаком «мінус», якщо множники мають різні знаки.

Результатом множення будь-якого числа на [[0 (число)|нуль]] є нуль.

=== Множення раціональних чисел ===
Для того, щоб помножити [[раціональне число]] <math> \frac{p_1}{q_1}</math> на раціональне число <math> \frac{p_2}{q_2}</math> потрібно перемножити чисельники і знаменники дробів. Чисельник добутку є добутком чисельників, знаменник&nbsp;— добутком знаменників. При можливості проводяться скорочення.
: <math>\frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2}</math>

=== Множення ірраціональних чисел ===
Кожне [[ірраціональне число]] можна подати як [[границя числової послідовності|границю]] певної раціональної [[числова послідовність|послідовності]].

Якщо ірраціональне число <math> a = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n </math>, а <math> b = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n </math>, то
: <math>ab = \lim_{n \rightarrow \infty} a_nb_n </math>

=== Множення комплексних чисел ===
Множення [[комплексне число|комплексних чисел]] визначається за формулою
: <math> (x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1 y_2, x_1y_2+x_2y_1 ) </math>,

або, в іншій формі запису,
: <math> (x_1+ i y_1)\cdot(x_2 + i y_2) = x_1x_2 - y_1y_2 + i(  x_1y_2+x_2y_1 ) </math>,
  

=== Вектори ===
Для [[вектор]]ів існує кілька типів множення. Зокрема, вектор можна помножити на [[дійсне число]]. При цьому змінюється його довжина, і, при множенні на від'ємне число, напрямок (на протилежний).

Існують різні типи добутку двох векторів: [[скалярний добуток]], [[векторний добуток]], [[тензорний добуток]] (тензорний добуток векторів називається також ''діадним'').

== Матриці ==
[[Матриця (математика)|Матриці]] можна перемножити між собою, якщо кількість стовпчиків у першій із них збігається із кількістю рядків у другій. Результатом множення є матриця із кількістю рядків, яка дорівнює кількості рядків у першому множнику, і кількістю стовпчиків, яка дорівнює кількості стовпчиків у другому множнику. Тобто, при перемножуванні матриці m×n на матрицю n×k утворюється матриця m×k. Елементи матриці добутку визначаються за формулою
: <math> c_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj} \,</math>

Множення матриць не має властивості комутативності. В загальному випадку <math> AB \neq BA </math>.

Матрицю можна також помножити на число, при цьому кожен елемент матриці множиться на це число.

== Оператори ==
[[Композиція функцій|Добутком двох операторів]] називають їхнє послідовне застосування. При дії оператора A на об'єкт f утворюється об'єкт Af. Якщо подіяти тепер на нього оператором B, то утвориться новий об'єкт, який можна трактувати як утворений із початкового об'єкта f дією оператора BA.

Множення операторів у загальному випадку не комутативне.

== Обчислення ==
[[Файл:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|Вчена мавпа&nbsp;— невелика іграшка 1918 року, що використовувалася як «калькулятор» для множення. <small><small>Наприклад: якщо розмістити ноги мавпи на числа 4 і 9, в результаті буде отримане число&nbsp;— 36&nbsp;— на що вказують руки.</small></small>]]

Загальні методи множення чисел із використанням олівця та паперу потребують знання напам'ять [[Таблиця множення|таблиці множення]] або довідник добутків малих чисел (як правило двох чисел від 0 до 9), однак існує один метод, [[єгипетський метод множення|єгипетський алгоритм множення]], при якому це не потрібно.

Множення вручну чисел із більшою кількістю десяткових розрядів є виснажливою процедурою із можливістю зробити помилку. Для спрощення розрахунків були придумані [[Десятковий логарифм|десяткові логарифми]]. За допомогою [[Логарифмічна лінійка|логарифмічної лінійки]] числа можна множити відносно швидко із точністю до трьох знаків. На початку 20-го століття, з'явилися механічні [[калькулятор]]и, що автоматизували множення чисел довжиною до 10&nbsp;цифрових розрядів. Сучасні електронні [[комп'ютер]]и і калькулятори значно спростили розрахунки і зменшили необхідність виконувати множення вручну.

=== Історичні алгоритми ===
Методи множення були записані в часи існування ще стародавніх цивілізацій: в [[Стародавній Єгипет|стародавньому Єгипті]], [[Стародавня Греція|Греції]], [[Історія Індії|Індії]] і [[Історія Китаю|Китаї]].

[[Кістка Ішанго]], археологічна знахідка що датується близько від 18000 до 20000&nbsp;рр до н.&nbsp;е., вказує на вміння множити ще в період [[Пізній палеоліт|пізнього палеоліту]], і була знайдена у [[Центральна Африка|Центральній Африці]].

==== Єгипет ====
{{Main|Єгипетський метод множення}}
Єгипетський метод множення цілих чисел і дробів, було описано у [[Папірус Рінда|папірусі Рінда]], і здійснювався шляхом послідовного додавання і подвоєння. Наприклад, аби знайти добуток числа 13 і 21 необхідно було подвоїти число 21 тричі, отримавши {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 =  2 × 84 = 168}}. Повний добуток зрештою можна знайти додавши відповідні елементи знайдені у послідовності подвоєння:
: 13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

==== Вавилон ====
[[Вавилонія|Вавилонці]] використовували [[Шістдесяткова система числення|шістдесяткову]] [[Позиційні системи числення|позиційну систему числення]], аналогічну сучасній [[Десяткова система числення|десятковій системі]]. Таким чином, множення у Вавилонії було подібним до сучасного десяткового множення. Через відносну складність запам'ятовування усіх різних добутків із комбінацій {{nowrap|60 × 60}}, вавилонські математики використовували таблиці множення. Ці таблиці містили список перших двадцяти множників окремого ''principal number'' ''n'': ''n'', 2''n'', …, 20''n''; за якими слідують множники на 10''n'': 30''n'' 40''n'', і 50''n''. Тоді, аби розрахувати добуток шістдесяткового числа, наприклад 53''n'', необхідно скласти значення 50''n'' і 3''n'' розрахованих із таблиці.

==== Китай ====
[[Файл:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]
У математичній праці ''[[Чжоубі Суаньцзин]]'', що датується до 300&nbsp;р. до н.&nbsp;е., а в ''[[Математика в дев'яти книгах|Дев'яти книгах з математики]]'', процедура множення була описана словами, хоча раніше китайські математики використовували [[Рахування китайськими паличками|палички для рахування]] таких операцій як додавання, віднімання, множення і ділення. Арифметичні алгоритми із позиційними десятковими числами потрапили до арабських країн завдяки [[Аль-Хорезмі]] на початку 9-го&nbsp;століття.

=== Сучасні методи ===
Сучасні методи множення основані на [[Індо-арабська система числення|Індо-арабській системі числення]] і вперше їх описав [[Брамагупта]]. Він навів правила для додавання, віднімання, множення і ділення.

== Властивості ==
Для [[Дійсне число|дійсних]] і [[Комплексне число|комплексних]] чисел, до яких відносяться [[натуральні числа]], [[Цілі числа|цілі]] і [[Раціональні числа|дроби]], множення має наступні властивості:

;[[Комутативність]]: Порядок множення чисел не має значення:
:: <math>x\cdot y = y\cdot x.</math>

;[[Асоціативність]]: Результат виразів, що повністю складаються з операції множення чи додавання не залежить від [[Черговість операцій|черговості операцій]]:
:: <math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>

;[[Дистрибутивність]]: Виконується при добутку на суму. Ця властивість дуже корисна при спрощенні алгебраїчних виразів:
:: <math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>

;[[Нейтральний елемент]]: Мультиплікативний нейтральний елемент це число 1; будь-яке число помножене на 1 буде дорівнювати самому числу:
:: <math>x\cdot 1 = x</math>

;Властивість 0
: Будь-яке число помножене на 0 дасть в результаті 0. Це називають нульовою властивістю множення:
:: <math>x\cdot 0 = 0</math>

;[[Протилежне число|Від'ємне число]]: Результатом множення будь-якого числа на −1 буде [[протилежне число]] даного числа.
:: <math>(-1)\cdot x = (-x)</math> де <math>(-x)+x=0</math>

: –1 помножене на –1 дорівнює 1.
:: <math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>

;[[Обернений елемент]]: Кожне число ''x'', крім 0, має '''[[Обернене число|мультиплікативне обернене число]]''', <math>\frac{1}{x}</math>, так що <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.

;Збереження [[Теорія порядку|порядку]]: Множення на додатне число зберігає [[Теорія порядку|теорію порядку]]:
:: Для {{nowrap|''a'' > 0}}, якщо {{nowrap|''b'' > ''c''}} тоді {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
: Множення на від'ємне число робить порядок оберненим:
:: Для {{nowrap|''a'' < 0}}, якщо {{nowrap|''b'' > ''c''}} тоді {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
: Комплексні числа не мають порядку.

Інші математичні системи, що містять операцію добутку можуть не мати всіх цих властивостей. Наприклад, в загальному випадку, множення не є комутативною операцією для [[Матриця (математика)|матриць]] і [[Кватерніони|кватерніонів]].

== Добуток послідовностей чисел ==

=== Нотація із великим Пі ===
Добуток послідовності множників можна записати за допомогою спеціального символу добутку, який позначається великою літерою Π (Пі) [[Грецька абетка|грецького алфавіту]]. Значення юнікод U+220F (∏), що задає символ, який позначає таких добуток, відрізняється від коду самої літери U+03A0 (Π). Значення такого запису є наступним:
: <math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,</math>
що дорівнює
: <math>\prod_{i=1}^4 i = 24.</math>

Індекс задає символ для [[Вільні і зв'язані змінні|довільної змінної]] (в даному випадку ''i''), що називається «індексом множення», а також задається її нижня межа значення (''1''), а над цим задається його верхня межа значень (тут це ''4''). Верхня і нижня межа мають бути виразами, що задають цілі значення. Множники цього добутку отримуються за допомогою виразу, що слідує за оператором добутку, із послідовними цілими значеннями, що підставляються замість індексу множення, починаючи від нижньої межі із збільшенням що разу на 1 до верхньої межі включно. Тож, наприклад:
: <math>\prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720</math>

В більш загальному випадку, нотація визначається наступним чином
: <math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
де ''m'' і ''n'' це цілі або вирази, що розраховуються до цілих значень. У випадку коли {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, значенням добутку буде таким самим, як значення одного множника ''x''<sub>''m''</sub>. Якщо {{nowrap|''m'' > ''n''}}, добутком буде [[порожній добуток]], що має значення&nbsp;1.

=== Нескінченні добутки ===
{{Main|Нескінченний добуток}}
Також можливо розглядати добутки нескінченної кількості множників; вони так і називаються [[Нескінченний добуток|нескінченними добутками]]. У вигляді нотації, це можна позначити замінивши межу ''n'' зверху на [[Лемніската|лемніскату]] ∞. Добуток таких послідовностей визначається як [[Границя числової послідовності|границя]] добутку перших ''n'' термів, при тому що ''n'' зростає до нескінченності. Що за визначенням,
: <math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>

Також можна замінити ''m'' від'ємною нескінченністю, і визначити:
: <math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
обидві наведені границі існують.

== Аксіоми ==
{{Main|Аксіоми Пеано}}
У своїй книзі ''{{iw|Arithmetices principia, nova methodo exposita}}'' (Принципи арифметики, представлені новим методом), [[Джузеппе Пеано]] запропонував аксіоми із арифметики на основі його аксіом для натуральних чисел.<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |title=Peano arithmetic |publisher=[[PlanetMath]] |accessdate=9 січня 2019 |archive-date=19 серпня 2007 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html }}</ref> Арифметика Пеано має дві аксіоми для множення:
: <math>x \times 0 = 0</math>
: <math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>

Тут ''S''(''y'') задає {{нп|Порядковий наступник|наступником|en|Successor ordinal}} числа ''y'', або натуральне число що ''слідує'' за ''y''. Із цих та інших аксіом Пеано з арифметики включаючи [[Математична індукція|індукцію]] можна довести різноманітні властивості такі як асоціативність. Наприклад ''S''(0), що позначається 1, є мультикативною одиницею тому що
: <math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x</math>

Аксіоми для [[Цілі числа|цілих чисел]] зазвичай визначають їх як еквівалентні класи впорядкованих пар натуральних чисел. Модель засновується на ставленні до (''x'',''y'') як еквіваленту до {{nowrap|''x'' − ''y''}} коли ''x'' і ''y'' вважаються цілими. Таким чином обидві пари (0,1) і (1,2) еквівалентні −1. Аксіома множення для цілих, що визначені таким чином буде наступною
: <math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>

Правило, що −1 × −1 = 1 тоді може бути отримане із
: <math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0)</math>

Множення аналогічним чином поширюється на [[раціональні числа]], а потім і на [[дійсні числа]].

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Таблиця множення]]
* [[Формули скороченого множення]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Погребиський.Арифметика}}

{{Елементарна арифметика}}
{{Гіпероперації}}

[[Категорія:Множення| ]]
[[Категорія:Елементарна арифметика]]
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Категорія:Арифметичні операції]]
[[Категорія:Математична нотація]]