Перегляд вихідного коду сторінки Многочлен Александера

'''Многочлен Александера'''&nbsp;— це [[інваріант вузла]], який зіставляє [[многочлен]] з цілими коефіцієнтами вузлу будь-якого типу. [[Джеймс Александер]] виявив перший [[многочлен вузла]] 1923 року. У 1969 [[Джон Конвей]] представив версію цього многочлена, яка нині носить назву '''многочлен Александера&nbsp;— Конвея.''' Цей многочлен можна обчислити за допомогою [[скейн-співвідношення]], хоча важливість цього не була усвідомлена до відкриття 1984 року [[Многочлен Джонса|многочлена Джонса]]. Незабаром після доопрацювання Конвеєм многочлена Александера стало зрозуміло, що схоже скейн-співвідношення було і в статті Александера для його многочлена<ref>Александер описує скейн-співвідношення в кінці статті під заголовком «Різні теореми», можливо, тому їх і не помітили. Джоан Бірман згадує в своїй статті «Новий погляд на теорію вузлів» (''New points of view in knot theory'', Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 28 (1993), no. 2, 253—287), що Марк Кідвелл привернув її увагу до співвідношення Александера в 1970.</ref>.

== Визначення ==
Нехай ''K''&nbsp;— вузол на [[3-сфера|3-сфері]]. Нехай ''X''&nbsp;— нескінченна [[Накриття (топологія)|циклічне накриття]] [[доповнення вузла]] ''K.'' Це накриття можна отримати розрізанням доповнення вузла уздовж [[поверхня Зейферта|поверхні Зейферта]] вузла ''K'' і склеювання нескінченного числа копій отриманого многовиду з межею. Існує {{Не перекладено|накривальне перетворення||en|deck transformation}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:deck transformation]] (→ [[:en:Covering space#Deck transformation]]) перекладена як [[Накриття (топологія)]], хоча хотіли [[накривальне перетворення]] (SashkoR0B0T)--> ''t,'' що діє на ''X.'' Позначимо першу групу цілочисельних гомологій ''X'' як <math>H_1(X)</math>. Перетворення ''t'' діє на цю групу, так що ми можемо вважати <math>H_1(X)</math> [[Модуль над кільцем|модулем]] над <math>\mathbb{Z}[t, t^{-1}]</math>. Він називається '''інваріантом Александера''' або '''модулем Александера'''.

Цей модуль скінченно породжений. Матриця коподання для цього модуля називається '''матрицею Александера'''. Якщо число генераторів ''r'' менше або дорівнює числу співвідношень ''s,'' то розглянемо ідеал, породжений мінорами матриці Александера порядку ''r.'' Це нульовий {{Не перекладено|ідеал Фіттінга||en|Fitting ideal}}, або '''ідеал Александера''', і він не залежить від вибору матриці коподання. Якщо ''r>s,'' вважаємо ідеал рівним 0. Якщо ідеал Александера [[Головний ідеал|головний]], то породжувальний елемент цього ідеалу і називається многочленом Александера даного вузла. Оскільки породжувальну можна вибрати однозначно з точністю до множення на одночлен Лорана <math>\pm t^n</math>, часто зводять до певного унікального вигляду. Александер вибирав нормалізацію, в якій многочлен має додатний сталий член.

Александер довів, що ідеал Александера ненульовий і завжди [[Головний ідеал|головний]]. Таким чином, многочлен Александера завжди існує, і ясно, що це інваріант вузла, що позначається <math>\Delta_K(t)</math>. Многочлен Александера для вузла, утвореного однією ниткою, має степінь 2 і для дзеркального відбиття вузла многочлен буде таким самим.

== Обчислення многочлена ==
Дж. В. Александер у статті навів такий алгоритм обчислення многочлена Александера.

Візьмемо [[Орієнтація|орієнтовану]] діаграму вузла з ''n'' перетинами. Є ''n''+2 ділянок діаграми. Щоб отримати многочлен Александера, спочатку побудуємо [[Матриця інцидентності|матрицю інцидентності]] розміру (''n,'' ''n''+2). ''n'' рядків відповідають ''n'' перетинам, а ''n'' + 2 стовпців відповідають ділянкам. Значеннями елементів матриці будуть 0, 1, -1, ''t,''&nbsp;— ''t.''
[[Файл:Alexander_Matrix_elm.svg|праворуч|міні| Значення елементів матриці для ділянок, суміжних перетину. Лінія, зазначена стрілкою, лежить знизу і стрілка вказує напрямок обходу.]]
Розглянемо елемент матриці, відповідний деякій ділянці і перетину. Якщо ділянка не прилягає до перетину, елемент дорівнює 0. Якщо ділянка прилягає до перетину, значення елемента залежить від положення. Малюнок праворуч показує значення елементів у матриці для перетину (ділянку вузла, що лежить нижче, позначено напрямком обходу, для верхньої напрямок не має значення). Залежно від положення, ділянки відносно нижньої лінії, елементи набувають таких значень:

: ліворуч до перетину:&nbsp;— ''t''
: праворуч до перетину: 1
: ліворуч після перетину: ''t''
: праворуч після перетину: -1

Видалимо два стовпці, що відповідають суміжним ділянкам з матриці, і обчислимо визначник отриманої ''n×n'' матриці. Залежно від того, які стовпці видалено, відповідь буде відрізнятися на множник <math>\pm t^n</math>. Щоб уникнути неоднозначності, поділимо многочлен на найбільший можливий степінь ''t'' і помножимо на -1, якщо необхідно, для отримання додатного коефіцієнта. Отриманий многочлен&nbsp;— це многочлен Александера.

Многочлен Александера можна обчислити, виходячи з {{Не перекладено|Матриця Зейферта|матриці Зейферта|en|Seifert matrix}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Seifert matrix]] (→ [[:en:Seifert surface]]) перекладена як [[Поверхня Зейферта]], хоча хотіли [[Матриця Зейферта]] (SashkoR0B0T)-->.

Після роботи Александера Р. Фокс розглядав коподання групи вузла <math>\pi_1(S^3\backslash K)</math>, і запропонував некомутативний метод обчислення{{Sfn|Fox|1961}}, який також дозволяє обчислити <math>\Delta_K(t)</math>. Детальний виклад цього підходу можна знайти в книзі {{Harvtxt|Crowell|Fox|1963}}

== Приклад побудови многочлена ==
[[Файл:Alexander_trefoil.svg|праворуч|міні|310x310пкс| Обчислення многочлена Александера для трилисника. Стрілка показує напрямок обходу, лінія зі стрілкою проходить знизу.]]
Побудуємо многочлен Александера для [[Трилисник (вузол)|трилисника]]. На малюнку показано ділянки (A0, A1, A2, A3, A4) і точки перетину (P1, P2, P3), а також значення елементів таблиці (поруч з точками перетину).

Таблиця Александера для трилисника набуде вигляду:
{| cellpadding="2" border="1"
!Точка
! A0
! A1
! A2
! A3
! A4
|-
! P1
! -1
! 0
! -t
! t
! 1
|-
! P2
! -1
! 1
! -t
! 0
! t
|-
! P3
! -1
! t
! -t
! 1
! 0
|}
Відкинемо перші два стовпці і обчислимо визначник: <math>-t^3 - t + t^2</math> .

Поділивши отриманий вираз на <math>-t</math>, отримаємо многочлен Александера для трилисника: <math>t^2 - t + 1</math>.

== Основні властивості многочлена ==
Многочлен Александера симетричний: <math>\Delta_K(t^{-1}) = \Delta_K(t)</math> для всіх вузлів K.

: З точки зору визначення вище, цей вираз [[Двоїстість Пуанкаре|ізоморфізму Пуанкаре]] <math> \overline{H_1 X} \simeq \mathrm{Hom}_{\mathbb Z[t,t^{-1}]}(H_1 X, G) </math> де <math>G</math>&nbsp;— факторгруппа поля часток кільця <math>\mathbb Z[t,t^{-1}]</math>, що розглядається як <math>\mathbb Z[t,t^{-1}]</math>-модуль, а <math>\overline{H_1 X}</math>&nbsp;— спряжений <math>\mathbb Z[t,t^{-1}]</math>-модуль до <math>H_1 X</math> (як абелева група він ідентичний <math>H_1 X</math>, але накривальне відбиття <math>t</math> діє як <math>t^{-1}</math>).

Крім того, многочлен Александера набуває в 1 значення, за модулем рівного одиниці: <math>\Delta_K(1)=\pm 1</math>.

: З точки зору визначення, це виражає факт, що доповнення вузла&nbsp;— [[Гомологічна сфера|гомологічне коло]], перші гомології якої породжені накривальним перетворенням <math>t</math>. Загальніше, якщо <math>M</math> є 3-многовидом, таким, що <math>\mathrm{rank}(H_1 M) = 1</math>, воно має многочлен Александера <math>\Delta_M(t)</math>, визначений як порядковий ідеал нескінченного циклічного накривального простору. В цьому випадку <math>\Delta_M(1)</math>, з точністю до знака, дорівнює порядку [[Підгрупа кручення|підгрупи кручення]] <math>H_1 M</math>.

Відомо, що будь-який лоранівський многочлен з цілими коефіцієнтами, який симетричний і в точці 1 має значення з модулем 1, є многочленом Александера деякого вузла{{Sfn|Kawauchi|1996}}.

== Геометрична важливість многочлена ==
Оскільки ідеал Александера є головним, <math>\Delta_K(t)=1</math> [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли група вузла {{Не перекладено|Досконала група|досконала|en|perfect group}} (її [[комутант]] збігається з усією групою вузла).

Для [[Зрізаний вузол|топологічно зрізаного]] вузла многочлен Александера задовольняє [[Зрізаний вузол|умові Фокса&nbsp;— Мілнора]] <math>\Delta_K(t) = f(t)f(t^{-1})</math>, де <math>f(t)</math>&nbsp;— якийсь інший лоранівський многочлен з цілими коефіцієнтами.

Подвоєний [[поверхня Зейферта|рід вузла]] обмежений знизу степенем многочлена Александера.

Міхаель Фрідман довів, що вузол на 3-сфері є [[Зрізаний вузол|топологічно зрізаним]], тобто межами «локально плоского» топологічного диска на 4-вимірній кулі, якщо многочлен Александера вузла тривіальний{{Sfn|Freedman, Quinn|1990}}.

Кауфман{{Sfn|Kauffman|1983}} описує побудову многочлена Александера через суми станів фізичних моделей. Огляд цього підходу, а також інших зв'язків з фізикою наведено в статті Кауфмана ({{Harvnb|Kauffman|2001}}).

Є також інші зв'язки з поверхнями і гладкою 4-вимірною топологією. Наприклад, при деяких припущеннях допустима [[Хірургія (топологія)|хірургія]] на {{Не перекладено|4-многовид|4-многовиді|en|4-manifold}}, за якої окіл двовимірного тора замінюється доповненням вузла, помноженим на ''S''<sup>1</sup>. Результатом буде гладкий 4-многовид, гомеоморфний початковому, хоча {{Не перекладено|інваріант Зайберга — Віттена||en|Seiberg–Witten invariant}} змінюється (збільшується на многочлен Александера вузла)<ref>{{Cite web |url=http://arxiv.org/abs/dg-ga/9612014 |title=Fintushel and Stern (1997) — Knots, links, and 4-manifolds |accessdate=22 червня 2021 |archive-date=29 червня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210629033957/https://arxiv.org/abs/dg-ga/9612014 }}</ref>.

Відомо, що вузли з симетрією мають обмежені многочлени Александера. Див. розділ Симетрії в роботі Кавауті{{Sfn|Kawauchi|1996}}. Однак многочлен Александера може не помітити деяких симетрій, таких як сильна оборотність.

Якщо [[доповнення вузла]] є розшаруванням над колом, то многочлен Александера вузла ''монарний'' (коефіцієнти при старшому і молодшому членах рівні <math>\pm 1</math>). нехай <math>S \to C_K \to S^1</math>&nbsp;— розшарування, де <math>C_K</math>&nbsp;— доповнення вузла. Позначимо відображення [[Монодромія|монодромії]] як <math>g : S \to S</math>. тоді <math>\Delta_K(t) = Det(tI-g_*)</math>, де <math>g_* : H_1(S) \to H_1(S)</math>&nbsp;— індуковане відображення в гомологіях.

== Зв'язок зі сателітними операціями ==
нехай <math>K</math>&nbsp;— [[сателітний вузол]] зі супутником <math>K'</math>, тобто існує вкладення <math>f : S^1 \times D^2 \to S^3</math>, таке що <math>K=f(K')</math>, де <math>S^1 \times D^2 \subset S^3</math>&nbsp;— незавузлений [[повний тор]], що містить <math>K</math>. тоді <math>\Delta_K(t) = \Delta_{f(S^1 \times \{0\})}(t^a) \Delta_{K'}(t)</math>. Тут <math>a \in \mathbb Z</math>&nbsp;— ціле число, яке представляє <math>K' \subset S^1 \times D^2</math> в <math>H_1(S^1\times D^2) = \mathbb Z</math>.

Приклад: Для {{Iw|Зв'язна сума вузлів|зв'язної суми вузлів|en|Knot sum}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Knot sum]] (→ [[:en:Connected sum#Connected sum of knots]]) перекладена як [[Зв'язна сума]], хоча хотіли [[Зв'язна сума вузлів]] (SashkoR0B0T)--><math>\Delta_{K_1 \# K_2}(t) = \Delta_{K_1}(t) \Delta_{K_2}(t)</math>. якщо <math>K</math> є нескрученим подвійним вузлом Вайтгеда, то <math>\Delta_K(t)=\pm 1</math>.

== Многочлен Александера&nbsp;— Конвея ==
[[Джеймс Александер|Александер]] показав, що поліном Александера задовольняє скейн-співвідношенню. [[Джон Конвей]] пізніше перевідкрив це в іншій формі і показав, що скейн-співвідношення разом із вибором значення на тривіальному вузлі досить для визначення многочлена. Версія Конвея є многочленом від ''z'' з цілочисельними коефіцієнтами, позначається <math>\nabla(z)</math> і називається '''многочленом Александера&nbsp;— Конвея''' (а також '''многочленом Конвея''' або '''многочленом Конвея&nbsp;— Александера''').

Розглянемо три діаграми орієнтованих зачеплень <math>L_+, L_-, L_0</math>.
[[Файл:Skein_(HOMFLY).svg|центр|200x200пкс]]
Скейн-співвідношення Конвея:

* <math>\nabla(O) = 1</math> (де O&nbsp;— діаграма тривіального вузла)
* <math>\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)</math>

Зв'язок зі стандартним многочленом Александера задається співвідношенням <math>\Delta_L(t^2) = \nabla_L(t - t^{-1})</math>. Тут <math>\Delta_L</math> має бути належним чином нормалізованим (множенням на <math>\pm t^{n/2}</math>), щоб виконувалося скейн-співвідношення <math>\Delta(L_+) - \Delta(L_-) = (t^{1/2} - t^{-1/2}) \Delta(L_0)</math>. Зауважимо, що це дає многочлен Лорана від ''t <sup>1/2</sup>''.

== Зв'язок з гомологіями Хованова ==
У роботах Ожвата і Сабо{{Sfn|Ozsvath, Szabo|2004}} і Расмуссена{{Sfn|Rasmussen|2003}} многочлен Александера подано як [[Характеристика Ейлера|ейлерову характеристику]] комплексу, гомології якого є ізотопічними інваріантами розглянутого вузла <math>K</math>, тому теорія {{Не перекладено|Гомології Флоера|гомологій Флоера|en|Floer homology}} є категорифікацією многочлена Александера. Детальніше див. у статті {{Не перекладено|Гомології Хованова||en|Khovanov homology}}{{Sfn|Khovanov|2006}}.

== Див. також ==
* [[Многочлен HOMFLY]]

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==

* {{Стаття|author=J. W. Alexander|title=Topological invariants of knots and links|видання=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]|том=30|date=1928|issue=2|pages=275–306|doi=10.2307/1989123|ref=Alexander}}
* {{Книга
|автор = R. Crowell, R. Fox
|заголовок = Introduction to Knot Theory
|посилання = https://archive.org/details/introductiontokn0000crow
|видавництво = Ginn and Co. after 1977 Springer Verlag
|рік = 1963
|ref = Crowell, Fox
}}
* {{Книга
|автор = Colin C. Adams
|заголовок = The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots
|видання = Revised reprint of the 1994 original
|видавництво = American Mathematical Society
|місце = Providence, RI
|рік = 2004
|ISBN = 0-8218-3678-1
|ref = Adams
}} (accessible introduction utilizing a skein relation approach)
* {{Стаття|author=R. Fox|title=A quick trip through knot theory, In Topology of ThreeManifold|видання=Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, edited by M.K.Fort|publisher=Prentice-Hall|place=Englewood Cliffs. N. J.|date=1961|pages=120–167|ref=Fox}}
* {{Книга
|автор = Michael H. Freedman, Frank Quinn
|заголовок = Topology of 4-manifolds
|серія = Princeton Mathematical Series
|том = 39
|видавництво = Princeton University Press
|місце = Princeton, NJ
|рік = 1990
|ISBN = 0-691-08577-3
|ref = Freedman, Quinn
}}
* {{Стаття|author=Louis Kauffman|title=Formal Knot Theory|publisher=Princeton University press|date=1983|ref=Kauffman}}
* {{Книга
|автор = Louis Kauffman
|заголовок = Knots and Physics
|видавництво = World Scientific Publishing Companey
|рік = 2001
|ref = Kauffman
}}
* {{Книга
|автор = Akio Kawauchi
|заголовок = A Survey of Knot Theory
|видавництво = Birkhauser
|рік = 1996
|ref = Kawauchi
}} (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
* {{Стаття|author=M. Khovanov|title=Link homology and categorification|url=https://archive.org/details/arxiv-math0605339|серія=Proceedings of the ICM-2006|date=2006|ref=Khovanov|arxiv=math/0605339}}
* {{Стаття|author=Peter Ozsvath, Zoltan Szabo|title=Holomorphic disks and knot invariants|серія=Adv. Math.|том=186|date=2004|pages=58–116|ref=Ozsvath, Szabo|bibcode=2002math......9056O|arxiv=math/0209056|issue=1|видання=Adv. Math., no., 58--6|doi=10.1016/j.aim.2003.05.001}}
* {{Стаття|author=J. Rasmussen|title=Floer homology and knot complements|url=https://archive.org/details/arxiv-math0306378|серія=PhD thesis Harvard University|date=2003|arxiv=math/0306378|bibcode=2003math......6378R|pages=6378|ref=Rasmussen}}
* {{Книга
|автор = Dale Rolfsen
|заголовок = Knots and Links
|видання = 2nd
|місце = Berkeley, CA
|видавництво = Publish or Perish
|рік = 1990
|ISBN = 0-914098-16-0
|ref = Rolfsen
}} (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)

== Посилання ==
* {{Книга
|відповідальний = Michiel Hazewinkel
|заголовок = Encyclopedia of Mathematics
|видавництво = Springer
|рік = 2001
|ISBN = 978-1-55608-010-4
}}
* [http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page Main Page] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210628020152/http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page |date=28 червня 2021 }} і [http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Alexander-Conway_Polynomial The Alexander-Conway Polynomial] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210624211331/http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Alexander-Conway_Polynomial |date=24 червня 2021 }}, The Knot Atlas.&nbsp;— таблиця вузлів і зачеплень з обчисленими многочленами Александера і Конвея
{{Теорія вузлів}}
[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Теорія вузлів]]
[[Категорія:Джон Конвей]]