Перегляд вихідного коду сторінки Миттєвий центр швидкостей

[[Файл:Mechanism analysis.png|thumb|300px|Миттєвий центр швидкостей ''P'' для випадку [[плоскопаралельний рух|плоско паралельного руху]]]]
'''Миттє́вим це́нтром швидкосте́й (МЦШ)''' називається точка рухомої плоскої фігури, що здійснює [[плоскопаралельний рух]], [[швидкість]] якої в даний момент часу дорівнює нулю <math>\left( \vec V_P =0 \right)</math>. Вказана точка може бути розташована або на самій рухомій фігурі, або на її уявному продовженні.

== Доведення ==
[[Файл:Миттєвий центр швидкостей.png|thumb|300px|Доведення існування миттєвого центру швидкостей при [[плоскопаралельний рух|плоскопаралельному русі]]]]
Нехай задано фігуру ''S'', що здійснює плоский рух і швидкість <math>\vec V_A</math> деякої точки ''А'' цієї фігури вважається відомою а також, [[кутова швидкість]] <math>\vec {\omega}</math> обертання фігури.
 
Якщо побудувати у точці ''А'' [[перпендикуляр]] до [[вектор]]а швидкості <math>\vec V_A</math>, який напрямлений у бік отриманий поворотом вектора швидкості за напрямком обертання фігури і відкласти на цьому перпендикулярі відрізок довжиною <math>AP = \frac {V_A}{\omega}</math>, то обравши точку ''А'' за полюс, швидкість точки ''Р'' даної фігури буде визначатись за допомогою наступного векторного рівняння:
: <math>\vec V_P = \vec V_A + \vec V_{PA}</math>.
З цього виразу знайдемо швидкість <math>\vec V_{PA}</math>. Вона буде дорівнювати:
: <math> \left | \vec V_{PA} \right| = \omega \cdot AP = \omega \frac {\left | \vec V_A \right |}{\omega} = \left | \vec V_{A} \right |</math>.
Вектор швидкості <math>\vec V_{PA}</math> буде спрямований протилежно до вектора швидкості <math>\vec V_A</math>, тобто
: <math>\vec V_{PA} = \vec V_A.</math>.
Тоді, з врахуванням цього, з виразу для швидкості точки ''P'' отримаємо:
: <math>\vec V_P = \vec V_A - \vec V_A = 0.</math>
Таким чином, швидкість точки ''P'' дорівнює нулю, чим і доведено існування миттєвого центру швидкостей (МЦШ).

Можна довести, що при плоскопаралельному непоступальному [[механічний рух|русі]] плоскої фігури в кожний момент часу існує, і при тому єдина, точка з нульовою швидкістю.

Абсолютні значення швидкостей всіх точок плоскої фігури будуть прямо пропорційними їх відстаням до МЦШ, а напрями векторів швидкостей будуть перпендикулярними до прямих, які з'єднують ці точки з МЦШ. Саме тому МЦШ називають також ''миттєвим центром обертання''.

== Теорема Ейлера-Шаля ==
[[Файл:Цетроїди при плоскопаралельному русі.png|thumb|300px|Центроїди при плоскопаралельному русі]]
Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих обертань навколо відповідних миттєвих центрів обертань (МЦО). За теоремою Ейлера-Шаля плоский рух уявляється як обертальний рух навколо миттєвого центра обертань, або центра швидкостей.

Миттєвим центром обертань є точка нерухомої площини, з якою у даний момент часу збігається миттєвий центр швидкостей (МЦШ).

Згідно з [[теорема обертання Ейлера|теоремою обертання Ейлера]], будь-яке обертове тривимірне тіло, що має нерухому точку, також має і вісь обертання. Таким чином, у загальнішому випадку обертання тривимірного тіла говорять про ''миттєву вісь обертання''. Миттєвий центр обертання є точкою перетину миттєвої осі обертань з площиною руху.

Будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна одержати, якщо побудувати рухому і нерухому центроїди, жорстко з'єднати першу з них з плоскою фігурою і котити без ковзання рухому центроїду по нерухомій.
 
''Центроїдою'' називається геометричне місце миттєвих центрів швидкостей (МЦШ).

При плоскопаралельному русі утворюються дві центроїди, оскільки миттєвий центр швидкостей описує одну криву в нерухомій системі координат, а другу в рухомій. Нерухома центроїда&nbsp;— це траєкторія миттєвого центра швидкостей на нерухомій площині, рухома центроїда&nbsp;— це траєкторія миттєвого центра швидкостей на рухомій площині. Рухома центроїда ''PN'' котиться без ковзання по нерухомій ''PL'' (див. рисунок).
Поняття про центроїди широко застосовується у [[теорія машин і механізмів|теорії машин і механізмів]] при профілюванні [[зубчасте колесо|зубчатих коліс]].

Полюсом є миттєвий центр швидкостей (МЦШ), тобто така точка ''Р'' рухомої площини, жорстко скріплена з фігурою, швидкість якої в певний момент часу дорівнює нулю: <math>\vec V_P = 0</math>.

Тоді <math>V_B = V_{BP} = \left| \omega \right| \cdot BP</math>, тобто швидкість будь-якої точки фігури дорівнює за величиною добутку модуля кутової швидкості фігури на відстань від цієї точки до МЦШ та спрямована перпендикулярно до цього відрізку <math>\left(\vec V_B \perp BP \right)</math> проти ходу годинникової стрілки, якщо <math>\omega > 0</math> і навпаки.

Розподіл миттєвих швидкостей точок плоскої фігури такий, немовби фігура оберталася навколо МЦШ (точка ''Р''). З цього маємо співвідношення
: <math>\frac{V_B}{V_A} = \frac{BP}{AP}.</math>
.
Отже, відношення швидкостей двох точок плоскої фігури дорівнює відношенню їхніх відстаней до миттєвого центра швидкостей, або
: <math>\frac{V_A}{AP} = \frac {V_B}{BP} = \cdots = \left| \omega \right|.</math>

== Випадки знаходження миттєвого центра швидкостей плоскої фігури ==
=== Випадок 1 (загальний) ===
У загальному випадку (див. рисунок вгорі) для знаходження МЦШ потрібно знати лише напрям швидкостей двох точок фігури. Для цього з початку векторів швидкостей зазначених двох точок (наприклад ''А'', ''В'' і ''C'') проводимо перпендикуляри. У точці перетину цих перпендикулярів і знаходиться миттєвий центр швидкостей (точка ''Р'').

Кутова швидкість плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані до МЦШ:
: <math>\omega = \frac {V_A}{AP} = \frac {V_B}{BP} = \frac {V_C}{CP} = \cdots</math>

[[Файл:Часткові випадки знаходження МЦЩ.png|thumb|center|600px|Часткові випадки знаходження МЦШ]]

=== Випадок 2 (для двох паралельних однонаправлених швидкостей) ===
Відомі за величиною швидкості двох точок ''А'' і ''В'' фігури, які паралельні одна одній, напрямлені в один бік і перпендикулярні до прямої ''АВ'' <math>\left( \vec V_A || \vec V_B \right)</math> (варіант ''а'' на рисунку).

МЦШ (точка ''Р'') знаходиться в точці перетину прямої ''АВ'' і прямої, що з'єднує кінці векторів швидкостей точок ''А'' і ''В'':
: <math>\omega_{AB} = \frac{V_A}{AP} = \frac {V_B}{BP};\quad \left(V_B \perp AB,\quad V_A \perp AB \right).</math>

=== Випадок 3 (для двох протилежно направлених паралельних швидкостей) ===
Якщо швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з'єднує ці точки, то миттєвий центр швидкостей лежить у точці перетину прямої, яка з'єднує кінці векторів швидкостей з наведеним вище відрізком (варіант ''б'' на рисунку).

=== Випадок 4 (для двох однакових паралельних однаково направлених швидкостей) ===
Якщо швидкості двох точок плоскої фігури паралельні й рівні між собою, напрямлені в один бік, то миттєвий центр швидкості віддаляється на нескінченну велику відстань, тобто МЦШ відсутній, <math>\omega = 0</math>, і миттєві швидкості всіх точок фігури рівні між собою:<math>\vec V_A = \vec V_B = \vec V_C = \cdots </math> (варіант ''в'' на рисунку).
 
Це випадок миттєво-поступального руху тіла: відстань до МЦШ прямує до нескінченності і <math>\omega = \frac {V_A}{\infty} = 0.</math>.
[[Файл:Миттєвий центр швидкостей при коченні.png|thumb|Миттєвий центр швидкостей (точка P) при коченні тіла]]
=== Випадок 5 (кочення без ковзання) ===
У разі кочення без ковзання рухомого контуру плоскої фігури по нерухомому МЦШ лежить у точці дотику цих контурів. Кутова швидкість <math>\omega = \frac {V_A}{AP};\quad V_B = \omega \cdot BP; \quad V_C = \omega \cdot CP. </math>

== Див. також ==
* [[Плоскопаралельний рух]]
* [[Поступальний рух]]
* [[Обертання]]

== Джерела ==
* ''Павловський М. А.'' Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів.&nbsp;— К.: Техніка, 2002.&nbsp;— 512 с. ISBN 966-575-184-0.
* ''Тарг С. М.'' Краткий курс теоретической механики.&nbsp;— М.: Высшая школа, 1986.&nbsp;— 416 с.

== Посилання ==
{{commonscat|Instant center of rotation}}

 


[[Категорія:Кінематика]]
[[Категорія:Теоретична механіка]]
[[Категорія:Рух]]