Перегляд вихідного коду сторінки Метод моментів

'''Метод моментів''' знаходження [[Оцінка (математика)|оцінок]] в [[математична статистика|математичній статистиці]]&nbsp;— це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і [[вибіркові моменти|вибіркових моментів]].

== Опис ==
Коротко, метод моментів описується так: «Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки [[вибірковий момент|моментів]] цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат.»

Формально: нехай <math>X_1,\ldots,X_n</math>&nbsp;— [[вибірка]] з [[розподіл ймовірностей|розподілу]] <math>\mathbb{P}_{\theta}</math>, що залежить від параметра <math>\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}</math>. Нехай маємо [[функція|функцію]] <math>g\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, таку що <math>g(X_1)</math> інтегрована відносно [[міра множини|міри]] <math>\mathbb{P}_{\theta}</math>, і
{{питання|Що означає інтегрована відносно міри?}}
: <math>\mathbb{E}_{\theta}\left[g(X_1)\right] = f(\theta)</math>,
де <math>f\colon\Theta \to \mathbb{R}</math>&nbsp;— [[бієкція]]. Тоді оцінка
: <math>\hat{\theta}_{\mathrm{MM}} = f^{-1}\left(\overline{g(X)}\right) \equiv f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n g(X_i)\right)</math>
називається оцінкою параметра <math>\theta \in \Theta</math> методом моментів.

== Зауваження ==
* Оцінки знайдені методом моментів, як правило [[спроможні оцінки|спроможні]], але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.

* За побудовою, <math>\overline{g(X)} = f\left(\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}\right)</math>, тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього <math>g(X)</math> з [[вибіркове середнє|вибірковим середнім]].

* Як функцію <math>g</math> часто беруть [[степенева функція|степеневу функцію]]:
: <math>g(x) = x^k,\; k \in \mathbb{N}</math>.

* Оцінка <math>\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}</math> суттєво залежить від використаної функції <math>g(x)</math>. Якщо можливе використання кількох різних функцій <math>g(x)</math>, отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.

== Конзистентність методу ==
Якщо <math>f \in C(\Theta)</math>, тобто функція <math>f</math> [[неперервна функція|неперервна]], то оцінка методу моментів [[конзистентна оцінка|конзистентна]].

== Приклад ==
Нехай <math>X_1,\ldots,X_n \sim \Gamma(\alpha,\beta)</math>&nbsp;— вибірка з [[гамма-розподіл]]у з невідомими параметрами <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>. Тоді
: <math>\mathbb{E}[X_i] = \alpha \beta,\; \mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\alpha(\alpha+1)\beta^2,\quad i=1,\ldots,n</math>.
Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:
: <math>
\left\{
\begin{matrix}
\bar{X} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} \hat{\beta}_{\mathrm{MM}}\\
\overline{X^2} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} ( \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} + 1 ) \left( \hat{\beta}_{\mathrm{MM}} \right)^2,
\end{matrix}
\right.
</math>
звідки

{{питання|Що таке <math>\overline{X^2}</math> і просто <math>\bar{X}</math>?}}

: <math>\hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} = \frac{\left(\bar{X}\right)^2}{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2}</math>,
і
: <math>\hat{\beta}_{\mathrm{MM}} = \frac{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2}{\bar{X}}</math>.

== Див. також ==
* [[Метод максимальної правдоподібності]]

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* {{cite book
|автор= Анісімов В.В.
|співавтори= Черняк О.І.
|дата= 1995
|назва= Математична статистика
|мова= укр
|видавництво= МП "ЛЕСЯ"
|знаходження= Київ
|isbn=5-7707-8786-4
}}

{{Статистика|виведення}}

[[Категорія:Допасовування розподілів імовірності]]
[[Категорія:Момент (математика)]]