Перегляд вихідного коду сторінки Метод Крамера

{{unibox}}'''Метод Крамера (правило Крамера)'''&nbsp;— спосіб розв'язання квадратних [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь|систем лінійних алгебраїчних рівнянь]] із ненульовим [[визначник]]ом основної матриці (при цьому для таких рівнянь існує єдиний розв'язок). Правило Крамера виражає розв'язок через визначники [[Квадратна матриця|квадратної матриці]] коефіцієнтів та [[Матриця (математика)|матриць]], отриманих шляхом заміни одного стовпця матриці коефіцієнтів вектор-стовпцем правої частини рівняння. Цей метод названий на честь [[Габрієль Крамер|Габрієля Крамера]] (1704—1752), який у [[1750]]&nbsp;р. представив його для довільної кількості невідомих.<ref>{{cite web
  | title = Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques
  | author = Cramer, Gabriel
  | year = 1750
  | location = Geneva
  | language = fr
  | url = https://www.europeana.eu/resolve/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015
  | access-date = 2012-05-18
  | publisher = Europeana
  | pages = 656–659
  | archive-date = 15 вересня 2019
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20190915144013/https://www.europeana.eu/portal/en/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015.html
  }}</ref><ref>
{{Cite journal
 | last = Kosinski
 | first = A. A.
 | title = Cramer's Rule is due to Cramer
 | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2001-10_74_4/page/310
 | journal = Mathematics Magazine
 | volume = 74
 | pages = 310–312
 | year = 2001
 | doi = 10.2307/2691101
}}</ref> [[Колін Маклорен]] також публікував особливі випадки цього правила в 1748&nbsp;р.<ref>{{Cite book
  | last = MacLaurin
  | first = Colin
  | title = A Treatise of Algebra, in Three Parts.
  | url = https://archive.org/details/atreatisealgebr03maclgoog
  | year = 1748
}}</ref> (і, можливо, знав про нього ще в 1729&nbsp;р.).<ref>
{{Cite book
  | last = Boyer
  | first = Carl B.
  | title = A History of Mathematics
  | url = https://archive.org/details/historyofmathema0000boye_v7s4
  | edition = 2nd
  | publisher = Wiley
  | year = 1968
  | pages = [https://archive.org/details/historyofmathema0000boye_v7s4/page/431 431]
}}
</ref><ref>
{{cite book
 | last = Katz
 | first = Victor
 | title = A History of Mathematics
 | publisher = Pearson Education
 | edition = Brief
 | year = 2004
 | pages = 378–379
}}
</ref><ref>{{Cite journal
 | last = Hedman
 | first = Bruce A.
 | title = An Earlier Date for "Cramer's Rule"
 | journal = Historia Mathematica
 | volume = 26
 | issue = 4
 | pages = 365–368
 | year = 1999
 | url = http://professorhedman.com/Cramers.Rule.pdf
 | doi = 10.1006/hmat.1999.2247
 | accessdate = 6 травня 2021
 | archive-date = 21 липня 2018
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180721221352/http://professorhedman.com/Cramers.Rule.pdf
 }}</ref>

Правило Крамера, реалізоване наївним шляхом, є неефективним для систем, що складаються більше ніж з двох або трьох рівнянь.<ref name="Poole2014">{{cite book|author=David Poole|title=Linear Algebra: A Modern Introduction|year=2014|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-98283-0|page=276}}</ref> У випадку <math>n</math> рівнянь з <math>n</math> невідомими, воно потребує обчислення <math>n+1</math> визначників, тоді як [[метод Гауса]] дає результат із такою ж [[Обчислювальна складність|обчислювальною складністю]], як і обчислення одного визначника.<ref name="HoffmanFrankel2001">{{cite book|author1=Joe D. Hoffman|author2=Steven Frankel|title=Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,|year=2001|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8247-0443-8|page=30}}</ref><ref name="Shores2007">{{cite book|author=Thomas S. Shores|title=Applied Linear Algebra and Matrix Analysis|url=https://archive.org/details/appliedlinearalg00shor_118|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-48947-6|page=[https://archive.org/details/appliedlinearalg00shor_118/page/n142 132]}}</ref>

Правило Крамера також може бути [[Числова стійкість|чисельно нестійким]] навіть для систем <math>2\times2</math>.<ref name="Higham2002">{{cite book|author=Nicholas J. Higham|title=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition|year=2002|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-521-7|page=13}}</ref> Однак нещодавно його було реалізовано за <math>O(n^3)</math> кроків,<ref>{{cite journal |author1=Ken Habgood |author2=Itamar Arel |title=A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems |journal=Journal of Discrete Algorithms |volume=10 |year=2012 |pages=98–109 |doi=10.1016/j.jda.2011.06.007 |url=http://web.eecs.utk.edu/~itamar/Papers/JDA2011.pdf |accessdate=6 травня 2021 |archive-date=13 липня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180713164524/http://web.eecs.utk.edu/~itamar/Papers/JDA2011.pdf }}</ref> що порівняно з більш поширеними методами розв'язання систем лінійних рівнянь, такими як [[метод Гауса]] (вимагається в 2,5 рази більше арифметичних операцій для всіх розмірів матриць), виявляє порівнянну числову стійкість у більшості випадків.

== Загальний випадок ==
Розглянемо систему з <math>n</math> лінійних рівнянь для <math>n</math> невідомих, записану в матричному вигляді

: <math>A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{b}</math>,

де <math>A</math>&nbsp;— <math>n\times n</math> матриця з ненульовим визначником, і <math>\boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_n)^{\rm T}</math>&nbsp;— вектор-стовпець змінних. Теорема стверджує, що в цьому випадку система має єдиний розв'язок, у якому значення невідомих визначаються як

: <math>x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad i=1, \dots, n,</math>,

де <math>A_i</math>&nbsp;— матриця, утворена заміною <math>i</math>-го стовпця матриці <math>A</math> на вектор-стовпець <math>\boldsymbol{b}</math>.

Іншими словами, для системи <math>n</math> лінійних рівнянь з <math>n</math> невідомими (над довільним полем)

: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ 
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\
\end{cases}</math>

з визначником матриці системи <math>\Delta</math>, що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

: <math>x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} 
a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1  & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\
a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}</math>

(<math>i</math>-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).

Також правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math> виконується рівність:

: <math>(c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
c_{1}  & c_{2}  & \ldots & c_{n}  & 0\\
\end{vmatrix}</math>

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що <math>\Delta</math> не рівне нулю, не треба, навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути [[Дільник нуля|дільником нуля]] у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори <math>b_1,b_2,\dots,b_n</math> та <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>, або набір <math>c_1,c_2,\dots,c_n</math> складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого [[Модуль над кільцем|модуля]] над цим кільцем. В такому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при доведенні формули для [[визначник Грама|визначника Грама]] і [[Лема Накаями|Леми Накаями]].

Більш загальна версія правила Крамера<ref>{{cite journal |author1=Zhiming Gong |author2=M. Aldeen |author3=L. Elsner |title=A note on a generalized Cramer’s rule |journal=Linear Algebra and its Applications |volume=340 |year=2002 |pages=253–254 |doi=10.1016/S0024-3795(01)00469-4}}</ref> розглядає матричне рівняння

: <math>A\boldsymbol{X} =\boldsymbol{B},</math>

де <math>A</math>&nbsp;— <math>n\times n</math> матриця з ненульовим визначником, а <math>\boldsymbol{X}</math>, <math>\boldsymbol{B}</math>&nbsp;— <math>n\times m</math> матриці. Розглянемо послідовності <math>1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n</math> та <math>1\leq j_1<j_2<\cdots<j_k\leq m</math>. Нехай <math>X_{I, J}</math>&nbsp;— <math>k\times k</math> підматриця <math>X</math> з рядками <math>I= (i_1, \dots, i_ k)</math> та стовпцями <math>J=(j_1, \dots, j_k)</math>, <math>A_B(I, J)</math>&nbsp;— <math>n\times n</math> матриця, утворена заміною <math>i_s</math> стовпця матриці <math>A</math> на <math>j_s</math> стовпець матриці <math>B</math>, для всіх <math>s=1, \dots, k</math>. Тоді

: <math>\det X_{I,J}=\frac{\det (A_B(I, J))}{\det(A)}.</math>

У випадку <math>k=1</math>, це зводиться до звичайного правила Крамера.

Метод справедливий для систем рівнянь з коефіцієнтами та невідомими над будь-яким [[Поле (алгебра)|полем]], а не лише у випадку [[Дійсні числа|дійсних чисел]].

== Доведення ==
Доведення правила Крамера використовує такі [[Визначник#Властивості|властивості визначника]]: лінійність відносно будь-якого фіксованого стовпця і той факт, що визначник дорівнює нулю, коли два стовпці рівні (це випливає із властивості, що знак визначника змінюється на протилежний, якщо переставити два стовпці).

Зафіксуємо <math>j</math>-й стовпець. Лінійність означає наступне: якщо розглядаємо лише стовпець <math>j</math> як змінну (фіксуючи інші довільно), отримана функція <math>\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}</math> (вважаємо елементи матриці дійсними числами) може бути задана матрицею, з одним рядком і <math>n</math> стовпцями, що діє на <math>j</math>-й стовпець. Насправді, це саме те, що й [[теорема Лапласа]]: записуючи <math>\det(A)=C_1a_{1,j}+\dots+C_na_{n,j}</math> для певних коефіцієнтів <math>C_1, \dots, C_n</math>, які залежать від стовпців матриці <math>A</math>, відмінних від стовпця <math>j</math> (точний вигляд для цих [[Мінор матриці|мінорів]] тут неважливий). Тоді значення <math>\det(A)</math> є результатом застосування однорядкової матриці <math>L_{(j)}=(C_1\quad C_2 \quad \cdots \quad C_n)</math> до стовпця <math>j</math> матриці <math>A</math>. Якщо <math>L_{(j)}</math> застосовано до будь-якого іншого стовпця <math>k</math> матриці <math>A</math>, то результатом є визначник матриці, отриманої з матриці <math>A</math>, заміною стовпця <math>j</math> на копію стовпця <math>k</math>, тому отриманий визначник дорівнює <math>0</math> (випадок двох рівних стовпців).

Тепер розглянемо систему <math>n</math> лінійних рівнянь з <math>n</math> невідомими <math>x_1, \dots, x_n</math>, матрицею коефіцієнтів якої є <math>A</math> з ненульовим визначником <math>\det(A)</math>,

: <math>\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n&=&b_1\\[1ex]
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n&=&b_2\\[1ex]
&\vdots &\\[1ex]
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n&=&b_n.
\end{matrix}</math>

Якщо об'єднати ці рівняння, взявши <math>C_1</math>, помножене на перше рівняння, додати <math>C_2</math>, помножене на друге, і так далі, поки <math>C_n</math> домножиться на останнє рівняння, то коефіцієнт при <math>x_j</math> буде дорівнювати <math>C_1a_{1,j}+\cdots+C_na_{n,j}=\det(A)</math>, тоді як коефіцієнти при всіх інших невідомих стають нулями; ліва частина набуває вигляду <math>\det(A)x_j</math>. Права частина&nbsp;— це <math>C_1b_1+\cdots+C_nb_n</math>, тобто <math>L_{(j)}</math>, застосований до вектора-стовпця <math>\boldsymbol{b}</math> утвореного правими частинами <math>b_i</math>. Насправді, те, що було зроблено тут,&nbsp;— домноження матричного рівняння <math>A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{b}</math> зліва на <math>L_{(j)}</math>. Поділивши на ненульове число <math>\det(A)</math>, знаходимо наступне рівняння, що задовольняє систему:

: <math>x_j=\frac{L_{(j)}\cdot\boldsymbol{b}}{\det(A)}.</math>

Але, за побудовою, чисельник є визначником матриці, отриманої з матриці <math>A</math>, заміною стовпця <math>j</math> на <math>\boldsymbol{b}</math>, тому отримуємо вираз для правила Крамера як необхідну умову розв'язку. Цю саму процедуру треба повторити для решти <math>j</math>, щоб знайти значення інших невідомих.

Залишається довести, що ці значення для невідомих єдині та дійсно разом утворюють розв'язок системи. Але, якщо матриця <math>A</math> невироджена з оберненою матрицею <math>A^{-1}</math>, то <math>\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}</math> буде розв'язком, що й доводить його існування. Покажемо, що матриця <math>A</math> має обернену, якщо <math>\det(A)</math> ненульовий. Розглянемо <math>n\times n</math> матрицю <math>M</math>, отриману шляхом складання одна над одною однорядкових матриць <math>L_{(j)}</math> при <math>j=1,\dots , n</math> (це дає [[Союзна матриця|приєднану матрицю]] для матриці <math>A</math>). Було показано, що <math>L_{(j)}A=(0 \quad\dots\quad 0\quad\det(A)\quad 0\quad\dots\quad 0)</math>, де <math>\det(A)</math> з'являється на позиції <math>j</math>; з цього випливає, що <math>MA=\det(A)I_n</math>. Отже,

: <math>\frac{1}{\det(A)}M=A^{-1},</math>

що і завершує доведення

Інші доведення див.[[#Інші доведення|нижче]].

== Приклад ==
Система лінійних рівнянь:
: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\
\end{cases}</math><br/>
Визначники:
: <math>\Delta=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix}</math>
Розв'язок:
: <math>x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}</math>


Приклад:
: <math>\begin{cases}
2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\
x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\
2x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\
\end{cases}</math>

Визначники:
: <math>\Delta=\begin{vmatrix}
2 & 5 & 4 \\
1 & 3 & 2 \\
2 & 10 & 9 \\
\end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\
110 & 10 & 9 \\
\end{vmatrix}=-760,\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix}
2 & 30 & 4 \\
1 & 150 & 2 \\
2 & 110 & 9 \\
\end{vmatrix}=1350,\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
2 & 5 & 30 \\
1 & 3 & 150 \\
2 & 10 & 110 \\
\end{vmatrix}=-1270.</math>
<math>x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254</math>

== Знаходження оберненої матриці ==
{{Основна стаття|Невироджена матриця#Методи обернення матриці}}

Нехай <math>A</math>&nbsp;— <math>n\times n</math> матриця з елементами в полі <math>\mathbb F</math>. Тоді

: <math>A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=\det(A)I,</math>

де <math>\operatorname{adj}(A)</math>&nbsp;— [[Союзна матриця|приєднана матриця]], <math>\det(A)</math>&nbsp;— визначник матриці <math>A</math>, а <math>I</math>&nbsp;— [[одинична матриця]]. Якщо визначник <math>\det(A)</math> ненульовий, то оберненою до <math>A</math> є матриця

: <math>A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).</math>

Це дає формулу для оберненої до <math>A</math> матриці, за умови, що <math>\det(A)\neq 0</math>. Насправді ця формула працює, коли <math>\mathbb F</math> є [[Комутативне кільце|комутативним кільцем]], за умови, що <math>\det(A)</math> є [[Оборотний елемент|одиницею кільця]]. Якщо <math>\det(A)</math> не є одиницею, то <math>A</math> не має оберненої над кільцем (вона може мати обернену над більшим кільцем, в якому деякі не одиничні елементи поля <math>\mathbb F</math> можуть мати обернені).

== Застосування ==

=== Явні формули для n=2 та n=3 ===
Розглянемо лінійну систему

: <math>\begin{cases}
a_1x+b_1y={\color{red}c_1},\\
a_2x+b_2y={\color{red}c_2},
\end{cases}</math>

яка у матричній формі має вигляд

: <math>\begin{bmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\color{red}c_1\\
\color{red}c_2
\end{bmatrix}.</math>

Нехай значення <math>a_1b_2-b_1a_2</math> ненульове. Тоді, за допомогою [[визначник]]ів, <math>x</math> і <math>y</math> можуть бути знайдені за правилом Крамера як

: <math>\begin{align}
x&=\frac{\begin{vmatrix}{\color{red}c_1}&b_1\\ {\color{red}c_2}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{vmatrix}}
=
\frac{{\color{red}c_1}b_2-b_1{\color{red}c_2}}{a_1b_2-b_1a_2},
\quad
y=\frac{\begin{vmatrix}a_1&{\color{red}c_1}\\ a_2&{\color{red}c_2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}}
=
\frac{a_1{\color{red}c_2}-{\color{red}c_1}a_2}{a_1b_2-b_1a_2}.
\end{align}</math>

Правила для матриць <math>3\times 3</math> аналогічні. Розглянемо систему

: <math>\begin{cases}
\begin{matrix}
a_1x+b_1y+c_1z&={\color{red}d_1},\\
a_2x+b_2y+c_2z&={\color{red}d_2},\\
a_3x+b_3y+c_3z&={\color{red}d_3},
\end{matrix}
\end{cases}</math>

яка у матричній формі має вигляд

: <math>\begin{bmatrix}
a_1&b_1&c_1\\
a_2&b_2&c_2\\
a_3&b_3&c_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\y\\z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\color{red}d_1\\
\color{red}d_2\\
\color{red}d_3
\end{bmatrix}.</math>

Тоді значення <math>x</math>, <math>y</math> та <math>z</math> можна знайти наступним чином:

: <math>x=\frac{\begin{vmatrix}{\color{red}d_1}&b_1&c_1\\{\color{red}d_2}&b_2&c_2\\{\color{red}d_3}&b_3&c_3\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}},
\quad
y=\frac{\begin{vmatrix}a_1&{\color{red}d_1}&c_1\\a_2&{\color{red}d_2}&c_2\\a_3&{\color{red}d_3}&c_3\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}},
\quad</math> та <math>\quad z=\frac{\begin{vmatrix}a_1&b_1&{\color{red}d_1}\\a_2&b_2&{\color{red}d_2}\\a_3&b_3&{\color{red}d_3}\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}}.</math>

=== Диференціальна геометрія ===

==== Числення Річчі ====

Правило Крамера використовується в {{нп|Числення Річчі|численні Річчі||Ricci calculus}} при різних розрахунках із залученням [[Символи Крістофеля|символів Крістофеля]] першого та другого роду.<ref>{{Cite book|title=The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors)|url=https://archive.org/details/absolutedifferen00levi_777|last=Levi-Civita|first=Tullio|publisher=Dover|year=1926|isbn=9780486634012|pages=[https://archive.org/details/absolutedifferen00levi_777/page/n125 111]–112}}</ref>

Зокрема, за правилом Крамера можна довести, що оператор дивергенції на многовиді Рімана є інваріантним відносно заміни координат.
Наводимо пряме доведення, опускаючи роль символів Крістофеля. Нехай <math>(M, g)</math>&nbsp;— [[Ріманів многовид|многовид Рімана]], з {{нп|Локальні координати|локальними координатами||Manifold#Charts}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Manifold#Charts]] перекладена як [[Многовид]], хоча хотіли [[Локальні координати]] (SashkoR0B0T)--> <math>(x^1, x^2, \dots , x^n)</math>. Нехай <math>A=A^i\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>&nbsp;— [[векторне поле]]. Використовуємо [[Нотація Ейнштейна|нотацію Ейнштейна]] для підсумовування.

: '''Теорема'''.
: ''Дивергенція векторного поля <math>A</math>,
:: <math>\operatorname{div}A=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(A^i\sqrt{\det g}\right),</math>
: є інваріантною при заміні координат.''

{{Collapse top|title=''Доведення''}}
Нехай <math>(x^1, x^2,\dots, x^n)\mapsto(\bar{x}^1,\dots,\bar{x}^n)</math> є [[Система координат#Перехід від однієї системи координат до іншої|координатним перетворенням]] з [[Невироджена матриця|невиродженою]] [[Матриця Якобі|матрицею Якобі]]. Тоді, відповідно до класичних {{нп|Закони перетворення|законів перетворення||Vector field#Coordinate transformation law}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Vector field#Coordinate transformation law]] перекладена як [[Векторне поле]], хоча хотіли [[Закони перетворення]] (SashkoR0B0T)-->, маємо, що <math>A=\bar{A}^k\frac{\partial}{\partial\bar{x}^k}</math>, де <math>\bar{A}^k=\frac{\partial\bar{x}^k}{\partial x^j}A^j</math>.
Аналогічно, якщо <math>g=g_{mk}\,{\rm d}x^{m}\otimes {\rm d}x^k=\bar{g}_{ij}\,{\rm d}\bar{x}^i\otimes {\rm d}\bar{x}^j</math>, то <math>\bar{g}_{ij}= \frac{\partial x^m}{\partial\bar{x}^i}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^j}g_{mk}</math>. Запис цього перетворення за допомогою матриць має вигляд <math>\bar{g}=\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)^{\text{T}}g\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)</math>, звідки випливає, що <math>\det\bar{g}=\left(\det\left(\frac {\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\right)^2\det g</math>.

Тепер обчислюємо
: <math>\begin{align}
\operatorname{div}A&=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(A^i\sqrt{\det g}\right)=\\[1ex]
&=\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{1}{\sqrt{\det\bar{g}}}\frac{\partial\bar{x}^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial\bar{x}^k}\left(\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^{\ell}}\bar{A}^{\ell}\det\!\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)^{\!\!-1}\!\sqrt{\det\bar{g}}\right).
\end{align}</math>
Щоб продемонструвати, що це дорівнює
<math>\frac{1}{\sqrt{\det\bar{g}}}\frac{\partial}{\partial\bar{x}^k}\left(\bar {A}^k\sqrt{\det\bar{g}}\right),</math>
необхідно і достатньо показати, що
: <math>\frac{\partial\bar{x}^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial\bar{x}^k}\left(\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^{\ell}}\det \left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)^{-1}\right)=0\qquad</math> для всіх <math>\ell,</math>
що еквівалентно
: <math>\frac{\partial}{\partial\bar{x}^{\ell}}\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)=\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{\partial\bar{x}^k}{\partial x^i}\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^k\partial\bar{x}^{\ell}}.</math>
Продиференціювавши ліву частину, отримуємо
: <math>\begin{align}
\frac{\partial}{\partial\bar{x}^{\ell}}\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)&=(-1)^{i+j}\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^{\ell}\partial\bar{x}^j}\det M(i|j)=\\[1ex]
&=\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^{\ell}\partial\bar{x}^j}\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{(-1)^{i+j}}{\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)}\det M(i|j)=(\ast),\end{align}</math>
де <math>M(i|j)</math> позначає матрицю, отриману з <math>\left(\dfrac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)</math> після видалення <math>i</math>-го рядка і <math>j</math>-го стовпця.
Але за правилом Крамера
: <math>\frac{(-1)^{i+j}}{\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)}\det M(i|j)</math>
є <math>(j,i)</math>-м елементом матриці <math>\left(\frac{\partial\bar{x}}{\partial x}\right)</math>. Таким чином,
: <math>\begin{align}
(\ast)=\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^{\ell}\partial{\bar{x}}^j}\frac{\partial\bar{x}^j}{\partial x^i},
\end{align}</math>
що і завершує доведення.

{{Collapse bottom}}

==== Обчислення неявних похідних ====
Розглянемо два рівняння <math>F(x,y,u,v)=0</math> та <math>G(x,y,u,v)=0</math>. Якщо <math>u</math> і <math>v</math> є [[Залежна і незалежна змінні|незалежними змінними]], то можемо визначити <math>x=X(u,v)</math> та <math>y= Y(u,v)</math>.

Вираз для <math>\dfrac{\partial x}{\partial u}</math> можна знайти, застосувавши правило Крамера.

{{Collapse top|title=''Обчислення <math>\dfrac{\partial x}{\partial u}</math>''}}
Спочатку обчислимо перші похідні від <math>F</math>, <math>G</math>, <math>x</math> та <math>y</math>:

: <math>\begin{align}
{\rm d}F&=\frac{\partial F}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial F}{\partial y}{\rm d}y+\frac{\partial F}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial F}{\partial v}{\rm d}v=0,\\
{\rm d}G&=\frac{\partial G}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial G}{\partial y}{\rm d}y+\frac{\partial G}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial G}{\partial v}{\rm d}v=0,\\
{\rm d}x&=\frac{\partial X}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial X}{\partial v}{\rm d}v,\\
{\rm d}y&=\frac{\partial Y}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial Y}{\partial v}{\rm d}v.
\end{align}</math>

Підставивши <math>{\rm d}x</math>, <math>{\rm d}y</math> в <math>{\rm d}F</math> і <math>{\rm d}G</math>, отримаємо

: <math>\begin{align}
{\rm d}F&=\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial u}\right){\rm d}u+\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial v}\right){\rm d}v=0,\\
{\rm d}G&=\left(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial u}\right){\rm d}u+\left(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial v}\right){\rm d}v=0.
\end{align}</math>

Оскільки <math>u</math>, <math>v</math> незалежні змінні, то коефіцієнти при <math>{\rm d}u</math> та <math>{\rm d}v</math> повинні бути нульовими. Отже, можемо записати рівняння для коефіцієнтів:

: <math>\begin{align}
\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}&=-\frac{\partial F}{\partial u},\\
\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}&=-\frac{\partial G}{\partial u},\\
\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}&=-\frac{\partial F}{\partial v},\\
\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}&=-\frac{\partial G}{\partial v}.
\end{align}</math>

Тепер, за правилом Крамера, бачимо, що

: <math>\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\begin{vmatrix}-\frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial y}\\[1ex]-\frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x}&\frac{\partial F}{\partial y}\\[1ex] \frac{\partial G}{\partial x}&\frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}.</math>

Тобто, це формула у термінах двох [[Якобіан]]ів:

: <math>\frac{\partial x}{\partial u}=-\frac{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}\right)}{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\right)}.</math>

Аналогічні формули можна отримати для <math>\frac{\partial x}{\partial v}</math>, <math>\frac{\partial y}{\partial u}</math>, <math>\frac{\partial y}{\partial v}.</math>

{{Collapse bottom}}

=== Цілочисельне програмування ===
Правило Крамера може бути використане для доведення, що задача [[Цілочисельне програмування|цілочисельного програмування]], матриця обмежень якої є [[Унімодулярна матриця|унімодулярною матрицею]], а правою частиною є [[Цілі числа|ціле число]], має цілочисельні базисні розв'язки. Це значно спрощує розв'язання цілочисельної програми.

=== Звичайні диференціальні рівняння ===
Правило Крамера використовується для виведення загального розв'язку неоднорідного [[Лінійне диференціальне рівняння|лінійного диференціального рівняння]] методом [[Метод варіації параметрів|варіації параметрів]] (метод варіації довільних сталих).

== Геометрична інтерпретація ==
[[Файл:Cramer.jpg|thumb|400px|Геометрична інтерпретація правила Крамера. Площі другого та третього заштрихованих паралелограмів однакові, а площа другого дорівнює площі першого домноженій на <math>x_1</math>. З цієї рівності випливає правило Крамера.]]

Правило Крамера має геометричну інтерпретацію, яку також можна розглядати як доведення або для розуміння його геометричного змісту.
Ці геометричні аргументи працюють загалом, а не лише у випадку двох рівнянь із двома невідомими, що представлений тут.

Задану систему рівнянь

: <math>\begin{cases}
\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2
\end{matrix}
\end{cases}</math>

можна розглядати як рівняння між векторами

: <math>x_1\left(\begin{matrix} a_{11}\\ a_{21}\end{matrix}\right) +x_2\left(\begin{matrix} a_{12}\\ a_{22}\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}b_1\\ b_2\end{matrix}\right).</math>

Площа паралелограма, визначеного векторами <math>\left(\begin{matrix} a_{11}\\ a_{21}\end{matrix}\right)</math> і <math>\left(\begin{matrix} a_{12}\\ a_{22}\end{matrix}\right)</math>, задається визначником системи рівнянь:

: <math>\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\[1ex]
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}.</math>

У загальному випадку, коли є більше змінних та рівнянь, визначник з <math>n</math> векторів довжини <math>n</math>&nbsp;— це об'єм [[паралелепіпед]]а, що побудований на цих векторах в <math>n</math>-вимірному [[Евклідів простір|евклідовому просторі]].

Отже, площа паралелограма, визначеного <math>x_1 \left(\begin{matrix}a_{11}\\ a_{21}\end{matrix}\right)</math> і <math>\left(\begin{matrix}a_{12}\\ a_{22}\end{matrix}\right)</math>, дорівнює <math>x_1</math> помножено на площу першого, оскільки одну зі сторін помножили на цей коефіцієнт.
Тепер останній паралелограм, за [[Принцип Кавальєрі|принципом Кавальєрі]], має ту ж площу, що і паралелограм, визначений через <math>\left(\begin{matrix}b_1\\ b_2\end{matrix}\right)=x_1\left(\begin{matrix} a_{11}\\ a_{21}\end{matrix}\right)+x_2\left(\begin{matrix}a_{12}\\ a_{22}\end{matrix}\right) \quad</math> та <math>\quad \left(\begin{matrix}a_{12}\\ a_{22}\end{matrix}\right).</math>

Прирівнювання площ останнього та другого паралелограма дає рівняння

: <math>\begin{vmatrix}
b_1&a_{12}\\[1ex]
b_2&a_{22}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11}x_1&a_{12}\\[1ex]
a_{21}x_1&a_{22}
\end{vmatrix}
=
x_1
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\[1ex]
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix},</math>

з якого випливає правило Крамера.


== Інші доведення ==

=== Доведення з використанням лінійної алгебри ===

Це передоведення наведеного вище твердження абстрактною мовою.

Розглянемо відображення <math>\boldsymbol{x}=(x_ 1,\dots, x_n)\mapsto\frac{1}{\det A}\left(\det(A_1), \dots, \det(A_n)\right),</math>
де <math>A_i</math>&nbsp;— матриця <math>A</math> у якій <math>i</math>-й стовпчик замінено на вектор <math>\boldsymbol{x}</math> як і у правилі Крамера. Внаслідок лінійності визначника у кожному стовпці це відображення є лінійним. Підкреслимо, що воно відображає <math>i</math>-й стовпець матриці <math>A</math> в <math>i</math>-й базисний вектор <math>\boldsymbol{e}_i=(0, \dots, 1, \dots, 0)</math> (з <math>1</math> на <math>i</math>-му місці), оскільки визначник матриці з однаковими стовпцями дорівнює <math>0</math>.
Отже, маємо [[лінійне відображення]], яке узгоджується з оберненням матриці <math>A</math> у просторі стовпців; звідси, воно узгоджується з матрицею <math>A^{-1}</math> на лінійній оболонці простору стовпців.
Оскільки матриця <math>A</math> невироджена, лінійна оболонка векторів стовпців&nbsp;— весь простір <math>\mathbb {R}^n</math>, тому відображення дійсно є оберненим до матриці <math>A</math>. Що і доводить правило Крамера.

=== Коротке доведення ===
Коротке доведення правила Крамера<ref>{{cite journal | last = Robinson | first = Stephen M. | title = A Short Proof of Cramer's Rule | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1970-03_43_2/page/94 | journal = Mathematics Magazine| volume = 43 | pages = 94–95 | year = 1970}}</ref> можна навести, помітивши, що <math>x_1</math> є визначником матриці

: <math>X_1=\begin{bmatrix}
x_1&0&0&\cdots &0\\
x_2&1&0&\cdots &0\\
x_3&0&1&\cdots &0\\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
x_{n}&0&0&\cdots &1
\end{bmatrix}.</math>

З іншого боку, якщо припустити, що наша початкова матриця <math>A</math> є невиродженою, то матриця <math>X_1</math> має стовпці <math>A^{-1}\boldsymbol{b}</math>, <math>A^{-1}\boldsymbol{v}_2</math>, <math>\dots</math>, <math>A^{-1}\boldsymbol{v}_n</math>, де <math>\boldsymbol{v}_n</math>&nbsp;— це <math>n</math>-й стовпець матриці <math>A</math>.
Нагадаємо, що матриця <math>A_1</math> має стовпці <math>\boldsymbol{b}</math>, <math>\boldsymbol{v}_2</math>, <math>\dots</math>, <math>\boldsymbol{v}_n</math>, а тому <math>X_1=A^{-1}A_1</math>.
Отже, оскільки визначник добутку двох матриць є добутком визначників, то

: <math>x_1=\det(X_1)=\det\left(A^{-1}\right)\det(A_1)=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}.</math>

Доведення для інших <math>x_j</math> аналогічне.

== Несумісні та невизначені випадки ==

Система рівнянь називається несумісною або {{нп|Послідовні та суперечні рівняння|суперечною||Consistent and inconsistent equations}}, коли не існує розв'язків, і вона називається {{нп|Невизначена система|невизначеною||Indeterminate system}}, коли існує більше одного розв'язку.
Для лінійних рівнянь невизначена система матиме нескінченно багато розв'язків (у випадку нескінченного поля), які можна виразити через один або кілька параметрів, що набувають довільних значень.

Правило Крамера застосовується у випадку, коли визначник, складений з коефіцієнтів, ненульовий.
У випадку <math>2\times 2</math>, якщо визначник дорівнює нулю і визначники чисельника відмінні від нуля, то система несумісна. Якщо визначники чисельника дорівнюють нулю, то система невизначена.

Для систем <math>3\times 3</math> або вище єдине, що можна сказати, якщо визначник коефіцієнтів дорівнює нулю і будь-який з визначників чисельника ненульовий, то система має бути несумісною.
Однак випадок усіх нульових визначників не означає, що система є невизначеною.
Простим прикладом системи, у якій всі визначники дорівнюють нулю, але система, як і раніше, несумісна, є система <math>3\times 3</math>

: <math>\begin{cases}
x+y+z=1, \\
x+y+z=2, \\
x+y+z=3.
\end{cases}</math>

== Див. також ==
* [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь]]
* [[Визначник]]
* [[Матриця (математика)|Матриця]]
* [[Метод Гауса]]
* [[Теорема Лапласа]]
* [[Союзна матриця|Приєднана матриця]]
* [[Невироджена матриця]]
* [[Матриця Якобі]]

== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20140122000255/http://www.elektro-energetika.cz/calculations/linrov.php?language=english Online Calculator of System of linear equations]
* [http://mathworld.wolfram.com/CramersRule.html Wolfram MathWorld explanation on this subject]
* [https://www.mathros.net.ua/rozvjazok-systemy-linijnyh-algebraichnyh-rivnjan-metodom-kramera.html Метод Крамера для Систем Лінійних Рівнянь: Крок за Кроком (mathros.net.ua)]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Метод Крамера|сторінки=30}}
* {{cite book
|автор1 = Пастушенко С. М.
|автор2 = Підченко Ю. П.
|title = Вища математика. Основні поняття, формули, зразки розв'язування задач
|видавництво = Діал
|дата = 2002 р.
|знаходження = Київ
|url = 
|isbn = 966-591-025-6
}}
* {{Мальцев.Основы линейной алгебры}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Лінійна алгебра}}
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Методи розв'язку СЛАР]]