Перегляд вихідного коду сторінки Метод Бокса — Вілсона

[[Файл:Метод крутого сходження.png|thumb|350px|]]
'''Метод Бокса-Вілсона''' ({{lang-ru|метод Бокса-Уилсона}}; {{lang-en|Box-Wilson method}}; {{lang-de|Box-Wilson-Methode f}})&nbsp;— метод оптимізації об'єкту з використанням активного [[експеримент]]у шляхом крутого сходження поверхнею відгуку (параметрів [[оптимізація|оптимізації]]) до [[оптимум]]у, суть якого полягає в наступному: рух у напрямі [[градієнт]]а за наявності лінійного рівняння моделі здійснюється із центра експерименту послідовними кроками, які пропорційні добутку коефіцієнта регресії кожного фактора на значення його інтервалу зміни.

Застосовується, зокрема, для одержання моделей процесів [[збагачення корисних копалин]] та інших технологічних процесів, при гідродинамічних дослідженнях [[газліфт]]них нафтових свердловин.

== Алгоритм ==
Метод крутого сходження, або метод Бокса&nbsp;— Вілсона, поєднує істотні елементи методу Гаусса&nbsp;— Зейделя і градієнтного методу з методами ПФЕ або ДФЕ. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки <math>x_k</math> здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по '''''grad''''' <math>y(\vec x_k)</math>, проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в деякій точці <math>\vec x_m</math> на даному напрямі часткового екстремуму цільової функції (рис.&nbsp;1), аналогічно методу Гаусса&nbsp;— Зейделя.

Важливою особливістю методу Бокса&nbsp;— Вілсона є також регулярне проведення статистичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму. Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий:

1) провадиться повний або дробовий [[факторний експеримент]] з центром у вихідній точці <math>\vec x_0</math>для визначення '''''grad''''' <math>y(\vec x_0)</math>. Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:

а) перевірку відтворюваності експерименту;

б) перевірку значущості оцінок коефіцієнтів <math>b_i</math> лінійної моделі об'єкта;

в) перевірку адекватності утвореної лінійної моделі

<math>y=b_0+b_1 x_1+...+b_n x_n</math>

досліджуваному об'єктові.

2) обчислюються добутки <math>b_i \triangle x_i,</math> де <math>\triangle x_i</math>&nbsp;— крок варіювання параметра <math>x_i</math> при проведенні ПФЕ, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий

<math>max (b_i \triangle x_i)= b_{\sigma} \triangle x_{\sigma}</math>;

3)&nbsp;для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні <math>\rho</math>, залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;

4)&nbsp;визначаються розміри <math>\rho_i</math> за рештою змінних процесу <math>x_j(j \ne i)</math>. Оскільки під час руху градієнтом варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам <math>b_j={ \triangle y \over \triangle {x_j}}</math>, які є компонентами вектора grad у(х), то відповідні <math>\rho_i</math> знаходяться за формулою

<math>\rho_i={{b_j \triangle x_j} \over {\left | b_{\sigma} \triangle x_{\sigma} \right |}}</math>,

де <math>\rho</math> і <math>\triangle x_i</math> завжди додатні, а коефіцієнт <math>b_i</math> береться зі своїм знаком;

5)&nbsp;проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу <math>y_{zav,k}(\vec x_k)</math>у певних точках <math>\vec x_k</math> факторного простору (див. рис.&nbsp;1). Для цього незалежні змінні лінійної моделі об'єкта змінюються з урахуванням <math>b_i={{\triangle y} \over {\triangle x_i}}</math> таким чином, щоб зображуюча точка <math>\vec x</math> виконувала кроковий рух у напрямі вектора '''''grad''''' <math>(\vec x_1)</math>, утвореного в п.&nbsp;1, займаючи послідовно положення

<math>\vec x_1, \vec x_2, ... , \vec x_k, ... , \vec x_m</math>.

Очевидно, що j-та координата k-ї точки визначається так:

<math>x_{k,j}=x_{1,j}+k_{\rho,j},  j=1,2,...,n</math>.

Тоді

<math>y_{zav,k}=b_0+k \sum_{j=1}^n b_j \rho_j,  k=1,2,...,m.</math>

Зробимо підстановку

<math>y_{zav,k}=ky_{zav,1}-(k-1)b_0,  k=1,2,...,m.</math>

або ще зручніше

<math>y_{zav,k}=y_{zav,k-1}+(y_{zav,1}-b_0),  k=1,2,...,m.</math>

6)&nbsp;уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність

<math>y_{zav,k} \le (1..2)y_{max},</math>

де <math>y_{max}</math>&nbsp;— максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;

7)&nbsp;деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2-3 уявних кроки) реалізуються на об'єкті для перевірки відповідності апроксимації об'єкта утвореним рівнянням (гіперплощиною). Спостережені значення <math>y_{exp}</math> порівнюються із завбаченими <math>y_{zav}</math> (див. рис.&nbsp;1);

8)&nbsp;точка <math>\vec x_m</math>, де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;

9)&nbsp;оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу точку до області екстремуму <math>y(\vec x)</math>, де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу <math>\rho</math> береться рівним або меншим попереднього;

10)&nbsp;пошук припиняється, коли всі коефіцієнти <math>b_i(i=1,2,...,n)</math> лінійної моделі об'єкта виходять незначущими. Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.

== Див. також ==
* [[Планування експерименту]]
* [[Еволюційне планування експериментів]]

== Література ==

* ''Аністратенко В. О., Федоров В. Г.'' Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, 1993.&nbsp;— 375 с.
* [https://www.uzhnu.edu.ua/uk/infocentre/get/23461 Математичне моделювання та оптимізація хіміко-технологічних процесів]
* {{МГЕ|nocat=1}}

[[Категорія:Наукове моделювання]]
[[Категорія:Планування експерименту]]
[[Категорія:Оптимальні рішення]]
[[Категорія:Послідовні методи]]