Перегляд вихідного коду сторінки Мереживне зачеплення

[[Файл:Pretzel_knot.svg|праворуч|міні|154x154пкс| {{Нп|Мереживний вузол (−2,3,7)||en|(−2,3,7) pretzel knot}} має два правобічних скручення в першому {{Нп|Сплетіння (математика)|сплетінні|en|Tangle (mathematics)}}, три лівобічних скручення в другому і сім лівобічних скручень у третьому. ]]
В [[Теорія вузлів|теорії вузлів]] '''мереживне зачеплення'''&nbsp;— це особливий вид [[Зачеплення (теорія вузлів)|зачеплення]]. Мереживні зачеплення, що є також [[Вузол (математика)|вузлом]] (тобто зачепленням з однією компонентою), називається '''мереживним вузлом'''.

У стандартній проєкції мереживне зачеплення <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math><ref>Використано [[Нотація Конвея для вузлів|нотацію Конвея для вузлів]] з доданням дужок для зручності.</ref> має <math>p_1</math> лівобічних скручень у першому сплетенні<ref>Замість «сплетення» також кажуть «тангл» або «зв'язка».{{уточнити}}</ref>, <math>p_2</math> у другому і, в загальному випадку, <math>p_n</math> у <var>n</var>-му.

Мереживне зачеплення можна описати як [[зачеплення Монтезіноса]] з цілим числом переплетень.

== Деякі базові результати ==
Мереживне зачеплення <math>(p_1,p_2,\dots,p_n)</math> є [[Вузол (математика)|вузлом]] тоді і тільки тоді, коли і <math>n</math>, і всі <math>p_i</math> є [[Парність (математика)|непарними]] або рівно одне з чисел <math>p_i</math> парне{{Sfn|Kawauchi|1996}}.

Мереживне зачеплення <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math> є {{Нп|Розвідне зачеплення|розвідним|en|Split link}}, якщо щонайменше два <math>p_i</math> рівні нулю. Однак обернене твердження хибне.

Мереживне зачеплення <math>(-p_1,-p_2,\dots,-p_n)</math> є [[Відбиття (геометрія)|відбиттям]] мереживного зачеплення <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math>.

Мереживне зачеплення <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math> еквівалентне (тобто [[Гомотопія|гомотопічно еквівалентне]] на [[3-сфера|''S''<sup>3</sup>]]) мереживному зачепленню <math>(p_2,\,p_3,\dots,\,p_n,\,p_1)</math>. Тоді, також, мереживне зачеплення <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math> еквівалентне мереживному зачепленню <math>(p_k,\,p_{k+1},\dots,\,p_n,\,p_1,\,p_2,\dots,\,p_{k-1})</math>{{Sfn|Kawauchi|1996}}.

Мереживне зачеплення <math>(p_1,\,p_2,\,\dots,\,p_n)</math> еквівалентне мереживному зачепленню <math>(p_n,\,p_{n-1},\dots,\,p_2,\,p_1)</math>. Однак якщо орієнтувати зачеплення в канонічному вигляді, ці два зачеплення мають протилежну орієнтацію.

== Приклади ==
[[Файл:Blue_Trefoil_Knot.png|праворуч|міні|107x107пкс|[[Трилисник (вузол)|Трилисник]]]]
Мереживний вузол (1, 1, 1)&nbsp;— це (правобічний) [[Трилисник (вузол)|трилисник]], а вузол (-1, -1, -1) є його дзеркальним відбиттям.
[[Файл:Blue_Stevedore_Knot.png|ліворуч|міні|118x118пкс|[[Стивідорний вузол (теорія вузлів)|Стивідорний<br/>вузол]]]]
Мереживний вузол (5, -1, -1)&nbsp;— це [[Стивідорний вузол (теорія вузлів)|стивідорний вузол]] (6<sub>1</sub>).

Якщо <var>p</var>, <var>q</var> і <var>r</var> є різними непарними числами, більшими від 1, то мереживний вузол (''p'', ''q'', ''r'') є [[Оборотний вузол|необоротним]].

Мереживне зачеплення (2''p'', 2''q'', 2''r'')&nbsp;— це зачеплення, утворене трьома пов'язаними [[Тривіальний вузол|тривіальними вузлами]].

Мереживний вузол (-3, 0, -3) ([[Прямий вузол (теорія вузлів)|прямий вузол]]) є [[Зв'язна сума|зв'язною сумою]] двох [[Трилисник (вузол)|трилисників]].

Мереживне зачеплення (0, <var>q</var>, 0)&nbsp;— це [[розвідне зачеплення]] [[Тривіальний вузол|тривіального вузла]] з іншим вузлом.

=== Зачеплення Монтесіноса ===
[[Файл:MontesinosLink1.svg|міні|Зачеплення Монтесіноса. У цьому прикладі <math>e=-3</math>, <math>\alpha_1 /\beta_1=-3/2</math> і <math>\alpha_2 /\beta_2=5/2</math> .]]
'''Зачеплення Монтесіноса'''&nbsp;— це особливий вид [[Зачеплення (теорія вузлів)|зачеплення]], що узагальнює мереживні зачеплення (мереживне зачеплення можна вважати зачепленням Монтесіноса з цілими переплетеннями). Зачеплення Монтесіноса, що є також [[Вузол (математика)|вузлом]] (тобто, зачепленням з однією компонентою), є '''вузлом Монтесіноса'''.

Зачеплення Монтесіноса складається з декількох [[Сплетення (математика)|раціональних сплетень]]. Одним з позначень зачеплення Монтесіноса є <math>K(e;\alpha_1 /\beta_1,\alpha_2 /\beta_2,\ldots,\alpha_n /\beta_n)</math> {{Sfn|Zieschang|1984|с=378–389}}.

В цих позначеннях <math>e</math> і всі <math>\alpha_i</math> і <math>\beta_i</math> є цілими числами. Зачеплення Монтесіноса, задане таким позначенням, складається з [[Сплетення (математика)|суми]] раціональних сплетень, заданих цілим числом <math>e</math>, і раціональних сплетень <math>\alpha_1 /\beta_1,\alpha_2 /\beta_2,\ldots,\alpha_n /\beta_n</math>

== Використання ==
[[Файл:PretzelKnot.jpg|праворуч|міні|Їстівний мереживний вузол (-2,3,7)]]
Мереживні зачеплення (-2, 3, 2<var>n</var> + 1) особливо корисні для вивчення {{Нп|3-многовид|3-многовидів|en|3-manifold}}. Зокрема, для цих многовидів багато результатів встановлено на основі {{Нп|Хірургія Дена|хірургії Дена|en|Dehn surgery}} на мереживному вузлі (−2,3,7).

[[Гіперболічний об'єм]] [[Доповнення зачеплення|доповнення]] мереживного зачеплення {{Math|(&minus;2,3,8)}} дорівнює збільшеній в 4 рази [[Стала Каталана|сталій Каталана]], приблизно {{Num|3.66}}. Це мереживне зачеплення є одним з двох гіперболічних многовидів з двома каспами з мінімальними можливими об'ємами, другий многовид є доповненням [[зачеплення Вайтгеда]]{{Ref|Agol|2010}}.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{статья
|автор= [[Ян Агол|Ian Agol]]
|ref=Agol
|doi= 10.1090/S0002-9939-10-10364-5
|выпуск= 10
|издание= [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
|mr= 2661571
|заглавие = The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds
|том= 138
|год= 2010
}}

== Література для подальшого читання ==
* {{книга-ру
|автор=Hale F. Trotter
|вклад=Non-invertible knots exist
|заглавие=Topology
|том=2
|издательство=Pergamon Press
|год=1963
|страницы=272—280
}}
* {{книга-ру
|автор=Akio Kawauchi
|ref=Kawauchi
|год=1996
|заглавие=A survey of knot theory
|издательство=Birkh&auml;user
|ISBN=3-7643-5124-1
}}
* {{книга-ру
|автор=Heiner Zieschang
|ref=Zieschang
|часть=Classification of Montesinos knots
|заглавие =Topology
|заглавие2=General and Algebraic Topology, and Applications. Proceeding of the International Topological Conference held in Leningrad, August 23-27, 1982
|издательство=Springer
|место=Berlin Heidelberg
|год=1984
|серия=Lecture Notes in Mathematics/USSR
|том=1060
|ответственный=A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D.Faddeev, Arkadii A. Mal’cev
|isbn=3-540-13337-2
|isbn2=0-387-13337-2
}}
{{Теорія вузлів}}

[[Категорія:Вузли і зачеплення]]
[[Категорія:Тривимірні многовиди]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]