Перегляд вихідного коду сторінки Межа Бекенштейна

[[File:Bekenstein-Hawking entropy of a black hole.jpg|thumb|Відповідно до межі Бекенштейна ентропія чорної діри пропорційна числу [[Одиниці Планка|планківських одиниць площі]], які потрібні для покриття [[Горизонт подій|горизонту подій]] чорної діри. ]]
'''Межа Бекенштейна'''&nbsp;— це верхня межа [[Ентропія|ентропії]] ''S'', або кількості [[Інформація|інформації]] ''I'', які можуть міститися в заданій обмеженій області простору, що має скінченну кількість [[Енергія|енергії]]; або, з іншого боку, максимальна кількість інформації, необхідна для ідеального опису заданої фізичної системи аж до квантового рівня<ref name="Bekenstein1981-1">Jacob D. Bekenstein, [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/PRD23-287-1981.pdf «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems»], ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, {{doi|10.1103/PhysRevD.23.287}}, {{bibcode|1981PhRvD..23..287B}}..</ref>. Мається на увазі, що інформація про фізичну систему, або інформація, необхідна для ідеального опису системи, повинна бути скінченною, якщо система займає скінченний простір і має скінченну енергію.

З точки зору інформатики це означає, що існує максимум швидкості обробки інформації ([[межа Бремерманна]]) для фізичної системи, яка має скінченні розміри і енергію, і що [[Машина Тюрінга|машина Тюринга]] з скінченними фізичними розмірами і необмеженої пам'яттю фізично не може бути реалізована.

[[Яків Бекенштейн|Бекенштейн]] показав, що максимум ентропії, пов'язаний з тілом, досягається при перетворенні його в [[Чорна діра|чорну діру]].<ref>{{Статья|автор=Jacob D. Bekenstein|заглавие=Black Holes and Entropy|ссылка=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.7.2333|язык=|издание=Physical Review D|тип=|год=1973-04-15|месяц=|число=|том=7|выпуск=8|номер=|страницы=2339|issn=|doi=10.1103/PhysRevD.7.2333}}</ref> Іншими словами, при досягненні межі Бекенштейна носій інформації здійснює гравітаційний колапс, перетворюючись в чорну діру.<ref>{{Cite web|url=http://www.pbs.org/wgbh/nova/blogs/physics/2014/04/is-information-fundamental/|title=Is Information Fundamental?|publisher=www.pbs.org|lang=en|accessdate=2018-11-30|archive-date=13 жовтня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20181013014354/http://www.pbs.org/wgbh/nova/blogs/physics/2014/04/is-information-fundamental/}}</ref><ref>{{Книга
|автор = Stephen Hawking
|заглавие = Brief Answers to the Big Questions: the final book from Stephen Hawking
|ссылка = https://books.google.com/books?id=iKdaDwAAQBAJ&pg=PT95
|ответственный = 
|издание = 
|место = 
|издательство = Hodder & Stoughton
|год = 2018-10-16
|страницы = 95
|страниц = 183
|isbn = 9781473696006
|isbn2 = 
}}</ref>

== Формули ==
Універсальне формулювання обмеження було спочатку відкрите Яаковом Бекенштейном як нерівність

<math>S \leqslant \frac{2 \pi k R E}{\hbar c},</math>

де ''S''&nbsp;— ентропія, ''k''&nbsp;— [[стала Больцмана]], ''R''&nbsp;— радіус сфери, що охоплює цю систему, ''Е''&nbsp;— сумарна маса-енергія, включаючи масу спокою, ''ħ''&nbsp;— [[приведена стала Планка]], а ''c''&nbsp;— [[швидкість світла]]. Незважаючи на істотну роль гравітації, вираз не містить [[Гравітаційна стала|гравітаційної сталої]] G.

У застосуванні до інформації, обмеження формулюється у вигляді

<math>I \leqslant \frac{2 \pi R E}{\hbar c \ln 2},</math>

де ''I''&nbsp;— кількість інформації, виражена як число бітів, що містяться в [[Квантовий стан|квантових станах]] в сфері. Множник ''ln2'' походить від визначення кількості інформації як логарифма за основою 2 від числа квантових станів (<math>I = log_2 O</math>).<ref name="Tipler2005b">''[[Frank J. Tipler]]'', [http://math.tulane.edu/~tipler/theoryofeverything.pdf The structure of the world from pure numbers]// {{iw|Reports on Progress in Physics|Reports on Progress in Physics|en|Reports on Progress in Physics}}, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, {{doi|10.1088/0034-4885/68/4/R04}}, {{bibcode|2005RPPh...68..897T}}, p. 902.. Also released as [[arxiv:0704.3276|Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything]] // {{arxiv|0704.3276}}, April 24, 2007, p. 8.</ref> Використовуючи еквівалентність маси і енергії, інформаційна межа може бути переформульована як

<math>I \leqslant \frac{2 \pi c R m}{\hbar \ln 2} \approx 2{,}5769082 \cdot 10^{43} m R,</math>

де ''m''&nbsp;— маса системи в кілограмах, а радіус ''R'' виражений в метрах.

== Походження ==
Бекенштейн вивів межу, виходячи з евристичних аргументів, що стосуються чорних дір. Якщо існує система, що порушує межу, тобто має надлишок ентропії, тоді, як стверджував Бекенштейн, можна було б порушити [[другий закон термодинаміки]], опустивши систему в чорну діру. У 1995 році Тед Джекобсон показав, що [[рівняння Ейнштейна]] (рівняння гравітаційного поля в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]]) можуть бути виведені з припущення про істинність межі Бекенштейна і [[Закони термодинаміки|законів термодинаміки]]<ref name="Jacobson1995">''{{iw|Theodore_Jacobson|Ted Jacobson|en|Theodore_Jacobson}}''. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State // [[Physical Review Letters]], Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, {{doi|10.1103/PhysRevLett.75.1260}}, {{bibcode|1995PhRvL..75.1260J}}. Also at {{arxiv|gr-qc/9504004}}, April 4, 1995. Also available [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.54.6675 here] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121007175246/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.54.6675 |date=7 жовтня 2012 }} and [http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/jacobson/jacobson.ps here] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100709083127/http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/jacobson/jacobson.ps |date=9 липня 2010 }}. Additionally available as [http://www.gravityresearchfoundation.org/pdf/awarded/1995/jacobson.pdf an entry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111001230201/http://www.gravityresearchfoundation.org/pdf/awarded/1995/jacobson.pdf |date=2011-10-01 }}in the {{iw|Gravity_Research_Foundation|Gravity Research Foundation's|en|Gravity_Research_Foundation}} 1995 essay competition. .</ref><ref name="Smolin2002">''{{iw|Lee_Smolin|Lee Smolin|en|Lee_Smolin}}''. {{iw|Three_Roads_to_Quantum_Gravity|Three Roads to Quantum Gravity|en|Three_Roads_to_Quantum_Gravity}}.&nbsp;— New York, N.Y.: [[Basic_Books|Basic Books]].&nbsp;— 2002.&nbsp;— p. 173, 175.</ref>. Однак, незважаючи на ряд запропонованих аргументів, які показували, що в тій чи іншій формі межа неминуче повинна існувати для взаємної несуперечливості законів термодинаміки і загальної теорії відносності, точне формулювання межі було предметом дискусій.<ref name="Bekenstein2005">''Jacob D. Bekenstein''. How Does the Entropy/Information Bound Work? // {{iw|Foundations_of_Physics|Foundations of Physics|en|Foundations_of_Physics}}, Vol. 35, No. 11 (November 2005), p. 1805—1823, {{doi|10.1007/s10701-005-7350-7}}, {{bibcode|2005FoPh...35.1805B}}. Also at {{arxiv|quant-ph/0404042}}, April 7, 2004.</ref><ref name="Bekenstein2008">''Jacob D. Bekenstein''. [http://www.scholarpedia.org/wiki/index.php?title=Bekenstein_bound&oldid=50791 Bekenstein bound] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190824020533/http://www.scholarpedia.org/wiki/index.php?title=Bekenstein_bound&oldid=50791 |date=24 серпня 2019 }} // [[Scholarpedia]], Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, {{doi|10.4249/scholarpedia.7374}}.</ref><ref name="Bousso1999-6">''Raphael Bousso''. Holography in general space-times // {{iw|Journal_of_High_Energy_Physics|Journal of High Energy Physics|en|Journal_of_High_Energy_Physics}}, Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, {{doi|10.1088/1126-6708/1999/06/028}}, {{bibcode|1999JHEP...06..028B}}. [https://www.webcitation.org/5pyuEsv6m?url=http://iopscience.iop.org/1126-6708/1999/06/028/pdf/1126-6708_1999_06_028.pdf Mirror link]. Also at {{arxiv|hep-th/9906022}}, 3 June 1999.</ref><ref name="Bousso1999-7">''Raphael Bousso''. A covariant entropy conjecture // {{iw|Journal_of_High_Energy_Physics|Journal of High Energy Physics|en|Journal_of_High_Energy_Physics}}, Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, {{doi|10.1088/1126-6708/1999/07/004}}, {{bibcode|1999JHEP...07..004B}}. [https://www.webcitation.org/5pyuO4nVn?url=http://iopscience.iop.org/1126-6708/1999/07/004/pdf/1126-6708_1999_07_004.pdf Mirror link]. Also at {{arxiv|hep-th/9905177}}, 24 May 1999.</ref><ref name="Bousso2000">''Raphael Bousso''. The holographic principle for general backgrounds // {{iw|Classical_and_Quantum_Gravity|Classical and Quantum Gravity|en|Classical_and_Quantum_Gravity}}, Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), p. 997—1005, {{doi|10.1088/0264-9381/17/5/309}}, {{bibcode|2000CQGra..17..997B}}. Also at {{arxiv|hep-th/9911002}}, 2 November 1999.</ref><ref name="Bekenstein2000">''Jacob D. Bekenstein''. Holographic bound from second law of thermodynamics // {{iw|Physics_Letters|Physics Letters B|en|Physics_Letters}}, Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), p. 339—345, {{doi|10.1016/S0370-2693(00)00450-0}}, {{bibcode|2000PhLB..481..339B}}. Also at {{arxiv|hep-th/0003058}}, 8 March 2000.</ref><ref name="Bousso2002">''Raphael Bousso''. [http://bib.tiera.ru/DVD-005/Bousso_R._The_holographic_principle_(2002)(en)(50s).pdf The holographic principle] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110812102152/http://bib.tiera.ru/DVD-005/Bousso_R._The_holographic_principle_(2002)(en)(50s).pdf |date=2011-08-12 }}// [[Reviews_of_Modern_Physics|Reviews of Modern Physics]], Vol. 74, No. 3 (July 2002), p. 825—874, {{doi|10.1103/RevModPhys.74.825}}, {{bibcode|2002RvMP...74..825B}}.. Also at {{arxiv|hep-th/0203101}}, 12 March 2002.</ref><ref name="Bekenstein2003">''Jacob D. Bekenstein''. [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/Holographic_Univ.pdf Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram]// [[Scientific_American|Scientific American]], Vol. 289, No. 2 (August 2003), p. 58—65..</ref><ref name="BoussoEtAl2003">''Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan, {{iw|Donald_Marolf|Donald Marolf|en|Donald_Marolf}}''. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound // Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (15 September 2003), Art. No. 064001, 7 pages, {{doi|10.1103/PhysRevD.68.064001}}, {{bibcode|2003PhRvD..68f4001B}}. Also at {{arxiv|hep-th/0305149}}, 19 May 2003.</ref><ref name="Bekenstein2004">''Jacob D. Bekenstein''. Black holes and information theory // {{iw|Contemporary_Physics|Contemporary Physics|en|Contemporary_Physics}}, Vol. 45, Issue 1 (January 2004), p. 31—43, {{doi|10.1080/00107510310001632523}}, {{bibcode|2003ConPh..45...31B}}. Also at {{arxiv|quant-ph/0311049}}, 9 November 2003. Also at {{arxiv|quant-ph/0311049}}, 9 November 2003.</ref><ref name="Tipler2005">''[[Frank_J._Tipler|Frank J. Tipler]]''. [http://math.tulane.edu/~tipler/theoryofeverything.pdf The structure of the world from pure numbers]] // {{iw|Reports_on_Progress_in_Physics|Reports on Progress in Physics|en|Reports_on_Progress_in_Physics}}, Vol. 68, No. 4 (April 2005), p. 897—964, {{doi|10.1088/0034-4885/68/4/R04}}, {{bibcode|2005RPPh...68..897T}}. [https://web.archive.org/web/20090124130436/http://math.tulane.edu/~tipler/theoryofeverything.pdf Mirror link]. Also released as [[arxiv:0704.3276|Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything]] // {{arxiv|0704.3276}}, 24 April 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein's original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the ''Rep. Prog. Phys.'' article (or p. 9 of the ''arXiv'' version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article.</ref>

== Доведення у квантовій теорії поля ==
Доказ зв'язку Бекенштейна в рамках [[Квантова теорія поля|квантової теорії поля]] був наданий Казіні в 2008 році.<ref>{{cite journal|last1=Casini|first1=Horacio|date=2008|title=Relative entropy and the Bekenstein bound|journal=Classical and Quantum Gravity|volume=25|issue=20|pages=205021|arxiv=0804.2182|bibcode=2008CQGra..25t5021C|doi=10.1088/0264-9381/25/20/205021}}</ref> Одним із найважливіших інсайтів доведення було знайти правильну інтерпретацію величин, що з’являються з обох сторін виразу.

Наївні визначення ентропії та густини енергії в квантовій теорії поля страждають від [[Ультрафіолетова розбіжність|ультрафіолетової розбіжності]]. У випадку з межею Бекенштейна ультрафіолетових розбіжностей можна уникнути, взявши різницю між величинами, обчисленими в збудженому стані, і тими ж величинами, обчисленими у стані вакууму. Наприклад, для заданої  області простору <math>V</math> Казіні визначає ентропію ліворуч від межі Бекенштейна як: 

<math>S_V = S(\rho_V) - S(\rho^0_V) = - \mathrm{tr}(\rho_V \log \rho_V) + \mathrm{tr}(\rho_V^0 \log \rho_V^0)</math>

де <math>S(\rho_V)</math> - це ентропія фон Неймана зниженої [[Матриця густини|матриці густини]] <math>\rho_V</math>, пов'язана з <math>V</math> у збудженому стані <math>\rho</math>, а <math>S(\rho^0_V)</math> - відповідна [[Ентропія фон Неймана|ентропія фон Неймана]] для стану вакууму <math>\rho^0</math>.

Праворуч від межі Бекенштейна важким моментом є суворе тлумачення величини <math>2\pi R E</math>, де <math>R</math> є характерною шкалою довжини системи і <math>E</math> є характерною енергією. Цей виріб має ті самі одиниці виміру, що і генератор [[Перетворення Лоренца|імпульсу Лоренца]], і природним аналогом імпульсу в цій ситуації є модульний гамільтоніан стану вакууму <math>K=-\log \rho_V^0</math>. Казіні визначає праву частину межі Бекенштейна як різницю між значенням очікування модульного гамільтоніана в збудженому стані та вакуумному стані,

<math> K_V = \mathrm{tr}(K \rho_V) - \mathrm{tr}(K \rho^0_V). </math>

Відповідно до цих визначень межа читається як

<math> S_V \leq K_V, </math>

які можна переставити, щоб отримати

<math>\mathrm{tr}(\rho_V \log \rho_V) - \mathrm{tr}(\rho_V \log \rho_V^0) \geq 0. </math>.

Це просто твердження про позитивність [[Розходження Кульбака — Лейблера|відносної ентропії]], що доводить межу Бекенштейна.

== Приклади ==

=== Чорні діри ===
Ентропія тривимірних чорних дір, яка обчислюється за формулою Бекенштейна і Хокінга, точно насичує межу Бекенштейна:

: <math>r_s = \frac{2 G M}{c^2},</math>
: <math>A = 4 \pi r_s^2 = \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4},</math>
: <math>l_P^2 = \hbar G/c^3,</math>
: <math>S =\frac{kA}{4 l_P^2} = \frac{4 \pi k G M^2}{\hbar c},</math>

де k&nbsp;— стала Больцмана, A&nbsp;— двовимірна площа [[Горизонт подій|горизонту подій]] чорної діри в одиницях [[Довжина Планка|планківської довжини]], <math>l_P^2 = \hbar G/c^3</math>. Межа тісно пов'язана з [[Термодинаміка чорних дір|термодинамікою чорних дір]], [[Голографічний принцип|голографічним принципом]] і {{Не перекладено|Голографіча межа Буссо|голографічною межею Буссо|en|Bousso's holographic bound}} в квантової гравітації і може бути виведена з передбачуваної сильної форми останнього.

=== Людський мозок ===
У середньому [[Головний мозок людини|людський мозок]] має масу 1,5&nbsp;кг і об'ємом 1,26 л. Якщо мозок апроксимувати сферою, її радіус буде 6,7&nbsp;см.

Межа Бекенштейна для кількості інформації в такому випадку складе близько <math>2{,}6 \cdot 10^{42}</math> біт, що представляє максимальну кількість інформації, необхідну для повного відтворення середнього людського мозку аж до квантового рівня, а кількість <math>O = 2^I</math> квантових станів людського мозку має бути менше приблизно <math>10^{7{,}8 \cdot 10^{41}}</math>.

== Див. також ==

* [[Принцип Ландауера]]
* [[Колмогоровська складність]]
* [[Термодинаміка чорних дір]]
* [[Больцманівський мозок]]
* [[Цифрова фізика]]
* {{Не перекладено|Межі обчислень||ru|Пределы вычислений}}
* [[Межа Чандрасекара]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* J. D. Bekenstein, [http://www.phys.huji.ac.il/~barak_kol/Courses/Black-holes/reading-papers/Beken-Entropy.pdf «Black Holes and the Second Law»], ''[[Nuovo Cimento|Lettere al Nuovo Cimento]]'', Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737—740, {{doi|10.1007/BF02757029}}, {{bibcode|1972NCimL...4..737B}}. [https://www.webcitation.org/5pvpODjvK?url=http://www.phys.huji.ac.il/%7Ebarak_kol/Courses/Black-holes/reading-papers/Beken-Entropy.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bekenstein_prd_7_2333_73.pdf «Black Holes and Entropy»], ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333—2346, {{doi|10.1103/PhysRevD.7.2333}}, {{bibcode|1973PhRvD...7.2333B}}. [https://www.webcitation.org/5pvpyakNu?url=http://www.physics.princeton.edu/%7Emcdonald/examples/QM/bekenstein_prd_7_2333_73.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/PRD9-3292-1974.pdf «Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics»], ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, {{doi|10.1103/PhysRevD.9.3292}}, {{bibcode|1974PhRvD...9.3292B}}. [https://www.webcitation.org/5pvqDR9Rs?url=http://www.phys.huji.ac.il/%7Ebekenste/PRD9-3292-1974.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bekenstein_prd_12_3077_75.pdf «Statistical black-hole thermodynamics»], ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, {{doi|10.1103/PhysRevD.12.3077}}, {{bibcode|1975PhRvD..12.3077B}}. [https://www.webcitation.org/5pvqVyq9K?url=http://www.physics.princeton.edu/%7Emcdonald/examples/QM/bekenstein_prd_12_3077_75.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/PT,33,24(1980).pdf «Black-hole thermodynamics»], ''[[Physics Today]]'', Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, {{doi|10.1063/1.2913906}}, {{bibcode|1980PhT....33a..24B}}. [https://www.webcitation.org/5pvqqPGuq?url=http://www.phys.huji.ac.il/%7Ebekenste/PT%2C33%2C24%281980%29.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/PRD23-287-1981.pdf «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems»], ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, {{doi|10.1103/PhysRevD.23.287}}, {{bibcode|1981PhRvD..23..287B}}. [https://www.webcitation.org/5pvt5c96N?url=http://www.phys.huji.ac.il/%7Ebekenste/PRD23-287-1981.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bekenstein_prl_46_623_81.pdf «Energy Cost of Information Transfer»], ''[[Physical Review Letters]]'', Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623—626, {{doi|10.1103/PhysRevLett.46.623}}, {{bibcode|1981PhRvL..46..623B}}. [https://www.webcitation.org/5pvuFpfRA?url=http://www.physics.princeton.edu/%7Emcdonald/examples/QM/bekenstein_prl_46_623_81.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950—953, {{doi|10.1103/PhysRevD.26.950}}, {{bibcode|1982PhRvD..26..950B}}.
* Jacob D. Bekenstein, [http://128.112.100.2/~kirkmcd/examples/QM/bekenstein_prd_30_1669_84.pdf «Entropy content and information flow in systems with limited energy»], ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669—1679, {{doi|10.1103/PhysRevD.30.1669}}, {{bibcode|1984PhRvD..30.1669B}}. [https://www.webcitation.org/5pvud0uay?url=http://128.112.100.2/%7Ekirkmcd/examples/QM/bekenstein_prd_30_1669_84.pdf Mirror link].
* Jacob D. Bekenstein, [http://pm1.bu.edu/~tt/qcl/pdf/bekenstj19867766031b.pdf «Communication and energy»], ''[[Physical Review|Physical Review A]]'', Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, {{doi|10.1103/PhysRevA.37.3437}}, {{bibcode|1988PhRvA..37.3437B}}. [https://www.webcitation.org/5pvutswfg?url=http://pm1.bu.edu/%7Ett/qcl/pdf/bekenstj19867766031b.pdf Mirror link].
* Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109—1115, {{doi|10.1103/PhysRevD.39.1109}} {{PMID|9959747}}, {{bibcode|1989PhRvD..39.1109S}}.
* Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», ''{{iw|International Journal of Theoretical Physics}}'', Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967—981, {{doi|10.1007/BF00670342}}, {{bibcode|1989IJTP...28..967B}}.
* Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912—1921, {{doi|10.1103/PhysRevD.49.1912}}, {{bibcode|1994PhRvD..49.1912B}}. Also at {{arxiv|gr-qc/9307035}}, July 25, 1993.
* Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in ''Gedankenexperiments'' with black holes», ''{{iw|Classical and Quantum Gravity}}'', Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, {{doi|10.1088/0264-9381/13/1/002}}, {{bibcode|1996CQGra..13L...7Z}}. See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in ''Gedankenexperiments'' with black holes'», ''{{iw|Classical and Quantum Gravity}}'', Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, {{doi|10.1088/0264-9381/13/9/024}}, {{bibcode|1996CQGra..13.2607Z}}.
* Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», ''[[Physical Review|Physical Review D]]'', Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, {{doi|10.1103/PhysRevD.60.124010}}, {{bibcode|1999PhRvD..60l4010B}}. Also at {{arxiv|gr-qc/9906058}}, June 16, 1999.

== Джерела ==
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein_bound «Bekenstein bound»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210414084221/http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein_bound |date=14 квітня 2021 }}, ''[[Scholarpedia]]'', Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, {{doi|10.4249/scholarpedia.7374}}.
* Jacob D. Bekenstein, [http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein-Hawking_entropy «Bekenstein-Hawking entropy»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111016042420/http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein-Hawking_entropy |date=16 жовтня 2011 }}, ''[[Scholarpedia]]'', Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, {{doi|10.4249/scholarpedia.7375}}.
* [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/ Jacob D. Bekenstein's website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181008112021/http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/ |date=8 жовтня 2018 }} at {{iw|the Racah Institute of Physics}}, [[Hebrew University of Jerusalem]], which contains a number of articles on the Bekenstein bound.
* [http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/ сторінка Яакова Бекенштейна] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181008112021/http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/ |date=8 жовтня 2018 }} ([[Єврейський університет]] у Єрусалимі), на якій опубліковано ряд статей про межу Бекенштейна.
[[Категорія:Інформатика]]