Перегляд вихідного коду сторінки Машина Атвуда

[[Image:Atwoods machine.png|thumb|150px|right|Зображення машини Атвуда, 1905.]]

'''Маши́на А́твуда'''&nbsp;— прилад для проведення лабораторних експериментів для перевірки [[Закони Ньютона|механічних законів руху]] з незмінним [[прискорення]]м. Названа на честь винахідника [[Джордж Атвуд|Джорджа Атвуда]].

Ідеальна машина Атвуда складається з двох об'єктів мас ''m''<sub>1</sub> і ''m''<sub>2</sub>, пов'язаних нерозтяжною, невагомою ниттю, перекинутою через ідеальний невагомий [[Блок (механіка)|блок]]<ref>
{{cite book | last = Tipler | first = Paul A. 
 | title = Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version | url = https://archive.org/details/physicsforscient00tipl | publisher = Worth Publishers | year = 1991 | location = New York
 | isbn = 0-87901-432-6}} Chapter 6, example 6-13, page 160.
</ref>.

Коли m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub>, машина перебуває в [[механічна рівновага|байдужій рівновазі]] незалежно від положення вантажів.

Коли m<sub>1</sub> ≠ m<sub>2</sub>, обидві маси зазнають прискорення.

== Вираз для сталого прискорення ==
[[Image:Atwood.svg|right|thumb|220px|[[Діаграма вільних тіл|Діаграми вільних тіл]] для двох вислих мас машини Атвуда. Наша домовленість про знаки, виражена через [[Вектор (математика)|вектори]] прискорення, така, що ''m<sub>1</sub>'' прискорюється додолу, а ''m<sub>2</sub>''&nbsp;— догори, як було б у випадку, коли ''m<sub>1</sub>'' > ''m<sub>2</sub>'']]

Ми можемо отримати рівняння для прискорення через використання аналізу сил.
Якщо ми розглядаємо невагому, нерозтяжну нить і ідеальний невагомий блок, то сили, які ми повинні врахувати: [[Розтяг|сила розтягу]] (''T'') і вага обох мас (''W<sub>1</sub>'' і ''W<sub>2</sub>''). Для обчислення прискорення нам треба розглянути сили, що впливають на кожен вантаж індивідуально.
Використовуючи [[другий закон Ньютона]] (за умови <math>m_1>m_2</math>), ми можемо вивести [[Система рівнянь|систему рівнянь]] для прискорення (''a'').

Ми прийняли, що для <math>m_1</math> ''a'' додатне, коли спрямоване додолу, а для <math>m_2</math>&nbsp;— коли догори. Ваги <math>m_1</math> і <math>m_2</math> це просто <math>W_1 = m_1 g</math> і <math>W_2 = m_2 g</math> відповідно.

Сили, що впливають на m<sub>1</sub>:

<math>\; m_1g-T=m_1a</math>

Сили, що впливають на m<sub>2</sub>: 

<math>\; T-m_2g=m_2a</math>

Додаючи два попередні рівняння, отримуємо

<math>\; m_1g-m_2g=m_1a+m_2a</math>,

і наша заключна формула для прискорення

<math>a = g{m_1-m_2 \over m_1+m_2}</math>

Також прискорення, спричинене гравітацією, можна знайти, вимірявши час руху вагів і обчисливши значення для постійного прискорення ''a'': <math> d = {1 \over 2} at^2 </math>.

Машину Атвуда іноді використовують для ілюстрації [[Механіка Лагранжа|методу Лагранжа]] отримання рівняння руху<ref>
{{cite book | last = Goldstein | first = Herbert | authorlink = Herbert Goldstein
 | title = Classical Mechanics, second Edition
 | publisher = Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition | year = 1980
 | location = New Delhi | isbn = 81-85015-53-8}}
Section 1-6, example 2, pages 26-27.</ref>.

== Рівняння для розтягу ==
[[Файл:Atwood s swinging machine.gif|міні|праворуч|400пкс|Математична модель хитної машини Атвуда]]
Може бути корисним знати рівняння для ниті. Для обчислення розтягу ми підставляємо рівняння для прискорення в одне з двох силових рівнянь.

<math>a = g{m_1-m_2 \over m_1 + m_2}</math>

Наприклад, підставляючи в <math>m_1 a = m_1 g-T</math>, ми отримуємо

<math>T={2 g m_1 m_2 \over m_1 + m_2}</math>

== Рівняння для блока з інерцією і тертям ==
Для дуже малих різниць між ''m''<sub>1</sub> і ''m''<sub>2</sub>, [[момент інерції|обертовою інерцією]] ''I'' блока радіуса r не можна знехтувати. Кутове прискорення блока за умови, що нить не проковзує по блоку, таке:

<math> \alpha = {a\over r},</math>

де <math> \alpha</math>&nbsp;— це кутове прискорення. Тоді сумарний [[момент сили|крутильний момент]]:

<math>\tau_{net}=\left(T_1 - T_2 \right)r - \tau_{friction} = I \alpha </math>

Комбінуючи з другим законом Ньютона для вислих мас і розв'язуючи для ''T<sub>1</sub>'', ''T<sub>2</sub>'' і ''a'', маємо:

Прискорення:

:<math> a = {{g (m_1 - m_2) - {\tau_{friction} \over r}} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

Розтяг у сегмент ниті поблизу ''m<sub>1</sub>'':

:<math> T_1 = {{m_1 g (2 m_2 + {{I} \over {r^2}} + {{\tau_{friction}} \over {r g}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

Розтяг у сегмент ниті поблизу ''m<sub>2</sub>'':

:<math> T_2 = {{m_2 g (2 m_1 + {{I} \over {r^2}} + {{\tau_{friction}} \over {r g}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

Якщо тертя вальниці дуже мале (але не інерція блока), ці рівняння спрощуються до такого вигляду:
[[Файл:Kiev Funicular.jpeg|thumb|230px|Вагончики Київського фунікулера]]
Прискорення:

:<math> a = {{g (m_1 - m_2)} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

Розтяг у сегмент ниті поблизу ''m<sub>1</sub>'':

:<math> T_1 = {{m_1 g (2 m_2 + {{I} \over {r^2}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

Розтяг у сегмент ниті поблизу ''m<sub>2</sub>'':

:<math> T_2 = {{m_2 g (2 m_1 + {{I} \over {r^2}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

=== Практичне застосування ===
Ліфти використовують противагу, нагадуючи машину Атвуда, і таким чином звільняють тяговий мотор від навантаження необхідного для підтримки кабіни ліфта, тож мотору потрібно подолати лише різницю у вазі та інерцію двох мас. Цей самий принцип перейняли у [[фунікулер]]ах, де використовують два вагони на похилих коліях.

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Механіка]]
[[Категорія:Фізичні експерименти]]