Перегляд вихідного коду сторінки Матриця лінійного відображення

У [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]], для [[Векторний простір|векторних просторів]] <math>V</math> і <math>W</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> будь-яке [[лінійне відображення]] <math>T : V \to W</math> можна подати за допомогою [[матриця (математика)|матриці]], яка  називається '''матрицею лінійного відображення'''. Дане представлення є зручним для обчислень <ref>{{cite book|authors=Gentle, James E.|chapter=Matrix Transformations and Factorizations|title=Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics|publisher=Springer|year=2007|isbn=9780387708737|url=http://books.google.com/books?id=PDjIV0iWa2cC&pg=PA172|accessdate=28 грудня 2015|archive-date=21 лютого 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170221012807/https://books.google.com/books?id=PDjIV0iWa2cC&pg=PA172}}</ref> та дозволяє обчислювати [[Композиція функцій|композицію]] лінійних відображень через звичайний [[Множення матриць|добуток матриць]]. 

Проте матриця лінійного відображення визначена не однозначно, а залежить від вибору [[Базис (математика)|базисів]] у просторах <math>V</math> і <math>W</math>. Матриці лінійного перетворення у різних базисах пов'язані матричною тотожністю із використанням [[матриця переходу|матриць переходу]] між різними базисами.

== Означення ==
Нехай <math>V</math> є векторним простором розмірності <math>n</math> над полем <math>K</math> із вибраним на ньому базисом <math>\mathcal{A} = (\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)</math>, а  <math>W</math> є векторним простором розмірності <math>m</math> над полем <math>K</math> із вибраним базисом <math>\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_m).</math> Нехай <math>T : V \to W</math> є лінійним відображенням між цими двома просторами.

'''Матрицею лінійного відображення <math>T</math>''' у базисах <math>\mathcal{A} </math> і <math>\mathcal{B}</math> (позначатиметься <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) </math>)  називається матриця стовпцями якої є коефіцієнти розкладу векторів <math>T(\mathbf{a}_j)</math> (тобто [[Образ відображення|образів]] векторів базису <math>\mathcal{A}</math> ) у базисі <math>\mathcal{B}</math>.

Більш детально кожен вектор <math>T(\mathbf{a}_j) \in W</math> можна у єдиний спосіб записати  через елементи <math>\mathcal{B}</math> визначивши коефіцієнти <math>a_{ij}</math>:

: <math> T(\mathbf{a}_j) = a_{1j} \mathbf{b}_1 + a_{2j} \mathbf{b}_2 + \dotsb + a_{mj} \mathbf{b}_m
 = \sum_{i = 1}^m a_{ij} \mathbf{b}_i.</math>

Тоді матриця лінійного відображення у цих базисах матиме вигляд:

: <math> M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) =\begin{pmatrix} a_{11} & \dots &a_{1j} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & \dots &a_{2j} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & &\vdots &  & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mj} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}. </math>

Зокрема, якщо <math>V</math> є простором розмірності <math>n</math>, а <math>W</math> є простором розмірності <math>m</math>, то матриця довільного лінійного відображення для довільних базисів матиме порядок <math>m \times n.</math> 

Якщо <math>V = W</math> (тоді лінійне відображення переважно називається лінійним перетворенням), то матриця довільного лінійного перетворення є [[Квадратна матриця|квадратною]]. Якщо у цьому випадку  базиси <math>\mathcal{A} </math> і <math>\mathcal{B}</math> є однаковими для цієї матриці використовується позначення <math>M(T;\mathcal{A}). </math>

'''''Зауваження.''''' ''Подане тут означення є найпоширенішим у літературі але іноді може використовуватися означення де коефіцієнти розкладу векторів <math>T(\mathbf{a}_j)</math>'' ''у базисі простору'' <math>W</math> ''утворюють рядки, а не стовпці матриці''.

== Співвідношення між координатами векторів ==
Нехай векторні простори <math>V</math> і <math>W</math>, їх базиси <math>\mathcal{A} = (\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)</math> і <math>\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_m)</math> і лінійне відображення <math>T : V \to W</math> задані як і вище.

Кожен вектор <math>\mathbf{x} \in V</math> можна однозначно записати через елементи базиса <math>\mathcal{A}:</math>

: <math>\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + \dotsb + x_n \mathbf{a}_n</math>.

Аналогічно <math>T(\mathbf{x}) \in W</math> можна однозначно записати через елементи базиса <math>\mathcal{B}:</math>

: <math>T(\mathbf{x}) = y_1 \mathbf{b}_1 + \dotsb + y_m \mathbf{b}_m</math>.

Одержані таким чином координати можна записати як вектор-стовпці <math>\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix}</math> і <math>\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_m \end{pmatrix}</math>.

Тоді ці координати пов'язані між собою через матрицю лінійного перетворення <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) </math>:

: <math>\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn}
 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix}</math>.

== Приклади ==

* Матриця [[Тотожне відображення|тотожного перетворення]] (тобто <math>V = W</math> і <math>T(x) = x,\ \forall x \in V</math>) у випадку якщо базиси <math>\mathcal{A}</math> і <math>\mathcal{B}</math> є однаковими є [[Одинична матриця|одиничною матрицею]]. Якщо натомість вибрати різні базиси, то ця матриця буде рівною матриці переходу між базисами.
*Нехай <math>P_n(x)</math> позначає лінійний простір многочленів степені яких не перевищують <math>n</math>. Нехай на кожному такому просторі вибрано стандартний базис <math>(1, x^1, x^2, \ldots , x^n)</math>. Оператор формального диференціювання <math>(a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n)' = a_1 + 2a_2x^1 + \ldots na_nx^{n-1}</math> є лінійним оператором із <math>P_n(x)</math> у <math>P_{n-1}(x)</math> із стандартними базами. Матрицею цього перетворення є <math>n \times n+1</math>-матриця виду:
::<math> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 
0 & 0 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 3 & \dots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & n
 \end{pmatrix} </math>

=== Перетворення на площині ===
Всюди нижче використовується єдиний базис для координат образу і прообразу перетворення.

* '''Обертання''' 
:Функціональна форма запису [[обертання (математика)|обертання]] на кут θ проти годинникової стрілки відносно початку координат 
::<math>\begin{cases} x' = x \cos \theta - y \sin \theta \\ y' =  x \sin \theta + y \cos \theta \end{cases}</math> 
:Тобто вектор із координатами <math>x, y</math> переходить у вектор із координатами <math>x', y'</math>. Матрицею цього лінійного перетворення є [[матриця повороту]] і у матричній формі можна записати:
::<math>
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
</math>

* '''Масштабування'''
:Функціональна форма масштабування:
::<math>\begin{cases} x' = s_x \cdot x \\ y' = s_y \cdot y \end{cases}</math>.
:Матрицею цього перетворення є [[діагональна матриця]]:
::<math>
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
</math>
:Коли <math>\ s_x s_y = 1</math>, тоді зберігається [[площа]].

* '''Зсув'''
:У випадку [[зсув (математика)|зсуву]] (shear) можливі два варіанти. Зсув по осі ''x'' <math>x' = x + ky</math> і <math>y' = y</math>; тоді матриця зсуву має вигляд:
::<math>
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
</math>
:Зсув по осі ''y'' <math>x' = x</math> and <math>y' = y + kx</math>, в цьому випадку:
::<math>
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
</math>

* '''Відбиття'''
: Для [[відбиття (геометрія)|відбиття]] вектора щодо прямої, яка проходить через початок координат, нехай (''l<sub>x</sub>'', ''l<sub>y</sub>'') [[вектор]], що лежить на прямій. Матрицею відбиття щодо цієї прямої є [[матриця Хаусхолдера]]:
::<math>
\mathbf{A} = \frac{1}{l_x^2 + l_y^2} \begin{pmatrix} l_x^2 - l_y^2 & 2 l_x l_y \\ 2 l_x l_y & l_y^2 - l_x^2 \end{pmatrix}
</math>
:Відбиття відносно прямої, яка не проходить через початок координат не є лінійним перетворенням; це перетворення [[афінне перетворення|афінне]].
:Для відбиття точки відносно площини <math>ax + by + cz = 0</math> можна використати рівняння <math> I-2NN^T </math>, де ''I'' — [[одинична матриця]] і ''N'' — одиничний вектор нормалі до площини. Матриця перетворення буде мати вигляд:
::<math>
\begin{pmatrix} 1 - 2 a^2  & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b  & 1 - 2 b^2 & - 2 b c  \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{pmatrix} 
</math>
:Такий підхід працює лише якщо площина проходить через початок координат: якщо ні, потрібне афінне перетворення.

* '''Ортогональна проєкція'''

{{Main|Проекційна матриця}}

:Для проєкціонування вектора ортогонально на пряму, яка проходить через початок координат, позначимо як (''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'') вектор, що лежить на прямій. Тоді матрицею ортогонального проектування є матриця:
::<math>
\mathbf{A} = \frac{1}{u_x^2 + u_y^2} \begin{pmatrix} u_x^2 & u_x u_y \\ u_x u_y & u_y^2 \end{pmatrix}
</math>
:Як і з відбиттям, ортогональна проєкція на пряму, яка не проходить через початок координат є афінним перетворенням, а не лінійним.

== Властивості ==

=== Ізоморфізми між просторами лінійних відображень і матриць ===
Для векторних просторів <math>V</math> і <math>W</math>, їх базисів <math>\mathcal{A} = (\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)</math> і <math>\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_m)</math> і лінійного відображення <math>T : V \to W</math>, матриця лінійного відображення <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> визначена однозначно.

Навпаки, для таких просторів і базисів кожна <math>m \times n-</math>матриця <math> M =\begin{pmatrix} a_{11} & \dots &a_{1j} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & \dots &a_{2j} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & &\vdots &  & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mj} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix} </math> задає єдине лінійне відображення із <math>V</math> у <math>W</math>.

Справді, якщо <math>\mathcal C = \{ \mathbf{c}_1, \cdots, \mathbf{c}_n \}</math> є послідовністю будь яких векторів простору <math>W</math> (не обов'язково базисом), то існує ''єдине лінійне відображення'' <math>T : V \rightarrow W</math> з <math>T(\mathbf{a}_j) = \mathbf{c}_j</math>, для <math>j=1, \cdots, n</math>. Це єдине <math>T</math> визначається так

: <math>
T(x_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n) = 
T(x_1 \mathbf{a}_1) + \cdots + T(x_n \mathbf{a}_n) = 
x_1 T(\mathbf{a}_1) + \cdots + x_nT(\mathbf{a}_n) = 
x_1 \mathbf{c}_1 + \cdots + x_n \mathbf{c}_n</math>

Кожна <math>m \times n-</math>матриця <math> M  </math> однозначно визначає таку послідовність векторів за допомогою:

: <math> \mathbf{c}_j  = a_{1j} \mathbf{b}_1 + a_{2j} \mathbf{b}_2 + \dotsb + a_{mj} \mathbf{b}_m
</math>
і відповідно єдине лінійне відображення, задане, як і вище.

Звісно, якщо <math>\mathcal C = \{ \mathbf{c}_1, \cdots, \mathbf{c}_n \}</math>  виявиться базисом <math>W</math>, тоді <math>T</math> це лінійна [[бієкція]]; інакше кажучи, <math>T</math> це [[ізоморфізм]]. Якщо на додаток до цього <math>W = V</math>, тоді кажуть, що <math>T</math> це [[автоморфізм]].

Таким чином простори лінійних відображень <math>T : V \to W</math> і матриць розмірності <math>m \times n</math> є ізоморфними векторними просторами. Проте ізоморфізм між ними заданий тут залежить від вибору базисів <math>\mathcal{A}</math> і <math>\mathcal{B}</math>. Для іншого вибору базисів одержується інший ізоморфізм, тобто одному і тому ж лінійному відображенню відповідатимуть різні матриці. В математичній літературі через це іноді пишуть, що ізоморфізми між лінійними відображеннями і матрицями не є канонічними.

=== Матриця композиції лінійних відображень ===
Нехай додатково до попереднього дано також векторний простір <math>Z</math> розмірності <math>k</math> над тим же полем і лінійне відображення <math>S : W \to Z.</math> Нехай на <math>Z</math> вибрано базис <math>\mathcal C = \{ \mathbf{c}_1, \cdots, \mathbf{c}_k \}.</math> Тоді аналогічно до попереднього можна визначити матрицю лінійного відображення <math>M(S;\mathcal{B},\mathcal{C}). </math> Дана матриця матиме розмірність <math>p \times m.</math>

Композиція відображень <math>S \circ T : V \to Z</math> (тобто відображення для якого <math>S \circ T (x) = S(T(x))</math>) буде лінійним відображенням матрицею якого буде добуток матриць <math>M(S;\mathcal{B},\mathcal{C}) </math> і <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) </math>:
: <math>M(S\circ T;\mathcal{A},\mathcal{C}) = M(S;\mathcal{B},\mathcal{C}) \cdot M(T;\mathcal{A},\mathcal{B})</math>.
Зокрема якщо <math>T </math> є лінійним ізоморфізмом, то матрицею оберненого відображення є [[обернена матриця]] до матриці відображення <math>T </math>:

: <math>M(T^{-1};\mathcal{B},\mathcal{A}) =  (M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}))^{-1}</math>.

=== Зміна матриці при переході до нових базисів ===
{{main|Зміна базису}}
Як зазначено вище матриця лінійного відображення залежить від вибору базисів <math>\mathcal{A}</math> і <math>\mathcal{B}</math> відповідних просторів. Проте матриці для різних базисів пов'язані простою формулою із використанням матриць переходу між базисами.

Нехай простори  <math>V</math> і <math>W</math> задані як і вище, для простору <math>V</math> вибрані два базиси <math>\mathcal{A} = (\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)</math> і <math>\mathcal{A}' = (\mathbf{a}'_1,\ldots,\mathbf{a}'_n),</math> а у просторі <math>W</math> вибрані два базиси <math>\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_m)</math> і <math>\mathcal{B}' = (\mathbf{b}'_1,\ldots,\mathbf{b}'_m).</math> Позначимо <math>B(\mathcal{A},\mathcal{A}') </math> матрицю, стовпці якої є коефіцієнтами розкладу векторів із <math>\mathcal{A}'</math> через базис <math>\mathcal{A}.</math> Еквівалентно із використанням множення вектор-рядка на матрицю для <math>B(\mathcal{A},\mathcal{A}') </math> виконується співвідношення 
:<math>(\mathbf{a}'_1,\ldots,\mathbf{a}'_n) = (\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)\cdot {\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')}</math>

де у правій частині вектори із рядка множаться на скаляри із матриці. Також якщо деякий вектор має координати  <math>\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix}</math>у базисі <math>\mathcal{A}'</math> і <math>\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_n \end{pmatrix}</math> у базисі <math>\mathcal{A}</math>, то <math>\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_n \end{pmatrix} = {\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix} . </math> У цій формулі навпаки координати у базисі <math>\mathcal{A}</math> виражаються через координати у базисі <math>\mathcal{A}'.</math> Матриця <math>B(\mathcal{A},\mathcal{A}') </math> називається матрицею переходу від базиса <math>\mathcal{A}</math> до базиса <math>\mathcal{A}'</math> або (згідно попереднього у зворотному порядку) від координат у базисі <math>\mathcal{A}'</math> до координат у базисі <math>\mathcal{A}</math>.

Аналогічно можна визначити і матрицю <math>B(\mathcal{B},\mathcal{B}') </math>, яка називається матрицею переходу від базиса <math>\mathcal{B}</math> до базиса <math>\mathcal{B}'</math> або від координат у базисі <math>\mathcal{B}'</math> до координат у базисі <math>\mathcal{B}</math>. Обидві ці матриці є [[Оборотна матриця|невиродженими]] і <math>(B(\mathcal{A},\mathcal{A}'))^{-1} = B(\mathcal{A}',\mathcal{A}) </math> і <math>(B(\mathcal{B},\mathcal{B}'))^{-1} = B(\mathcal{B}',\mathcal{B}) </math>, тобто обернені матриці рівні матрицям зворотніх переходів між базисами.

Якщо тепер <math>T : V \to W</math> є лінійним відображенням і <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> і <math>M(T;\mathcal{A}',\mathcal{B}') </math> є його матрицями у різних базах, то ці матриці задовольняють співвідношення:

:<math>M(T;\mathcal{A}',\mathcal{B}') = B(\mathcal{B}', \mathcal{B}) \cdot M(T;\mathcal{A},\mathcal{B})\cdot B(\mathcal{A}, \mathcal{A}') = (B(\mathcal{B}, \mathcal{B}')^{-1} \cdot M(T;\mathcal{A},\mathcal{B})\cdot B(\mathcal{A}, \mathcal{A}'). </math>

Зокрема якщо <math>V = W</math> і <math>T </math> є лінійним перетворенням, то його матриці  у базисах <math>\mathcal{A}</math> і <math>\mathcal{A}'</math> пов'язані співвідношенням:

:<math>M(T;\mathcal{A}') = (B(\mathcal{A}, \mathcal{A}'))^{-1}  \cdot M(T;\mathcal{A})\cdot B(\mathcal{A}, \mathcal{A}')  </math>.

У простіших позначеннях, якщо <math>A</math> є матрицею перетворення у базисі <math>\mathcal{A}</math>, а <math>A'</math> є матрицею перетворення у базисі <math>\mathcal{A}'</math> і <math>U = B(\mathcal{A}, \mathcal{A}')</math>, то:
:<math>A' = U^{-1}AU</math>.
'''''Зауваження.''''' ''У різних авторів матрицею переходу від  базиса <math>\mathcal{A}</math> до базиса <math>\mathcal{A}'</math> може називатися як матриця <math>B(\mathcal{A},\mathcal{A}') </math> введена у цій статті, так і обернена до неї матриця <math>B(\mathcal{A}',\mathcal{A}), </math> яка тут називається матрицею переходу від координат у базисі <math>\mathcal{A}</math>'' ''до координат у базисі <math>\mathcal{A}'</math>. Тоді зокрема у останній формулі замість матриці <math>U</math> використовують її обернену <math>V = U^{-1}</math> і формула подається у іншому поширеному виді <math>A' = VAV^{-1}.</math> Також при використанні замість визначеної у статті матриці відображення її [[Транспонована матриця|транспонованої]], матриці перетворення теж використовують транспоновані до визначених. тут. Через ці та інші причини формули, що пов'язують матриці відображень та перетворень при зміні базисів попри свою простоту є причиною численних помилок іноді навіть досвідчених математиків.''

== Матриці деяких нелінійних відображень ==
Лінійне відображення не єдине, яке можна представити за допомогою матриць. Деякі перетворення що не є лінійними в 
[[Евклідів простір|евклідовому просторі]] '''R'''<sup>''n''</sup>, можуть бути представлені як лінійне перетворення у просторі розмірністю ''n''+1 — '''R'''<sup>''n''+1</sup>. В такому випадку вона включатиме як [[Афінне перетворення|афінні перетворення]] (такі як [[Паралельне перенесення|переміщення]]) і [[Проективне перетворення|проективні перетворення]]. Зокрема матриці перетворення 4×4 широко використовуються у застосуваннях [[3D-графіка|тривимірної комп'ютерної графіки]]. 

Ці ''n''+1-вимірні матриці перетворення називаються по різному в залежності від області їх застосування, ''афінні матриці перетворення'', ''проективні матриці перетворення'', або в більш загальному варіанті ''матриці не лінійного перетворення''. По відношенню до ''n''-вимірної матриці, матриця розмірністю ''n''+1- може вважатися [[Розширена матриця|розширеною матрицею]].

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}
* {{MathWorld | urlname=RotationMatrix | title=Матриця обертання}}
* [http://www.idomaths.com/linear_transformation.php Калькулятор лінійних перетворень] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090904135141/http://www.idomaths.com/linear_transformation.php |date=4 вересня 2009 }}{{ref-en}}
* [http://www.wiley.com/legacy/products/subject/life/biological_anthropology/0471205079_virtual_reconstruction/chapter5_trafo.html Аплет перетворень] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100410052452/http://www.wiley.com/legacy/products/subject/life/biological_anthropology/0471205079_virtual_reconstruction/chapter5_trafo.html |date=10 квітня 2010 }}{{ref-en}} - Генерує матриці з 2D перетворень і навпаки.

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Комп'ютерна графіка]]
[[Категорія:Типи матриць]]