Перегляд вихідного коду сторінки Математичний збіг

Кажуть, що виник '''математичний збіг''', якщо два вирази дають майже однакові значення, хоча теоретично цього [[збіг]]у ніяк пояснити не можна.

Наприклад, існує близькість [[Круглі числа|круглого числа]] [[1000 (число)|1000]], вираженого як степінь 2, і як степінь 10:<center>{{Виписка|<math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>}}</center>Деякі математичні збіги використовують в [[Інженерія|інженерній справі]], коли один вираз використовується як апроксимація іншого.

== Вступ ==
Математичний збіг часто пов'язаний з [[Цілі числа|цілими числами]], і дивовижні («випадкові») приклади відбивають факт, що [[Дійсне число|дійсні числа]], які виникають у деяких контекстах, виявляються за деякими стандартами «близькою» апроксимацією малих цілих чисел або степенів десяти, або, загальніше, [[Раціональні числа|раціонального числа]] з малим [[Дріб|знаменником]]. Інший вид математичних збігів&nbsp;— цілі числа, які одночасно задовольняють декільком, зовні не пов'язаним критеріям або збіги, що стосуються одиниць вимірювання. У класі чисто математичних збігів деякі прості результати мають глибоке математичне підґрунтя, тоді як інші з'являються несподівано.

Якщо дано [[Зліченна множина|зліченне]] число шляхів утворення математичних виразів, що використовують скінченне число символів, збіг числа використовуваних символів і точності наближення може бути найочевиднішим шляхом отримання математичного збігу. Стандарту, проте, немає і, коли немає формального математичного розуміння, апелюють до {{Не перекладено|сильний закон малих чисел|сильного закону малих чисел|en|strong law of small numbers}}. Необхідне деяке [[Краса математики|естетичне математичне]] відчуття для з'ясування значення математичного збігу: є він випадковим явищем, чи це важливий математичний факт (див. {{Не перекладено|Стала Рамануджана|«Стала Рамануджана»||Ramanujan's constant}} нижче про константу, яка з'явилася свого часу в пресі як науковий [[День сміху|першоквітневий жарт]]{{Sfn|Gardner|2001|с=674–694}}). Таким чином, ці випадкові збіги розглядаються через їх курйозність або для заохочення любителів елементарної математики.

== Деякі приклади ==

=== Раціональні наближення ===
Іноді прості раціональні наближення надзвичайно близькі до цікавих ірраціональних значень. Факт пояснюється в термінах подання ірраціональних значень [[Ланцюговий дріб|неперервними дробами]], але чому ці неймовірні збіги трапляються, часто залишається неясним.

Часто використовується раціональне наближення (неперервними дробами) до відношення логарифмів різних чисел, що дає (наближений) збіг степенів цих чисел{{Sfn|Schroeder|2008|с=26–28}}.

==== Збіги з числом <math>\pi</math> ====

* Перший [[Ланцюговий дріб|підхожий дріб]] числа <math>\pi</math>, [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, відомий з часів [[Архімед]]а{{Sfn|Beckmann|1971|с=101, 170}}, і дає точність близько 0,04&nbsp;%. Третій підхожий дріб, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929…, який знайшов [[Цзу Чунчжі]] {{Sfn|Mikami|1913|с=135}}, правильний до шести десяткових знаків{{Sfn|Beckmann|1971|с=101, 170}}. Така висока точність виходить через те, що наступний член неперервного дробу має дуже велике значення: <math>\pi</math>= [3; 7, 15, 1, 292, …]{{Sfn|Weisstein|2003|с=2232}}.
* Збіг, у якому бере участь <math>\pi</math> і [[золотий перетин]] φ, задається формулою <math>\pi \approx 4 / \sqrt{\varphi} = 3,1446\dots</math>. Це співвідношення пов'язане з [[Трикутник Кеплера|трикутником Кеплера]]. Деякі дослідники вважають, що цей збіг знайдено в [[Піраміди Гізи|пірамідах Гізи]], але вкрай неймовірно, що він є навмисним{{Sfn|Herz-Fischler|2000|с=67}}.
* Існує послідовність [[Точка Фейнмана|шести дев'яток]], яка починається з 762-ї позиції десяткового подання числа <math>\pi</math>. Для випадково вибраного [[Нормальне число|нормального числа]] ймовірність появи на початку будь-якої вибраної послідовності шести цифр (наприклад, 658 020) становить лише 0,08&nbsp;%. Є гіпотеза, що <math>\pi</math> є нормальним числом, але це не доведено.
* <math>\frac{5}{6}\pi\approx\varphi^2</math>; правильно з точністю до 0,002&nbsp;%.

==== Збіги з числом e ====

* Послідовність цифр 1828 повторюється двічі близько до початку десяткового подання числа [[E (число)|e]] = 2,7 1828 1828….<ref>В 1828-м году родился Лев Толстой, это позволяет запомнить число e с точностью до 10 знаков.</ref>
* Серед перших {{num|500000}} знаків числа e є послідовність цифр «99 999 999»<ref>{{Cite web|first=|last=|title=The Number e to 1 Million Digits|url=https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil|website=|publisher=NASA|accessdate=14 лютого 2017|archive-date=2 липня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170702083232/https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil}}</ref>.

==== Збіги зі степенями 2 ====

* Значення <math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math> збігаються з точністю 2,4&nbsp;%. Раціональне наближення <math>\textstyle\frac{\log10}{\log2} \approx 3,3219 \approx \frac{10}{3}</math>, або <math> 2 \approx 10^{3/10}</math> збігається з точністю до 0,3&nbsp;%. Цей збіг використовують в інженерних розрахунках для апроксимації подвоєної потужності як 3&nbsp;[[Децибел|dB]] (фактичне значення одно 3,0103&nbsp;dB&nbsp;— див. {{Не перекладено|Точка половинної потужності||en|Half-power point}}), або для переведення [[кібібайт]]ів у [[кілобайт]]и {{Sfn|Beucher|2008|с=195}}{{Sfn|Ayob|2008|с=278}}.
* Цей збіг можна переписати як <math>128 = 2^7 \approx 5^3 = 125</math> (виключаємо спільний множник <math>2^3</math>, так що відносна похибка залишається такою самою, 2,4&nbsp;%), що відповідає раціональному наближенню <math>\textstyle\frac{\log5}{\log2} \approx 2,3219 \approx \frac{7}{3}</math>, або <math> 2 \approx 5^{3/7}</math> (також у межах 0,3&nbsp;%). Цей збіг використовують, наприклад, для встановлення [[Витримка (фотографія)|витримки]] в камерах як наближення степенів двійки (128, 256, 512) у послідовності витримок 125, 250, 500, тощо{{Sfn|Schroeder|2008|с=26–28}}.

==== Збіги з музичними інтервалами ====

* Збіг <math>2^{19} \approx 3^{12}</math>, <math>\frac{\log3}{\log2} \approx 1,5849\dots \approx \frac{19}{12}</math> зазвичай використовується в [[Музика|музиці]] під час налаштування 7 [[півтон]]ів [[Рівномірно-темперований стрій|рівномірно темперованого ладу]] в [[Квінта (музичний інтервал)|чисту квінту]] [[Натуральний стрій|натурального ладу]]: <math>2^{7/12}\approx 3/2;</math>, що збігається з точністю до 0,1&nbsp;%. Чиста квінта служить основою [[Піфагорійський стрій|піфагорійського ладу]] і є найпоширенішою системою в музиці. З апроксимації <math>{(3/2)}^{12}\approx 2^7</math> випливає, що [[квінтове коло]] завершується на сім [[Октава|октав]] вище від початку{{Sfn|Schroeder|2008|с=26–28}}.
* Збіг <math>\sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5} = 1,33333319\ldots \approx \frac43</math> приводить до [[Схизма (інтервал)|раціональної версії]] 12-TET ладів, як зауважив [[Йоганн Філіп Кірнбергер|Йоганн Кірнбергер]].
* Збіг <math>\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35} = 4,00000559\ldots \approx 4</math> приводить до раціональної версії темперації [[Середньотоновий стрій|середньотонового строю]] на 1/4 [[Кома (музика)|коми]].
* Збіг <math>\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9} = 0,99999999754\ldots \approx 1</math> веде до дуже маленького інтервалу <math>2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}</math> (близько [[Цент (музика)|міліцента]]).
* Збіг зі степенем 2 (див. вище) призводить до того, що три великі терції складають октаву <math>{(5/4)}^{3} \approx {2/1}</math>. Це та інші схожі наближення в музиці називають [[дієса]]ми.

=== Числові вирази ===

==== Вирази зі степенями <math>\pi</math> ====

* <math>\pi^2\approx10;</math> з точністю близько 1,3&nbsp;%<ref name="Pi">Frank Rubin, [http://www.contestcen.com/pi.htm The Contest Center&nbsp;— Pi] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171008080533/http://www.contestcen.com/pi.htm |date=8 жовтня 2017 }}.</ref>. Це можна зрозуміти в термінах формули [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції]] <math>\zeta(2)=\pi^2/6.</math><ref>[http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/pi10.pdf Why is <math>\pi^2</math> so close to 10?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170809051501/http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/pi10.pdf |date=9 серпня 2017 }} (Почему <math>\pi^2</math> так близок к 10?), [[Ноам Елкіс|Noam Elkies]]</ref> Цей збіг використовувався під час розробки [[Логарифмічна лінійка|логарифмічних лінійок]], коли шкала починається з <math>\pi</math>, а не з <math>\sqrt{10}</math>.
* <math>\pi^2\approx 227/23,</math> з точністю до 0,0004&nbsp;%.
* <math>\pi^3\approx 31,</math> з точністю до 0,02&nbsp;%.
* <math>\sqrt[5]{\pi^3+1}\approx 2,</math> з точністю до 0,004&nbsp;%.
* <math>\pi\approx\left(9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4},</math> або <math>22\pi^4\approx 2143</math><ref name="wolfram">{{MathWorld|urlname=AlmostInteger|title=Almost Integer}}</ref> з точністю до 8 знаків (згідно з [[Срініваса Рамануджан|Рамануджаном]]: ''Quarterly Journal of Mathematics'', XLV, 1914, стор. 350—372). Рамануджан стверджує, що цю «цікаву апроксимацію» для <math>\pi</math> отримано емпірично" і вона не має зв'язку з теорією, яка розвивалася в статті.

: <math> \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3,1415926525 \dots </math>
: <math> \sqrt[5]{306} = 3,14155 \dots </math>
: <math> \sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3,1415924 \dots </math>
: <math> \sqrt[7]{\frac{21142}{7}} = 3,14159 \dots </math>

Деякі правдоподібні зв'язки виконуються з високою мірою точності, але все таки залишаються збігами. Прикладом є

: <math>
\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{8}.
</math>

Дві частини цього виразу відрізняються лише 42-м десятковим знаком<ref>{{Cite web |url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/math-future.pdf |title=Архівована копія |accessdate=13 січня 2021 |archive-date=20 липня 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110720013038/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/math-future.pdf }}</ref>.

==== Вирази із степенями <math>\pi</math> і ''e'' ====

* <math>\pi^4+\pi^5\approx e^6</math> з точністю 0,000 005&nbsp;%
* <math>\sqrt[4]{3^3 e^\pi}\approx5</math> з точністю близько 0,008&nbsp;%.
* <math>{ 3 }^{ \frac { \pi +e }{ 4 } }\approx5</math> з точністю близько 0,000 538&nbsp;% (Joseph Clarke, 2015)
* <math>e^\pi - \pi\approx 19,99909998 </math> дуже близьке до 20 (Конвей, Слоан, Плуфф, 1988). Цей збіг еквівалентний <math>(\pi+20)^i=-0,999 999 999 2\ldots -i\cdot 0,000 039\ldots \approx -1</math><ref name="wolfram"/>
* <math> \pi^{3^2}/e^{2^3}=9,9998\ldots\approx 10</math>

==== Вирази з <math>\pi</math>, ''e'' і 163 ====

* <math>{163}\cdot (\pi - e) \approx 69</math>, [[google:100*(163*(pi-e)/69-1)|з точністю 0,0005%]]<ref name="wolfram"/>
* <math>\frac{163}{\ln 163} \approx 2^{5}</math>, [[google:100*((163/ln(163))^(1/5)/2-1)|з точністю 0,000004%]]
* {{Не перекладено|Стала Рамануджана|||Ramanujan's constant}}: <math>e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744</math>, точність <math>2,9\cdot 10^{-28}\%</math>, відкрита в 1859 [[Шарль Ерміт|Шарлем Ермітом]]{{Sfn|Barrow|2002}}. Ця дуже близька апроксимація не є типовим ''випадковим'' математичним збігом, де невідомо жодного математичного пояснення. Це наслідок факту, що 163 є {{Не перекладено|Число Гігнера|числом Гігнера||Heegner number}}.

==== Вирази з логарифмами ====
<math>\ln 2\approx \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{5}}</math> (точність 0,00024&nbsp;%).

=== Інші цікаві числові збіги ===

* <math>10! = 6! \cdot 7! = 1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot 7!</math>.<ref>Harvey Heinz, [http://www.magic-squares.net/narciss.htm#Factorial%20Products ''Narcissistic Numbers''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171012005653/http://www.magic-squares.net/narciss.htm#Factorial%20Products |date=12 жовтня 2017 }}.</ref>
* <math>\, 2^3=8</math> і <math>3^2=9\,</math> є єдиними нетривіальними послідовними степенями додатних цілих чисел ([[гіпотеза Каталана]]).
* <math>\,4^2 = 2^4</math> є єдиним цілочисельним розв'язком рівняння <math>a^b = b^a</math>, в припущенні, що <math>a\neq b</math><ref>Ask Dr. Math, [http://mathforum.org/library/drmath/view/66166.html «Solving the Equation x^y = y^x»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201112015756/http://mathforum.org/library/drmath/view/66166.html |date=12 листопада 2020 }}.</ref> (див. формальний метод розв'язання в статті [[W-функція Ламберта]])
* [[Послідовність Фібоначчі|Число Фібоначчі]] ''F''<sub>296182</sub> (ймовірно) є [[Напівпросте число|напівпростим числом]], оскільки ''F''<sub>296182</sub> = ''F''<sub>148091</sub> × ''L''<sub>148091</sub>, де ''F''<sub>148091</sub> (30949 знаків) і [[число Люка]] ''L''<sub>148091</sub> (30950 знаків) є [[Ймовірно просте число|ймовірно простими]].<ref>David Broadhurst, [http://primes.utm.edu/curios/page.php?number_id=3994 «Prime Curios!: 10660…49391 (61899-digits)»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210715082223/https://primes.utm.edu/curios/page.php?number_id=3994 |date=15 липня 2021 }}.</ref>
* В обговоренні [[Парадокс днів народження|парадоксу днів народження]] виникає число <math>\lambda=\frac{1}{365}{23\choose 2}=\frac{253}{365}</math>, яке «кумедно» дорівнює <math>\ln(2)</math> з точністю до 4 знаків{{Sfn|Arratia, Goldstein, Gordon|1990|с=403–434}}.

=== Збіги, пов'язані з десятковою системою ===

* <math>2^5 \cdot 9^2 = 2592</math>. Тобто 2592 є [[Числа Фрідмана|числом Фрідмана]].<ref name="Friedman">Erich Friedman, [http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html Problem of the Month (August 2000)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191107050027/http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html |date=7 листопада 2019 }}.</ref>
* <math>3^3+4^4+3^3+5^5=3435</math>.
* <math>\,1! + 4! + 5! = 145</math>. Це [[факторіон]], і їх усього 4 (в десятковій системі)&nbsp;— 1, 2, 145, 40585.<ref>{{OEIS|A014080}}</ref>
* <math>\frac {16} {64} = \frac {1\!\!\!\not6} {\not6 4} = \frac {1} {4}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac {26} {65} = \frac {2\!\!\!\not6} {\not6 5} = \frac {2} {5}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac {19} {95} = \frac {1\!\!\!\not9} {\not9 5} = \frac {1} {5}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{49}{98}=\frac{4\!\!\!\not9}{\not98}=\frac{4}{8}</math> (див. [[Неправильні скорочення]]). Крім того, добуток цих чотирьох дробів дорівнює рівно 1/100.
* <math>\,(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4913</math>; <math>\,(5 + 8 + 3 + 2)^3 = 5832</math>; і <math>\,(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19683</math>.<ref>{{OEIS|A061209}}</ref>
* <math>\,2^7 - 1 = 127</math>. Можна переписати рівність <math>\,127 = -1 + 2^7</math>, що робить 127 найменшим числом Фрідмана.
* <math>\,1^3 + 5^3 + 3^3 = 153</math> ; <math>\,3^3 + 7^3 + 0^3 = 370</math> ; <math>\,3^3 + 7^3 +1^3 = 371</math> ; <math>\,4^3 + 0^3 +7^3 = 407</math>&nbsp;— [[Числа Армстронга|самозакохані числа]]<ref>{{OEIS|A005188}}</ref>
* <math>\,(3 + 4)^3 = 343 </math><ref>[http://primes.utm.edu/curios/page.php/343.html Prime Curios!: 343] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160420150515/http://primes.utm.edu/curios/page.php/343.html |date=20 квітня 2016 }}.</ref>
* <math>\,588^2+2353^2 = 5882353 </math>, а також <math>1/17 = 0,0588235294117647\ldots</math> при округленні до 8 знаків 0,05882353. Збіг згадав Гільберт Лабелле в ~1980. Крім того, 5882353 є простим.
* <math>\,2646798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7</math>. Найбільше таке число&nbsp;— 12157692622039623539.<ref>{{OEIS|A032799}}</ref>
* <math>\sin(666^\circ) = \cos(6\cdot6\cdot6^\circ) = - \varphi/2</math>, де <math>\varphi</math>&nbsp;— [[золотий перетин]] (дивовижна рівність з кутом, вираженим у градусах) (див. [[Число звіра]])
* <math>\,\phi(666)=6\cdot6\cdot6</math>, де <math>\phi</math>&nbsp;— [[функція Ейлера]]

=== Числові збіги у фізичному світі ===

==== Тривалість шести тижнів ====
Число секунд у шести тижнях, або 42 добах, становить рівно 10! ([[факторіал]]) секунд (оскільки <math>24 = 4!</math>, <math>42 = 6 \cdot 7</math> і <math>60^2 = 5 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10</math>). Багато хто помітив цей збіг, зокрема, [[42 (число)|число 42]] є важливим у романі [[Дуглас Адамс|Дугласа Адамса]] «''[[Путівник по Галактиці для космотуристів|Путівник по Галактиці]]''».

==== Швидкість світла ====
[[Швидкість світла]] (за визначенням) дорівнює рівно {{Число|299792458|м/с}}, дуже близько до {{Число|300000000|м/с}}. Це звичайний збіг, оскільки метр спочатку визначено як {{Число|1/10000000}} відстані між земним полюсом і екватором на рівні моря, довжина земного кола вийшла близько 2/15 світлової секунди<ref name="Miracles">{{Cite web|last=Michon|first=Gérard P.|title=Numerical Coincidences in Man-Made Numbers|url=http://www.numericana.com/answer/miracles.htm|website=Mathematical Miracles|accessdate=29 квітня 2011|archive-date=22 жовтня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171022123753/http://www.numericana.com/answer/miracles.htm}}</ref>.

==== Прискорення вільного падіння ====
Залежно від [[Широта|широти]] і [[Довгота|довготи]], числове значення [[прискорення вільного падіння]] на поверхні Землі лежить між 9,74 і 9,87, що досить близько до 10. Це означає, що за [[Другий закон Ньютона|другим законом Ньютона]] [[вага]] кілограма маси на поверхні Землі дорівнює приблизно 10 [[Ньютон|Н]]{{Sfn|Leduc|2003|с=25}}.

Цей збіг насправді пов'язаний зі згаданим вище збігом квадрата <math>\pi</math> з 10. Одне з ранніх визначень метра&nbsp;— довжина маятника, період коливання якого дорівнює {{Число|2|с}}. Оскільки період повного коливання приблизно задається формулою нижче, після алгебричних перетворень, отримаємо, що прискорення вільного падіння чисельно дорівнює квадрату <math>\pi</math><ref>{{Cite web|url=https://www.wired.com/2013/03/what-does-pi-have-to-do-with-gravity/|title=What Does Pi Have To Do With Gravity?|publisher=Wired|date=8 березня 2013|accessdate=15 жовтня 2015|archive-date=10 листопада 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171110061655/https://www.wired.com/2013/03/what-does-pi-have-to-do-with-gravity/}}</ref>

: <math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>

Коли було виявлено, що довжина кола Землі дуже близька до {{Число|40000000|м}}, визначення метра змінили, щоб відбити цей факт, оскільки це був більш об'єктивний стандарт (прискорення вільного падіння на поверхні Землі не стале). Це призвело до збільшення довжини метра трохи менше ніж на {{Num|1|%}}, що потрапляло в межі експериментальних похибок вимірювання.

Ще один збіг&nbsp;— що ''[[Прискорення вільного падіння|величина g]]'', рівна приблизно 9,8&nbsp;м/с<sup>2</sup>, дорівнює 1,03&nbsp;[[Світловий рік|світлового року]]/рік<sup>2</sup>, що близько до 1. Цей збіг пов'язаний з фактом, що ''g'' близьке до 10 в [[Міжнародна система одиниць (SI)|системі SI]] (м/с<sup>2</sup>), а також, що число секунд у році близьке до числового значення ''c''/10, де ''c''&nbsp;— [[швидкість світла]] у м/с.

==== Стала Рідберґа ====
[[Стала Рідберґа]], помножена на швидкість світла і виражена як частота, близька до <math>\frac{\pi^2}{3}\times 10^{15}</math>Гц:<ref name="Miracles"/>

: <math>\underline{3,2898}41960364(17) \times 10^{15}</math>Гц <math>= R_\infty c</math> {{Sfn|NIST}}.

: <math>\underline{3,2898}68133696\ldots = \frac{\pi^2}{3}</math>

=== Стала тонкої структури ===
[[Стала тонкої структури]] <math>\alpha</math> близька до <math>\frac1{137}</math> і була гіпотеза, що вона в точно дорівнює <math>\frac1{137}</math>.

: <math>\alpha = \frac1{137,035999074\dots}</math>

Хоча це збіг не настільки строгий, як деякі вище, чудово, що <math>\alpha</math> є [[Безрозмірнісна фізична величина|безрозмірною константою]], тобто цей збіг не пов'язаний з використовуваною системою одиниць.

== Див. також ==
* [[Збіг]]
* {{Не перекладено|Майже ціле число||en|Almost integer}}
* [[Антропний принцип]]
* [[Парадокс днів народження]]
* {{Не перекладено|Частковий ізоморфізм||en|Exceptional isomorphism}}
* [[Числа Армстронга]]
* [[Експериментальна математика]]
* [[Трикутник Кеплера#Математичний збіг|Трикутник Кеплера]]
* [[Формула Койде]]
* [[Математичний жарт]]

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Книга
|автор = Martin Gardner
|ref = Gardner
|заголовок = The Colossal Book of Mathematics
|рік = 2001
|видавництво = W. W. Norton & Company
|місце = New York
|ISBN = 0-393-02023-1
|сторінки = 674–694
|частина = Six Sensational Discoveries
}}
* {{Книга
|автор = Yoshio Mikami
|ref = Mikami
|заголовок = Development of Mathematics in China and Japan
|видавництво = B. G. Teubner
|сторінки = 135
|рік = 1913
|посилання = https://books.google.com/books?id=4e9LAAAAMAAJ&q=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan%22+355&dq=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan%22+355
}}
* {{Книга
|заголовок = A History of Pi
|автор = Petr Beckmann
|ref = Beckmann
|видавництво = Macmillan
|рік = 1971
|ISBN = 978-0-312-38185-1
|сторінки = 101, 170
|посилання = https://books.google.com/books?id=TB6jzz3ZDTEC&pg=PA101&dq=pi+113+355++digits
}}
* {{Книга
|заголовок = The Shape of the Great Pyramid
|автор = Roger Herz-Fischler
|ref = Herz-Fischler
|видавництво = Wilfrid Laurier University Press
|рік = 2000
|ISBN = 978-0-889-20324-2
|сторінки = 67
|посилання = https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent
}}
* {{Книга
|заголовок = Matlab und Simulink
|автор = Ottmar Beucher
|ref = Beucher
|видавництво = Pearson Education
|рік = 2008
|ISBN = 978-3-8273-7340-3
|сторінки = 195
|посилання = https://books.google.com/books?id=VgLCb7B3OtYC&pg=PA195&dq=3.0103+1024+1000
}}
* {{Книга
|заголовок = Digital Filters in Hardware: A Practical Guide for Firmware Engineers
|автор = K. Ayob
|ref = Ayob
|видавництво = Trafford Publishing
|рік = 2008
|ISBN = 978-1-4251-4246-9
|сторінки = 278
|посилання = https://books.google.com/books?id=6nmnbIxpY3MC&pg=PA278&dq=3.0103-db
}}
* {{Книга
|заголовок = Number theory in science and communication
|автор = Manfred Robert Schroeder
|ref = Schroeder
|видавництво = Springer
|видання = 2nd
|рік = 2008
|ISBN = 978-3-540-85297-1
|сторінки = 26–28
|посилання = https://books.google.com/books?id=2KV2rfP0yWEC&pg=PA27&dq=coincidence+circle-of-fifths+1024+7-octaves+%22one+part+in+a+thousand%22
}}
* {{Книга
|автор = John D Barrow
|ref = Barrow
|заголовок = The Constants of Nature
|видавництво = Jonathan Cape
|рік = 2002
|місце = London
|ISBN = 0-224-06135-6
}}
* {{Стаття|author=Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon|ref=Arratia, Goldstein, Gordon|issue=4|видання=[[Statistical Science]]|pages=403–434|title=Poisson approximation and the Chen-Stein method|том=5|date=1990|doi=10.1214/ss/1177012015}}
* {{Книга
|заголовок = Our Inheritance in the Great Pyramid
|автор = Charles Smythe
|ref = Smythe
|сторінки = 39
|посилання = https://books.google.com/books?id=xB0WSOokTg0C&pg=PA39
|рік = 2004
|видавництво = Kessinger Publishing
|ISBN = 1-4179-7429-X
}}
* {{Книга
|заголовок = Cracking the AP Physics B & C Exam, 2004–2005 Edition
|сторінки = 25
|автор = Steven A. Leduc
|ref = Leduc
|посилання = https://books.google.com/books?id=XcX_TvhNjK0C&pg=PA25&dq=approximation
|ISBN = 0-375-76387-2
|рік = 2003
|видавництво = Princeton Review Publishing
}}
* {{Cite web|title=Rydberg constant times c in Hz|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz|website=Fundamental physical constants|publisher=NIST|ref=NIST|accessdate=25 липня 2011|archive-date=25 грудня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171225035232/https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz}}
* {{Книга
|заголовок = What If?
|автор = Randall Munroe
|ref = Munroe
|рік = 2014
|ISBN = 9781848549562
}}
* {{Книга
|заголовок = The Shape of the Great Pyramid
|автор = Roger Herz-Fischler
|ref = Herz-Fischler
|видавництво = Wilfrid Laurier University Press
|рік = 2000
|ISBN = 978-0-889-20324-2
|сторінки = 67
|посилання = https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent
}}
* {{Книга
|заголовок = CRC concise encyclopedia of mathematics
|автор = Eric W. Weisstein
|ref = Weisstein
|видавництво = CRC Press
|рік = 2003
|ISBN = 978-1-58488-347-0
|сторінки = 2232
|посилання = https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent
}}
{{Refend}}

== Посилання ==

* {{Книга
|автор = В. Левшин
|заголовок = Магистр рассеянных наук
|місце = Москва
|видавництво = Детская Литература
|рік = 1970
|сторінки = 256
}}
* [[Ґодфрі Гарольд Гарді|Hardy, G. H.]]&nbsp;— ''[[Апологія математика|A Mathematician's Apology]]. ''&nbsp;— New York: Cambridge University Press, 1993, (ISBN 0-521-42706-1)
* {{MathWorld|title=Almost Integer}}
* [http://www.futilitycloset.com/category/science-math/ Various mathematical coincidences] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170713085051/http://www.futilitycloset.com/category/science-math/ |date=13 липня 2017 }} in the «Science & Math» section of futilitycloset.com
* Press, W. H., [https://web.archive.org/web/20120312092311/http://www.nr.com/whp/NumericalCoincidences.pdf Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate]
[[Категорія:Рекреаційна математика]]
[[Категорія:Математична термінологія]]