Перегляд вихідного коду сторінки Математичне формулювання загальної теорії відносності

У цій статті розглядається математична основа [[Загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]].

== Початкові положення ==
Наше інтуїтивне сприйняття свідчить, що простір-час є регулярним і неперервним, тобто не має «дірок». Математично ці властивості означають, що простір-час буде моделюватися гладким [[Диференційовний многовид|диференційовним многовидом]] 4 вимірів <math> M_4 </math>, тобто простором розмірності 4, для якого окіл кожної точки схожий локально на чотиривимірний [[евклідів простір]]. Гладкість тут означає достатню диференційовність, поки без уточнення її ступеня.

Оскільки крім того з хорошою точністю виконуються закони [[Спеціальна теорія відносності|спеціальної теорії відносності]], то такий многовид можна наділити [[Метрика Лоренца|лоренцевою метрикою]], тобто невиродженим [[Метричний тензор|метричним тензором]] з [[Сигнатура (математична логіка)|сигнатурою]] <math>\{-,+,+,+\}</math> (або, що еквівалентно, <math>\{+,-,-,-\}</math>). Значення цього розкривається в наступному розділі.

== Геометрія простору-часу ==
<center>
''NB Ця стаття дотримується класичних домовленостей щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера<ref name="MTW"/>''
</center><center>
У цій статті приймається також [[Нотація Ейнштейна|угода Ейнштейна]] для підсумовування за повторюваними індексами.
</center>

=== Метричний тензор ===
Диференційовний многовид<ref>Далі ми скрізь не пишемо індекс 4, який уточнює розмірність многовида «M».</ref> M, забезпечений лоренцевим [[Метричний тензор|метричним тензором]] ''g'', і є таким чином ''[[Многовид Лоренца|лоренцевим многовидом]]'', який є частковим випадком псевдоріманового многовида (визначення «лоренців» буде уточнено далі в тексті; див. розділ [[Математичне формулювання загальної теорії відносності#Лоренцева метрика|Лоренцева метрика]]).

Візьмемо довільну систему координат <math> x^{\mu} </math> в околі точки <math> P </math>, і нехай <math>{\mathbf e}_{\mu}(x) </math>&nbsp;— локальний базис у дотичному просторі <math> T_xM </math> до многовида <math> M </math> у точці <math>x\in M </math>. Дотичний вектор <math> \mathbf w \in T_xM</math> запишеться тоді як лінійна комбінація базисних векторів:
{| border="0" align="center"
 |<math> \mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.</math>
 |}
При цьому величини <math> \ w^{\mu} </math> називаються контраваріантними компонентами вектора ''w''. [[Метричний тензор]] <math> \mathbf g </math> тоді&nbsp;— симетрична [[білінійна форма]]:

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse "
 |-----
 | bgcolor = "#fff8ff " | <math>\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},</math>
 |}
</center>

де через <math> dx^{\mu} </math> позначено [[Тензор|дуальний]] відносно <math>{\mathbf e}_{\mu}(x)</math> базис в [[Кодотичний простір|кодотичному просторі]] <math>T_x^*M</math>, тобто такі [[Лінійна форма|лінійні форми]] на <math>T_xM</math>, що:
{| border="0" align="center"
 |<math> dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}. </math>
 |}
Далі будемо припускати, що компоненти <math> g_{\mu\nu}(x) </math> метричного тензора змінюються в просторі-часі неперервно<ref>Точніше, вони мають бути принаймні класу C².</ref>.

Метричний тензор, таким чином, може бути поданий дійсною симетричною [[Матриця (математика)|матрицею]] 4x4:
{| border="0" align="center"
 |<math> g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}. </math>
 |}
Взагалі будь-яка дійсна матриця 4x4 має апріорі 4 x 4 = 16 незалежних елементів. Умова симетрії зменшує це число до 10: насправді, залишається 4 діагональних елементи, до яких треба додати (16&nbsp;— 4)/2 = 6 недіагональних елементів. Тензор <math>g_{\mu\nu}</math> має, таким чином, тільки 10 незалежними компонент.

=== Скалярний добуток ===
Метричний тензор визначає для кожної точки <math> x \in M </math> многовида псевдо-[[скалярний добуток]] («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичних форм (квадрата вектора); див. Лоренцева метрика) в дотичному до різноманіття <math>M^{}</math> в точці <math>x</math> псевдоевклідовому просторі <math>T_xM</math>. Якщо <math>\mathbf u</math> і <math>\mathbf v</math>&nbsp;— два вектора <math>T_xM</math>, їх скалярний добуток запишеться як:
{| border="0" align="center"
 |<math>\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}</math>
 |}
Зокрема, взявши два базисних вектори, отримуємо компоненти:
{| border="0" align="center"
 |<math>g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu} </math>
 |}
Зауваження: якщо величини <math>w^{\mu}</math> позначають контраваріантні компоненти вектора ''w'', то можна визначити також його коваріантні компоненти як:
{| border="0" align="center"
 |<math> w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.</math>
 |}

=== Елементарна відстань&nbsp;— інтервал ===
Розглянемо вектор елементарного переміщення <math> d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}</math> між точкою <math>P^{}</math> і нескінченно близькою точкою: <math> | \epsilon^{\mu} | \ll 1 </math>. Інваріантною інфінітезимальною нормою цього вектора буде дійсне число, що позначається <math> ds^2 </math>, зване коефіцієнтом інтервалу, і рівне:

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor = "#fff8ff " | <math> ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \ \epsilon^{\nu}</math>.
 |}
</center>

Якщо позначити компоненти вектора елементарного переміщення «по фізичному» <math> \epsilon^{\mu} = dx^{\mu} </math>, інфінітезимальний квадрат довжини (інтервалу) запишеться формально як:
{| border="0" align="center"
 |<math>ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}</math>
|}
''Увага'': в цій формулі, а також і далі, <math>dx^{\mu}</math> є дійсним числом, що інтерпретується як фізично «інфінітезимальна зміна» координати <math>x^{\mu}</math>, а не як диференціальна форма!

=== Лоренцева метрика ===
{{Докладніше|Метрика Лоренца}}
Уточнимо тепер вираз «лоренцева» (точніше «локально лоренцева»), який означає, що метричний тензор має [[Сигнатура (математика)|сигнатуру]] (1,3) і локально збігається в першому порядку з [[Метрика Лоренца|лоренцевою метрикою спеціальної теорії відносності]]. [[Принцип еквівалентності]] стверджує, що можна «стерти» локально поле гравітації, вибираючи локально [[Інерційна система відліку|інерційну систему координат]]. З математичної точки зору такий вибір є переформулюванням відомої теореми про можливість зведення квадратичної форми до головних осей.

У такий локально інерційній системі координат <math> X^{\alpha} </math> інваріант <math> ds^2 </math> у точці <math> P </math> запишеться як:
{| border="0" align="center"
 |<math>ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta} \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta} \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,</math>
|}
де <math>\eta_{\alpha\beta}</math> є метрикою [[Простір Мінковського|простору-часу Мінковського]], а в малому околі цієї точки
{| border="0" align="center"
 |<math>ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta}) \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta},</math>
|}
де <math>\delta_{\alpha\beta}</math> має мінімум другий порядок малості за відхиленнями від координат точки <math> P </math>, тобто <math>\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta}}{\partial X^\alpha}\right|_{P}=0</math>. Приймаючи домовленість щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера, маємо<ref name="MTW">C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; ''Gravitation'', Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. або Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.</ref>:

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )</math>
 |}
</center>

Далі використовуються такі звичайні домовленості:

* грецькі індекси змінюються від 0 до 3. Вони відповідають величинам у просторі-часі.
* латинські індекси змінюються від 1 до 3. Вони відповідають просторовим складовим величин у просторі-часі.

Наприклад, 4-вектор стану запишеться в локально інерційній системі координат як:
{| border="0" align="center"
 |<math> X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\          X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix}          c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrix} \right). </math>
 |}
''Увага'': насправді скінченні, а не інфінітезимальні прирости координат не утворюють вектора. Вектор з них виникає лише в однорідному просторі нульової кривини і тривіальної топології.

Лоренців характер многовида <math>M^{}</math> забезпечує, таким чином, те, що дотичні до <math>M^{}</math> у кожній точці [[Псевдоевклідів простір|псевдоевклідового простору]] будуть мати псевдо[[Скалярний добуток|скалярні добутки]] («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня додатна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора)) з трьома строго додатними власними значеннями (що відповідають простору) і одним строго від'ємним власним значенням (відповідним часу). Зокрема, елементарний інтервал «власного часу», що відокремлює дві послідовні події, завжди:
{| border="0" align="center"
 |<math> d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0. </math>
 |}

=== Загальні поняття афінної зв'язності і коваріантної похідної ===
Узагальнено, ''[[Афінна зв'язність|афінною зв'язністю]]'' називається оператор <math> \nabla </math>, який приводить у відповідність [[Векторне поле|векторному полю]] <math> \mathbf V </math> з [[Пучок (математика)|дотичного пучка]] <math> TM </math> поле [[Ендоморфізм|ендоморфізмів]] <math> \nabla \mathbf V </math> цього пучка. Якщо <math> {\mathbf w} \in T_xM </math>&nbsp;— дотичний вектор у точці <math> x \in M </math>, зазвичай позначають

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style=";border-collapse:collapse" |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math> \nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).</math>
 |}
</center>

Кажуть, що <math> \nabla_{\mathbf w} \mathbf V </math> є «<nowiki/>[[Коваріантна похідна|коваріантною похідною]]<nowiki/>» вектора <math>\mathbf V </math> в напрямку <math> {\mathbf w} </math>. Припустимо до того ж, що <math> \nabla \mathbf V </math> задовольняє додатковій умові: для будь-якої функції f виконується

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V </math>
 |}
</center>

Ковариантная похідна задовольняє таким двом властивостям лінійності:

* лінійність за ''w'', тобто, якими б не були поля векторів ''w'' і ''u'' і дійсні числа ''a'' і ''b'', ми маємо:

{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.</math>
 |}

* лінійність за ''V'', тобто, якими б не були поля векторів ''X'' і дійсні числа ''a'' і ''b'', ми маємо:

{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.</math>
 |}
Як тільки коваріантну похідну визначено для полів векторів, її можна поширити на [[Тензорне поле|тензорні поля]] з використанням правила [[Готфрід Вільгельм Ляйбніц|Лейбніца]]: якщо <math> \mathbf T </math> і <math> \mathbf S </math>&nbsp;— два будь-яких тензори, то за визначенням:

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\mathbf w} \mathbf S)</math>
 |}
</center>

Коваріантна похідна поля тензора вздовж вектора ''w'' є знову поле тензора того ж типу.

=== Зв'язність, асоційована з метрикою ===
Можна довести, що зв'язність, асоційована з метрикою&nbsp;— [[зв'язність Леві-Чивіти]][http://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_dea/chapitre3.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160409065236/http://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_dea/chapitre3.pdf |date=9 квітня 2016 }}, є єдиною зв'язністю, яка, крім попередніх умов, додатково забезпечує те, що для будь-яких полів векторів ''X, Y, Z'' з ''TM''

:* <math>\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)</math> (''метричність''&nbsp;— [[тензор неметричності]] дорівнює нулю).

:* <math>\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]</math>, де <math>[\mathbf X,\mathbf Y]</math>&nbsp;— [[Алгебра Лі|комутатор Лі]] від X і Y (відсутність ''кручення''&nbsp;— [[тензор кручення]] дорівнює нулю).

=== Опис у координатах ===
Коваріантна похідна вектора є вектор, і, таким чином, її можна виразити як лінійну комбінацію всіх базисних векторів:
{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_\rho,</math>
 |}
де <math> \Gamma^\rho </math> є компонентами вектора коваріантної похідної в напрямку <math> \mathbf e_\rho </math> (ця складова залежить від вибраного вектора ''w'').

Щоб описати коваріантну похідну, досить описати її для кожного з базисних векторів <math> \mathbf e_\nu </math> вздовж напрямку <math> \mathbf e_\mu </math>. Визначимо тоді ''[[символи Крістофеля]]'' (або просто крістофелі) <math> \Gamma^\rho {}_{\mu \nu}, </math> залежні від 3 індексів<ref>Увага, символи Крістофеля '''не є''' тензорами.</ref>

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math> \nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu}} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho</math> 
 |}
 </center>

Зв'язність Леві-Чивіти повністю характеризується своїми символами Крістофеля. Згідно з загальною формулою
{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V </math>
 |}
для вектора ''V'':
{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu. </math>
 |}
Знаючи, що <math> dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu </math>, отримуємо:
{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\nu \ \mathbf e_\nu </math>
 |}
Перший член цієї формули описує «деформацію» системи координат відношенню коваріантної похідної, а другий&nbsp;— зміни координат вектора ''V''. При підсумовуванні за німими індексами можна переписати це співвідношення у формі
{| border="0" align="center"
 |<math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \right] \ \mathbf e_\nu </math>
 |}
З цього одержуємо важливу формулу для компонент:

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>\nabla_{\mu}  \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \,  \nabla_{\mu}  \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho} </math>
 |}
</center>

Використовуючи формулу Лейбніца, так само можна продемонструвати, що:
{| border="0" align="center"
 |<math> \nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho} \ V_{\rho}. </math>
 |}
Щоб обчислити ці складові в явній формі, вирази для символів Крістофеля слід визначити, виходячи з метрики. Їх легко отримати, написавши такі умови:

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math> \nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0. </math>
 |}
</center>

Розрахунок цієї коваріантної похідної приводить до
{| border="0" align="center"
 |<math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right), </math>
 |}
де <math>g^{\mu \nu}\ </math>&nbsp;— компоненти «оберненого» метричного тензора, визначені рівняннями
{| border="0" align="center"
 |<math>g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho </math>
 |}
Символи Крістофеля «симетричні»<ref>Слово «симетричні» взято в лапки, оскільки ці індекси в силу свого походження&nbsp;— не тензорні.</ref> відносно нижніх індексів: <math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\ </math>

Зауваження: інколи визначаються також такі символи:
{| border="0" align="center"
 |<math>\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right) </math>
 |}
одержувані як:
{| border="0" align="center"
 |<math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}</math>
 |}

==== Тензор кривини Рімана ====
Тензор [[Кривина (математика)|кривини]] Рімана ''R''&nbsp;— тензор 4-ї валентності, визначений для будь-яких векторних полів '''X, Y, Z''' з ''M'' як

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z)  \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \, (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .</math>
 |}
</center>

Його компоненти в явній формі виражаються з метричних коефіцієнтів:
{| border="0" align="center"
 |<math> R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ +</math>
 |-
 |<math> + \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.</math>
 |}
Симетрії цього тензора:
{| border="0" align="center"
 |<math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;, </math>
 |}
{| border="0" align="center"
 |<math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;. </math>
 |}
Він задовольняє також таким співвідношенням:
{| border="0" align="center"
 |<math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0. </math>
 |}

=== Тензор кривини Річчі ===
''[[Тензор Річчі]]''&nbsp;— тензор [[Тензор|валентності]] 2, визначений [[Згортка тензора|згорткою]] тензора кривини Рімана

<center>
 {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .</math>
 |}
</center>

Його компоненти в явному вигляді через символи Крістофеля:
{| border="0" align="center"
 |<math>R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \rho} \ + \ \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma} {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .</math>
 |}
Цей тензор симетричний: <math> R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \ </math>.

=== Скалярна кривина ===
''[[Скалярна кривина]]'' є інваріантом, що визначається згорткою тензора Річчі з метрикою

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math>R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}. </math>
 |}
</center>

== Рівняння Ейнштейна ==
Рівняння гравітаційного поля, які називаються ''[[Рівняння Ейнштейна|рівняннями Ейнштейна]]'', записуються так

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math> R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R  \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}, </math>
 |}
</center>

або так

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
 |-----
 | bgcolor="#fff8ff" |<math> G_{\mu \nu} \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}, </math>
 |}
</center>

де <math> \Lambda </math>&nbsp;— [[космологічна стала]], <math> c </math>&nbsp;— швидкість світла у вакуумі, <math> G </math>&nbsp;— [[гравітаційна стала]], яка з'являється також у законі всесвітнього тяжіння Ньютона, <math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R</math>&nbsp;— [[тензор Ейнштейна]], а <math> T_{\mu\nu} </math>&nbsp;— [[тензор енергії-імпульсу]].

Симетричний тензор <math> g_{\mu\nu} </math> має тільки 10 незалежних складових, тензорне рівняння Ейнштейна в заданій системі координат еквівалентне системі 10 скалярних рівнянь. Ця система 10 пов'язаних нелінійних рівнянь у часткових похідних у більшості випадків дуже складна для вивчення.

== Тензор енергії-імпульсу ==
[[Тензор енергії-імпульсу]] може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:
{| border="0" align="center"
 |<math> T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix}
          T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\
          T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
          T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
          T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} 
    \end{matrix} \right).
 </math>
 |}
У ньому виявляються такі фізичні величини:

* T<sub>00</sub>&nbsp;— ''об'ємна густина енергії''. Вона має бути ''додатною''.
* T<sub>10</sub>, T<sub>20</sub>, T<sub>30</sub>&nbsp;— ''густини компонент імпульсу''.
* T -<sub>01</sub>, T -<sub>02</sub>, T<sub>03</sub>&nbsp;— ''компоненти потоку енергії''.
* Підматриця 3 x 3 з чисто просторових компонент:

{| border="0" align="center"
 |<math> T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix}
          T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
          T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
          T_{31} & T_{32} & T_{33} 
    \end{matrix} \right) </math>
 |}&nbsp;— матриця ''потоків імпульсів''. У механіці рідини діагональні компоненти відповідають тиску, а решта складових&nbsp;— тангенціальним зусиллям (напругам або, в старій термінології&nbsp;— натягам), викликаним ''[[В'язкість|в'язкістю]]''.

Для рідини у спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці <math>{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p)</math>, де <math>{\rho}</math> є густина маси, а <math>p</math>&nbsp;— гідростатичний тиск.

== Примітки ==
{{примітки|2}}
{{Теорія відносності}}
{{Теорії гравітації}}
[[Категорія:Загальна теорія відносності]]