Перегляд вихідного коду сторінки Мартингал

{{Otheruses}}
'''Мартинга́л''' в [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]]&nbsp;— це [[випадковий процес]], [[математичне сподівання]] якого в [[майбутній час]] рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

== Мартингали з дискретним часом ==

* Послідовність [[випадкова величина|випадкових величин]] <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> називається '''мартинга́лом з дискретним часом''', якщо виконуються умови 
# <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N}</math>;
# <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}</math>.

* Нехай задана також інша послідовність мартингалів <math>\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Тоді послідовність випадкових величин <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> називається мартингалом відносно <math>\{Y_n\}\,\!</math> або <math>\{Y_n\}\,\!</math>-мартингалом, якщо
# <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N}</math>;
# <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}</math>.

* Найбільш загально нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — [[ймовірнісний простір]] і <math>\{\mathcal{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> називається мартингалом, якщо виконуються умови:
#Процес <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> є узгодженим з фільтрацією <math>\{\mathcal{F}_n\}_{n \in N}</math>.
# <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N}</math>;
# <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}</math>.

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо ''m < n'' тоді:
:<math>\mathsf{E}[X_{n} \mid \mathcal{F}_m] = X_m</math>.

== Мартингали з неперервним часом ==

Нехай задано [[ймовірнісний простір]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> з заданою на ньому [[Фільтрація (випадкові процеси)|фільтрацією]] <math>\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}</math>, де <math>T \subset \mathbb{R}</math>. Тоді [[випадковий процес]] <math>\{X_t\}_{t \in T}</math> називається мартингалом відносно <math>\{\mathcal{F}_t\}</math>, якщо
# <math>X_t\,</math> вимірна відносно <math>\mathcal{F}_t</math> для довільного <math>t \in T</math>.
# <math>\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad  t \in T</math>.
# <math>\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t</math>.
Якщо як <math>\{\mathcal{F}_t\}</math> взята природна фільтрація <math>\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}</math>, то <math>\{X_t\}\,\!</math> називається просто мартингалом.

== Суб(супер)мартингали ==
{{Якір|submartingal}}

* Нехай задана послідовність випадкових величин <math>\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Тоді послідовність випадкових величин <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> називається '''су́б(су́пер)мартингалом''' відносно <math>\{Y_n\}\,\!</math>, якщо
# <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};</math>
# <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.</math>
* Випадковий процес <math>\{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R}</math> називається суб(супер)мартингалом відносно <math>\{\mathcal{F}_t\}</math>, якщо
# <math>X_t\,\!</math> вимірна відносно <math>\mathcal{F}_t</math> для довільного <math>t \in T</math>.
# <math>\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad  t \in T</math>.
# <math>\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t</math>.
Якщо як <math>\{\mathcal{F}_t\}</math> взята природна фільтрація <math>\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}</math>, то <math>\{X_t\}\,\!</math> називається просто суб(супер)мартингалом.

== Властивості ==

* Якщо <math>\{X_t\}\,\!</math> — мартингал, то <math>\mathsf{E}X_t = \mathrm{const}</math>.
* Якщо <math>\{X_t\}\,\!</math> — субмартингал, то <math>\{-X_t\}\,\!</math> — супермартингал.
* Якщо <math>\{X_t\}\,\!</math> є мартингалом, а <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — [[опукла функція]], то <math>\{f(X_t)\}\,\!</math> — субмартингал. Якщо <math>f\,\!</math> — [[вгнута функція]], то <math>\{f(X_t)\}\,\!</math> — супермартингал.

== Приклади ==
* [[Вінерівський процес]] є мартингалом.
* Якщо { ''N''<sub>''t''</sub> : ''t''&nbsp;≥&nbsp;0 } є [[Пуассонівський процес|Пуассонівським процесом]] з параметроом λ, тоді випадковий процес { ''N''<sub>''t''</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;λ''t'' : ''t''&nbsp;≥&nbsp;0 } є мартингалом з неперервним часом.
* [[Мартингал Дуба]]
* [[Мартингал де Муавра]]

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* {{Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов}}
*G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, [[Oxford University Press]], 2001, ISBN 0-19-857223-9
*David Williams, Probability with Martingales, [[Cambridge University Press]], 1991, ISBN 0-521-40605-6

{{Азартні ігри}}

[[Категорія:Випадкові процеси]]
[[Категорія:Теорія мартингалів| ]]