Перегляд вихідного коду сторінки Максимальна функція Гарді — Літлвуда

У [[Математика|математиці]] '''максимальний оператор Гарді — Літлвуда''' ''M'' є важливим [[Сублінійна функція|сублінійним оператором]], що широко застосовується у дійсному і [[Гармонічний аналіз|гармонічному аналізі]]. Аргументом цього оператора є [[локально інтегровна функція]] ''f'' : '''R'''<sup>''d''</sup> → '''C''' і результатом інша функція ''Mf'' яка в кожній точці ''x'' ∈ '''R'''<sup>''d''</sup> рівна [[супремум]]у середніх значень, які функція ''f'' має в усіх кулях з центром у цій точці. Точніше

: <math> Mf(x)=\sup_{r>0} \frac{1}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)} |f(y)|\, dy </math>

де ''B''(''x'', ''r'')  є кулею радіуса ''r'' з центром у точці ''x'' і |''E''| позначає [[Міра Лебега|''d''-вимірну міру Лебега]] підмножини ''E'' ⊂ '''R'''<sup>''d''</sup>.

Середнє значення є [[Неперервна функція|неперервною]] функцією аргументів ''x'' і ''r'', тому максимальна функція ''Mf'', як супремум по ''r''&nbsp;>&nbsp;0, є [[Вимірна функція|вимірною]]. Важливим результатом є те, що ''Mf'' є [[Майже скрізь|майже всюди]] скінченною, що випливає із '''максимальної нерівності Гарді — Літлвуда'''.

== Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда ==
Оператор ''M'' є [[Обмежений оператор|обмеженим]] як [[Сублінійна функція|сублінійний оператор]] із [[Простір Lp|''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''d''</sup>)]] у себе для ''p'' > 1. Якщо ''f'' ∈ ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''d''</sup>) тоді максимальна функція ''Mf'' є слабко ''L''<sup>1</sup>-обмеженою і ''Mf'' ∈ ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''d''</sup>). Для формального твердження теореми позначимо для простоти як {''f'' > ''t''} множину {''x'' | ''f''(''x'') > ''t''}. Тоді:

<blockquote>'''Теорема (Слабка оцінка).''' Для ''d''&nbsp;≥&nbsp;1 і ''f''&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''d''</sup>), існує константа ''C<sub>d</sub>''&nbsp;>&nbsp;0 така, що для всіх λ&nbsp;>&nbsp;0:

: <math>\left |\{Mf > \lambda\} \right |< \frac{C_d}{\lambda} \Vert f\Vert_{L^1 (\mathbf{R}^d)}.</math>
</blockquote>

Із використанням цієї нерівності і [[Теорема Марцинкевича|теореми Марцинкевича]] можна отримати сильніше твердження:

<blockquote>'''Теорема (Сильна оцінка).''' Для ''d''&nbsp;≥&nbsp;1, 1&nbsp;<&nbsp;''p''&nbsp;≤&nbsp;∞ і ''f''&nbsp;∈&nbsp;''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''d''</sup>),
існує константа ''C<sub>p,d</sub>''&nbsp;>&nbsp;0 для якої

: <math> \Vert Mf\Vert_{L^p (\mathbf{R}^d)}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert_{L^p(\mathbf{R}^d)}.</math>
</blockquote>

Найкращі значення для константи ''C<sub>p,d</sub>'' не є відомими.<ref name="Tao" /> Проте Штейн із використанням метода Зигмунта — Кальдерона довів таку теорему:

<blockquote>'''Теорема (незалежність від розмірності).''' Для 1&nbsp;<&nbsp;''p''&nbsp;≤&nbsp;∞ можна вибрати ''C<sub>p,d</sub>'' = ''C<sub>p</sub>'' незалежно від розмірності ''d''.<ref name="Tao">{{cite web|last=Tao|first=Terence|title=Stein’s spherical maximal theorem|url=http://terrytao.wordpress.com/2011/05/21/steins-spherical-maximal-theorem/|work=What's New|accessdate=22 травня 2011|archive-date=26 травня 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110526041517/http://terrytao.wordpress.com/2011/05/21/steins-spherical-maximal-theorem/}}</ref><ref name="Stein82">{{cite journal|last=Stein|first=E. M.|date=S 1982|title=The development square functions in work A. Zygmund.|journal=Bulletin American Mathematical Society|series=New Series|volume=7|issue=2|pages=359–376|doi=10.1090/s0273-0979-1982-15040-6}}</ref></blockquote>

== Доведення ==
Для ''p''&nbsp;=&nbsp;∞, нерівність є тривіальною (оскільки [[середнє значення функції]] є не більшим ніж її [[Істотний супремум та істотний інфімум|істотний супремум]]). Для 1&nbsp;<&nbsp;''p''&nbsp;<&nbsp;∞ використовується версія [[Лема Віталі про покриття|леми Віталі про покриття]] для доведення слабкої оцінки:

<blockquote>'''Лема.''' Нехай ''X'' — [[Сепарабельний простір|сепарабельний]] [[метричний простір]] і <math>\mathcal{F}</math> — сім'я відкритих куль обмеженого діаметра. Тоді у  <math>\mathcal{F}</math> існує не більш, ніж [[Зліченна множина|зліченна]] підмножина <math>\mathcal{F}'</math> усі елементи якої не перетинаються між собою і також

: <math>\bigcup_{B \in \mathcal{F}} B \subset \bigcup_{B \in \mathcal{F'}} 5B</math>

де 5''B'' для кулі ''B'' позначає кулю з тим же центром і радіусом в 5 раз більшим.</blockquote>

Якщо ''Mf''(''x'') > ''t'', тоді, за означенням, можна знайти кулю ''B<sub>x</sub>'' з центром у точці ''x'' для якої

: <math>\int_{B_x} |f|dy > t|B_x|.</math>

Згідно леми, серед таких куль можна знайти послідовність куль ''B<sub>j</sub>'', що не перетинаються між собою і для яких кулі 5''B<sub>j</sub>'' покривають множину {''Mf'' > ''t''}.
Звідси також:

: <math>|\{Mf > t\}| \le 5^d \sum_j |B_j| \le {5^d \over t} \int |f|dy.</math>

Це завершує доведення слабкої оцінки. Далі із неї доводяться оцінки для ''L<sup>p</sup>''. Введемо функцію ''b'' задану як ''b''(''x'') = ''f''(''x''), якщо |''f''(''x'')| > ''t''/2 і 0 в іншому разі. Застосувавши слабку оцінку до функції ''b'' одержуємо:

: <math>|\{Mf > t\}| \le {2C \over t} \int_{|f| > \frac{t}{2}} |f|dx, </math>

де ''C'' = 5<sup>''d''</sup>. Тоді

: <math>\|Mf\|_p^p = \int \int_0^{Mf(x)} pt^{p-1} dt dx = p \int_0^\infty t^{p-1} |\{ Mf > t \}|  dt</math>

Згідно оцінки вище маємо:

: <math>\|Mf\|_p^p \leq  p \int_0^\infty t^{p-1} \left ({2C \over t} \int_{|f| > \frac{t}{2}} |f|dx \right ) dt = 2C p \int_0^\infty \int_{|f| > \frac{t}{2}} t^{p-2} |f| dx dt = C_p \|f\|_p^p</math>

де константа ''C<sub>p</sub>'' залежить лише від ''p'' і ''d''. Це завершує доведення теореми.

Константу <math>C=5^d</math> у доведенні можна покращити до <math>3^d</math> використовуючи [[Внутрішньо регулярна міра|внутрішню регулярність]] [[Міра Лебега|міри Лебега]] і скінченну версію леми Віталі про покриття.

== Застосування ==
Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда застосовується зокрема для доведення таких тверджень:

* [[Теорема Лебега про диференціювання]]
* [[Теорема Радемахера]]

== Коментарі ==
Найменші значення констант ''C<sub>p,d</sub>'' і ''C<sub>d</sub>'' є невідомими.

Є кілька варіантів максимального оператора Гарді — Літлвуда у означенні яких замість куль із центром у вказаній точці використовуються інші сім'ї множин. Наприклад можна розглядати оператор

: <math> f^*(x) = \sup_{x \in B_x} \frac{1}{|B_x|} \int_{B_x} |f(y)| dy</math>

де кулі ''B<sub>x</sub>'' мають містити точку x, але x може не бути центром таких куль. Іншим прикладом є діадичний максимальний оператор

: <math>M_\Delta f(x) = \sup_{x \in Q_x} \frac{1}{|Q_x|} \int_{Q_x} |f(y)| dy</math>

де ''Q<sub>x</sub>'' позначає діадичні куби, що містять точку ''x''. Обидва ці оператори задовольняють максимальну нерівність Гарді — Літлвуда.

== Примітки ==
<references />

== Література ==

*{{citation
|first=Yitzhak
|last=Katznelson
|title=An Introduction to Harmonic Analysis
|year=2004
|publisher=[[Cambridge University Press]]
|isbn=0-521-83829-0}}
*{{Citation | last=Schilling | first=René L. | title=Measures, Integrals and Martingales | place=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=2005 | isbn=978-0-52185-015-5 | mr=2200059 | zbl=1084.28001 }}
* Rami Shakarchi & Elias M. Stein, ''Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis''. [[Princeton University Press]], 2005

[[Категорія:Гармонічний аналіз]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]