Перегляд вихідного коду сторінки Лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами

'''Лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду''' — диференційне рівняння виду 
:<math> a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_0 y = f(x) </math>, 

де коефіцієнти <math> a_n </math> - певні сталі, <math> f(x) </math> - довільна функція.

Однорідне лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами 
:<math> a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_0 y = 0 </math>.

== Розв'язки однорідного рівняння ==

Розв'язки однорідного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами шукаються у вигляді 
:<math>  y = Ce^{\lambda x} </math>, 

де <math> \lambda </math> - комплексне число. Підстановка цієї пробної функції в рівняння дає характеристичне рівняння 
:<math> a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 = 0 </math>.

Характеристичне рівняння є алгебраїчним рівнянням n-го степеня і має n у загальному випадку комплексних розв'язків. Якщо серед розв'язків немає кратних, то функції 
:<math>  y_i(x)  = e^{\lambda_i x} </math>, 
є лінійно-незалежними і загальний розв'язок однорідного диференційного рівняння записується у вигляді 
:<math> y(x) = \sum_{i=1}^n C_i e^{\lambda_i x}</math>, 

де <math> C_i </math> - довільні сталі.

Якщо серед розв'язків є кратні, то 
:<math> y(x) = \sum_{i=1}^n P_{k_i}(x) e^{\lambda_i x}</math>, 

де <math> P_{k_i}(x)</math> - поліном степеня, не вищого за k, де k - кратність i-го кореня. 

== Розв'язування неоднорідного рівняння == 
Загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою лінійної комбінації лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння і одного часткового розв'язку неоднорідного рівняння. Існує кілька методів знаходження часткових розв'язків неоднорідного рівняння. 

Наприклад, виконавши [[перетворення Лапласа]] над правою та лівою частинами рівняння, можна отримати алгебраїчний вираз для образу шуканої функції, а оберненим перетворенням Лапласа відтворити вигляд самої функції. 

== Джерела ==
* {{Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння}}
* {{Кривошея.Перестюк.Бурим.Диференціальні та інтегральні рівняння}}
* {{Шкіль.Лейфура.Самусенко.Диференціальні рівняння}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]