Перегляд вихідного коду сторінки Лінійна комбінація

'''Лінійна комбінація''' —  [[вираз]], побудований на [[Множина|множині]] елементів шляхом множення кожного елемента на коефіцієнти з подальшим додаванням результатів (наприклад, лінійною комбінацією ''x'' і ''y'' буде вираз такого вигляду ''αx + βy'', де ''α'' і ''β''- коефіцієнти).<ref>{{книга|автор= David C. Lay. |заголовок=Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed|місце=Reading, Mass.|видавництво=[[Addison–Wesley]]|рік=2006|allpages=576|isbn=0-321-28713-4}}</ref><ref>{{книга|автор=Gilbert Strang. |заголовок=Linear Algebra and Its Applications. 4th ed|місце=Belmont, Calif.|видавництво=[[Brooks Cole]]|рік=2005|allpages=viii + 487|isbn=0-03-010567-6}}</ref><ref>{{книга|автор=Sheldon Axler. |заголовок=Linear Algebra Done Right. 2nd ed|місце=New York|видавництво=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|рік=2002|allpages=viii + 251|isbn=0-387-98258-2}}</ref>. 

Поняття лінійної комбінації є одним з ключових в [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] та суміжних галузях математики. У класичному випадку лінійна комбінація розглядається в контексті [[Векторний простір|векторних просторів]], але існують узагальнення на довільні [[Модуль над кільцем|модулі над кільцями]] та [[Бімодуль|бімодулі]].

== Визначення ==
Якщо ''{{mvar|K}}'' [[поле (алгебра)|поле]] (наприклад, поле <math>\R</math> дійсних чисел) і ''{{mvar|V}}'' є [[векторний простір|векторним простором]] над ''{{mvar|K}}'' (елементи ''{{mvar|V}}'' - [[Вектор (математика)|вектори]], а елементи ''{{mvar|K}}'' - [[Скаляр|скаляри]]). Якщо <math>v_1, \dots, v_n</math> - вектори, а <math>a_1, \dots, a_n</math> - скаляри, то лінійна комбінація цих векторів зі скалярами в якості коефіцієнтів - це:
<math>a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n</math>.
Існує деяка двозначність у застосуванні поняття “лінійна комбінація”, оскільки воно може відноситись як і до самого виразу, так і до його результату. У більшості випадків мається на увазі значення, так як множину всіх лінійних комбінацій <math>v_1, \dots, v_n</math> завжди утворюють підпростір. Однак можна сказати також “дві різні лінійні комбінації можуть дати це саме значення” і в цьому випадку під лінійною комбінацією потрібно розуміти вираз. Слабо відчутна різниця між цими двома поняттями є сутністю поняття [[Лінійна залежність|лінійної залежності]] - сімейство векторів F лінійно незалежні в точності тоді, коли будь-яка лінійна комбінація векторів з F (як значення) єдина (як вираз). У будь-якому випадку, навіть якщо лінійна комбінація розглядається як вираз, все це відноситься до коефіцієнтів для кожного vi тривіальна зміна (наприклад, перестановки елементів або додавання елементів з нульовими коефіцієнтами) не дають іншої лінійної комбінації.

У залежності від ситуації ''{{mvar|K}}'' і ''{{mvar|V}}'' можуть бути задані явно, або можуть бути очевидними від контексту. У останньому випадку часто говорять про ''лінійну комбінацію векторів'' <math>v_1, \dots, v_n</math> з довільними коефіцієнтами (за винятком того, що вони належать ''{{mvar|K}}''). Або, якщо ''S'' - підмножина ''{{mvar|V}}'', то можна говорити про лінійну комбінацію векторів з ''S'', де і коефіцієнти, і вектори не специфіковані - за винятком тієї вимоги, що вектори повинні належати множині ''S'', а коефіцієнти - полю ''{{mvar|K}}''. Нарешті, можна говорити просто про ''лінійні комбінації'', де нічого не специфіковано ( за винятком того, що вектори повинні належати множині ''V'', а коефіцієнти - полю ''K''). У цьому випадку, можливо, мова йде про вираз, оскільки будь-який вектор ''V'' однозначно є значенням деякої лінійної комбінації.

За означенням, лінійна комбінація включає тільки [[Скінченна множина|скінченну множину]] векторів (за виключенням спеціальних узагальнень). Однак множина ''S'', з якої беруться вектори, можу бути нескінченною. Кожна ж індивідуальна лінійна комбінація включає лише кінцеве число векторів з цієї множини. Також немає причин, щоб <math> n </math> не міг бути нульовим: рахується, що в цьому випадку результат лінійної комбінації буде [[нульовий вектор]] у ''V''.

== Приклади та контрприклади ==

=== Вектори ===
Нехай поле ''{{mvar|K}}'' - множина <math>\R</math> [[Дійсне число|дійсних чисел]], а простір векторів ''{{mvar|V}}'' - [[евклідів простір]] <math>\R^3</math>. Будь-який вектор у <math>\R^3</math> є лінійною комбінацією одиничних векторів <math>e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)</math>.

Наприклад, вектор <math>(a_1, a_2, a_3)</math> можна записати: 

<math> ( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3)</math><math> =  a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1)</math><math> =  a_1 e_1 +  a_2 e_2 +  a_3 e_3.</math>

=== Функції ===

Нехай {{mvar|K}} - множина <math> \Complex</math> всіх [[Комплексне число|комплексних чисел]], і нехай ''{{mvar|V}}'' - множина всіх [[Неперервна функція|неперервних функцій]] з дійсної прямої <math>\R</math> в [[Комплексна площина|комплексну площину]] <math> \Complex</math>. Взявши вектори (функції) <math>f</math> і <math>g</math>, визначених формулами (тут <math>e</math> - [[Натуральний логарифм|основа натурального логарифма]] і <math>i</math> [[уявна одиниця]]):

<math>f(t) = e^{i t}</math>, <math>g(t) = e^{-i t}</math>,
можна отримати серед інших наступні їх лінійні комбінації:
* <math> \cos t = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{i t} + \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{-i t}</math>,
* <math> 2 \sin t = (-i ) e^{i t} + ( i ) e^{-i t}</math>.

З іншого боку, постійна функція 3 не є лінійною комбінацією <math>f</math> і <math>g</math>.

=== Многочлени ===
Нехай {{mvar|K}} - це <math>\R</math>, <math> \Complex</math> або будь-яке поле, і нехай ''{{mvar|V}}'' - множина P всіх [[Многочлен|многочленів]] з коефіцієнтами із {{mvar|K}}. Нехай задані вектори (многочлени) <math>p_1 = 1, p_2 = x+1, p_3 = x^2+x+1</math>.

Чи є многочлен <math>x^2-1</math> лінійною комбінацією <math>p_1, p_2, p_3</math>?

Щоб визначити це, чи є многочлен <math>x^2 -1</math> лінійною комбінацією <math>p_1, p_2, p_3</math> можна записати комбінацію з довільними коефіцієнтами <math>a_1, a_2, a_3</math> і прирівняти її до даного многочлену

: <math> a_1 (1) + a_2 ( x + 1) +  a_3 ( x^2 + x + 1) =  x^2 - 1</math>.
Розкриваючи дужки,

: <math> ( a_1 ) + ( a_2 x + a_2) + ( a_3 x^2 + a_3 x + a_3) =  x^2 - 1</math>,

і звівши однорідні многочлени

: <math> a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 ) = 1 x^2 + 0 x + (-1)</math>,

випливає

: <math> a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1</math>.

Розв'язком цієї [[системи лінійних рівнянь]] є <math>a_1 = -1, a_2 = -1, a_3 = 1</math>. Таким чином, даний многочлен записується лінійною комбінацією  <math>p_1, p_2, p_3</math>:
: <math> x^2 - 1 = -1 - ( x + 1) + ( x^2 + x + 1) = - p_1 -  p_2 +  p_3 </math>.


Інший приклад — <math>x^3-1</math>, він не може бути представлений лінійною комбінацією <math>p_1, p_2, p_3</math>:
: <math> 0 x^3 + a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 )</math>
:: <math> = 1 x^3 + 0 x^2 + 0 x + (-1),</math>
звівши тепер коефіцієнти для <math>x^3</math>, отримаємо суперечність <math> 0 = 1</math>.

== Лінійна оболонка ==
{{main|Лінійна оболонка}}
Нехай <math>S=\{v_1, \dots, v_n</math>} — вектори в деякому векторному просторі {{mvar|V}} над деяким полем {{mvar|K}}. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів називається ''лінійною оболонкою'' (чи просто ''оболонкою'') векторів з {{mvar|S}}. Позначення — <math>\mathrm{span}(S)</math> чи <math>\mathrm{Sp}(S)</math>:
: <math> \mathrm{Sp}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \mid a_1 ,\ldots, a_n \subseteq K \}</math>.

== Лінійна незалежність ==
{{main|Лінійна незалежність}}
Для деяких наборів <math>v_1,...,v_n</math> векторів можуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації неоднозначно:

:<math>v = \sum a_i v_i = \sum b_i v_i</math>, де <math> (a_i) \neq (b_i)</math>

Якщо відняти третій член рівності з другого і позначити коефіцієнтами <nowiki><math>c_i = a_i - b_i</math></nowiki>,  отримаємо нетривіальну комбінацію, яка в результаті дасть нульовий вектор:

<math>0 = \sum c_i v_i.</math>

Якщо таке можливо, набір <math>v_1,...,v_n</math>  називається [[Лінійно залежні вектори|лінійно залежним]]. У іншому випадку - ''лінійно незалежні''. Аналогічно говорять про залежність чи незалежність довільної множини векторів S. 

Якщо {{mvar|S}} - лінійно незалежним і оболонка {{mvar|S}} збігається з {{mvar|V}}, говорять, що {{mvar|S}} є [[Базис (математика)|базою]](базисом) у {{mvar|V}}.

== Афінна, конічна і опукла комбінація ==
Якщо наложити коефіцієнти, які використовуються у лінійній комбінації, деякі умови, отримаємо поняття концепції [[Афінний простір|барицентричної комбінації]] (чи ''афінної комбінації''), {{iw|Conical_combination|конічні комбінації|en|Conical_combination}} і опуклої комбінації, а  також відповідного поняття множин таких лінійних комбінацій

{|class="wikitable" border="1"  style="text-align: left;"
|-
! Тип комбінації !! Обмеження на коефіцієнти !! Назва множини !! Модель простору
|-
| Лінійна комбінація || без обмеження || [[Векторний простір|Векторний підпростір]] || <math>\mathbf{R}^n</math>
|-
|[[Афінна комбінація|Барицентрична комбінація]]||<math>\sum a_i = 1</math> || [[Афінний простір |Афінний підпростір]] || Афінна [[гіперплощина]]
|-
|{{iw|Conical_combination|Конічна комбінація|en|Conical_combination}}||<math>a_i \geq 0</math> || [[Опуклий конус]] ||[[Квадрант]] / [[Октант]]
|-
|[[Опукла комбінація]]||<math>a_i \geq 0</math> и <math>\sum a_i = 1</math> || [[Опукла множина]] || [[Симплекс]]
|}

Оскільки тут є місце ''обмеження'' на вид комбінацій, то в результаті отримаємо більш широкі класи об'єктів. Таким чином, поняття афінних підмножин, [[Опуклий конус|опуклих конусів]] і опуклих множин виступають як ''узагальнене'' поняття векторного простору: векторний простір одночасно є також і афінним підпростором, і опуклим конусом, і опуклою множиною, але опукла множина зовсім не обов'язково буде векторним чи афінним підпростором чи опуклим конусом.

Ці поняття виникають, коли беруть визначення лінійної комбінації об'єктів, але не будь-які. Наприклад, [[Розподіл ймовірностей|розподілення ймовірностей]] замкнуті відносно операцій утворення опуклих комбінацій ( і утворюють опуклу множину), але не конічних, барицентричних чи лінійних (останні комбінації визначають заряди).

Лінійну і барицентричну комбінацію можна визначити для будь-якого поля (чи кільця), а конічна і опукла комбінація потребує поняття “позитивного”, так що їх можна визначити тільки над [[Впорядковане поле|впорядкованим полем]] (чи ''впорядкованим кільцем'').

Якщо дозволено тільки множення на скаляр, але не додавання, отримаємо (не обов'язково опуклий) конус. Часто обмежуються множенням тільки на додатковий скаляр.

== Теорія операд ==
На більш загальній мові теорію операд можна розглядати векторний простір як алгебри над операдою <math>\R^3</math>(нескінченна [[пряма сума]], в якої тільки кінцеве число члена є ненульовим), який параметризує лінійні комбінації. Наприклад, вектор <math>(2,3,-5,0,\dots)</math> в такому підході відповідає лінійній комбінації  <math>2v_1 + 3v_2 -5v_3 + 0v_4 + \cdots</math>. Подібним образом можна розглядати барицентричні, конічні і опуклі комбінації як відповідні підоперадам, у яких члени в сумі дають 1, члени яких невід’ємні, чи і то, і інше. Такі комбінації  будуть нескінченними афінними [[Гіперплощина|гіперплощинами]], нескінченними гіпероктантами і нескінченними [[Симплекс|сімплексами]].

З цієї точки точки зору лінійна комбінація може розглядатись як найбільша загальна операція у векторному просторі, якщо векторний простір є алгеброю над операдою лінійної комбінації, це в точності означає, що всі можливі [[Алгебраїчна операція|алгебраїчні операції]] у векторному просторі є лінійними комбінаціями. 

Основні операції додавання і множення на скаляр разом з існуванням адитивноті рівності і адитивної інверсії неможливо скомбінувати більше складним образом, ніж утворенням лінійної комбінації. Ці основні операції є генерувальними множинами для операди всіх лінійних комбінацій.

== Узагальнення ==
Якщо ''{{mvar|V}}'' - [[топологічний векторний простір]], то можна застосувати наявну топологію ''{{mvar|V}}'' і дати сенс деяким нескінченним лінійним комбінаціям елементів цього простору. Наприклад, можна говорити про картинка{{прояснити}} до нескінченності. Такі нескінченні лінійні комбінації не завжди мають сенс, зазвичай сенс вдається надати тільки [[Абсолютна збіжність|збіжним]] комбінаціям. Збільшення запасу допустимих лінійних комбінацій може призвести до зміни об'єму поняття оболонки, лінійної незалежності й бази.

Якщо ''{{mvar|K}}'' — [[комутативне кільце]], а не поле, то все, що говорилось про лінійні комбінації вище, узагальнюється на цей випадок без змін. Єдина різниця — такі простори називають [[Модуль над кільцем|модулями]] (а не векторними просторами), і не всі результати, справедливі стосовно до векторних просторів, залишаються справедливими й щодо модулів.

Якщо ''{{mvar|K}}'' — [[некомутативне кільце]], то поняття лінійної комбінації з коефіцієнтами із ''{{mvar|K}}'' також можна запровадити — з тією особливістю, що модулі над некомутативним кільцем можуть бути ліві та праві, то і лінійна комбінація може теж бути [[Модуль над кільцем|лівою]] і правою.

Складнішою є ситуація, коли ''{{mvar|V}}'' — [[бімодуль]] над двома кільцями <math>K_L</math> і <math>K_R</math>. У цьому випадку найбільш загальний вид лінійної комбінації такий:
: <math> a_1 v_1 b_1 + \cdots +  a_n v_n b_n</math>,
де <math>a_1, \dots, a_n</math> належить <math>K_L</math>, належить <math>K_R</math>, і <math>v_1, \dots, v_n</math> належить ''{{mvar|V}}''.

==Застосування ==
Важливим застосуванням лінійної комбінації є [[Хвильова функція|хвильові функції]] та [[квантова механіка]]

== Джерела ==
* {{Завало.Алгебра і теорія чисел}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]