Перегляд вихідного коду сторінки Лінійна група

У [[математика|математиці]] '''матрична група'''&nbsp;— [[Група (математика)|група]], утворена&nbsp;[[невироджена матриця|невиродженими матрицями]], що задані над [[полем]] <math>\mathbb K</math> з операцією [[Множення матриць|матричного множення]].
'''Лінійна група''' є групою, яка [[Ізоморфізм груп|ізоморфна]] матричній групі (тобто допускає {{нп|Точне представлення|точне||Faithful representation}}, скінченновимірне представлення над полем <math>\mathbb K</math>).

Будь-яка [[скінченна група]] є лінійною, оскільки її можна реалізувати за допомогою [[Матриця перестановки|матриць перестановок]], використовуючи [[Теорема Келі (теорія груп)|теорему Келі]].
Серед [[Теорія груп|нескінченних груп]] лінійні групи утворюють цікавий та «слухняний» клас. Прикладами нелінійних груп є «занадто великі» групи (наприклад, група перестановок нескінченної множини) або групи, які виявляють певну патологічну поведінку (наприклад, {{нп|Скінченно породженна група|скінченно породженна||Finitely generated group}} нескінченна [[періодична група]]).

== Означення та основні приклади ==
Група <math>G</math> називається '''лінійною''', якщо існує поле <math>\mathbb K</math>, [[Цілі числа|натуральне]] <math>d</math> та [[Гомоморфізм груп|ін'єктивний гомеоморфізм]] з групи <math>G</math> в загальну лінійну групу <math>G</math> (точне лінійне [[Представлення групи|представлення]] розмірності <math>d</math> над полем <math>\mathbb K</math>): при необхідності можна вказувати поле і розмірність, кажучи, що група <math>G</math> є ''лінійною порядку <math>d</math> над полем <math>\mathbb K</math>''.
Основні приклади&nbsp;— це групи, які визначаються, як [[підгрупа|підгрупи]] лінійної групи, наприклад:
# Сама група <math>{\rm GL}_n (\mathbb K)</math>;
# [[Спеціальна лінійна група]] <math>{\rm SL}_n (\mathbb K)</math> (підгрупа матриць з [[визначник]]ом рівним 1);
# Група невироджених верхньо- або [[трикутна матриця|нижньотрикутних матриць]];
# Якщо <math>g_i</math>&nbsp;— це сукупність елементів у <math>{\rm GL}_n (\mathbb K)</math>, що [[Індексована множиною|індексована]] множиною <math>I</math>, то підгрупа породжена <math>g_i</math> є лінійною групою.

При вивченні [[Група Лі|груп Лі]], іноді зручно обмежувати увагу групам Лі, які можуть бути точно представлені над полем [[комплексні числа|комплексних чисел]].
(Деякі автори вимагають, щоб група була представлена як замкнена підгрупа групи <math>{\rm GL}_n (\mathbb C)</math>.) Прикладами книжок, які дотримуються цього підходу, є книги Hall (2015)<ref>{{harvtxt|Hall|2015}}</ref> and Rossmann (2002).<ref>{{harvtxt|Rossmann|2002}}</ref>

== Класи лінійних груп ==

=== Класичні групи та пов'язані приклади ===

Так звані {{нп|Класична група|класичні групи||Classical group}} узагальнюють наведені вище приклади 1 і 2.
Вони виникають як [[Лінійна алгебрична група|лінійні алгебраїчні групи]], тобто як підгрупи <math>{\rm GL}_n</math>, що визначаються скінченною кількістю рівнянь.
Основними прикладами є [[Ортогональна група|ортогональні]], [[Унітарна група|унітарні]] та [[Симплектична група|групи]], але можна побудувати більше прикладів, використовуючи [[Алгебра з діленням|алгебру з діленням]] (наприклад, [[Оборотний елемент|одинична група]] [[Кватерніонна алгебра|алгебри кватерніонів]] є класичною групою).
Зауважимо, що [[Проєктивна група|проєктивні групи]], пов'язані з цими групами, також є лінійними, хоча це і менш очевидно. Наприклад, група <math>{\rm PSL}_2 (\mathbb R)</math> не є групою матриць <math>2 \times 2</math>, але вона має точне представлення матрицями <math>3 \times 3</math> ([[приєднане представлення групи Лі]]), яке можна використовувати в загальному випадку.

Багато [[Група Лі|груп Лі]] є лінійними, але не всі з них. [[Універсальне накриття]] <math>{\rm SL}_2 (\mathbb R)</math> не є лінійною групою, як і багато [[Розв'язна група|розв'язних груп]], наприклад, [[фактор-група]] [[Група Гейзенберга|групи Гейзенберга]] за {{нп|Центральна підгрупа|центральною||Central subgroup}} циклічною підгрупою.

[[Дискретна група|Дискретні підгрупи]] класичних груп Лі (наприклад, {{нп|Гратки на групах|гратки на групах||Lattice (discrete subgroup)}} або {{нп|Тонка група|тонкі групи||Lattice (discrete subgroup)}}) також є прикладами цікавих лінійних груп.

=== Скінченні групи ===

Скінченна група <math>G</math> [[Порядок (теорія груп)|порядку]] <math>n</math> є лінійною порядку щонайбільше <math>n</math> над будь-яким полем <math>\mathbb K</math>.
Це твердження іноді називають теоремою Келі, і воно є простим результатом того, що дія групи <math>G</math> над [[Групове кільце|груповим кільцем]] <math>K [G]</math> шляхом лівого (або правого) множення є лінійною і точною.
[[Група Лієвого типу|Скінченна група ліївсього типу]] (класичні групи над скінченними полями) є важливою сім'єю скінченних [[Проста група|простих груп]], оскільки вони займають більшість випадків у [[Класифікація простих скінченних груп|класифікації скінченних простих груп]].

=== Скінченно породженні матричні групи ===

Хоча вищенаведений приклад 4 занадто загальний, щоб визначити характерний клас (він включає всі лінійні групи), обмеження щодо скінченності множини індексів <math>I</math>, тобто щодо {{нп|Скінченність породжених груп|скінченності породжених груп||Finitely generated group}}, дає можливість побудувати багато цікавих прикладів. Наприклад:
* [[Пінг-понг лема|Пінг-понг лему]] можна використовувати для побудови багатьох прикладів лінійних груп, які є [[Вільна група|вільними групами]] (наприклад, група породжена матрицями <math>\left(\begin{smallmatrix} 1& 0 \\ 2& 1\end{smallmatrix}\right)</math>, <math>\left(\begin{smallmatrix} 1& 2 \\ 0& 1\end{smallmatrix}\right)</math> є вільною).

* [[Арифметична група|Арифметичні групи]], як відомо, є скінченно породженими. З іншого боку, важко знайти явну множину генераторів для даної арифметичної групи.

* [[Група кіс]] (визначається як [[Задання групи|скінченно представлена група]]) має точне лінійне представлення на скінченновимірному комплексному векторному просторі, де дія генераторів визначається за допомогою явних матриць.<ref name=":0">{{cite book | last1=Aschenbrenner | first1=Matthias | last2=Friedl | first2=Stefan | last3=Wilton | first3=Henry | title=3&ndash;manifolds groups | series=EMS Series of Lectures in Mathematics | publisher=European Math. Soc. | year=2015 | at=Section 9.6 | url=http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/friedl/papers/3-manifold-groups-final-version-031115 | accessdate=20 травня 2021 | archive-date=6 травня 2021 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210506222953/https://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/friedl/papers/3-manifold-groups-final-version-031115 }}</ref>

=== Геометричні приклади ===
У деяких випадках можна показати, що фундаментальна група на многовиді є лінійною групою за допомогою представлень, що мають геометричне походження.
Наприклад, усі [[Поверхня|замкнені поверхні]] щонайменше 2 [[Рід (математика)|роду]] є гіперболічними [[Ріманова поверхня|поверхнями Рімана]].
За допомогою [[Теорема уніформізації|теореми про уніформізацію]] це приводить до представлення її фундаментальної групи в {{нп|Група ізометрії|групі ізометрій||Isometry group}} [[гіперболічна геометрія|гіперболічної площини]], яка ізоморфна групі <math>{\rm PSL}_2 (\mathbb R)</math> і це реалізує фундаментальну групу як [[Група Фукса|групу Фукса]].
Узагальнення цієї конструкції дається за допомогою поняття {{нп|(G,X)-структура|(G,X)-структури||(G,X)-manifold}} на многовиді.

Інший приклад&nbsp;— фундаментальна група [[Розшарування Зейферта|многовидів Зейферта]].
З іншого боку, невідомо, чи є всі фундаментальні групи 3-вимірних многовидів лінійними.<ref name=":0"/>

== Властивості ==
Хоча лінійні групи&nbsp;— це величезний клас прикладів, серед усіх нескінченних груп вони відрізняються багатьма чудовими властивостями.
Скінченно породжені лінійні групи мають такі властивості:
* Вони [[Залишково скінченна група|скінченно апроксимовні групи]];
* [[Задача Бернсайда|Теорема Бернсайда]]:[[Періодична група|група з закрутом]] скінченної експоненти, яка є лінійною над полем характеристики 0, має бути скінченною.{{sfn|Wehrfritz|1973|p=15}}
* Теорема Шура: [[Періодична група|лінійна група з закрутом]] є [[Локально скінченна група|локально скінченною групою]]. Зокрема, якщо група скінченно породжена, то вона скінченна.{{sfn|Wehfritz|1973|p=57}}
* Лема Сельберга: будь-яка скінченно породжена лінійна група містить [[Скрут (алгебра)|беззакрутову]] підгрупу [[Індекс підгрупи|скінченного індексу]].<ref>{{cite journal | last=Alperin | first=Roger C. | title=An Elementary Account Of Selberg's Lemma | journal=L'Enseignement Mathématique | volume=33 | date=1987}}</ref>

[[Альтернатива Тітса]] стверджує, що лінійна група або містить неабелеву вільну групу, або є {{нп|Практично розв'язна група|практично||Virtually}} розв'язною (тобто містить [[Розв'язна група|розв'язну групу]] скінченного індексу).
Це має багато подальших наслідків, наприклад:
* {{нп|Функція Дена|Функція Дена||Tits alternative}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Tits alternative]] перекладена як [[Альтернатива Тітса]], хоча хотіли [[Функція Дена]] (SashkoR0B0T)--> скінченно породженої лінійної групи може бути лише поліном або експонентою.
* {{нп|Аманабельна лінійна група|Аманабельна||Amenable group}} лінійна група є фактично розв'язною, зокрема {{нп|Елементарна аманабельна група|елементарно аманабельною||Elementary amenable group}}.
* [[Гіпотеза фон Неймана]] справедлива для лінійних груп.

== Приклади нелінійних груп ==
Неважко навести приклади нескінченно породжених нелінійних груп: наприклад, нескінченна абелева 2-група <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^N</math> не може бути лінійною, оскільки, якби це було так, то вона була б діагоналізованою і скінченною.
Оскільки [[симетрична група]] на нескінченній множині містить цю групу, то вона також не є лінійною.
Пошук прикладів скінченно породжених груп є більш тонким і зазвичай вимагає використання однієї із властивостей, перерахованих вище.
* Оскільки будь-яка скінченна лінійна група є фініто апроксимовною, то вона не може бути одночасно простою і нескінченною.
Таким чином, скінченно породженні нескінченні прості групи, наприклад [[Групи Томпсона|групи Томпсона <math>F</math>]] та {{нп|Група Хігмана|група Хігмана||Higman group}} є нелінійними групами.
* За наслідком вищезазначеної альтернативи Тітса, групи проміжного зростання, такі як {{нп|Група Григорчука|група Григорчука||Grigorchuk group}}, не є лінійними.
* Знову ж таки за альтернативою Тітса, як уже згадувалося вище, усі контрприклади до [[Гіпотеза фон Неймана|гіпотези фон Неймана]] не є лінійними. Зокрема, [[Групи Томпсона|група Томпсона <math>F</math>]] та [[Монстр Тарського|групи монстри Тарського]].
* За теоремою Бернсайда, нескінченні скінченно породжені групи з закрутом, такі як групи монстри Тарського не можуть бути лінійними.<ref name=":1">{{cite web |url=http://www.math.utah.edu/~bestvina/eprints/questions-updated.pdf |title=Questions in Geometric Group Theory |last1=Bestvina |first1=Mladen |date=2004 |at=Question 1.15 |access-date=17 серпня 2016 |archive-date=1 жовтня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161001210120/http://www.math.utah.edu/~bestvina/eprints/questions-updated.pdf }}</ref>
* Існують приклади [[Гіперболічна група|гіперболічних]] груп, які не є лінійними, отримані як фактор-групи граток на групах Лі <math>{\rm Sp} (n, 1)</math>.<ref name=":1"/>
* {{нп|Група зовнішніх автоморфізм|Група зовнішніх автоморфізм||Outer automorphism group}} {{нп|Out(Fn)|Out(Fn)||Out(Fn)}} вільної групи не є лінійною принаймні для <math>n=4</math>.<ref>{{cite journal | last1=Formanek | first1=E. | last2=Procesi | first2=C. | title=The automorphism group of a free group is not linear | journal=J. Algebra | volume=149 | date=1992 | issue=2 | pages=494&ndash;499 | doi=10.1016/0021-8693(92)90029-l}}</ref>
* На відміну від випадку груп кіс {{нп|Відкрита проблема|відкритим є питання||Open problem}} чи є лінійною {{нп|Група класів перетворень поверхні|група класів перетворень поверхні||Mapping class group of a surface}} роду <math> > 1</math>.

== Теорія представлень ==
Після того як встановлено, що група є лінійною, цікаво спробувати знайти «оптимальне» точне лінійне представлення для неї, наприклад, представлення найнижчої можливої розмірності, або навіть спробувати прокласифікувати всі її лінійні представлення (включаючи ті, які не є точними).
Ці питання є об'єктом дослідження в [[Теорія представлень|теорії представлень]].
Найважливіші частини цієї теорії включають:
* {{нп|Теорія представлення скінченних груп|Теорія представлення скінченних груп||Representation theory of finite groups}}.
* {{нп|Теорія представлення груп Лі|Теорія представлення груп Лі||Representation of a Lie group}} та більш загальних лінійних алгебраїчних груп.

Теорія представлення нескінченних скінченнопороджених груп загалом є загадковою; об'єктом дослідження у цьому випадку є {{нп|Характеристичний многовид|характеристичні многовиди||Representation of a Lie group}} групи, які добре зрозумілі лише у дуже небагатьох випадках, наприклад, вільні групи, групи поверхонь та, загальніше, гратки на групах Лі (наприклад, через теорему Маргуліса про {{нп|Супержорсткість|супержорсткість||Representation of a Lie group}} та інші результати про жорсткість).

== Див. також ==
* [[Спеціальна лінійна група]] <math>{\rm SL}_n (\mathbb K)</math>;
* [[Група Лі]];
* [[Лінійна алгебрична група]];
* [[Ортогональна група]];
* [[Унітарна група]];
* [[Симплектична група]];
* [[Оборотний елемент|Одинична група]] [[Кватерніонна алгебра|алгебри кватерніонів]];
* [[Дискретна група|Дискретна підгрупа]];
* [[Група Лієвого типу]];
* [[Пінг-понг лема]];
* [[Група кіс]];
* [[Група Фукса]];
* [[Розшарування Зейферта]];
* [[Теорема уніформізації]];
* [[Задача Бернсайда]];
* [[Періодична група|Група з закрутом]];
* {{нп|Функція Дена|||Tits alternative}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Tits alternative]] перекладена як [[Альтернатива Тітса]], хоча хотіли [[Функція Дена]] (SashkoR0B0T)--> ;
* {{нп|Елементарна аманабельна група|||Elementary amenable group}};
* [[Гіпотеза фон Неймана]];
* [[Групи Томпсона|Група Томпсона <math>F</math>]];
* {{нп|Група Гігмана|||Higman group}};
* {{нп|Група Григорчука|||Grigorchuk group}};
* [[Монстр Тарського]];
* [[Група чорної скриньки]].

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Джерела ==
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}.
* {{citation|first=Wulf|last=Rossmann|title=Lie Groups: An Introduction through Linear Groups|series=Oxford Graduate Texts in Mathematics|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=9780198596837}}.
* {{cite book | first=D.A. | last=Suprnenko | title=Matrix groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1976 | series=Translations of mathematical monographs | isbn=0-8218-1595-4 | volume=45 }}
* {{cite book | last=Wehrfritz | first=B.A.F. | title=Infinite linear groups | publisher=Springer-Verlag | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=76 | year=1973}}

[[Категорія:Алгебричні групи]]