Перегляд вихідного коду сторінки Лінійна алгебра

{{unibox}}'''Ліні́йна а́лгебра'''&nbsp;— частина [[алгебра|алгебри]], що вивчає [[вектор]]и, [[векторний простір|векторні простори]], [[лінійне відображення|лінійні відображення]] та системи [[лінійне рівняння|лінійних рівнянь]]. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] та [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]] і застосовується у [[природничі науки|природничих науках]].

== Предмет лінійної алгебри ==
До лінійної алгебри відносять: теорію [[Лінійне рівняння|лінійних рівнянь]], теорію [[Визначник|визначників]], теорію [[Матриця (математика)|матриць]], теорію векторних просторів та лінійних перетворень у них, теорію форм (наприклад, квадратичних), [[теорія інваріантів|теорію інваріантів]] (частково), [[тензорне числення]] (частково).

== Історія ==
Історично першим питанням лінійної алгебри було знаходження розв'язків [[СЛАР|лінійних рівнянь]]. Побудова теорії для систем таких рівнянь потребувала таких інструментів, як [[Теорія матриць|теорія]] [[матриця (математика)|матриць]] і [[визначник]]ів, і привела до появи теорії [[векторний простір|векторних просторів]].

Лінійні рівняння як рівняння прямих і площин стали природним предметом вивчення після винаходу [[Рене Декарт|Декартом]] і [[П'єр Ферма|Ферма]] методу координат (близько [[1636]]). [[Гамільтон Вільям Роуен|Гамільтон]] у своїй роботі [[1833]] представляв [[комплексні числа]] у вигляді, як ми б зараз сказали, двовимірного дійсного векторного простору, йому належить відкриття [[кватерніон]]ів, а також авторство терміна «[[вектор]]». [[Теорія матриць]] була розроблена у працях [[Артур Келі|Келі]] ([[1850-ті]]). Системи лінійних рівнянь у векторному для матриці вигляді вперше з'явилися, мабуть, у роботах [[Едмон Лагерр|Лагерра]] ([[1867]]). [[Герман Грассман]] у роботах [[1844]] та [[1862]] року вивчає те, що ми тепер назвали б алгеброю, і його формальний виклад по суті є першою аксіоматичною теорією систем алгебри. У явному вигляді аксіоми лінійного простору сформульовані в роботі [[Пеано]] ([[1888]]).

== Основні поняття ==

Розвиток лінійної алгебри почався з практичних задач розв'язування лінійних рівнянь та [[Аналітична геометрія|аналітичної геометрії]]. Поступово сформувалися абстрактні поняття вектора, матриці, векторного простору, [[Скалярний добуток|скалярного добутку]], визначників тощо.

=== Вектор ===
[[Вектор]] у лінійній алгебрі є узагальненням геометричного тривимірного вектора, що використовується в [[Геометрія|геометрії]] та [[Механіка|механіці]]. У розумінні лінійної алгебри вектор&nbsp;— це індексована сукупність чисел або інших математичних об'єктів <math> (x_1, x_2, \ldots, x_n) </math>, яка має ту властивість, що її можна множити на число, наприклад <math> \lambda </math>, і результатом цього добутку буде новий вектор <math> (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) </math>. Вектори можна також додавати, і сумою двох векторів буде вектор, в якому кожному індексу відповідатиме сума відповідних компонент векторів-доданків:
: <math> (x_1, x_2, \ldots, x_n)  +  (y_1, y_2, \ldots, y_n)  =   (x_1 +y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n+ y_n) </math>.

Компонентами векторів <math> x_i </math> є зазвичай [[Дійсне число|дійсні числа]], хоча вони можуть бути іншими математичними об'єктами, наприклад, [[Комплексне число|комплексними числами]], векторами або [[Матриця (математика)|матрицями]]. Важливо тільки, щоб для них була визначена операція [[додавання]]. Аналогічно, число, на яке можна помножити вектор, зазвичай є дійсним числом, але може бути й комплексним, головне, щоб для вектора була визначена операція [[множення]] на нього.

Вище вектори записані у вигляді рядка, однак, у лінійній алгебрі їх частіше записують у вигляді стовбчика:
: <math> x = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right) </math>

=== Векторний простір ===
{{main|Векторний простір}}
Векторним або лінійним простором називають [[множина|множину]] векторів, до якої належать вектори з будь-яким можливим значенням компонент, тобто це множина всіх векторів заданої природи. Окрім того, що у векторному просторі визначені операції додавання векторів та множення на [[скаляр]] (число), для того щоб множина векторів складала векторний простір на ній повинен діяти ряд [[Аксіома|аксіом]]: [[Комутативність|комутативності]], [[Асоціативність|асоціативності]], [[Дистрибутивність|дистрибутивності]] додавання і множення на скаляр, існування нульового і протилежного елемента.

Число ''n'', яке визначає кількість елементів вектора називається ''розмірністю векторного простору''. Лінійна алгебра вивчає векторні простори скінченної розмірності. Вектори з нескінченним числом компонент вивчаються іншими розділами математики, зокрема [[Функціональний аналіз|функціональним аналізом]].

=== Лінійне відображення ===
{{main|Лінійне відображення}}
Між двома векторними просторами можна задати [[Відображення (в математиці)|відображення]]. Лінійна алгебра вивчає відображення, які називаються лінійними. Лінійне відображення пов'язує між собою два векторні простори, побудовані над одним і тим же [[Поле (алгебра)|полем]], тобто числа, на які множаться вектори повинні мати однакову природу. Воно є [[гомоморфізм]]ом, тобто кожному елементу однієї множини лінійне відображення ставить у відповідність елемент іншої множини, крім того, воно має ту властивість, що сумі елементів однієї множини відповідає сума відповідних елементів іншої множини, і елементу, помноженому на число, відповідає елемент іншої множини, помножений на те ж число.

Лінійне відображення простору у себе ([[ендоморфізм]]) називається ''лінійним перетворенням''.

=== Матриця ===
{{main|Матриця (математика)}}

Найважливішим способом задання лінійного відображення є матриця&nbsp;— таблиця чисел або інших математичних об'єктів з двома індексами, наприклад <math> a_{ij} </math>. За допомогою матриці лінійне відображення <math> X \rightarrow Y </math> задається у вигляді
: <math> y_i = \sum_{j} a_{ij} x_i </math>,

тобто кожна компонента вектора ''y'' з векторного простору ''Y'' є лінійною комбінацією компонент вектора ''x'' з векторного простору ''X'' з коефіцієнтами, які визнаються елементами матриці ''A''.

У випадку лінійного перетворення матриця перетворення квадратна.

=== Система лінійних алгебраїчних рівнянь ===
{{main|Система лінійних алгебраїчних рівнянь}}
[[Файл:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|200px|Система лінійних рівнянь від трьох змінних визначає набір [[Площина|площин]]. Точка перетину є розв'язком.]]
Задача знаходження елемента векторного простору, який при лінійному перетворенні переходить у визначений елемент іншого векторного простору приводить до поняття системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими&nbsp;— це система рівнянь виду
: <math>
\begin{cases}
   a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
   a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
\dots\\
   a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
</math>

Вона може бути представлена у [[Матриця (математика)|матричній формі]] як:
: <math>
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \ \vdots & \ \ddots & \ \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots\\
x_n 
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m 
\end{pmatrix} 
</math>
або:
: <math>Ax = b</math>.

== Вивчення розділу «Лінійна алгебра» ==

=== Лінійні простори ===
* [[Лінійний простір]], [[модуль над кільцем]].
* [[Лінійна незалежність векторів]], [[ранг системи векторів]].
* [[Базис (математика)|Базис лінійного простору]], [[матриця переходу]] (при зміні базиса).
* [[Лінійний підпростір]]

=== Лінійні перетворення ===
* [[Лінійне відображення]] (лінійний оператор), [[лінійне перетворення]], [[матриця лінійного перетворення]].
* [[Власні значення лінійного перетворення|Власні значення]] та [[власні вектори]] лінійного перетворення, [[характеристичний поліном]], [[теорема Гамільтона — Келі]].
* [[Ядро та образ лінійного оператора]]
* [[Інваріантні підпростори]] для лінійного перетворення.

=== Білінійні та квадратичні форми ===
* [[Білінійна форма]], [[квадратична форма]], [[закон інерції Сильвестра|закон інерції]], [[критерій Сільвестра]].
* [[Правило паралелограма]]

=== Системи лінійних алгебраїчних рівнянь ===
* [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь]]
* [[Теорема Кронекера — Капеллі]]
* [[Метод Крамера]]
* [[Метод Гауса]]
* [[Метод Гауса — Жордана]]

=== Аналітична геометрія ===
* [[Евклідів простір]]
* [[Скалярний добуток]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==

=== Українською ===
# {{Гельфанд.ЛінійнаАлгебра.укр}}
# {{Гантмахер.Теорія матриць}}
# {{cite book
|автор1 = Андрійчук В.І.,  Забавський, Б.В.
|title = Лінійна алгебра
|видавництво = Міністерство освіти і науки України, Львівський національний університет імені Івана Франка.
|дата = 2008 р.
|знаходження = Львів
|url = http://www.mmf.lnu.edu.ua/images/stories/secret/algebra/doc/2008_anzabla.pdf
|isbn = 9789666136230
|accessdate = 13 червня 2016
|archive-date = 21 січня 2022
|archive-url = https://web.archive.org/web/20220121084138/http://www.mmf.lnu.edu.ua/images/stories/secret/algebra/doc/2008_anzabla.pdf
}} {{ref-uk}}
# {{cite book
|автор1 = Боднарчук Ю.В.
|автор2 = Олійник Б.В.
|title = Лінійна алгебра та аналітична геометрія
|видавництво = Києво-Могилянська академія
|дата = 2010 р.
|знаходження = Київ
|url = http://www.ukma.edu.ua/~yubod/teach/Linear_algebra/mathematics/PosibnykAlg.pdf
|pages = 176
|isbn = 978-966-518-539-0
|accessdate = 17 червня 2016
|archive-date = 27 вересня 2016
|archive-url = https://web.archive.org/web/20160927220634/http://www.ukma.edu.ua/~yubod/teach/Linear_algebra/mathematics/PosibnykAlg.pdf
}} {{ref-uk}}
# {{cite book
|автор1 = В. В. Булдигін
|автор2 = І. В. Алєксєєва
|автор3 = В. О. Гайдей
|автор4 = О. О. Диховичний
|автор5 = Н. Р. Коновалова
|автор6 = Л. Б. Федорова
|title = Лінійна алгебра та аналітична геометрія Навч. посібник
|видавництво = ТВіМС
|дата = 2011 р.
|знаходження = Київ
|url = http://matan.kpi.ua/public/files/Posibnyk%20LA+AG.pdf
|isbn = 966–8725–05–0
|accessdate = 22 травня 2016
|archive-date = 20 листопада 2014
|archive-url = https://web.archive.org/web/20141120131037/http://matan.kpi.ua/public/files/Posibnyk%20LA+AG.pdf
}} {{ref-uk}}
# Лінійна алгебра та аналітична геометрія: навч. посіб. / О.&nbsp;М.&nbsp;Рибицька, Д.&nbsp;М.&nbsp;Білонога, П.&nbsp;І.&nbsp;Каленюк ; М-во освіти і науки, молоді та спорту України, Нац. ун-т «Львів. політехніка».&nbsp;— Л. : Вид-во Львів. політехніки, 2011.&nbsp;— 124 с. : іл.&nbsp;— Бібліогр.: с. 116 (10 назв).&nbsp;— ISBN 978-617-607-142-6 : 1
# {{cite book
|автор1 = Романів О.М.
|title = Лінійна алгебра
|видавництво = І.Е. Чижиков
|дата = 2014 р.
|знаходження = Львів
|url = 
|isbn = 9789662645118
}} {{ref-uk}}
# {{cite book
|автор1 = Овчинников П. П. 
|автор2 = Яремчук Ф. П.
|автор3 = Михайленко В. М.
|title = Вища математика: Підручник. У 2 частинах. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра: Аналітична геометрія: Вступ до математичного аналізу: Диференціальне і інтегральне числення
|видавництво = "Техніка"
|дата = 2003 р.
|знаходження = Київ
|url = 
|isbn = 966-575-055-0
}} {{ref-uk}}
# {{cite book
|автор1 = Тевяшев А. Д. 
|автор2 = Литвин О.Г.
|title = Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1: Лінійна алгебра і аналітична геометрія: Диференціальне числення функцій однієї змінної
|видавництво = ХТУРЕ
|дата = 2002 р.
|знаходження = Харків 
|url = 
|isbn = 5-7763-1513-1
}} {{ref-uk}}
# {{cite book
|автор1 = Дубовик В. П.
|автор2 = Юрик І. І.
|title = Вища математика 
|видавництво = Університетська бібліотека
|дата = 2006 р.
|знаходження = Київ
|url = 
|isbn = 966-539-320-0
}} {{ref-uk}}
# ''[[Єрмаков Анатолій Ізотович|Єрмаков&nbsp;А.&nbsp;І.]]'', ''Крамар&nbsp;М.&nbsp;М.'' Лінійна алгебра: Навчальний посібник.&nbsp;— Луганськ: Вид-во СУДУ, 2000. 176&nbsp;с.
# {{cite book
|автор1 = Городецький В.В.
|автор2 = Колісник Р.С.
|автор3 = Сікора В.С. 
|title = Курс лінійної алгебри в теоремах і задачах
|видавництво = С.Н. Яворський
|дата = 2014 р.
|знаходження = Чернівці
|url = 
|isbn =
}} {{ref-uk}}

=== Іншими мовами ===
# {{cite book
|автор1 = Serge Lang
|authorlink1=Серж Ленг
|title = Introduction to Linear Algebra (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition
|видавництво = Springer
|дата = 1997 р.
|знаходження = New York
|url = 
|isbn = 978-0387962054
}} {{ref-en}}
# {{cite book
|автор1 = Gilbert Strang
|authorlink1= Гілберт Стренг
|title = Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition
|видавництво = Wellesley Cambridge Press
|дата = 2009 р.
|знаходження = 
|url = https://archive.org/details/introductiontoli0000stra
|isbn = 978-0980232714
}} {{ref-en}}

# {{cite web
 | url = http://linear.ups.edu/html/fcla.html
 | title = A First Course in Linear Algebra
 | last = Beezer
 | first = Robert A.
 | date = 2015
 | website = 
 | publisher = 
 | quote = 
 | accessdate = 22 травня 2016
 | archive-date = 21 травня 2016
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160521132407/http://linear.ups.edu/html/fcla.html
 }} {{ref-en}}
# {{cite web
 | url = http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/book.pdf
 | title = Linear Algebra
 | last = Hefferon
 | first = Jim
 | date = 2014
 | website = 
 | publisher = 
 | quote = 
 | accessdate = 22 травня 2016
 | archive-date = 8 березня 2016
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160308062442/http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/book.pdf
 }} {{ref-en}}
# {{Golub.Loan.Matrix Computations}}
# {{Мальцев.Основы линейной алгебры}}

* [http://esu.com.ua/search_articles.php?id=55537 Лінійна алгебра] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171006162310/http://esu.com.ua/search_articles.php?id=55537 |date=6 жовтня 2017 }} / {{ЕСУ}}

{{math-stub}}
{{Розділи математики}}

[[Категорія:Лінійна алгебра|*]]
[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Чисельні методи]]