Перегляд вихідного коду сторінки Логічний сполучник

{{Логічні сполучники}}
'''Логі́чний сполу́чник''' (або '''логічний оператор''')&nbsp;— логічний термін, функція якого полягає в утворенні складних висловлювань.

Спеціальні назви і символи для позначення логічних сполучників:
* <math>\lnot</math>&nbsp;— заперечення («не»);
* <math>\land</math>&nbsp;— кон'юнкція («і»);
* <math>\lor</math>&nbsp;— диз'юнкція («або»);
* <math>\Rightarrow</math>&nbsp;— імплікація («якщо, то»);
* <math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;— [[еквіваленція]] («якщо і тільки якщо, то»).

== Огляд ==

Розділ [[Математика|математики]], який вивчає логічні висловлювання, належить до [[Математична логіка|''математичної логіки'']].
Розділ [[Логіка|логіки]], який досліджує природу таких логічних термінів, як [[заперечення]], [[кон'юнкція]], [[диз'юнкція]], [[імплікація]],[[Логічна еквівалентність|еквівалентність]] називають [[Числення висловлень|логікою висловлювань]].

''Логічним висловлюванням'' зветься деяке твердження, яке може бути ''істинним'' або ''хибним''. Такому твердженню <math>\ A</math> приписується [[Значення істинності|''логічне'']], або ''булеве значення'', а саме:

: <math>val A = \begin{cases} 
  1,  & \mbox{if }A\mbox{ is true}, \\
  0, & \mbox{if }A\mbox{ is false}. 
\end{cases}</math>

[[Математична логіка]] здебільшого не цікавиться, чому те чи інше висловлювання є істинним чи хибним. Це&nbsp;— задача інших, «конкретних» її наук. Наприклад, є такі висловлювання:

* '''А.''' 2 х 2 = 4.
* '''Б.''' Лондон&nbsp;— столиця України.
* '''В.''' [[Росія — батьківщина слонів|Росія&nbsp;— батьківщина слонів]].
* '''Г.''' Київ було засновано в V сторіччі по р. Х.
* '''Д.''' Ім'я другої за списком дівчини цієї групи&nbsp;— Наталя.

З [[Арифметика|арифметки]] відомо, що висловлювання ''A'' істинне, з географії що висловлювання ''Б'' хибне, з зоології&nbsp;— що висловлювання ''В'' хибне. Відносно висловлювання ''Г'' думки фахівців-істориків розходяться, а значення висловлювання ''Д'', взагалі залежить від того, про яку саме групу йдеться. Але вирішувати все це&nbsp;— не справа математичної логіки.

Натомість [[математична логіка]] вивчає, як з одних висловлювань можна конструювати інші («складені») в такий спосіб, щоб значення нового висловлювання повністю визначалося значеннями висловлювань, з яких воно утворене. Для цього використовуються логічні сполучники.

==== Означення ====

<math>\ n</math>-місним '''логічним сполучником''' чи '''логічною операцією''' в [[математична логіка|математичній логіці]] називається [[математична операція|операція]] <math>\ C</math>, яка за довільним набором висловлювань <math>\ A_1</math>, <math>\ A_2</math>, . . . , <math>\ A_n</math> утворює нове висловлювання <math>\ C</math> = <math>\ C</math>(<math>\ A_1</math>, <math>\ A_2</math>, . . . , <math>\ A_n</math>), причому логічне значення висловлювання <math>\ C</math> повністю визначається логічними значеннями висловлювань <math>\ A_1</math>, <math>\ A_2</math>, . . . , <math>\ A_n</math>.

Оскільки в [[Математична логіка|математичній логіці]] враховуються лише логічні значення (істинність, хибність), а не зміст розглядуваних висловлювань, то, очевидно, сполучник <math>\ C</math> повністю визначається функцією від <math>\ n</math> змінних <math>\ c</math> (<math>\ a_1</math>, <math>\ a_2</math>, . . . , <math>\ a_n</math>), де всі <math>\ a_i</math> належать множині булевих значень <math>~B=\{0,1\}</math> i цій же множині належать і значення функції <math>\ c</math> , отже <math>\ c</math> :<math>~ B^n \to B</math> . Саме, ця функція визначається рівністю

<math>\ val C (A_1, A_2, . . . , A_n) = c (val A_1, val A_2, . . . , val A_n) </math>

для довільних висловлювань <math>\ A_1</math>, <math>\ A_2</math>, . . . , <math>\ A_n</math>. Функція <math>\ c</math> зветься приєднаною функцією сполучника <math>\ C</math>.

Навпаки, за будь-якою <math>\ n</math>&nbsp;— функцією <math>\ c</math> : <math>~ B^n \to B</math> можна визначити такий сполучник <math>\ C</math>, щоб виконувалася ця рівність. Такі функції звуться булевими функціями.

Реально використовується досить обмежений набір логічних сполучників.

===== Найважливіші логічні сполучники =====

Вказано їхні приєднані функції. Ці сполучники позначено тими самими літерами, що й відповідні функції, i названо їх також однаково.
----
* 1.[[Заперечення]] <math>\lnot</math>&nbsp;— це одномісний (унарний) сполучник з приєднаною функцією
{| class="wikitable" cellpadding=8
! <math>~A</math> !! <math>\lnot</math><math>\ A</math>
|- align=center
| 0
! 1
|- align=center
| 1
!| 0
|}
 
Висловлювання <math>\lnot</math><math>\ A</math> передається також словами «'''не''' <math>\ A</math>».

* 2.[[Кон'юнкція]] <math>\land</math> (також '''&''')&nbsp;— це двомісний (бінарний) сполучник з приєднаною функцією

Висловлювання <math>A \land B</math> передається також словами «<math>\ A</math> '''і''' <math>\ B</math>».

* 3.[[Диз'юнкція]] <math>\lor</math>&nbsp;— це двомісний (бінарний) сполучник з приєднаною функцією

Висловлювання <math>A \lor B</math> передається також словами «<math>\ A</math> '''або''' <math>\ B</math>».

* 4.[[Імплікація]] <math>\Rightarrow</math>&nbsp;— це двомісний (бінарний) сполучник з приєднаною функцією

Висловлювання <math>~A</math><math>\Rightarrow</math><math>~B</math>передається також словами «'''Якщо''' <math>\ A</math>, '''то''' <math>\ B</math>».
 
* 5. [[Логічна еквівалентність|Еквіваленція (еквівалентність)]] <math>\Leftrightarrow</math>&nbsp;— це двомісний (бінарний) сполучник з приєднаною функцією

Висловлювання <math>~A \Leftrightarrow B</math> передається також словами «<math>\ A</math> '''тоді й лише тоді, коли''' <math>\ B</math>».
* 6. Логічне додавання, (розділяюче «або», антиеквіваленція) <math>\oplus</math>&nbsp;— це двомісний (бінарний) сполучник з приєднаною функцією

Висловлювання <math>\ A</math><math>\oplus</math><math>\ B</math> передається також словами «'''або''' <math>\ A</math>, '''або'''<math>\ B</math>».

{{2-ary truth table
|0|0|0|1|[[Кон'юнкція|AND]]<br/><math>A \land B</math>|
|1|1|1|0|[[Штрих Шефера|NAND]]<br/><math>A \uparrow B</math>|thick
|0|1|1|1|[[Диз'юнкція (логіка)|OR]]<br/><math>A \lor B</math>|
|1|0|0|0|[[Стрілка Пірса|NOR]]<br/><math>A \downarrow B</math>|thick
|0|1|1|0|[[Виключна диз'юнкція|XOR]]<br/><math>A \oplus B</math>|
|1|0|0|1|[[Логічна еквівалентність|EQ]]<br/><math>A \leftrightarrow B</math>|thick
|1|1|0|1|[[Логічна імплікація|IMPLY]]<br/><math>A \to B</math>|
|0|0|1|0|[[Неімплікація |NIMPLY]]<br/><math>A \nrightarrow B</math>|thick
|1|0|1|1|[[Обернена імплікація|Converse]]<br/><math>A \leftarrow B</math>|
|0|1|0|0|<br/><math>A \nleftarrow B</math>|thick
}}

----
Як і звичайні [[Чотири арифметичні дії|арифметичні операції]], логічні сполучники можна комбінувати, утворюючи нові висловлювання. Порядок їх застосування найчастіше визначається дужками, наприклад:

<math>~E</math> = (<math>A</math><math>\Leftrightarrow</math>(<math>\lnot</math>((<math>\lnot</math><math>B</math>)<math>\land</math><math>C</math>)))<math>\Rightarrow</math>((<math>A</math><math>\lor</math><math>\lnot</math>(<math>C</math>))<math>\oplus</math>(<math>D</math><math>\Rightarrow</math><math>B</math>)).

Як і в арифметиці, щоб зменшити кількість дужок та зробити складені висловлювання більш виразними, використовують домовленість про порядок дій:

# Першим завжди застосовують заперечення.
# Після заперечення застосовують кон'юнкцію та диз'юнкцію.
# Потому застосовують логічне додавання.
# Нарешті, останніми застосовують імплікацію та еквіваленцію.
# Всередині кожної групи порядок дій визначається дужками.

За такої домовленості останній приклад можна скоротити так:

: <math>~E</math> = (<math>A</math><math>\Leftrightarrow</math><math>\lnot</math>(<math>\lnot</math><math>B</math><math>\land</math><math>C</math>))<math>\Rightarrow</math><math>A</math><math>\lor</math><math>\lnot</math><math>C</math><math>\oplus</math>(<math>D</math><math>\Rightarrow</math><math>B</math>).

Зрозуміло, що коли задано (логічне) значення висловлювань <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, легко обчислити й значення утвореного з них висловлювання <math>E</math>, наприклад:

{| class="wikitable" cellpadding=8
! <math>~A</math> !! <math>~B</math> !! <math>~C</math> !! <math>~D</math> !! <math>\lnot</math><math>\ B</math> !! <math>\lnot</math><math>\ C</math> !! <math>~E_1</math> !! <math>~E_2</math> !! <math>~E_3</math> !! <math>~E_4</math> !! <math>~E_5</math> !! <math>~E_6</math> !! <math>~E</math>
|- align=center
| 0
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
! 1
|- align=center
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
! 0
|}

де позначено:<br/>

<math>~E_1</math> = <math>\lnot</math><math>B</math><math>\land</math><math>\Complex</math>,<br/>

<math>~E_2</math> = <math>\lnot</math>(<math>\lnot</math><math>B</math><math>\land</math><math>\Complex</math>)= <math>\lnot</math><math>E_1</math>,<br/>

<math>E_3</math> = <math>A</math><math>\Leftrightarrow</math><math>~\lnot</math>(<math>~\lnot</math><math>B</math><math>\land</math><math>\Complex</math>) = <math>A</math><math>\Leftrightarrow</math><math>E_1</math>,<br/>

<math>E_4</math> = <math>A</math><math>\lor</math><math>\lnot</math><math>C</math>,<br/>

<math>E_5</math> = <math>D</math><math>\Rightarrow</math><math>B</math>,<br/>

<math>E_6</math> = <math>A</math><math>\lor</math><math>\lnot</math><math>C</math><math>\oplus</math>(<math>D</math><math>\Rightarrow</math><math>B</math>) = <math>E_4</math><math>\oplus</math><math>E_5</math>.<br/>

Значення істинності для логічних операцій, зазвичай задається за допомогою [[таблиця істинності|таблиць істинності]].

== Див. також ==
* [[Логічна константа]]
* [[Формальна мова]]
* [[Формальна система]]
* [[Числення висловлень]]
* [[Список логічних символів]]

== Джерела ==
* {{Дрозд.Основи математичної логіки}}
* Сполучники логічні // {{ФЕС|сторінки=606}}
* Мендельсон (1971), «[http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mendelson1971ru.djvu] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130501054149/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mendelson1971ru.djvu |date=1 травня 2013 }}» ''Введення у математичну логіку'', видавництво «Наука», стор.19

{{Math-stub}}
{{Логічні операції}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Дискретна математика]]
[[Категорія:Логічні операції|С]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Числення]]
[[Категорія:Логічні символи]]