Перегляд вихідного коду сторінки Логічна імплікація

{{Картка:Логічний сполучник
| title        = 
| other titles = IMPLY
| Venn diagram = Venn1011.svg
| definition   = <math>a \rightarrow b</math>
| truth table  = <math>(1011)</math>
| logic gate   = Puerta CM.svg
| DNF          = <math>\overline{a} + b</math>
| CNF          = <math>\overline{a} + b</math>
| Zhegalkin    = <math>1 \oplus a \oplus ab</math>
| 0-preserving = {{n&}}
| 1-preserving = {{aye}}
| monotone     = {{n&}}
| affine       = {{n&}}
| self-dual    = {{n&}}
}}
'''Імплікація'''&nbsp;— [[логічний сполучник]] «якщо…, то…», тобто [[оператор (математика)|оператор]] між [[Множина|множиною]] ''T'' формул та формулою ''B'', що виконується, якщо кожна модель (або інтерпретація) ''T'' також є моделлю ''B''. У символьному вигляді:
# <math>T \models B</math>,
# <math>T \Rightarrow B</math>
# <math>T \to B</math>
# <math>T \therefore B</math>

[[Бінарна операція|Двомісна]] [[логічна операція]], що має значення «хибний», [[тоді й лише тоді]], коли перший операнд має значення «істинний», а другий — «хибний».

Логічну імплікацію можна задати через інші логічні операції, наприклад:

<math>A \to B \equiv \neg A \lor B</math>

== Визначення ==
[[Таблиця істинності]] має такий вигляд:
{{2-ary truth table|<!-- T=1|F=0| -->1|1|0|1|<math>A \to B</math>}}
Імплікація як булева функція хибна лише тоді, коли посилка істинна, а наслідок хибний. Інакше кажучи, імплікація <math>A\to B</math> — це скорочений запис для виразу <math>(\neg A)\lor B</math>.

=== Способи запам'ятовування таблиці істинності ===
Для легшого розуміння сенсу прямої імплікації і запам'ятовування її таблиці істинності варто згадати, що в теорії множин різниця двох множин А-В матиме таблицю належності (0 0 1 0). А заперечення різниці множин НЕ(А-В) й даватиме (1 1 0 1), що в алгебрі логіки назвали імплікацією. Також, можна навести для прикладу деякі життєві моделі: <br />
<br />
А — начальник. Він може наказати «працюй» (1) або сказати «роби, що хочеш» (0). В — підлеглий. Він може працювати (1) або байдикувати (0). У такому разі імплікація — не що інше, як послух підлеглого начальнику. За таблицею істинності легко перевірити, що слухняності немає тільки тоді, коли начальник наказує працювати, а підлеглий ледарює.
{| class="wikitable" cellpadding=8 
! Начальник !! Підлеглий !! Слухняність
|- align=center
| Роби, що хочеш
| Байдикує
! Є
|- align=center
| Роби, що хочеш
| Працює
! Є
|- align=center
| Працюй
| Байдикує
! Немає
|- align=center
| Працюй
| Працює
! Є
|}
А — предмет студента. Студент може його «знати» (1) або «не знати» (0). В — сесія студента. Сесію можна скласти (1) або не скласти (0). У такому разі імплікація — істинність існування заліку/незаліку. 
{| class="wikitable" cellpadding=8 
! Предмет !! Сесія !! Правдивість складення сесії
|- align=center
| Не знає предмет
| Не складає сесію
! Правда
|- align=center
| Не знає предмет
| Складає сесію
! Правда (бо може таке бути)
|- align=center
| Знає предмет
| Не складає сесію
! Неправда 
|- align=center
| Знає предмет
| Складає сесію
! Правда
|}


== Властивості ==
* <math> a \to b \equiv (\lnot b) \rightarrow (\lnot a) </math>

== Функціональна повнота ==
Множини операцій <math>\{ \to, \lnot \}, \{ \to, \bot \}, \{ \to, \not\to \}, \{ \to, \not\leftrightarrow \}</math> є [[функціональна повнота|функціонально повними]]:
:<math> a \not\to a \equiv \bot </math>
:<math> a \not\leftrightarrow a \equiv \bot </math>
:<math> \lnot a \equiv a \to \bot </math>
:<math> a \lor b \equiv (\lnot a) \rightarrow b </math>
:<math> a \land b \equiv \lnot (a \rightarrow \lnot b) </math>
:<math>a \;|\; b \equiv a \to \lnot b </math>
:<math>a \downarrow b \equiv \lnot ((\lnot a) \rightarrow b) </math>
...

== Булева логіка ==
У булевій логіці імплікація — це функція від двох змінних (вони ж — операнди операції, аргументи функції). Змінні можуть приймати значення з <math>~\{0, 1\}</math>. Результат також належить <math>~\{0, 1\}</math>. Обчислення результату проводиться за простим правилом, або за таблицею істинності. Замість значень <math>~0, 1</math> може використовуватися будь-яка інша пара підхожих символів, наприклад <math>~false, true</math> або <math>~F, T</math> або «хибний», «істинний». 

== Див. також ==
* [[Логіка]]
* [[Алгебра логіки]] (булева алгебра)
* [[Таблиця математичних символів]]
* [[Теорема про дедукцію]]

== Література ==
* Імплікація // {{ФЕС}}&nbsp;— С. 238
== Посилання ==
*{{ЛЗЕ1|частина =Імплікація |сторінки =415 }}
{{додаткові джерела|дата=вересень 2018}}
{{Логічні операції}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Логічні операції|І]]
[[Категорія:Бінарні операції]]