Перегляд вихідного коду сторінки Логічна еквівалентність

{{Картка:Логічний сполучник
| title        = 
| other titles = EQ, XNOR
| Venn diagram = Venn1001.svg
| definition   = <math>a = b</math>
| truth table  = <math>(1001)</math>
| logic gate   = Puerta XNOR.svg
| DNF          = <math>a \cdot b + \overline{a} \cdot \overline{b}</math>
| CNF          = <math>(\overline{a} + b ) \cdot (a + \overline{b})</math>
| Zhegalkin    = <math>1 \oplus a \oplus b</math>
| 0-preserving = {{n&}}
| 1-preserving = {{aye}}
| monotone     = {{n&}}
| affine       = {{aye}}
| self-dual    = {{n&}}
}}
'''Логічна еквівалентність (еквіваленція)'''&nbsp;— [[двомісна операція|двомісна]] [[логічна операція]], що має значення «[[істина]]» тоді і тільки тоді, коли обидва [[операнд]]и мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною. Операція відображає вживання [[сполучник]]а «[[тоді і тільки тоді]]» в логічних висловлюваннях.

Еквівалентність позначають символами: <math>\leftrightarrow</math>, <math>~ \equiv</math>.<br />
'''( <math>A \leftrightarrow B </math>, <math>A \equiv B </math> ).'''<br />

Висловлення <math>A \leftrightarrow B </math> є правдивим тоді і тільки тоді, коли водночас правдиві обидві [[Імплікація|імплікації]] <math>A \rightarrow B </math> та <math>B \rightarrow A </math>, тобто:
: <math>A \leftrightarrow B  = (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)</math>.

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази:
: A [[тоді і тільки тоді]], коли B
: A якщо B і B якщо A
: Для A достатньо і необхідно B
: A матеріально еквівалентно B

== Визначення ==
[[Таблиця істинності]] виглядає таким чином:
{{2-ary truth table|1|0|0|1|<math>A \leftrightarrow B</math>}}
Ця таблиця відрізняється від [[Таблиця істинності|таблиці істинності]] для [[Імплікація|імплікації]] другим рядком, а від таблиці істинності для конверсії імплікації &nbsp;— третім рядком.

Також еквівалентність є запереченням [[Виключна диз'юнкція|виключної диз’юнкції]], тобто
: <math>(A \leftrightarrow B) = \lnot (A \oplus B)</math>
{{2-ary truth table|1|0|0|1|<math>A \leftrightarrow B</math>|thick|0|1|1|0|<math>A \oplus B</math>}}

Оскільки [[імплікація]] виражає відношення між достатньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації &nbsp;— між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достатньою і необхідною умовою та її наслідком.

Наприклад, "Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст", "Якщо [[геометрична фігура]] [[квадрат]], то її діагоналі діляться навпіл". Як у матеріальній імплікації [[сполучник]] "якщо, то ..." не виражає смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції [[сполучник]] "якщо і тільки якщо" не виражає змістовно зв'язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями ("[[істина]]", "хибність"). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.<br />

[[Знання]] логічної еквіваленції дає можливість:
* а) спростити запис послідовності висловлювань;
* б) перейти від одного висловлювання до логічно еквівалентного йому (тобто, з тим самим істинним значенням);
* в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

== Властивості ==

* [[рефлексивність]]
:<math>a \leftrightarrow a </math>

* [[асоціативність]]
:<math>a \leftrightarrow (b \leftrightarrow c) \equiv (a \leftrightarrow b) \leftrightarrow c </math>

* [[комутативність]]
:<math>a \leftrightarrow  b \equiv b \leftrightarrow a </math>

* [[дистрибутивність]]
:<math>a \lor (b \leftrightarrow c) \equiv (a \lor b) \leftrightarrow (a \lor c)</math>

== Функціональна повнота ==
Множина операцій <math>\{ \leftrightarrow , \not\to \}</math> є [[функціональна повнота|функціонально повною]]:
:<math> \lnot a \equiv (a \leftrightarrow a) \not\to a </math>
:<math> \lnot a \equiv  a \leftrightarrow (a \not\to a) </math>
:<math> a \to b \equiv \lnot (a \not\to b) </math>
...

== Дивись також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Відношення еквівалентності]]
* [[Булева множина]]
* [[Закони де Моргана]]
* [[Список логічних символів]]

== Джерела і посилання ==
* [[Конверський Анатолій Євгенович|Конверський А. Є.]] Логіка: Підручник для студентів юридичних факультетів. — К.: Центр навчальної літератури, 2004. — 304 с. ISBN 966-8568-48-6
==Література==
* Еквівалентність // {{ФЕС}}

{{Math-stub}}

{{Логічні операції}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Логічні операції|Е]]
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Категорія:Еквівалентність (математика)]]