Перегляд вихідного коду сторінки Логарифм

[[Файл:Binary logarithm plot with ticks.svg|right|thumb|upright=1.35|[[Графік функції]] {{nowrap|log<sub>2</sub>(x)}} проходить через точки з координатами {{nowrap|(1, 0)}}; {{nowrap|(2, 1)}}; {{nowrap|(4, 2)}}; {{nowrap|(8, 3)}}.<br/>
log<sub>2</sub>(2) = 1, тому що 2<sup>1</sup> = 2,<br/>
log<sub>2</sub>(4) = 2, тому що 2<sup>2</sup> = 4,<br/>
log<sub>2</sub>(8) = 3, тому що 2<sup>3</sup> = 8
]]
[[Файл:Logarithm plots.png|right|thumb|upright=1.35|Графіки логарифмів за основами 2, e, 10. Точки {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''b'' {{=}} 1}} є перетинами з пунктирною прямою, і всі графіки проходять через точку {{math|1=log<sub>''b''</sub>&thinsp;1 = 0}}.]]
'''Логари́фм''', або '''логари́тм''',<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com.ua/books?id=RQMdAQAAMAAJ&q=%22логаритм%22&dq=%22логаритм%22&hl=uk&sa=X&ved=0ahUKEwjG64Ou88TlAhWjl4sKHWi3DzsQ6AEIQjAE|title=Revue statistique de l'Ukraine|last=|first=|date=1928|year=|publisher=|location=|pages=|language=українською|isbn=}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com.ua/books?id=L1e4AAAAIAAJ&q=%22логаритм%22&dq=%22логаритм%22&hl=uk&sa=X&ved=0ahUKEwjG64Ou88TlAhWjl4sKHWi3DzsQ6AEIYTAJ|title=Fizychniĭ zbirnyk|date=1959|publisher=Vyd-vo Lʹvivsʹkoho derz︠h︡. universytetu|language=ru}}</ref> (від {{lang-el|λόγος}}&nbsp;— «слово», і {{lang-el|ἀριθμός}}&nbsp;— «[[число]]»)&nbsp;— число <math>x</math> (показник степеня, степінь), яке показує, до якого степеня слід піднести число <math>a</math> (основу), щоб одержати число <math>b</math>.

: <math>\log_a b=x.</math>

Основна логарифмічна тотожність: <math>a^x = b</math> або <math>a^{\log_{a}b} = b</math>, де <math>a>0</math>, <math>b>0</math> та <math>a\neq1</math>.

Логарифми ввів [[Джон Непер]] на початку XVII століття як засіб спрощення розрахунків. Їх швидко почали застосовувати науковці та інженери для пришвидшення виконання обчислень із застосуванням [[логарифмічна лінійка|логарифмічних лінійок]] і [[Математичні таблиці|таблиць логарифмів]]. Логарифм дозволяє прискорити множення багатозначних чисел шляхом складання їхніх логарифмів. Наприклад, візьмімо два числа, які потрібно помножити: <math>42,5</math> і <math>378</math>. За допомогою таблиці логарифмів подивімося, що за основою <math>10</math> ці числа мають логарифми (степені) <math>1,6284</math> і <math>2,5775</math> відповідно. Тобто, <math>42,5=10^{1,6284}</math> i <math>378=10^{2,5775}</math>. Таким чином, <math>42,5 * 378 = 10^{1,6284}* 10^{2,5775} = 10 ^ {(1,6284 +2,5775)} = 10 ^ {4,2059}</math>. Виходить, що логарифмом добутку чисел <math>42,5</math> і <math>378</math>, за основою <math>10</math>, є число <math>4,2059</math>. З таблиці логарифмів легко знайти результат <math>\log_{10} {(42,5*378)}=4,2059</math>.

Сучасне означення логарифмів увів [[Леонард Ейлер]], який у XVIII столітті пов'язав їх з [[Показникова функція|показниковою функцією]].

== Позначення ==
{{Результати обчислення}}

Позначення:
: <math>x = \log_a b</math> (логарифм числа <math>b</math> за основою <math>a</math>)

Існують особливі позначення для:
* '''[[Натуральний логарифм|натуральних логарифмів]]''' (логарифмів за основою [[e (число)|e]]):
: <math>\log_{e} a = \ln a</math>
* '''[[Десятковий логарифм|десяткових логарифмів]]''' (логарифмів за основою [[10 (число)|10]]):
: <math>\log_{10} a = \lg a</math>
* '''[[Двійковий логарифм|двійкових логарифмів]]''' (логарифмів за основою [[2 (число)|2]]):
: <math>\log_{2} a = \operatorname{lb} a</math>

Логарифми [[Неперів логарифм|винайшов]] [[Джон Непер]] на початку [[XVII століття]] як засіб для спрощення розрахунків і відтоді їх широко використовують у [[наука|науці]], [[техніка|техніці]]. До винайдення [[комп'ютер]]ів [[логарифмічна лінійка|логарифмічна лінійка]] та таблиці логарифмів були повсякденним інструментом [[інженер]]а.

== Властивості ==
{| class="wikitable"
|-
! !! Формула !! Приклад
|-
| [[Добуток]] || <cite id=labelLogarithmProducts><math> \log_a(x y) = \log_a x + \log_a y \,</math></cite>|| <math> \log_3 243 = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 =  2 + 3 = 5 \,</math>
|-
|[[Частка (математика)|Частка]]||<math>\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a x - \log_a y \,</math>|| <math> \lg \left(\frac1{1000}\right) = \lg 1 - \lg 1000 = 0 - 3 = -3</math>
|-
| [[Піднесення до степеня|Степінь]] || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_a x^p = p \log_a x</math></cite>|| <math> \log_2 64 = \log_2 2^6 = 6 \log_2 2 = 6 \,</math>
|-
| [[Корінь (математика)|Корінь]] || <math>\log_a \sqrt[p]{x} = \frac1p \log_a x </math>|| <math> \lg \sqrt{1000} = \frac12\lg 1000 = \frac32 = 1{,}5 </math>
|-
|}

Ці властивості зробили логарифм надзвичайно корисною функцією. Додавання та віднімання набагато простіші операції ніж множення та ділення, й, маючи таблицю логарифмів, можна сильно спростити складні обчислення.

{{якір|Зміна основи}}Формула
: <math> \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} </math>

дозволяє переходити від одної основи до іншої.

Інші тотожності:
* <math>a^{log_a b} = b</math>
* <math>a^{log_c b} = b^{log_c a}</math>
* <math>\log_{b^c} a = \tfrac{1}{c} \log_b a</math>
* <math>\log_a b = \frac {1}{\log_b a}</math>

== Логарифмічна функція ==
[[Файл:Log4.svg|right|thumb|320px|Графіки логарифмів за основами 2, e, 1/2]]
Логарифмічна [[Функція (математика)|функція]] <math>y = \log_b x </math> ставить у відповідність кожному значенню змінної її логарифм за наперед обраною основою <math>b</math>.

Властивості логарифмічної функції:
* [[Область визначення|множина визначення]] логарифмічної функції <math>D=(0, +\infty)</math>,
* логарифмічна функція є [[Монотонна функція|монотонною]], причому
** є зростаючою, якщо <math>b>1</math>
** є спадною, якщо <math>0<b<1</math>
* логарифмічні функції за різними основами є пропорційними,
* функція <math>y = \log_b x </math> є [[обернена функція|оберненою]] до [[показникова функція|показникової функції]] <math>x = b^y </math>,
* [[похідна]] логарифмічної функції:
: <math> \frac{d \ln x}{dx} = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d \log_b x}{dx} = \frac{1}{x \ln b} </math>
* [[первісна]] логарифмічної функції:
: <math> \int \ln x\,dx = x(\ln x -1) + C </math> (див. також [[таблиця інтегралів логарифмічних функцій|таблицю інтегралів логарифмічних функцій]])
* похідна від логарифму функції називається [[логарифмічна похідна|логарифмічною похідною]]
: <math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
* [[Спеціальні функції|спеціальна функція]] [[інтегральний логарифм|інтегральний логарифм]]:
: <math> {\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}, \quad x\ne 1</math>
* розклад у [[ряд Тейлора]]
: <math>
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n
= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
</math>
* [[стала Ейлера—Маскероні]]
: <math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln(n) \right]</math>

== Натуральні логарифми ==
{{Main|Натуральний логарифм}}
Зв'язок з десятковим логарифмом: <math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x</math>.

Як зазначено вище, для [[Похідна|похідної]] натурального логарифму справедлива проста формула:
: <math>(\ln x )' = \frac{1}{x}</math>
З цієї причини у математичних дослідженнях дуже часто використовують саме натуральні логарифми. Вони часто з'являються при розв'язку [[Диференційні рівняння|диференціальних рівнянь]], дослідженні статистичних закономірностей (наприклад, [[Теорема про розподіл простих чисел|розподіл простих чисел]]) тощо.

[[Невизначений інтеграл]] від натурального логарифму легко знайти [[Інтегрування частинами|інтегруванням за частинами]]:
: <math>\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C </math>

Розклад у [[ряд Тейлора]] може бути представлений наступним чином: <br/>
при <math>-1 < x \leqslant 1</math> наступна рівність є справедливою
{{EF||<math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots</math>|ref=1}}
Зокрема,
{{EF|:|<math>\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots</math>}}
Формула (1) не має великої практичної цінності через те, що ряд дуже повільно сходиться і значення<math>x</math> є обмеженим у доволі вузькому діапазоні. Однак, не складно отримати з неї зручнішу формулу:
{{EF||<math>\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)</math>|ref=2}}
Цей ряд сходиться швидше, а крім цього, ліва частина формули тепер може виразити логарифм будь-якого додатного числа.

== Двійкові логарифми ==
Логарифми за основою 2 широко застосовуються в теорії інформації. [[Двійковий логарифм|Двійковий логарифм]] [[Натуральні числа|натурального числа]] <math> N </math> дозволяє визначити число цифр <math> b (N) </math> у внутрішньому комп'ютерному ([[біт]]овому) поданні цього числа:
: <math> B (N) = \lfloor \operatorname {lb} N \rfloor + 1 </math> (дужки позначають [[Ціла частина числа|цілу частину]] числа).

[[Інформаційна ентропія]]&nbsp;— міра кількості інформації, також заснована на двійкових логарифмах.

Оцінка [[Обчислювальна складність|асимптотичної складності]] [[Рекурсивні функції|рекурсивних алгоритмів]], заснованих на принципі «[[Розділяй та володарюй (інформатика)|розділяй та володарюй»]]&nbsp;— таких, як [[швидке сортування]], [[швидке перетворення Фур'є]], [[двійковий пошук]] виконується з використанням двійкових логарифмів.

У [[Теорія музики|теорії музики]], щоб вирішити питання про те, на скільки частин ділити [[Октава|октаву]], потрібно відшукати раціональне наближення для <math> \log_2 \frac {3} {2} \approx 0 {,} 585. </math> Якщо розкласти це число в [[Безперервна дріб|безперервний дріб]], то третій дріб, що підходить, (7/12) дозволяє обґрунтувати класичний розподіл октави на 12 [[півтон]]ів.

== Десяткові логарифми ==
[[Файл:Slide rule example2.svg|thumb|450px|Рисунок 2а. [[Логарифмічна шкала]].]]
[[Файл:Slide rule example2 with labels.svg|thumb|450px|Рисунок. 2б. Логарифмічна шкала з позначеннями.]]
Логарифми за основою 10 (позначаються як {{math|lg&nbsp;''a''}}) до винайдення [[калькулятор]]ів широко використовували для обчислень. [[Логарифмічний масштаб|Нерівномірна шкала]] десяткових логарифмів зазвичай наноситься і на [[Логарифмічна лінійка|логарифмічні лінійки]]. Подібну шкалу використовують у багатьох галузях науки, наприклад:
* [[Фізика]]&nbsp;— інтенсивність звуку ([[децибел]]и).
* [[Астрономія]]&nbsp;— шкала [[Видима зоряна величина|яскравості зірок]].
* [[Хімія]]&nbsp;— активність [[Водень|водневих]] [[іон]]ів ([[pH]]).
* [[Сейсмологія]]&nbsp;— [[Магнітуда землетрусу|шкала Ріхтера]].
* [[Теорія музики]]&nbsp;— нотна шкала, по відношенню до частот нотних звуків.
* [[Історія]]&nbsp;— [[логарифмічна шкала часу|логарифмічна шкала часу]].

[[Логарифмічна шкала|Логарифмічну шкалу]] також широко використовують для виявлення показника степеня у показникових залежностях і коефіцієнта у показнику експоненти. При цьому графік, побудований у логарифмічному масштабі по одній або двох осях, приймає вигляд прямої, яка є простішою для дослідження.

== Логарифмічна функція комплексної змінної ==

=== Визначення і властивості ===
Для [[Комплексне число|комплексних чисел]] логарифм визначається так само як і для дійсних. На практиці використовують майже завжди натуральний комплексний логарифм, який позначають як <math>\mathrm{Ln}\, w</math> і визначають як множину всіх комплексних чисел <math>z</math> таких, що <math>e^z=w</math>. Комплексний логарифм існує для будь-якого <math>w \ne 0</math>, і його дійсна частина визначається однозначно, тоді як уявна частина має нескінченну множину значень. З цієї причини його називають [[Багатозначна функція|багатозначною функцією]]. Якщо представити <math>w</math> у показниковій формі:
: <math>w=r \cdot e^{i \varphi}</math>,
то логарифм <math>\mathrm{Ln}\,w</math> знаходиться за формулою:
: <math>\mathrm{Ln}\,w = \{\ln r + i \left ( \varphi + 2 \pi k \right ),\,k\in\Z \}  . </math>

Тут <math>\ln\,r</math>&nbsp;— дійсний логарифм, <math>r=|w|</math>, <math>k</math>&nbsp;— довільне [[Цілі числа|ціле число]]. Значення, що отримуємо при <math>k=0</math>, називається ''головним значенням'' комплексного натурального логарифму; прийнято брати значенням аргументу у ньому <math>\varphi</math> в інтервалі <math>(-\pi, \pi]</math>. Відповідна (вже однозначна) функція називається ''головною гілкою'' логарифму і позначається <math>\ln\,z</math>. Інколи через <math>\ln\, z</math> також позначають значення логарифму, що лежить не на головній гілці.

З формули маємо наступні наслідки:
* Дійсна частина логарифму визначається за формулою:
: <math>\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)</math>
* Логарифм від'ємного числа знаходиться за формулою:
: <math>\ln (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) </math>

Оскільки комплексні [[тригонометричні функції]] пов'язані з [[Показникова функція#Експонента|експонентою]] ([[формула Ейлера]]), то комплексний логарифм як функція, що обернена до експоненти, пов'язаний з [[Обернені тригонометричні функції|оберненими тригонометричними функціями]]. Приклад такого зв'язку:
: <math>\arcsin z = -i \ln (i z + \sqrt{1-z^2})</math>

=== Приклади ===
Наведемо головне значення логарифму для деяких аргументів:
* <math>~\ln (-1) = i \pi</math>
* <math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2}</math>
* <math>\ln (-i) = -i \frac{\pi} {2}</math>
Потрібно бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, беручи до уваги, що вони багатозначні, тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не виходить рівність цих виразів. Приклад помилкових міркувань:
: <math> i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi</math>&nbsp;— неправильно (суперечність).
Відзначимо, що зліва стоїть головне значення логарифма, а справа&nbsp;— значення з нижчої гілки (<math>k=-1</math>). Причина помилки&nbsp;— неправильне використання властивості <math>\log_a{(b^p)} = p~\log_a b</math>, яка, загалом, справджується у випадку комплексних чисел для всього нескінченного набору значень логарифма, а не тільки для головного значення.

=== Аналітичне продовження ===
[[Файл:Riemann surface log.jpg|thumb|Рисунок 3. Ріманова поверхня, на якій задається функція <math>\text{Ln}\; z </math>.]]
Логарифм комплексного числа також може бути визначений як [[аналітичне продовження]] дійсного логарифму на всю [[Комплексна площина|комплексну площину]]. Нехай крива <math>\Gamma</math> починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає від'ємну частину дійсної осі. Тоді головне значення логарифму в кінцевій точці <math>w</math> кривої <math>\Gamma</math> можна визначити за формулою:
: <math>\ln w = \int\limits_\Gamma {dz \over z}</math>

Якщо <math>\Gamma</math>&nbsp;— проста крива (без самоперетину), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без обмежень, наприклад
: <math>\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma</math>

Якщо дозволити кривій <math>\Gamma</math> перетинати від'ємну частину дійсної осі, то перший такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожен наступний перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (дивіться рисунок).

Із формули аналітичного продовження виходить, що на будь-якій гілці логарифму
: <math>\ln' z = {1\over z}</math>

Для будь-якого околу <math>S</math>, що містить точку <math>0</math>:
: <math>\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i</math>

Інтеграл береться у додатному напрямку ([[проти годинникової стрілки]]). Ця тотожність лежить в основі теорії [[Лишок|лишків]].

Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою ряду, що наведений вище (1), і який узагальнений для випадку комплексного аргументу. Однак із вигляду розкладу в ряд маємо наслідок, що він дорівнює нулю в одиниці, тобто ряд відноситься лише до головної гілки [[Багатозначна функція|багатозначної функції]] комплексного логарифма.

=== Поверхня Рімана ===
Комплексна логарифмічна функція&nbsp;— приклад [[Ріманова поверхня|поверхні Рімана]]; її уявна частина (рисунок 3) складається з нескінченного числа гілок, що закручені у вигляді спіралі. Ця поверхня [[Однозв'язна область|однозв'язна]]; єдиний її нуль (першого порядку) отримуємо при <math>z=1</math>, особливі точки: <math>z=0</math> і <math>z=\infty</math> (точки розгалуження нескінченного порядку).

Ріманова поверхня логарифму є [[Накриття (топологія)|універсальним накриттям]] для комплексної площини без точки <math>0</math>.

== Історія ==
{{Докладніше|Історія логарифмів}}
Ще у [[VIII століття|VIII столітті]] індійський математик [[Вірасена]] розвинув концепцію ''ардхакчеди'', що означала скільки разів число виду 2<sup>n</sup> можна поділити на два. Для чисел, які не є цілими степенями двійки ''ардхакчеда'' залишалася невизначеною. Він описав також ''трікачеду'' та ''чатуртхачеду''&nbsp;— відповідні числа для основ 3 і 4<ref>{{citation|contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|location=New Delhi|publisher=Popular Prakashan|year=2000|contribution-url=http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false|accessdate=22 червня 2011|archive-date=17 березня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180317232735/https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref><ref>{{Citation|edition=3rd|date=1996|title=THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL|editor=Dr. Hiralal Jain|publisher=Jain Samskriti Samrakshaka Sangha|location=Solapur|url=http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|unused_data=Mathematics of Dhavala|accessdate=22 червня 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110511032215/http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|archivedate=11 травня 2011|deadurl=yes}}, part 3-4-5, book 4</ref>.
[[1544]] року [[Міхаель Штифель]] опублікував у [[Нюрнберг]]у книгу ''Arithmetica integra'' з таблицею<ref>{{Citation|first=Michaele|last=Stifelio|publisher=Iohan Petreium|location=London|year=1544|title=Arithmetica Integra|url=http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419|accessdate=22 червня 2011|archive-date=22 червня 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130622073328/http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419}}</ref> цілих чисел і степенів двійки, які їм відповідають<ref>
{{springer  | title=Arithmetic  | id= A/a013260 | last=Bukhshtab  | first=A.A.   | last2=Pechaev | first2=V.I.}}</ref><ref>{{Citation|title = Precalculus mathematics|author = Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location = New York|year = 1972|isbn = 978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel|accessdate = 22 червня 2011|archive-date = 12 вересня 2019|archive-url = https://web.archive.org/web/20190912045755/https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel&hl=en}}</ref>.
Ці ранні дослідження можна вважати попередниками логарифмів.

[[Файл:John Napier.jpg|thumb|right|Джон Непер (1550—1617)]]
 
Метод логарифмування був опублікований Джоном Непером у [[1614]] році в книзі під назвою ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (Опис чудового правила логарифмів)<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge}}</ref>. Незалежно від Непера логарифми відкрив [[Юст Бурґі]], але його публікація з'явилася на 6 років пізніше<ref>{{Harvard citations
 |last1=Boyer|year=1991 |nb=yes |loc=Chapter 14, section "Jobst Bürgi"}}</ref>.

Непер не тільки сформулював правило множення чисел з використанням логарифмів, а й побудував перші логарифмічні таблиці. Методом повторного віднімання Непер обрахував {{nowrap|10<sup>7</sup>(1 − 10<sup>−7</sup>)<sup>''L''</sup>}} для ''L'' від 1 до 100. Для ''L''=100 результат приблизно дорівнює {{nowrap begin}}0.99999 = 1 − 10<sup>−5</sup>{{nowrap end}}. Далі він порахував добутки цих чисел при множенні на {{nowrap|10<sup>7</sup>(1 − 10<sup>−5</sup>)<sup>''L''</sup>}} для ''L'' від 1 до 50, і, аналогічно, добутки цих чисел при множенні на {{nowrap|0.9995 ≈ (1 − 10<sup>−5</sup>)<sup>20</sup>}} й {{nowrap|0.99 ≈ 0.995<sup>20</sup>}}. Обчислення тривали 20 років. Як наслідок він отримав число ''L'', яке є розв'язком рівняння

: <math>N=10^7 {(1-10^{-7})}^L. \,</math>

для чисел від 5 до {{nowrap|10 000 000}}.

Спочатку Непер назвав ''L'' ''штучним числом'', але потім запровадив новий термін&nbsp;— логарифм. У сучасній нотації з використанням натуральних логарифмів це співвідношення має вигляд<ref>{{Citation
| title = The Encyclopædia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature ; the R.S. Peale reprint,
| volume = 17
| edition = 9th
| author = William Harrison De Puy
| publisher = Werner Co.
| year = 1893
| page = 179
| url = http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179
| accessdate = 22 червня 2011
| archive-date = 12 вересня 2019
| archive-url = https://web.archive.org/web/20190912045724/https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179
}}</ref>
: <math>L = \log_{(1-10^{-7})} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) = -10^7 \log_e \!\left( \frac{N}{10^7} \right),</math>

де наближення відповідає тому, що
: <math>{(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}.  \,</math>
з дуже малою похибкою.

Дуже швидко винахід Непера здобув широке визнання. Роботи італійця [[Бонавентура Кавальєрі|Бонавентури Кавальєрі]] та німця [[Йоганн Кеплер|Йоганна Кеплера]] розвинули і вдосконалили концепцію<ref>
{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009}}, section 2</ref>. [[1620]] року [[Едмунд Вінґейт]] збудував першу [[логарифмічна лінійка|логарифмічну лінійку]].

[[Файл:1 over x integral.svg|Гіпербола {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}} (червона крива) і площа від ''x'' = 1 to 6 (помаранчева).|right|thumb]]
[[1647]] року [[Грегуар де Сент-Вінсент]] отримав зв'язок між логарифмом та [[Квадратура (математика)|квадратурою]] [[Гіпербола (математика)|гіперболи]], зауваживши, що площі під графіком функції {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}} між 1 та числами ''a'' та ''b'' задовольняють співвідношенню:
: <math> S(ab) = S(a) + S(b) </math>.

Натуральні логарифми були вперше описані [[Нікола Меркар]]ом у праці ''Logarithmotechnia'' 1668 року<ref>{{Citation |author1=J. J. O'Connor |author2=E. F. Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=2001-09 |accessdate=02/02/2009 |archive-date=11 лютого 2012 |archive-url=https://www.webcitation.org/65NiCJyO4?url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html }}</ref>, хоча ще у 1619 вчитель математики Джон Спейделл складав таблицю натуральних логарифмів<ref>{{Citation |last=Cajori |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics |edition=5th |location=Providence, RI |publisher=AMS Bookstore |year=1991 |isbn=978-0-8218-2102-2 |url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false |accessdate=22 червня 2011 |archive-date=12 вересня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190912045721/https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover&hl=en#v=onepage&q=speidell&f=false }}, p. 152</ref>.

Приблизно [[1730]] року [[Леонард Ейлер]] дав означення експоненти та натурального логарифма як

: <math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,</math>
: <math>\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).</math>

Ейлер показав, що ці функції обернені одна одній<ref>
{{Citation
 |last1=Maor|first1=Eli
 |title=e: The Story of a Number
 |publisher=[[Princeton University Press]]
 |isbn=978-0-691-14134-3|year=2009}}, sections 1, 13
</ref><ref>
{{Citation
 |last1=Eves |first1=Howard Whitley |author1-link=Howard Eves
 |title=An introduction to the history of mathematics |publisher=Saunders
 |location=Philadelphia |edition=6th |series=The Saunders series
 |isbn=978-0-03-029558-4 |year=1992}}, section 9-3
</ref><ref>
{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye }}, p. 484, 489
</ref>.

== Деякі практичні застосування ==

=== [[Логарифмічна лінійка]] ===
[[Файл:Sliderule 2005.jpg|thumb|400px|Типова логарифмічна лінійка. Показано обчислення добутку 1,3 × 2 = 2,6]]
[[Файл:Csl.JPG|thumb|300px|Кругла логарифмічна лінійка.]]
'''Логарифмі́чна лінійка'''&nbsp;— [[Аналогова обчислювальна машина|аналоговий обчислювальний пристрій]], що дозволяє виконувати кілька [[математика|математичних]] операцій, основними з яких є [[множення]] і [[ділення]] чисел.

Найпростіша логарифмічна лінійка складається з двох [[шкала|шкал]] у логарифмічному [[масштаб]]і, що здатні пересуватися одна відносно одної. Складніші лінійки містять додаткові шкали і прозорий повзунок з кількома поділками. На зворотній стороні лінійки можуть знаходитися різні довідкові матеріали.

За допомогою додаткових шкал можна здійснювати [[піднесення до степеня]] (частіше всього до квадрата і куба), обчислення логарифмів, [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] та обернених операцій (добування [[Квадратний корінь|квадратних]] і [[Кубічний корінь|кубічних]] коренів, обчислення експоненти та обернених тригонометричних функцій), перетворення величин між різними системами (наприклад, [[Ват|кіловатів]] на [[кінська сила|кінські сили]] чи навпаки) та деякі інші операції.

==== Принцип дії ====
Основний принцип дії логарифмічної лінійки оснований на тому, що множення і ділення чисел замінюється відповідно [[додавання]]м і [[віднімання]]м їх логарифмів:
: {{math|lg (''xy'') {{=}} lg ''x'' + lg ''y''}},
: {{math|lg (''x''/''y'') {{=}} lg ''x'' &minus; lg ''y''}}.
Для того щоб обчислити добуток двох чисел, початок (чи кінець) рухомої шкали суміщують із першим множником на нерухомій шкалі, а на рухомій шкалі відшукують другий множник. Напроти нього на нерухомій шкалі знаходиться результат множення чисел.

Щоб розділити числа, на рухомій шкалі знаходять дільник і суміщують його з діленим на нерухомій шкалі. Початок (або кінець) рухомої шкали вказує на результат.

За допомогою логарифмічної лінійки знаходять лише [[мантиса|мантису]] числа, його порядок обчислюється усно. Точність обчислення звичайних логарифмічних лінійок&nbsp;— два-три десяткових знаки. Для виконання інших операцій застосовують повзунок та додаткові шкали. Слід відзначити, що, незважаючи на простоту, на логарифмічній лінійці можна виконувати досить складні розрахунки.

==== Історія ====
Перший варіант лінійки розробив англійський математик-аматор [[Вільям Отред]] [[1622]] року.

Раніше випускалися посібники з їх використання досить великого обсягу<ref>{{Книга|автор=Панов Д.Ю.|назва=Счетная линейка|місце=М|видавництво=Наука|рік=1973|сторінок=168|видання=21-е изд.}}{{ref-ru}}</ref><ref>{{Книга|автор=Богомолов Н.В.|назва=Практические занятия с логарифмической линейкой (сборник задач)|місце=М|видавництво=Высшая школа| рік=1977|сторінок=103}}{{ref-ru}}</ref>.

В [[Союз Радянських Соціалістичних Республік|СРСР]] логарифмічні лінійки широко застосовувалися для виконання [[Інженерія|інженерних]] розрахунків приблизно до початку 80-х років [[XX століття]], коли їх було витіснено [[калькулятор]]ами.
[[Файл:Breitling Navitimer chronograph watch.jpg|thumb|Годинник Breitling Navitimer]]
Відродження логарифмічної лінійки відбулося на початку XXI сторіччя внаслідок попиту на наручні [[годинник]]и та [[хронометр]]и із вбудованим простим обчислювальним пристроєм. Його виконано у вигляді двох логарифмічних шкал навколо циферблату годинника, одна з яких може обертатися (базель). За примхою виробників такі пристрої зазвичай називають «навігаційна лінійка». За допомогою такого пристрою можна виконувати переведення [[миля|миль]] на [[кілометр]]и, [[літр]]ів на [[галон]]и, метри за секунду в кілометри за годину тощо<ref>{{cite web|url=http://watchzone.ru/citizen/Citizen_BJ7010-59E.php|title=Citizen BJ7010-59E|accessdate=2010-11-02|work=[http://watchzone.ru Watch Zone]|deadurl=yes|archiveurl=https://www.webcitation.org/6Hl0YZcp6?url=http://watchzone.ru/citizen/Citizen_BJ7010-59E.php|archivedate=2013-06-30}}</ref>. На відміну від калькулятора одразу будується таблиця відповідності величин.

Прикладом таких годинників можна вважати [[Breitling]] Navitimer, CITIZEN (моделі BJ7010-59E, JQ8005-56E, JR3130-55E), [[Orient Watch|Orient]] (моделі OCEM58002DV, OCTD09001B, OCTD09003D) та деякі інші.

=== [[Логарифмічна спіраль]] ===
[[Файл:LogSpiral01.gif|міні|праворуч|200пкс|Побудова логарифмічної спіралі. Анімація.]]
[[Файл:Logarithmic spiral.png|міні|праворуч|200пкс|Логарифмічна спіраль (нахил 10°).]]

'''Логарифмічна спіраль''' або '''ізогональна спіраль'''&nbsp;— особливий вид [[Спіраль|спіралі]], що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана [[Рене Декарт|Декартом]] і пізніше інтенсивно досліджена [[Якоб Бернуллі|Бернуллі]], який називав її Spira mirabilis&nbsp;— «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» ({{lang-fr|spirale logarithmique}}) першим вжив [[П'єр Варіньон]]<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/logarithmic/logarithmic.shtml Spirale logarithmique.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120629084447/http://www.mathcurve.com/courbes2d/logarithmic/logarithmic.shtml |date=29 червня 2012 }} {{ref-fr}}</ref>

==== Рівняння ====
У [[Полярна система координат|полярних координатах]] рівняння кривої може бути записано як

: <math>r = ae^{b\theta}\,</math>

або

: <math>\vartheta = \frac{1}{b} \ln(r/a),</math>

що пояснює назву «логарифмічна».

У параметричній формі його може бути записано як

: <math>x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,</math>
: <math>y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,</math>

де ''a'', ''b''&nbsp;— [[Дійсне число|дійсні числа]].

=== Властивості ===
* Кут, що утворюється [[дотична|дотичною]] в довільній точці логарифмічної спіралі з [[радіус-вектор]]ом точки [[дотик]]у, постійний і залежить лише від параметра <math>b.</math>
** У термінах [[Диференціальна геометрія|диференціальної геометрії]] це може бути записано як
**: <math>\frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \frac b{\sqrt{1+b^2}} = \cos\varphi.</math>
* [[Похідна|Похідна функції]] <math>\mathbf{r}'(\vartheta)</math> пропорційна параметру ''b''. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли <math>b=0 \; (\varphi=\pi/2)</math> спіраль вироджується в [[коло]] радіусу ''a''. Навпаки, коли ''b'' прямує до [[нескінченність|нескінченності]] <math>(\varphi \rightarrow 0),</math> спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює <math>\varphi</math> до 90 °, називають ''нахилом'' спіралі.
* Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до [[Черепашка|мушлель]] [[Молюски|молюсків]] і квіток [[соняшник]]ів.

<gallery>
Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg | Мушля молюска Наутілуса за формою близька до логарифмічної спіралі
Image:Low_pressure_system_over_Iceland.jpg | Область низького тиску над [[Ісландія|Ісландією]]
Image:Messier51.jpg | Спіральна [[галактика]] [[NGC 5194|«Вир»]]
Image:Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|Секція [[фрактал Мандельброта|множини Мандельброта]], що є логарифмічною спіраллю
</gallery>

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Див. також ==
* [[Полілогарифм]]
* [[Дилогарифм]]
* [[Антилогарифм]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* Сторчай, Володимир Федорович. Показникові і логарифмічні рівняння: навч. посібник / В.&nbsp;Ф.&nbsp;Сторчай ; Дніпропетровський держ. ун-т.&nbsp;— К. : [б.в.], 1995.&nbsp;— 100 с
* Щербинин, Гарий Петрович. Показательно- логарифмические выражения, уравнения и неравенства: учеб. пособие / Г.&nbsp;П.&nbsp;Щербинин, Т.&nbsp;А.&nbsp;Недзельская ; ИСИО, Харьковский гос. технический ун-т радиоэлектроники.&nbsp;— Х. : [б.в.], 1995.&nbsp;— 60 с.
* Барановська, Галина Григорівна. Практикум з математики: Показникова та логарифмічна функції: навч. посібник для вступників до вузів / Г.&nbsp;Г.&nbsp;Барановська, В.&nbsp;В.&nbsp;Ясінський ; Національний технічний ун-т України «Київський політехнічний ін-т». Факультет довузівської підготовки.&nbsp;— К. : [б.в.], 1998.&nbsp;— 124 с.
* Кушнір, Ісаак. У світі логарифмів.&nbsp;— К. : Факт, 2004.&nbsp;— 136 с.: рис.

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53412/23222.html Функція логарифмічна]}}
{{Вікіцитати1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Логарифмічна функція|сторінки=179}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/stepin Динамічні математичні моделі FIZMA.neT] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210913064943/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Fstepin |date=13 вересня 2021 }}

{{math-stub}}
{{Гіпероперації}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Логарифми]]
[[Категорія:Елементарні функції]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]