Перегляд вихідного коду сторінки Лемніскатна еліптична функція

{{Short description|Математичні функції}}

[[Файл:The lemniscate sine and lemniscate cosine functions of a real variable.png|thumb|upright=2.0|Лемніскатна функція синуса (червона) та лемніскатна функція косинуса (фіолетова) дійсного аргументу <math>x</math> у порівнянні з тригонометричною функцією синус <math>y=\sin(\pi x\omega)</math> (блідно-червона пунктирна лінія).]]

У [[Математика|математиці]] '''лемніскатна еліптична функція'''&nbsp;— це [[еліптична функція]], що пов'язана з довжиною дуги [[Лемніската Бернуллі|лемніскати Бернуллі]].

Вперше вона була досліджена {{нп|Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно|Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно||Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano}} у 1718 році, та пізніше [[Леонард Ейлер|Леонардом Ейлером]], [[Карл Фрідріх Гаусс|Карлом Фрідріхом Гаусом]] та іншими.

Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи <math>\operatorname{sl}</math> й <math>\operatorname{cl}</math> (іноді <math>\operatorname{sinlem}</math>, <math>\operatorname{coslem}</math> або <math>\operatorname{sin lemn}</math> та <math>\operatorname{cos lemn}</math>)<ref>Гаус використовував символи <math>\operatorname{sl}</math> і <math>\operatorname{cl}</math> для лемніскат <math>\operatorname{sine}</math> і <math>\operatorname{cosine}</math>. Вітекер і Ватсон (1920) використовували <math>\operatorname{sin lemn}</math> і <math>\operatorname{cos lemn}</math>. У деяких джерелах використовуються початкові букви <math>\operatorname{s}</math> і <math>\operatorname{c}</math>. Прасолов і Соловйов (1997) використовували букву <math>\phi</math> для лемніскати <math>\operatorname{sine}</math> і <math>\phi'</math> для її похідної.</ref>, є аналогами [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] синуса та косинуса.
У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в [[Коло|колі]] одиничного [[діаметр]]а <math>x^{2}+y^{2}=x</math>, лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати <math>\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}=x^{2}-y^{2}</math>.

Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом <math>\varpi = 2{,}622057\dots</math>, яке називають [[Лемніскатна еліптична функція#Лемніскатна константа|лемніскатною константою]], що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.

Функції <math>\operatorname{sl}</math> та <math>\operatorname{cl}</math> мають [[Квадратна ґратка|квадратну]] {{нп|Fundamental pair of periods|періодичну ґратку}} (кратну [[Гауссові числа|гауссовим цілим числам]]) з {{нп|Фундаментальні періоди|фундаментальними періодами||Fundamental pair of periods}} <math>\big\{(1+{\rm i})\varpi ,(1-{\rm i})\varpi \big\}</math>,<ref>Фундаментальні періоди <math>(1+{\rm i})\varpi</math> і <math>(1-{\rm i})\varpi</math> є «мінімальними» в сенсі, що це найменше абсолютне значення серед періодів, дійсні частини яких є невід'ємними.</ref> і є окремим випадком двох [[Еліптичні функції Якобі|еліптичних функцій Якобі]] на цій ґратці, <math>\operatorname{sl} z=\operatorname{sn} (z;{\rm i})</math>, <math>\operatorname{cl} z=\operatorname{cd} (z;{\rm i})</math>.

Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції <math>\operatorname{slh}</math> та <math>\operatorname{clh}</math> мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами <math>\big\{\sqrt{2}\varpi ,\sqrt{2}\varpi {\rm i}\big\}</math>.

Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з [[Еліптичні функції Веєрштрасса|еліптичною функцією Веєрштраса]] <math>\wp (z;a,0)</math>.

== Лемніскатні функції синуса та косинуса ==

=== Означення ===
Лемніскатні функції <math>\operatorname{sl}</math> та <math>\operatorname{cl}</math> можна визначити відповідно як розв'язки [[Задача Коші|задач Коші]]:<ref>Робінсон (2019a) стартував з цього означення і далі отримував інші властивості лемніскатних функцій.</ref>
: <math>
\begin{align}& \frac{{\rm d}}{{\rm d} z}\operatorname{sl} z=\big( 1+\operatorname{sl} ^{2}z \big )\operatorname{cl} z, \quad \operatorname{sl}(0)=0,\\ & \frac {{\rm d}}{{\rm d} z}\operatorname{cl} z=-\big (1+\operatorname{cl} ^{2}z\big) \operatorname{sl} z,\quad \operatorname{cl}(0)=1,\end{align}
</math>
або, еквівалентно, визначити як [[Обернена функція|обернені функції]] для [[Еліптичні інтеграли|еліптичного інтеграла]], тобто як {{нп|Відображення Шварца–Крістофеля|відображення Шварца–Крістофеля||Schwarz–Christoffel mapping}} з [[Одиничний круг|одиничного круга]] комплексної площини у квадрат з кутами <math>\big\{\tfrac {1}{2} \varpi ,\tfrac {1}{2}\varpi {\rm i},-\tfrac {1}{2}\varpi ,-\tfrac {1}{2}\varpi {\rm i} \big\}</math>:<ref>Це відображення було першою ілюстрацією для відображення Шварца—Крістофелля, див. Шварц (1869).</ref>
: <math>z=\int _{0}^{\operatorname{sl} z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\int _{\operatorname{cl} z}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}.</math>
 
Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю [[Комплексна площина|комплексну площину]] за допомогою серій [[Принцип симетрії Шварца|віддзеркалень]].

Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:
: <math>
\begin{align}
& \frac {{\rm d}}{{\rm d} z}\sin z=\cos z,\quad  \sin (0)=0,\\
& \frac {{\rm d}}{{\rm d} z}\cos z=-\sin z,\quad \cos (0)=1,
\end{align}
</math>
або як обернені функції для відображення з [[Верхня півплощина|верхньої півплощини]] в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між <math>-\tfrac{1}{2} \pi</math> та <math>\tfrac {1}{2} \pi </math>, і додатною уявною частиною:
: <math>z=\int _{0}^{\sin z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}=\int _{\cos z}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}.</math>

=== Довжина кривої лемніскати Бернулі ===
[[Файл:The lemniscate sine and cosine related to the arclength of the lemniscate of Bernoulli.png|thumb|upright=1.8|Лемніскатні функції синуса та косинуса пов'язують довжину кривої лемніскати з відстанню від кінцевої точки до початку координат.]]
[[Файл:The sine and cosine related to the arclength of the unit-diameter circle.png|thumb|upright=1.1|Тригонометричні функції синуса та косинуса аналогічно пов'язують довжину дуги кола одиничного діаметра з відстанню від кінцевої точки до початку координат.]]
[[Лемніската Бернуллі|Лемніската Бернулі]] з напівшириною 1 є [[Геометричне місце точок|геометричним місцем точок]] на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок <math>F_{1}= \big( -\tfrac{1}{\sqrt {2}},0 \big)</math> та <math>F_{2}=\big( \tfrac {1}{\sqrt {2}},0 \big)</math> є константа <math>\tfrac {1}{2}</math>.
Це є {{нп|плоска крива четвертого порядку|плоска крива четвертого порядку||Quartic plane curve}}, що задовольняє рівняння <math>r^{2}=\cos 2\theta</math> в [[Полярна система координат|полярних координатах]] або рівняння <math>\big( x^{2}+y^{2}\big)^{2}=x^{2}-y^{2}</math> в [[Декартова система координат|декартових координатах]].
Точки на лемніскаті на відстані <math>r</math> від [[Початок координат|початку координат]] є перетинами кола <math>x^{2}+y^{2}=r^{2}</math> та [[Гіпербола (математика)|гіперболи]] <math>x^{2}-y^{2}=r^{4}</math>.
Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:
: <math>\big(x(r),y(r)\big)=\bigg( \sqrt{\tfrac{1}{2}r^{2}\big(1+r^{2}\big)},\sqrt {\tfrac {1}{2}r^{2}\big( 1-r^{2}\big)}\bigg).</math>
Використовуючи [[Параметричне рівняння|параметризацію]] з <math>r \in [0,1]</math> для чверті лемніскати, [[Довжина кривої|довжину кривої]] від початку координат до точки <math>\big(x(r),y(r)\big)</math> дорівнює:<ref>Ейлер (1761), Сігел, (1969), Прасолов і Соловйов (1997) для лемніскати використовували представлення у полярних координатах, щоб визначити диференціал довжини дуги кривої, але результат буде той же.</ref>
: <math>\int _{0}^{r}\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}\,{\rm d} t=\int _{0}^{r}\sqrt {\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}+\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}\,{\rm d} t=\int _{0}^{r}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\operatorname{arcsl} r.</math>
Аналогічно, довжина кривої від точки <math>(1,0)</math> до точки <math>\big(x(r),y(r)\big)</math> дорівнює:
: <math>\int _{r}^{1} \sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}{\rm d} t=\int _{r}^{1}\frac{{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\operatorname{arccl} r=\tfrac {1}{2}\varpi-\operatorname{arcsl} r.</math>
Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки <math>(1,0)</math>.
Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням <math>r= \cos\theta</math> в полярних координатах, або рівнянням <math>x^{2}+y^{2}=x</math> в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:
: <math>\big(x(r),y(r)\big)=\biggl(r^{2},\sqrt {r^{2}\bigl(1-r^{2}\bigr)}\biggr).</math>
Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:<ref>Siegel (1969), Schappacher (1997).</ref>
: <math> \int _{0}^{z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=2\int _{0}^{u}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}},</math>
якщо
: <math>z=\frac {2u\sqrt {1-u^{4}}}{1+u^{4}} \quad \text{та} \quad 0\leq u\leq \sqrt {\sqrt {2}-1}.</math>
Пізніше математики узагальнили цей результат.
За аналогією з {{нп|Конструктивні багатокутники|конструктивними багатокутниками||Constructible polygon}} на колі лемніскату можна розділити на <math>n</math> сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|циркуль та лінійку]] тоді й лише тоді, коли <math>n</math> має вигляд <math>n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}</math>, де <math>k</math>&nbsp;— натуральне число, а всі <math>p_{j}</math> (якщо є)&nbsp;— різні [[числа Ферма]].<ref>Числа A003401 в OEIS.</ref>
«Необхідність» в теоремі була доведена [[Нільс Генрік Абель|Нільсом Абелем]] в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена {{нп|Майкл Розен (математик)|Майклом Розеном||Michael Rosen (mathematician)}} в 1981 році.<ref>Abel (1827—1828), Rosen (1981), Prasolov & Solovyev (1997).</ref>
Еквівалентно, лемніскату можна розділити на <math>n</math> сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли <math>\log _{2}\varphi (n)</math> є натуральним числом (де <math>\varphi(n)</math> є [[Леонард Ейлер|функцією Ейлера]]).
Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу.
Нехай <math>r_{j}=\operatorname{sl}\tfrac {2j\varpi }{n}</math>, тоді <math>n</math> точками поділу для лемніскати <math>(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}</math> є
: <math>\left(r_{j}\sqrt {\frac {1+r_{j}^{2}}{2}},(-1)^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}-{\frac {2j}{n}}\right\rfloor }r_{j}{\sqrt {\frac {1-r_{j}^{2}}{2}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\},</math>
де <math>\lfloor \cdot \rfloor</math>&nbsp;— [[Ціла частина числа|функція підлоги]].
Нижче наведені деякі частинні значення для <math>\operatorname{sl}\tfrac {2\varpi }{n}</math>.

=== Довжина дуги кривої пружного деформування ===
[[Файл:Rectangular elastica and lemniscatic sine.png|thumb|upright=1.3|Лемніскатна функція синуса пов'язує довжину дуги з координатою <math>x</math> кривої пружного деформування.]]
Обернена функція лемніскати синуса описує довжину <math>s</math> дуги відносно координати <math>x</math> {{нп|Крива пружного деформування|кривої пружного деформування||Elastica theory}}.<ref>Euler (1786), Sridharan (2004), Levien (2008).</ref>
Ця крива має координату <math>y</math> і довжину дуги:
: <math>  y=\int _{x}^{1}\frac {t^{2}\, {\rm d} t}{\sqrt{1-t^{4}}},\quad s=\operatorname{arcsl} x=\int _{0}^{x}\frac {{\rm d} t}{\sqrt{1-t^{4}}}.</math>
Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував [[Якоб Бернуллі]] в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення.
Запропонований Бернуллі розв'язок став основою [[Теорія балки Ейлера-Бернуллі|теорії балки Ейлера--Бернуллі]], яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.

=== Лемніскатна константа ===
[[Файл:Lemniscate sine in the complex plane.svg|thumb|Функція <math>\operatorname{sl} z</math> на комплексній площині.<ref>Темні області представляють нулі, а яскраві області&nbsp;— полюси. Оскільки аргумент функції <math>\operatorname{sl} z</math> змінюється від <math>-\pi</math> (виключаючи <math>-\pi</math>) до <math>\pi</math>, то кольори проходять через блакитний, синій <math>(\operatorname{Arg} \approx -\pi /2)</math>, <math>(\operatorname{Arg} \approx -\pi /2)</math>, фіолетовий, червоний <math>(\operatorname{ARG} \approx 0)</math>, помаранчевий, жовтий <math>(\operatorname{ARG} \approx \pi /2)</math>, зелений і назад до блакитного <math>(\operatorname{ARG} \approx \pi )</math>.</ref> На рисунку видно, що фундаментальні періоди <math>(1+{\rm i})\varpi</math> та <math>(1-{\rm i})\varpi</math> є «мінімальними», тобто мають найменше абсолютне значення з всіх періодів, дійсна частина яких невід'ємна.]]

Лемніскатні функції мають мінімальний період <math>2\varpi</math> і фундаментальні комплексні періоди <math>(1+{\rm i})\varpi</math> та <math>(1-{\rm i})\varpi</math> для константи <math>\varpi</math> (у позначеннях Гауса), яку називають ''лемніскатною константою'',<ref>Schappacher (1997). Послідовність OEIS A062539 містить десяткові цифри лемніскатної константи.</ref><ref>Як правило константа <math>\varpi</math> визначається першою рівністю нижче.</ref>
: <math>
\begin{align}
\varpi& =2\int _{0}^{1}\frac{{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\sqrt {2}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}
=\int _{0}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {t-t^{3}}} \\
& =4\int _{0}^{\infty }\left(\sqrt[4]{1+t^{4}}-t \right)\,{\rm d} t=2\sqrt {2}\int _{0}^{1}\sqrt[{4}]{1-t^{4}}\mathop {{\rm d} t} =3\int _{0}^{1}\sqrt {1-t^{4}}\,{\rm d} t \\
& =2K({\rm i})=\tfrac {1}{2}\mathrm {B} \bigl (\tfrac {1}{4},\tfrac {1}{2}\bigr )=\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}=\sqrt {\pi }{\rm e}^{\beta '(0)}=\frac {2-\sqrt {2}}{4}\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}} \\
& =2{,}62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots,
  \end{align}
</math>
де <math>K</math>&nbsp;— [[Еліптичні інтеграли|повний еліптичний інтеграл першого роду]] з модулем <math>k</math>, <math>{\rm B}</math> —— [[бета-функція]], <math>\gamma</math>&nbsp;— [[гамма-функція]], <math>\beta'</math>&nbsp;— похідна бета-функції Діріхле, <math>\varsigma</math>&nbsp;— [[дзета-функція Рімана]]. Однак іноді величину <math>2\varpi</math> називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда&nbsp;— це величина <math>\varpi/2</math>.<ref>{{Cite web |url=http://oeis.org/A064853 |title=Архівована копія |accessdate=23 травня 2022 |archive-date=30 січня 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220130042154/http://oeis.org/A064853 }}</ref><ref>«Lemniscate Constant».</ref><ref name=":0">Todd (1975).</ref><ref>«A085565&nbsp;— Oeis».</ref><ref>Carlson, B. C. (2010), «Elliptic Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.</ref>
Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи.
Геометрично, <math>\varpi</math> є відношенням [[периметр]]а [[Лемніската Бернуллі|лемніскати Бернуллі]] до її [[діаметр]]а.
[[Трансцендентне число|Трансцендентність]] лемніскатної константи була доведена {{нп|Теодор Шнайдер|Теодором Шнайдером||Theodor Schneider}} в 1937 році.<ref>Schneider (1937).</ref>
У 1975 році [[Григорій Чудновський]] довів, що <math>\pi</math> і <math>\varpi</math> є [[Алгебраїчна незалежність|алгебраїчно незалежними]] над полем <math>\mathbb{Q}</math>.<ref>G.V.Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, p.A-486.</ref><ref>G.V.Chudnovsky: Contributions to The Theory of Transcendental Numbers, American Mathematical Society, 1984, p.6.</ref>
Пов'язана константа <math>G=\varpi /\pi=0{,}8346\ldots</math> є [[Стала Гаусса|константою Гаусса]].

[[Файл:Lemniscate constant as an integral.png|thumb|upright=1.3|Геометричне зображення констант <math>\varpi/2</math> та <math>\varpi/\sqrt{2}</math>.]]
Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення<math>\operatorname{cl} z=\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{2}\varpi -z\bigr).</math>

Крім того, константа <math>\varpi</math> пов'язана з площею під кривою <math>x^{4}+y^{4}=1</math>.
Нехай <math>\pi _{n} :=  {\rm B} \bigl (\tfrac {1}{n},\tfrac {1}{n}\bigr )</math>, тоді подвійна площа в першій чверті під кривою <math>x^{n}+y^{n}=1</math> дорівнює <math>2\int _{0}^{1}\sqrt[{n}]{1-x^{n}}\, {\rm d} x =\tfrac {1}{n}\pi _{n}.</math>
У випадку рівняння четвертого порядку: <math>\tfrac {1}{4}\pi _{4}=\tfrac {1}{\sqrt {2}}\varpi</math>.

У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:<ref>Левін (2008). Тод (1975) називав ці два множники <math>A=\varpi /2</math> і <math>B=\pi /2\varpi</math> лемніскатними константами і обговорив методи їх обчислення.</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{arc} \operatorname{length}\cdot \operatorname{height}
 =\int _{0}^{1}\frac {{\rm d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}\cdot \int _{0}^{1}\frac {x^{2}\,{\rm d} x }{\sqrt {1-x^{4}}}=\frac {\varpi }{2}\cdot \frac{\pi}{2\varpi }=\frac {\pi}{4}.
\end{align}
</math>
[[Теорема Вієта|Формула Вієта]] для числа <math>\pi</math> може бути записана як
: <math>
\begin{align}
\frac{2}{\pi }=\sqrt{\frac {1}{2}}\cdot \sqrt {\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot \sqrt{\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}\sqrt{\frac {1}{2}}}}\cdots.
\end{align}
</math>
Аналогічна формула для <math>\varpi</math>:<ref>Левін (2006).</ref>
: <math>
\begin{align}
\frac {2}{\varpi}=\sqrt{\frac {1}{2}}\cdot \sqrt {\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\bigg /\sqrt{\frac {1}{2}}}\cdot
\sqrt{\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\Bigg /\sqrt{\frac {1}{2}+\frac {1}{2}/\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots.
\end{align}
</math>
[[Формула Валліса|Формула Валіса]] для <math>\pi</math>:
: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{2}& =\prod _{n=1}^{\infty}\left(1+\frac {1}{n}\right)^{(-1)^{n+1}}\\
& =\prod _{n=1}^{\infty}\left(\frac {2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}\right)=\biggl (\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\biggr)\biggl (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\biggr)\biggl(\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\biggr)\cdots.
\end{align}
</math>
Аналогічна формула для <math>\varpi</math>:<ref>Хайд у 2014 довів справедливість більш загальної формули типу Валіса для кривих конюшини; тут спеціальний випадок лемніскати трохи модифіковано для наочності.</ref>
: <math>
\begin{align}
{\frac {\varpi }{2}}& =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac {1}{2n}\right)^{(-1)^{n+1}}
  =\prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac {4n-1}{4n-2}\cdot \frac {4n}{4n+1}\right)=\\
  & =\biggl (\frac {3}{2}\cdot \frac {4}{5}\biggr )\biggl (\frac {7}{6}\cdot \frac {8}{9}\biggr )\biggl (\frac {11}{10}\cdot \frac {12}{13}\biggr )\cdots.
\end{align}
</math>
Пов'язаною з цим результатом є формула:
: <math>
\begin{align}
\frac {\varpi}{\pi}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac {4n-1}{4n}\cdot \frac {4n+2}{4n+1}\right)=
\biggl (\frac {3}{4}\cdot {\frac {6}{5}}\biggr )\biggl(\frac{7}{8}\cdot \frac{10}{9}\biggr )\biggl(\frac{11}{12}\cdot \frac {14}{13}\biggr)\cdots.
\end{align}
</math>
Нескінченний ряд для <math>\varpi/\pi</math> отриманий Гауссом має вигляд:<ref>Bottazzini Gray (2013), p.60.</ref>
: <math>
\begin{align}
\frac{\varpi }{\pi}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}\frac{(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}
=1-\frac{1^{2}}{2^{2}}+\frac{1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}-\frac{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}+\cdots.
\end{align}
</math>
{{нп|Формула Мачіна|Формула Мачіна||Machin-like formula}} для <math>\pi</math> має вигляд <math>\tfrac {1}{4}\pi =4\operatorname{arctg} \tfrac {1}{5}-\operatorname{arctg} \tfrac {1}{239}</math>, і декілька аналогічних формул для <math>\pi</math> можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера <math>\tfrac {1}{4}\pi =\operatorname{arctg} \tfrac {1}{2}+\operatorname{arctg} \tfrac {1}{3}.</math>
Аналогічні формули можна записати і для <math>\varpi</math>, включаючи ті, що знайшов Гаусс:<ref name=":0"/><math>\tfrac {1}{2}\varpi =2\operatorname{arcsl} \tfrac {1}{2}+\operatorname{arcsl}\tfrac {7}{23}.</math>
Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:<ref>Cox, David (January 1984). «The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss». L'Enseignement Matematique. 30(2): 275—330. See p.307, eq.2.21 для першої рівності.</ref>
: <math>
\begin{align}
\varpi =2^{-1/2}\pi \left(\sum _{n\in \mathbb {Z}}{\rm e}^{-\pi n^{2}}\right)^{2}
=2^{1/4}\pi {\rm e}^{-\pi /12}\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi p_{n}}\right)^{2},
\end{align}
</math>
де <math>p_{n}=(3n^{2}-n)/2</math> (для <math>n\geq 1</math>, це [[п'ятикутне число]]), або з використанням [[Середнє арифметико-геометричне|середнього арифметико-геометричного]] <math>\operatorname{M}</math>:
: <math>
\begin{align}
\varpi =\frac{\pi}{\operatorname{M}\big(1,{\sqrt {2}}\big)}.
\end{align}
</math>
У дусі аналогічному до [[Ряд обернених квадратів|базельської задачі]] можна записати наступну формулу:
: <math>
\begin{align}
\sum _{z\in \mathbb {Z} [{\rm i}]\setminus \{0\}}\frac{1}{z^{4}}=G_{4}({\rm i})=\frac{\varpi ^{4}}{15},
\end{align}
</math>
де <math>\mathbb {Z} [{\rm i}]</math>&nbsp;— [[гауссові числа]], <math>G_{4}(\tau )</math>&nbsp;— [[Ряди Ейзенштейна|ряд Ейзенштейна]] з вагою 4.<ref>Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (французькою). HERMANN. ISBN 2705614435. p.224.</ref>

=== Нулі, полюси і симетрії ===

При зсуві на <math>\tfrac {1}{2}\varpi</math> лемніскатні функції <math>\operatorname{cl}</math> і <math>\operatorname{sl}</math> переходять одна в одну, а при зсуві на <math>\tfrac {1}{2}{\rm i}\varpi</math> функції є додатково повернутими та [[Обернене число|взаємооберненими]]:<ref>Комбінація першої і четвертої тотожності дає <math>\operatorname{sl} z=-{\rm i}/\operatorname{sl} (z-(1+{\rm i})\varpi /2)</math>. Ця тотожність (неправильно) дана в Eymard's and Lafon's Autour du nombre Pi (p.218) без мінуса у правій частині.</ref>
: <math>
\begin{alignat}{3}
& \operatorname{cl} \bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi \bigr)=\mp \operatorname{sl} z, \quad && \operatorname{cl} \bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm i}\varpi \bigr )=\frac {\mp {\rm i}}{\operatorname{sl} z}, \\
& \operatorname{sl}\bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi \bigr )=\pm \operatorname{cl} z, \quad && \operatorname{sl} \bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm i}\varpi \bigr)=\frac {\pm {\rm i}}{\operatorname{cl} z}.
 \end{alignat}
</math>
Подвоєння цих зсувів [[Оборотний елемент|одиничними елементами гауссових цілих чисел]] кратних <math>\varpi</math> (тобто <math>\pm \varpi</math> або <math>\pm {\rm i}\varpi</math>) приводить до зміни знаку функцій ([[Інволюція (математика)|інволюції]]):
: <math>
\begin{align}
 \operatorname{cl} (z+\varpi )=\operatorname{cl} (z+{\rm i}\varpi )=-\operatorname{cl} z,\\
 \operatorname{sl} (z+\varpi )=\operatorname{sl} (z+{\rm i}\varpi )=-\operatorname{sl} z.
\end{align}
</math>
Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на [[Гауссові числа|парне гаусове ціле число]] кратне <math>\varpi</math>.<ref>Цілі числа Гаусса&nbsp;— це клас лишків 0 за модулем <math>1+{\rm i}</math>, чорні квадрати на шаховій дошці.</ref> Тобто, перестановка <math>(a+b{\rm i})\varpi</math> <math>a+b=2k</math> для цілих чисел <math>a</math>, <math>b</math>, <math>k</math>:
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl}\bigl(z+(1+{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{cl}\bigl(z+(1-{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{cl} z,\\
& \operatorname{sl}\bigl(z+(1+{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{sl}\bigl(z+(1-{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{sl} z.
\end{align}
</math>
Це робить їх [[Еліптична функція|еліптичними функціями]] (двічі періодичні [[Мероморфна функція|мероморфні функції]] в комплексній площині) з [[Квадратна ґратка|діагонально-квадратною]] {{нп|Фундаментальна періодична ґратка|періодичною ґраткою||Fundamental pair of periods}} фундаментальних періодів <math>(1+{\rm i})\varpi</math> та <math>(1-{\rm i})\varpi</math>.<ref>Prasolov Solovyev (1997), Robinson (2019a).</ref>

Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.

Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:
: <math>
\begin{align}
&\operatorname{cl} \bar {z}=\overline {\operatorname{cl} z},\\
&\operatorname{sl} \bar {z}=\overline {\operatorname{sl} z},\\
&\operatorname{cl} {\rm i}z=\frac {1}{\operatorname{cl} z},\\
&\operatorname{sl} {\rm i}z={\rm i}\operatorname{sl} z.
\end{align}
</math>
Функція <math>\operatorname {sl}</math> має прості [[Полюс (комплексний аналіз)|нулі]] в гаусових цілих числах кратних <math>\varpi</math>, комплексних числах вигляду <math>a\varpi +b\varpi{\rm i}</math> для цілих чисел <math>a</math> і <math>b</math>.
Вона має прості [[Полюс (комплексний аналіз)|полюси]] у гаусових [[Напівціле число|напівцілих числах]] кратних <math>\varpi</math>, комплексних числах вигляду <math>\bigl(a+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi +\bigl(b+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi {\rm i}</math> з [[Лишок|лишком]] <math>(-1)^{a-b+1}{\rm i}</math>.
Функція <math>\operatorname{cl}</math> віддзеркалюється і зміщується від функції <math>\operatorname{sl}</math>, <math>\operatorname{cl} z=\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{2}\varpi -z\bigr)</math>.
Вона має нулі при аргументах <math>\bigl(a+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi +b\varpi{\rm i}</math> і полюси при аргументах <math>a\varpi +\bigl(b+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi{\rm i}</math> з лишками <math>(-1)^{a-b}{\rm i}</math>.

Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій.
Гаусс показав, що функція <math>\operatorname{sl}</math> має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:<ref>Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435. p.218.</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{sl} z=\frac{M(z)}{N(z)},
\end{align}
</math>
де
: <math>
\begin{align}
  M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}\right).
\end{align}
</math>
Тут, <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>&nbsp;— відповідно нулі та полюси функції <math>\operatorname{sl}</math>, які знаходяться у першій чверті <math>\operatorname {Re} z>0</math>, <math>\operatorname {Im} z\geq 0</math>.
Гаусс висунув гіпотезу, що <math>\ln N(\varpi )=\pi /2</math> (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».<ref>Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony—Geometric Fantasies. Springer. ISBN 978-1-4614-5724-4. p.58</ref><ref>Гаусс записав добутки для <math>M</math> і <math>N</math> у вигляді нескінченних рядів. Він також запропонував декілька тотожностей, що включають функції <math>M</math> та <math>N</math>, наприклад, <math>N(2z)=M^{4}(z)+N^{4}(z)</math>.</ref>

Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції <math>\operatorname{sl}</math>:<ref name=":1">Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), «Jacobian Elliptic Functions», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248</ref><ref name=":1"/><ref>Аналогічно,<math>\displaystyle\frac{1}{\sin z}=\sum\limits_{n\in \mathbb {Z}}\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi}</math>.</ref>
: <math>
\begin{align}
& \frac{1}{\operatorname{sl} z}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}\frac{(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi {\rm i}}, \\
& \operatorname{sl} z=-{\rm i}\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}\frac{(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi {\rm i}}.
  \end{align}
</math>

=== Тотожність піфагорійського типу ===
[[Файл:Algebraic curves (x² + y²) = a(1 - x²y²) for various values of a.png|thumb|upright=1.3|Криві <math>x^{2}\bigoplus y^{2}=a</math> при різних значеннях <math>a</math>: для від'ємних <math>a</math>&nbsp;— зелені, для додатних <math>a</math>&nbsp;— сині, <math>a=\pm</math>&nbsp;— червоні, <math>a=\infty</math>&nbsp;— чорні.]]
Лемніскатні функції задовольняють тотожність [[Тригонометрична тотожність Піфагора|піфагорійського]] типу:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cl}^{2} z+\operatorname{sl}^{2} z+\operatorname{cl}^{2} z\operatorname{sl}^{2} z=1.
 \end{align}
</math>
Як результат, <math>(x,y)=(\operatorname{cl} t,\operatorname{sl} t)</math>&nbsp;— параметричне рівняння для {{нп|Крива четвертого порядку|кривої четвертого порядку||Quartic plane curve}} <math>x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1</math>.

Цю тотожність можна також представити як<ref>Lindqvist Peetre (2001) узагальнює першу з цих форм.</ref>
: <math>
\begin{align}
& \bigl(1+\operatorname{cl}^{2} z\bigr)\bigl(1+\operatorname{sl}^{2}z\bigr)=2,\\
& \operatorname{cl}^{2} z=\frac {1-\operatorname{sl}^{2} z}{1+\operatorname{sl}^{2} z},\quad \operatorname{sl}^{2} z=\frac {1-\operatorname{cl}^{2} z}{1+\operatorname{cl}^{2} z}.
 \end{align}
</math>
Позначивши оператор [[Список тригонометричних тотожностей|тангенса суми]] як <math>a\oplus b := \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} a+\operatorname{arctg}b)</math>, отримуємо
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cl}^{2} z\oplus \operatorname{sl}^{2} z=1.
\end{align}
</math>

=== Похідні та інтеграли ===
Похідні:
: <math>
\begin{align}
& \frac{\mathrm {d}}{\mathrm {d}z}\operatorname{cl} z=\operatorname{cl}' z=-\bigl(1+\operatorname{cl}^{2} z\bigr)\operatorname{sl} z=-\frac{2\operatorname{sl} z}{\operatorname{sl}^{2}z+1},\\
& \operatorname{cl}'^{2} z=1-\operatorname{cl^{4}} z,\\
& \frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\operatorname{sl} z=\operatorname{sl}' z=\bigl(1+\operatorname{sl}^{2} z\bigr)\operatorname{cl} z=\frac{2\operatorname{cl} z}{\operatorname{cl} ^{2}z+1},\\
& \operatorname {sl}'^{2} z=1-\operatorname{sl}^{4} z.
 \end{align}
</math>
Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:
: <math>
\begin{align}
\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}z^{2}}\operatorname{cl} z=-2\operatorname{cl}^{3} z, \\
\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}z^{2}}\operatorname{sl} z=-2\operatorname{sl}^{3} z.
 \end{align}
</math>
Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:
: <math>
\begin{align}
& \int \operatorname{cl} z\, {\rm d}z  =\operatorname{arctg} \operatorname{sl} z+C,\\
& \int \operatorname{sl} z\,{\rm d}z =-\operatorname{arctg}\operatorname{cl} z+C.
 \end{align}
</math>

=== Сума аргументів і деякі тотожності ===
Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів.
Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:<ref>Ayoub (1984), Prasolov Solovyev (1997).</ref>
: <math>
\begin{align}
 \operatorname{sl}(u+v)=\frac{\operatorname{sl} u \operatorname{sl}' v+\operatorname{sl} v \operatorname{sl}' u}{1+\operatorname{sl}^{2} u \operatorname{sl}^{2} v}.
  \end{align}
</math>
З використанням похідних і тотожності піфагорійсього типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій <math>\operatorname{sl}</math> і <math>\operatorname{cl}</math>.
Визначаючи оператор [[Список тригонометричних тотожностей|тангенса суми]] <math>a\oplus b :=  \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}a+\operatorname{arctg} b)</math> і оператор тангенса різниці <math>a\ominus b :=  a\oplus (-b)</math>, формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені як<ref>Euler (1761), [https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/79/ §&nbsp;44 p. 79], §&nbsp;47 pp. 80–81</ref>
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl} (u+v)=\operatorname{cl} u \operatorname{cl} v\ominus \operatorname{sl} u \operatorname{sl} v=\frac{\operatorname{cl} u \operatorname{cl} v-\operatorname{sl} u \operatorname{sl} v}{1+\operatorname{sl} u \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v \operatorname{cl} v},\\
& \operatorname{cl} (u-v)=\operatorname{cl} u \operatorname{cl} v\oplus \operatorname{sl} u\ \operatorname{sl} v,\\
& \operatorname{sl} (u+v)=\operatorname{sl} u \operatorname{cl} v\oplus \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v=\frac {\operatorname{sl}  u \operatorname{cl} v+\operatorname{cl} u \operatorname{sl} v}{1-\operatorname{sl} u \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v \operatorname{cl} v},\\
& \operatorname{sl} (u-v)=\operatorname{sl} u \operatorname{cl} v\ominus \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v.
\end{align}
</math>
Вони нагадують відповідні [[Список тригонометричних тотожностей|тригонометричні аналоги]]:
: <math>
\begin{align}
 \cos(u\pm v)=\cos u \cos v\mp \sin u \sin v,\\
 \sin(u\pm v)=\sin u \cos v\pm \cos u \sin v.
 \end{align}
</math>
Формули половинного аргументу:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cl}^{2}\tfrac{1}{2}x=\frac{1+\operatorname{cl} x\sqrt{1+\operatorname{sl} ^{2}x}}{\sqrt {1+\operatorname{sl}^{2}x}+1}, \\
\operatorname{sl}^{2}{\tfrac{1}{2}}x=\frac{1-\operatorname{cl} x\sqrt{1+\operatorname{sl}^{2}x}}{\sqrt {1+\operatorname{sl}^{2}x}+1}.
 \end{align}
</math>
Формули подвійного аргументу:<ref name="euler1761-46">Euler (1761) [https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/80 §&nbsp;46 p. 80]</ref>
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl} 2x=\frac {-1+2 \operatorname{cl}^{2}x+\operatorname{cl} ^{4}x}{1+2 \operatorname{cl}^{2}x-\operatorname{cl}^{4}x},\\
& \operatorname{sl} 2x=2 \operatorname{sl} x \operatorname{cl} x\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname{sl}^{4}x}.
 \end{align}
</math>
Формули потрійного аргументу:<ref name="euler1761-46"/>
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl} 3x=\frac{-3 \operatorname{cl} x+6 \operatorname{cl}^{5}x+\operatorname{cl}^{9}x}{1+6 \operatorname{cl}^{4}x-3 \operatorname{cl}^{8}x}, \\
& \operatorname{sl} 3x=\frac {3\operatorname{sl} x-6 \operatorname{sl}^{5}x-\operatorname{sl}^{9}x}{1+6 \operatorname{sl}^{4}x-3 \operatorname{sl}^{8}x}.
 \end{align}
</math>

=== Лемнатомні многочлени ===
Нехай <math>L</math>&nbsp;— [[Ґратка (геометрія)|ґратка]] вигляду:
: <math>
 \begin{align}
L=\mathbb {Z}(1+{\rm i})\varpi +\mathbb {Z} (1-{\rm i})\varpi.
 \end{align}
</math>
Крім того, нехай <math>K=\mathbb{Q}({\rm i})</math>, <math>\mathcal {O}=\mathbb {Z} [{\rm i}]</math>, <math>z\in \mathbb {C}</math>, <math>\beta =m+{\rm i}n</math>, <math> {\gamma }=m'+{\rm i}n'</math> (де <math>m,n,m',n' \in \mathbb {Z}</math>), <math>m+n</math> та <math>m'+n'</math>&nbsp;— непарні, <math>{\gamma }\equiv 1\ {\rm mod}\  2(1+{\rm i})</math> і <math>\operatorname{sl} \beta z=M_{\beta}(\operatorname{sl} z)</math>. Тоді
: <math>
\begin{align}
M_{\beta }(x)={\rm i}^{\varepsilon }x\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}
  \end{align}
</math>
для деяких взаємно простих многочленів <math>P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in \mathcal {O}[x]</math> та деяких <math>\varepsilon \in \{0,1,2,3\}</math>,<ref>Фактично, <math>{\rm i}^{\varepsilon }=\operatorname{sl}\tfrac{\beta \varpi }{2}</math>.</ref> де
: <math>
\begin{align}
 xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x),
   \end{align}
</math>
та
: <math>
\begin{align}
\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in (\mathcal {O}/\beta \mathcal {O})^{\times}}(x-\operatorname{sl}\alpha \delta _{\beta }),
\end{align}
</math>
де <math>\delta _{\beta }</math>&nbsp;— будь-який генератор <math>\beta</math>-[[Скрут (алгебра)|скруту]] (тобто <math>[\delta_{\beta}]\in (1/\beta )L</math>, і <math>[\delta_{\beta}]\in (1/\beta)L/L</math> породжує <math>(1/\beta )L/L</math> як <math>\mathcal {O}</math>-[[Модуль над кільцем|модуль]]).
Прикладами генераторів <math>\beta</math>-скруту є <math>2\varpi /\beta</math> та <math>(1+{\rm i})\varpi /\beta</math>.
Многочлен <math>\Lambda _{\beta }(x)\in \mathcal {O}[x]</math> називається ''<math>\beta</math>-лемнатомним многочленом''.
Це мономорфізм, має степінь <math>\left|(\mathcal {O}/\beta \mathcal {O})^{\times }\right|</math>, і є незвідним над полем <math>\mathbb{K}</math>.
Лемнатомний многочлен є «лемніскатним аналогом» [[Многочлен поділу кола|многочлену поділу кола]],<ref name=":2">Cox and Hyde (2014).</ref>
: <math>
\begin{align}
\Phi _{n}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}\left(x-{\rm e}^{2a\pi {\rm i}/n}\right).
\end{align}
</math>
<math>\beta</math>-лемнатомний многочлен <math>\Lambda _{\beta }(x)</math> є [[Мінімальний многочлен (теорія полів)|мінімальним многочленом]] для <math>\operatorname{sl}\delta _{\beta}</math> в <math>\mathbb{K}[x]</math>.
Наприклад, мінімальним многочленом для <math>\operatorname{sl} (2\varpi /5)</math> (а також для <math>\operatorname{sl} ((1+{\rm i})\varpi /5))</math> в <math>\mathbb{K}[x]</math> є
: <math>
\begin{align}
\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,
  \end{align}
</math>
та<ref>{{cite journal |last1=Gómez-Molleda |first1=M. A. |last2=Lario |first2=Joan-C. |date=25 квітня 2019 |title=Ruler and Compass Constructions of the Equilateral Triangle and Pentagon in the Lemniscate Curve |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09892-w |journal=The Mathematical Intelligencer |volume=41 |issue=4 |pages=17–21 |doi=10.1007/s00283-019-09892-w |s2cid=149727564 |accessdate=26 травня 2022 |archive-date=23 березня 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220323163652/https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09892-w }}</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{sl} \frac {2\varpi }{5}=\sqrt[4]{-13+6\sqrt {5}+2\sqrt {85-38\sqrt {5}}}
 \end{align}
</math>
(еквівалентний вираз наведено в таблиці нижче). Іншим прикладом є<ref name=":2"/>
: <math>
\begin{align}
\Lambda _{-1+2{\rm i}}(x)=x^{4}-1+2{\rm i},
 \end{align}
</math>
що є мінімальним многочленом для <math>\operatorname{sl} (2\varpi /(-1+2{\rm i}))</math> (а також для <math>\operatorname{sl} ((1+{\rm i})\varpi /(-1+2{\rm i}))=\operatorname{sl} ((1-3{\rm i})\varpi /5)</math> в <math>\mathbb{K}[x]</math>.

=== Частинні значення ===
Так само, як і для тригонометричних функцій, значення лемніскатних функцій можна обчислити для поділів лемніскати на <math>n</math> частин однакової довжини, використовуючи лише елементарну арифметику і квадратні корені, тоді й лише тоді, коли <math>n</math> має вигляд <math>n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}</math>, де <math>k</math>&nbsp;— невід'ємне [[Цілі числа|ціле число]], і кожне <math>p_{{\rm i}}</math> (якщо є)&nbsp;— це різні [[Числа Ферма|прості числа Ферма]].<ref>Rosen (1981).</ref>
Співвідношення стають громіздким по мірі зростання <math>n</math>.
Нижче наведено вирази для ділення лемніскати <math>(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}</math> на <math>n</math> частин рівної довжини для деяких <math>n\leq20</math>.

{| class="wikitable"
|-
! <math>n</math> !! <math>\operatorname{cl}\tfrac{2\varpi}{n}</math> !! <math>\operatorname{sl}\tfrac{2\varpi}{n}</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>-1</math>
| <math>0</math>
|-
| <math>4</math>
| <math>0</math>
| <math>1</math>
|-
| <math>5</math>
| <math>\tfrac{1}{2}(\sqrt[4]{5}-1)\left(\sqrt{\sqrt{5}+2}-1\right)</math>
| <math>\tfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}(\sqrt{5}-1)\sqrt{\sqrt[4]{20}+\sqrt{\sqrt{5}-1}}</math>
|-
| <math>6</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12}\bigr)</math>
| <math>\sqrt[4]{2\sqrt{3}-3}</math>
|-
| <math>8</math>
| <math>\sqrt{\sqrt2-1}</math>
| <math>\sqrt{\sqrt2-1}</math>
|-
| <math>10</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt[4]{5}-1\bigr)\Bigl(\sqrt{\sqrt{5}+2}+1\Bigr)</math>
| <math>\tfrac1\sqrt2 \sqrt[4]{\sqrt5 - 2} \sqrt{\sqrt{2 \bigl(5 - \sqrt5 \bigr)} + 1 - \sqrt5}</math>
|-
| <math>12</math>
| <math>\sqrt[4]{2\sqrt{3}-3}</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12}\bigr)</math>
|-
| <math>16</math>
| <math>\sqrt{\bigl(\sqrt[4]{2}-1\bigr)\Bigl(\sqrt2+1+\sqrt{2+\sqrt2}\Bigr)}</math>
| <math>\sqrt{\bigl(\sqrt[4]{2}-1\bigr)\Bigl(\sqrt2+1-\sqrt{2+\sqrt2}\Bigr)}</math>
|-
| <math>20</math>
| <math>\tfrac1\sqrt2 \sqrt[4]{\sqrt5 - 2} \sqrt{\sqrt{2 \bigl(5 - \sqrt5 \bigr)} - 1 + \sqrt5}</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt[4]{5}-1\bigr)\Bigl(\sqrt{\sqrt{5}+2}-1\Bigr)</math>
|}

=== Степеневий ряд ===
Розклад в [[степеневий ряд]] функції лемніскати синуса у початку координат має вигляд:<ref>«A104203». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.</ref>
: <math>
 \begin{align}
\operatorname{sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-\tfrac {1}{10}z^{5}+\tfrac {1}{120}z^{9}-\tfrac {11}{15600}z^{13}+\cdots ,\quad z\in \mathbb{C} ,\quad |z|<\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}},
\end{align}
</math>
де коефіцієнти <math>a_{n}</math>визначаються як
: <math>
 \begin{align}
& n\not \equiv 1 \ ({\rm mod}\ {4}) \implies a_{n}=0, \\
& a_{1}=1,\ \forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon \ a_{n+2}=-\frac {2}{(n+1)(n+2)}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k},
\end{align}
</math>
де <math>i+j+k=n</math> позначає всі тричленні [[Композиція (комбінаторика)|композиції]] для числа <math>n</math>.
Наприклад, для обчислення <math>a_{13}</math> можна побачити, що існує лише шість композицій для <math>13-2=11</math>, які дають ненульовий внесок у суму:
<math>11=9+1+1=1+9+1=1+1+9</math> та <math>11=5+5+1=5+1+5=1+5+5</math>, тому
: <math>
 \begin{align}
a_{13}& =-\tfrac {2}{12\cdot13}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-\tfrac {11}{15600}.
\end{align}
</math>

=== Зв'язок з еліптичними функціями Веєрштрасса і Якобі ===
Лемніскатні функції тісно пов'язані з [[Еліптичні функції Веєрштрасса|еліптичними функціями Веєрштрасса]] <math>\wp (z;1,0)</math> («лемніскатний випадок») з інваріантами <math>g_{2}=1</math> та <math>g_{3}=0</math>.
Ця ґратка має фундаментальні періоди <math>\omega _{1}=\sqrt {2}\varpi</math> та <math>\omega _{2}={\rm i}\omega _{1}</math>.
Відповідні константи функції Вейєрштрасса мають вигляд: <math>e_{1}=\tfrac {1}{2}</math>, <math>e_{2}=0</math>, <math>e_{3}=-\tfrac {1}{2}</math>.

Пов'язаний випадок еліптичної функції Веєрштрасса з інваріантами <math>g_{2}=a</math> та <math>g_{3}=0</math> можна отримати за допомогою масштабного перетворення.
Однак, цей випадок може включати комплексні числа.
Якщо потрібно залишатися в межах дійсних чисел, то розглядають два випадки: <math>a>0</math> та <math>a<0</math>.
Періодичний [[паралелограм]] є [[квадрат]]ом або [[ромб]]ом.
Еліптичну функцію Вейєрштрасса <math>\wp(z;-1,0)</math> називають «псевдолемніскатним випадком».<ref>Robinson (2019a).</ref>

Квадрат лемніскати синуса можна представити як
:<math>
\begin{align}
\operatorname{sl}^{2}z=\frac{1}{\wp(z;4,0)}=\frac{\rm i}{2\wp ((1-{\rm i})z;-1,0)}=-2\wp \left(\sqrt {2}z+({\rm i}-1)\frac {\varpi }{\sqrt {2}};1,0\right),
\end{align}
</math>
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса <math>\wp</math>&nbsp;— інваріанти ґратки <math>g_{2}</math> і <math>g_{3}</math>.
Іншим представленням є
: <math>
 \begin{align}
 \operatorname{sl}^{2}z=\frac {\varpi ^{2}}{\wp (z/\varpi ,{\rm i})},
\end{align}
</math>
де другий аргумент еліптичної функції Веєрштрасса <math>\wp</math>&nbsp;— відношення періодів <math>\tau</math>.<ref><math>\wp(z,\tau )</math>&nbsp;— еліптична функція Веєрштрасса з періодами 1 і <math>\omega _{2}/\omega _{1}=\tau</math>.</ref>
Функція лемніскати синуса є [[Раціональна функція|раціональною функцією]] еліптичної функції Веєрштрасса та її похідної<ref>Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN2705614435. p.226.</ref>
: <math>
  \begin{align}
 \operatorname{sl} z=-2\frac {\wp ((1+{\rm i})z;1/4,0)}{\wp '((1+{\rm i})z;1/4,0)},
 \end{align}
</math>
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса <math>\wp</math> інваріанти ґратки <math>g_{2}</math> і <math>g_{3}</math>.
У термінах відношення періодів <math>\tau</math> отримуємо
: <math>
 \begin{align}
\operatorname{sl} z=-2\frac{\wp((1+{\rm i})z/(2\varpi ),{\rm i})}{\wp'((1+{\rm i})z/(2\varpi ),{\rm i})}.
  \end{align}
</math>

Лемніскатні функції також можуть бути записані в термінах [[Еліптичні функції Якобі|еліптичних функцій Якобі]].
Еліптичні функції Якобі <math>\operatorname{sn}</math> та <math>\operatorname{cd}</math> з додатним дійсним еліптичним модулем мають «вертикальну» прямокутну ґратку, що зорієнтована з дійсною та уявною осями.
Крім того, функції <math>\operatorname{sn}</math> та <math>\operatorname{cd}</math> з модулем <math>{\rm i}</math> (функції <math>\operatorname{sd}</math> та <math>\operatorname{cn}</math> з модулем <math>1/\sqrt {2}</math>) мають квадратну періодичну ґратку, повернуту на 1/8 оберту:<ref>Тотожність <math>\operatorname{cl} z=\operatorname{cn}\left(\sqrt {2}z;\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)</math> можна знайти в Greenhill (1892).</ref>
: <math>
\begin{align}
&\operatorname{sl} z=\operatorname{sn} (z;{\rm i})=\tfrac {1}{\sqrt {2}}\operatorname{sd}\left(\sqrt{2}z;\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right), \\
&\operatorname{cl} z=\operatorname{cd} (z;{\rm i})=\operatorname{cn}\left(\sqrt {2}z;\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right),
  \end{align}
</math>
де другі аргументи&nbsp;— еліптичний модуль <math>k</math>.

Ще одне представлення лемніскатної функції <math>\operatorname{cl}</math> у термінах еліптичної функції Якобі <math>\operatorname{dn}</math> має вигляд
: <math>
  \begin{align}
\operatorname{cl} z=\operatorname{dn}(z;\sqrt {2}),
   \end{align}
</math>
де другий аргумент еліптичної функції Якобі <math>\operatorname{dn}</math>&nbsp;— еліптичний модуль <math>k</math>.

=== Зв'язок з модулярною лямбда-функцією ===
Лемніскатну функцію синуса можна використовувати для обчислення значень [[Модулярна лямбда-функція|модулярної лямбда-функції]]:
:<math>
\begin{align}
   \prod _{k=1}^{n} \operatorname{sl}\left(\frac {2k-1}{2n+1}\frac {\varpi }{2}\right)=\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1){\rm i})}{1-\lambda ((2n+1){\rm i})}}.
  \end{align}
</math>
Наприклад,
:<math>
  \begin{align}
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{14}\varpi \bigr), \operatorname{sl}\bigl(\tfrac {3}{14}\varpi\bigr) \operatorname{sl}\bigl(\tfrac {5}{14}\varpi \bigr)
=\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7{\rm i})}{1-\lambda (7{\rm i})}}=\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac {1}{2}\operatorname {arccsc}\Bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{8\sqrt {7}+21}+\tfrac{1}{2}\sqrt{7}+1\Bigr)\Bigr), \\
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{18}\varpi \bigr),\operatorname{sl}\bigl(\tfrac{3}{18}\varpi\bigr) ,\operatorname{sl}\bigl(\tfrac{5}{18}\varpi \bigr),\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {7}{18}\varpi\bigr)=\sqrt[{8}]{\frac{\lambda (9{\rm i})}{1-\lambda (9{\rm i})}}=\operatorname{tg}\Biggl(\frac{\pi}{4}-\operatorname{arctg}\Biggl(\frac {2\sqrt[{3}]{2\sqrt{3}-2}-2\sqrt[{3}]{2-\sqrt {3}}+\sqrt{3}-1}{\sqrt[{4}]{12}}\Biggr)\Biggr).
     \end{align}
</math>

=== Методи обчислення ===
{{quote box|quote=
Швидкий алгоритм для наближення для <math>\operatorname {sl} x</math> (які наближаються до <math>\operatorname {sl} x</math> зі збільшенням <math>N</math>), 
полягає в наступному:<ref>Reinhardt  Walker (2010), 22.20.</ref>

{{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
  | <math>a_0 \leftarrow 1;</math> <math>b_0 \leftarrow \tfrac{1}{\sqrt2}</math>
  | '''for each''' <math>n\ge 1</math> '''do'''
  {{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
    | <math>a_n \leftarrow \tfrac12(a_{n-1}+b_{n-1});</math> <math>b_n \leftarrow \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}};</math> <math>c_n \leftarrow \tfrac12(a_{n-1}-b_{n-1})</math>
    | '''if''' <math>c_n < \textrm{tolerance}</math> '''then'''
    {{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
      | <math>N \leftarrow n;</math> [[Control flow#Early exit from loops|'''break''']]
    }}
  }}
  | <math>\phi_N \leftarrow 2^N a_N \sqrt2x</math>
  | '''for each''' {{math|''n''}} from {{math|''N''}} to {{math|0}} '''do'''
  {{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
    | <math>\phi_{n-1} \leftarrow \tfrac12\left(\phi_n + {\arcsin}{\left(\frac{c_n}{a_n}\sin \phi_n\right)}\right)</math>
  }}
  | '''return''' <math>\frac{\sin \phi_0}{\sqrt{2-\sin^2\phi_0}}</math>
}}

Цей алгоритм ефективно використовує арифметично-геометричне середнє значення і
 базується на {{нп|Перетворення Ландена|перетвореннях Ландена||Landen's transformation}}.<ref>Carlson (2010), [https://dlmf.nist.gov/19.8 §19.8]</ref>
|fontsize=90%|qalign=left}}

Декілька методів обчислення функції <math>\operatorname{sl} x</math> передбачають спочатку заміну змінних <math>\pi x=\varpi{\tilde {x}}</math>, а потім обчислення <math>\operatorname{sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi )</math>.

Метод [[Гіперболічні функції|гіперболічних рядів]]:<ref>Dieckmann, Andreas. "Collection of Infinite Products and Series".</ref><ref>Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.</ref><ref>Vigren  Dieckmann (2020), p.7.</ref><ref>У загальному випадку <math>\operatorname{sh}(x-n\pi )</math> та <math>\sin(x-n\pi {\rm i})=-{\rm i}\operatorname{sh}({\rm i}x+n\pi )</math> не еквівалентні, але отримана нескінченна сума однакова.</ref>
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl} \left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=\frac {\pi}{\varpi}\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{\operatorname{ch}(x-(n+1/2)\pi)},\\
&\frac{1}{\operatorname{sl}(\varpi x/\pi)}=\frac{\pi}{\varpi}\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{\operatorname{sh}\left(x-n\pi \right)}=\frac {\pi }{\varpi }\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi {\rm i})}.
   \end{align}
</math>
Метод [[Ряд Фур'є|рядів Фур'є]]:<ref>Reinhardt Walker (2010), 22.11.</ref>
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\Bigl(\frac{\varpi}{\pi }x\Bigr)=\frac{2\pi }{\varpi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\operatorname{ch}((n+1/2)\pi)}, \ \left|\operatorname {Im} x\right|<\frac {\pi }{2},\\
&\frac {1}{\operatorname{sl}(\varpi x/\pi)}=\frac {\pi }{\varpi }\left(\frac {1}{\sin x}-4\sum_{n=0}^{\infty }\frac {\sin((2n+1)x)}{{\rm e}^{(2n+1)\pi }+1}\right), \ \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi.
  \end{align}
</math>
Лемніскатні функції можуть бути обчислені більш швидше за допомогою формул
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\Bigl(\frac {\varpi }{\pi }x\Bigr)=\frac{\theta _{1}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)}{\theta _{3}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)},\\
&\operatorname{cl}\Bigl(\frac {\varpi }{\pi }x\Bigr)=\frac{\theta _{2}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)}{\theta _{4}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)},
\end{align}
</math>
де
:<math>
\begin{align}
&\theta _{1}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}{\rm e}^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z}}(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\
&\theta _{2}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi (n+x/\pi)^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\
&\theta _{3}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi (n+x/\pi)^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\
&\theta _{4}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi (n+1/2+x/\pi)^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx&
  \end{align}
</math>
— [[Тета-функція|тета-функції Якобі]].<ref>Reinhardt Walker (2010), 22.2.E7</ref>

Два інші методи швидкого обчислення використовують наступні формули сум і добутків рядів:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=f\left(\frac {4\pi }{\varpi }\sin x\sum _{n=1}^{\infty }\frac {\operatorname{ch}[(2n-1)\pi ]}{\operatorname{ch}^{2}[(2n-1)\pi ]-\cos ^{2}x}\right),\\
&\operatorname{cl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=f\left(\frac {4\pi }{\varpi }\cos x\sum _{n=1}^{\infty }\frac {\operatorname{ch}[(2n-1)\pi ]}{\operatorname{ch}^{2}[(2n-1)\pi ]-\sin ^{2}x}\right),\\
&\operatorname{sl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=2{\rm e}^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }\frac {1-2{\rm e}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-4n\pi }}{1+2{\rm e}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-(4n-2)\pi }},\\
&\operatorname{cl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=2{\rm e}^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }\frac {1+2{\rm e}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-4n\pi }}{1-2{\rm e}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-(4n-2)\pi }},
\end{align}
</math>
де <math>f(x)=\operatorname{tg}(2\operatorname{arctg} x)=2x/(1-x^{2})</math>.

Ряд Фур'є для логарифма лемнікатного синуса має вигляд:
:<math>
\begin{align}
\ln \operatorname{sl}\left(\frac {\varpi }{\pi }x\right)=\ln 2-\frac {\pi }{4}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n({\rm e}^{n\pi }+(-1)^{n})}, \ \left|\operatorname{Im} x\right|<\frac {\pi }{2}.
\end{align}
</math>
[[Срініваса Рамануджан|Рамануджан]] відкрив наступні співвідношення для рядів:<ref>Berndt, Bruce C. (1994). Ramanujan's Notebooks Part IV (First ed.). Springer Science+Business Media New York. ISBN 978-1-4612-6932-8. p.247,248,253.</ref>
:<math>
\begin{align}
&\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname{sl}^{2}(\varpi x/\pi)}=\frac {1}{\sin ^{2}x}-\frac {1}{\pi }-8\sum _{n=1}^{\infty }\frac {n\cos 2nx}{{\rm e}^{2n\pi }-1},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi, \\
&\operatorname{arctg} \operatorname{sl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\operatorname{ch}((n+1/2)\pi)},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\frac {\pi }{2}.
\end{align}
</math>

==Обернені функції==
Оберненою функцією для лемніскатного синуса є лемніскатний арксинус визначений як:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcsl} x=\int _{0}^{x}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}.
\end{align}
</math>
Її також можна представити за допомогою [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричної функції]]:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcsl} x={x}_{2}F_{1}\left(\tfrac {1}{2},\tfrac {1}{4};\tfrac {5}{4};x^{4}\right).
\end{align}
</math>
Оберненою функцією для лемніскатного косинуса є лемніскатний арккосинус.
Ця функція визначається наступним чином:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arccl} x=\int _{x}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\tfrac {1}{2}\varpi -\operatorname{arcsl} x.
\end{align}
</math>
Для <math>x</math> з інтервалу <math>-1\leq x\leq 1</math> отримуємо <math>\operatorname{sl} (\operatorname{arcsl} x)=x</math> та <math>\operatorname{cl} (\operatorname{arccl} x)=x</math>.

Для половини довжини лемніскатної дуги справедливі формули:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{2}\operatorname{arcsl} x\bigr)=\sin\bigl(\tfrac {1}{2}\arcsin x\bigr)\operatorname{sech}\bigl(\tfrac {1}{2}\operatorname{arsinh} x\bigr ),\\
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsl}x\bigr )^{2}=\operatorname{tg}\bigl (\tfrac {1}{4}\arcsin x^{2}\bigr).
\end{align}
</math>

===Співвідношення з використанням еліптичних інтегралів===
Лемініскатний арксинус і лемніскатний арккосинус також можна представити за допомогою форми Лежандра.

Ці функції можна представити безпосередньо, використовуючи неповний [[Еліптичні інтеграли|еліптичний інтеграл]] першого роду:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{arcsl} x=\frac {1}{\sqrt {2}}F\left(\arcsin\frac{\sqrt {2}x}{\sqrt {1+x^{2}}};\frac {1}{\sqrt {2}}\right),\\
&\operatorname{arcsl} x=2\big(\sqrt {2}-1\big)F\left(\arcsin\frac{\big(\sqrt {2}+1\big)x}{\sqrt {1+x^{2}}+1};\big(\sqrt {2}-1\big)^{2}\right).
\end{align}
</math>
Довжини дуг лемніскати також можна виразити лише за допомогою довжин дуг [[еліпс]]ів (обчислених за допомогою еліптичних інтегралів другого роду):
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcsl} x = {}&\frac{2+\sqrt2}{2}E\left({\arcsin}{\frac{(\sqrt2+1)x}{\sqrt{1+x^2}+1}};(\sqrt2-1)^2\right) \\[5mu]
&\ \ - E\left({\arcsin}{\frac{\sqrt2x}{\sqrt{1+x^2}}};\frac{1}{\sqrt2}\right) + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt2(1+x^2+\sqrt{1+x^2})}
\end{align}
</math>
Лемніскатний арккосинус має наступне співвідношення:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arccl} x=\tfrac{1}{\sqrt {2}}F\left(\arccos x;\tfrac{1}{\sqrt {2}}\right).
\end{align}
</math>

===Використання при інтегруванні===
Лемніскатну функцію можна використовувати для інтегрування багатьох функцій.
Ось список важливих інтегралів (константи інтегрування опущені):
:<math>
\begin{align}
&\int{\frac {1}{\sqrt{1-x^{4}}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl} x, \\
&\int{\frac {1}{\sqrt{\big(x^{2}+1\big)\big(2x^{2}+1\big)}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt{x^{4}+6x^{2}+1}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl}\frac{\sqrt {2}x}{\sqrt {\sqrt{x^{4}+6x^{2}+1}+x^{2}+1}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt{x^{4}+1}}}{\rm d} x=\sqrt {2}\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt {\sqrt {x^{4}+1}+1}},\\
&\int{\frac{1}{\sqrt[{4}]{\big(1-x^{4}\big)^{3}}}}{\rm d} x=\sqrt {2}\operatorname{arcsl} \frac {x}{\sqrt {1+\sqrt {1-x^{4}}}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(x^{4}+1\big)^{3}}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(1-x^{2}\big)^{3}}}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\frac {x}{1+\sqrt {1-x^{2}}},\\
&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(x^{2}+1\big)^{3}}}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt {{x^{2}+1}}+1},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(ax^{2}+bx+c\big)^{3}}}}{\rm d} x=\frac {2\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}\operatorname{arcsl}\frac{2ax+b}{\sqrt {4a\big(ax^{2}+bx+c\big)}+\sqrt {4ac-b^{2}}},\\
&\int{\sqrt{\operatorname{sech} x}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\big(\operatorname{th}\tfrac {1}{2}x\big), \\
&\int{\sqrt{\sec x}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\big(\operatorname{tg}\tfrac {1}{2}x\big).
\end{align}
</math>

==Гіперболічні лемніскатні функції==

[[File:The hyperbolic lemniscate sine and cosine functions of a real variable.png|thumb|upright=1.3|Функції гіперболічний лемніскатний синус (червоні лінії) і гіперболічний лемніскатний косинус (пурпурові лінії) дійсного аргументу в порівнянні з тригонометричним тангенсом (шриховані блідо-червоні лінії).]]
Гіперболічну лемніскату синуса <math>(\operatorname{slh})</math> і косинуса <math>(\operatorname{clh})</math> можна визначити за допомогою їх обернених функцій наступним чином:
:<math>
\begin{align}
z=\int _{0}^{\operatorname{slh} z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}=\int _{\operatorname{clh} z}^{\infty }{\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}.
\end{align}
</math>
Повний інтеграл набуває значення:
:<math>
\begin{align}
\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}=\tfrac {1}{4}{\rm B}\big(\tfrac {1}{4},\tfrac {1}{4}\big)=\tfrac{1}{\sqrt {2}}\varpi =1{,}85407\;46773\;01371\dots.
\end{align}
</math>
Тому дві визначені функції допускають наступне співвідношення:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} z=\operatorname{clh}\bigl(\tfrac {1}{\sqrt {2}}\varpi -z\bigr).
\end{align}
</math>
Добуток гіперболічного лемніскатного синуса і гіперболічного лемніскатного косинуса дорівнює одиниці:
:<math>
\begin{align}
\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1.
\end{align}
</math>
Гіперболічні лемніскатні функції можуть бути представлені через лемніскатний синус і лемніскатний косинус:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{slh}\bigl(\sqrt{2}x\bigr)=\frac {\big(1+\operatorname{cl}^{2}x\big)\operatorname{sl} x}{\sqrt {2}\operatorname {cl} x},\\
&\operatorname{clh}\bigl(\sqrt{2}x\bigr)=\frac {\big(1+\operatorname{sl}^{2}x\big)\operatorname{cl} x}{\sqrt {2}\operatorname {sl} x}.
\end{align}
</math>
Але також існує зв'язок із [[Еліптичні функції Якобі|еліптичними функціямі Якобі]] з еліптичним модулем <math>1/\sqrt {2}</math>:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} x=\frac {\operatorname{sn} \big(x;1/\sqrt {2}\big)}{\operatorname{cd} \big(x;1/\sqrt {2}\big)},\\
\operatorname{clh} x=\frac {\operatorname{cd} \big(x;1/\sqrt {2}\big)}{\operatorname {sn} \big(x;1/\sqrt {2}\big)}.
\end{align}
</math>
Гіперболічний лемніскатний синус допускає наступне уявне співвідношення із лемніскатним синусом:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} z=\frac {1-{\rm i}}{\sqrt{2}}\operatorname{sl}\left(\frac {1+{\rm i}}{\sqrt {2}}z\right)=\frac{\operatorname{sl} \left(\sqrt[{4}]{-1}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}.
\end{align}
</math>
Аналогічний зв'язок існує і між гіперболічним і тригонометричним синусом:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{sinh} z=-{\rm i}\sin({\rm i}z)=\frac {\sin \left(\sqrt[{2}]{-1}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}.
\end{align}
</math>

[[File:Quartic Fermat curve.png|thumb|upright=1.3|Відносно [[Крива Ферма|кривої Ферма]] четвертого порядку <math>x^{4}+y^{4}=1</math> гіперболічний лемніскатний синус є аналогогом тригонометричній функції тангенс.]]
[[Крива Ферма]] <math>x^{4}+y^{4}=1</math> (іноді називається {{нп|Квадратне коло|квадратним колом||Squircle}}) для гіперболічних лемніскатних синуса і косинуса є аналогом функцій тангенса й котангенса на одиничному колі <math>x^{2}+y^{2}=1</math> (квадратична крива Ферма).
Якщо початок координат і точка на кривій пов'язані між собою прямою <math>L</math>, то гіперболічний лемніскатний синус від подвоєнної площі обмеженої цією прямою і віссю <math>x</math> є <math>y</math>-координатою перетину прямої <math>L</math> із прямою <math>x=1</math>.<ref>Levin (2006), Robinson (2019b)</ref>

Гіперболічний лемніскатний синус задовольняє тотожність додавання аргументів:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} (a+b)=\frac {\operatorname{slh} a\sqrt {1+\operatorname {slh}^{4}b}+\operatorname {slh} b{\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}a}}}{1-\operatorname {slh}^{2}a\operatorname {slh}^{2}b}.
\end{align}
</math>
Похідна може бути виражена наступним чином:
:<math>
\begin{align}
\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{slh} x =\sqrt{1+\operatorname{slh}^{4}x}.
\end{align}
</math>

==Теорія чисел==
В [[Алгебраїчна теорія чисел|алгебричній теорії чисел]], будь-яке скінченне [[абелеве розширення]] {{нп|Гаусові раціональні числа|гаусових раціональних чисел||Gaussian rational}} <math>{\rm Q}({\rm i})</math> є [[Розширення поля|підполем]] поля <math>{\rm Q} ({\rm i},\operatorname {sl} (2\varpi /n))</math> для деякого натурального числа <math>n</math>.<ref>Cox and Hyde (2014)</ref><ref>Cox, David A. (2012). Galois Theory (Second ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-07205-9. p. 508,509</ref>
Це аналог [[Теорема Кронекера — Вебера|теореми Кронекера-Вебера]] для раціональних чисел <math>{\rm Q}</math>, яка базується на поділі кола — зокрема, будь-яке скінченне абелеве розширення поля <math>{\rm Q}</math> є підполем поля <math>{\rm Q} (\exp(2\pi {\rm i}/n))</math> для деякого натурального числа <math>n</math>.
Обидва випадки є частинними випадками проблеми Jugendtraum Кронекера, яка відома як {{нп|Дванадцята проблема Гільберта|дванадцята проблема Гільберта||Hilbert's twelfth problem}}.

[[Поле (алгебра)|Поле]] <math>{\rm Q} ({\rm i},\operatorname{sl} (\varpi /n))</math> (для додатних непарних <math>n</math>) є розширенням поля <math>{\rm Q}({\rm i})</math> породженого за допомогою <math>x</math>- та <math>y</math>-координат точок <math>(1+{\rm i})n</math>-[[Скрут (алгебра)|скруту]] на [[Еліптична крива|еліптичній кривій]] <math>y^{2}=4x^{3}+x</math>.<ref>Cox, David A. (2012). Galois Theory (Second ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-07205-9. p.508-509.</ref>

==Проєкція карти світу==
[[File:Peirce Quincuncial Projection 1879.jpg|thumb|upright=1.3|«Світ при квінкунціальній проєкції», Чарлз Сандерс Пірс (1879).]]
{{нп|Квінкунціальна проєкція Пірса|Квінкунціальна проєкція Пірса||Peirce quincuncial projection}}, розроблена [[Чарлз Сандерс Пірс|Чарльзом Сандерсом Пірсом]] із {{нп|Національна геодезична служба США|Національної геодезичної служби США||U.S. National Geodetic Survey}} в 1870-х роках, є [[Картографічна проєкція|проєкцією карти світу]], що базується на оберненій лемніскаті синуса [[Стереографічна проєкція|стереграфічно спроєктованих]] точок (що розглядаються як комплексні числа).<ref>Гут (1887) і Адамс (1925) ввели відповідно поперечні і скісні аспекти тієї ж проєкції, відповідно. Також дивись Лі (1976). Ці автори записали свої проєкційні формули в термінах еліптичних функцій Якобі з квадратною ґраткою.</ref>

Якщо прямі постійної дійсної або уявної частини проєктувати на комплексну площину за допомогою гіперболічного лемніскатного синусу, а звідки їх стереографічно проєктувати на сферу (див. [[Сфера Рімана|Сферу Рімана]]), то отримані криві є {{нп|Сферичні коніки|сферичними коніками||Spherical conic}}, сферичний аналог еліпсів і гіпербол на площині.<ref>Adams (1925)</ref> Таким чином, лемніскати функцій (і, у загальному випадку, [[еліптичні функції Якобі]]) забезпечують параметризацію для сферичних конік.

Конформну картографічну проєкцію земної кулі на 6 квадратних граней [[куб]]а також можна визначити за допомогою лемніскатних функцій.<ref>Adams (1925), Lee (1976).</ref>
Оскільки багато [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частинними похідними]] можна ефективно розв'язати за допомогою конформного відображення, то перетворення сфери в куб зручне для {{нп|Моделювання атмосфери|моделювання атмосфери||Atmospheric model}}.<ref>Rančić, Purser, Mesinger (1996); McGregor (2005).</ref>
==Див. також==
* [[Еліптична функція]]
** {{нп|Еліптична функція Абеля|Еліптична функція Абеля||Abel elliptic functions}}
** {{нп|Еліптична функція Діксона|Еліптична функція Діксона||Dixon elliptic functions}}
** [[Еліптичні функції Якобі|Еліптична функція Якобі]]
** [[Еліптичні функції Веєрштрасса|Еліптична функція Веєрштрасса]]
* {{нп|Еліптична сума Гаусса|Еліптична сума Гаусса||Elliptic Gauss sum}}
* [[Стала Гаусса]]
* {{нп|Квінкунціальна проєкція Пірса|Квінкунціальна проєкція Пірса||Peirce quincuncial projection}}
* {{нп|Відображення Крістофеля-Шварца|Відображення Крістофеля-Шварца||Schwarz–Christoffel mapping}}

== Примітки ==
{{примітки}}

==Зовнішні лінки==
* {{Cite episode |last1=Parker |first1=Matt |author-link1=Matt Parker |title=What is the area of a Squircle?|url=https://www.youtube.com/watch?v=gjtTcyWL0NA  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211219/gjtTcyWL0NA |archive-date=2021-12-19 |url-status=live|series=Stand-up Maths |date=2021 |network=YouTube }}{{cbignore}}

==Література==
{{refbegin|30em}}
* {{cite journal |last1=Abel |first1=Niels Henrik | authorlink1= Niels Henrik Abel| date=1827–1828 |title=Recherches sur les fonctions elliptiques |trans-title=Research on elliptical functions |language=fr |journal=Crelle's Journal |volume=1827 |issue=2 |pages=101–181 |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0002?tify={%22pages%22:[113]} |doi=10.1515/crll.1827.2.101 |s2cid=126159170 }} {{cite journal |last1=Abel |first1=Niels Henrik | display-authors=0 |title=Recherches sur les fonctions elliptiques|journal=Crelle's Journal |volume=1828 |issue=3 |pages=160–190 |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0003?tify={%22pages%22:[166]} |doi=10.1515/crll.1828.3.160 |s2cid=123647093 }}
* {{cite book |last1=Adams |first1=Oscar Sherman |date=1925 |title=Elliptic functions applied to conformal world maps |publisher=US Government Printing Office |issue=297 |url=ftp://ftp.library.noaa.gov/docs.lib/htdocs/rescue/cgs_specpubs/QB275U35no1121925.pdf }}
* {{cite journal |last1=Ayoub |first1=Raymond |date=1984 |title=The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals |url=https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1984_29_2/page/131 |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=29 |issue=2 |pages=131–149 |jstor=41133708 }}
* {{cite book |last1=Bottazzini |first1=Umberto |last2=Gray |first2=Jeremy |date=2013 |title=Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4614-5725-1 |isbn=978-1-4614-5724-4 }}
* Carlson, Billie C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* {{cite book |last1=Cox |first1=David Archibald |year=2012 |chapter=The Lemniscate |pages=[https://archive.org/details/galoistheoryseco00coxd/page/n492 463]–514 |title=Galois Theory |url=https://archive.org/details/galoistheoryseco00coxd |publisher=Wiley |isbn=978-1-118-21845-7 |doi=10.1002/9781118218457.ch15 }}
* {{cite journal |last1=Cox |first1=David Archibald |first2=Trevor |last2=Hyde |year=2014 |title=The Galois theory of the lemniscate |journal=Journal of Number Theory |volume=135 |pages=43–59 |url=http://www-personal.umich.edu/~tghyde/Cox,%20Hyde%20--%20Galois%20theory%20on%20the%20lemniscate.pdf |doi=10.1016/j.jnt.2013.08.006 |arxiv=1208.2653 |s2cid=119176369 }}
* {{cite book |last1=Enneper |first1=Alfred |date=1890  ed. 1876 |chapter=Note III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale. |trans-chapter=Historical notes on geometric applications of elliptic integrals |pages=524–547 |title=Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte |language=de |publisher=Nebert |chapter-url=https://archive.org/details/elliptischefunct00enneuoft/page/524/ }}
* {{cite journal |last1=Euler |first1=Leonhard |year=1761 |title=Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium |trans-title=Observations on the comparison of arcs of irrectifiable curves |journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volume=6 |pages=58–84 |language=la|url=https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/58/ }} [[Leonhard Euler#Selected bibliography|E]][https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/252/ 252]. ([https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/n617/ Figures])
* {{cite journal |last1=Euler |first1=Leonhard |year=1786 |title=De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione <math display=inline>y = \int xx\mathop{\mathrm{d}x} \big/ \sqrt{1-x^4}</math> contentae |trans-title=On the amazing properties of elastic curves contained in equation <math display=inline>y = \int xx\mathop{\mathrm{d}x} \big/ \sqrt{1-x^4}</math> |journal=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volume=1782 |issue=2 |pages=34–61 |language=la|url=https://archive.org/details/actaacademiae82impe/page/34/ }} E [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/605/ 605].
* {{cite journal |last1=Fagnano |first1=Giulio Carlo |date=1718–1723  |title=Metodo per misurare la lemniscata |trans-title=Method for measuring the lemniscate |journal= Giornale de' letterati d'Italia |language=it |volume=29 |pages=258–269 |url=https://archive.org/details/giornaledeletter1718roya/page/258/ }} {{cite journal |last1=Fagnano |first1=Giulio Carlo |display-authors=0 |title=Giunte al primo schediasma sopra la Lemniscata |journal= Giornale de' letterati d'Italia |year=1710 |volume=34 |pages=197–207 |url=https://archive.org/details/giornaledeletter1723roya/page/197 }} {{cite journal |last1=Fagnano |first1=Giulio Carlo |display-authors=0 |title=Metodo per misurare la lemniscata, schediasma II |journal= Giornale de' letterati d'Italia |year=1710 |volume=30 |pages=87–111 |url=https://archive.org/details/giornaledelette1718roya_0/page/87 }} Reprinted in {{cite book |last1=Fagnano |date=1911 1850 |title=Opere Matematiche, vol. 2 |at=papers 32, 33, and 34, pp. 293–313 |publisher=Allerighi e Segati |url=https://archive.org/details/operematfagnano02itws0006/page/n322/ }} ([https://archive.org/details/operematfagnano02itws0006/page/n498/ Figures])
* {{cite book |last1=Greenhill |first1=Alfred George |year=1892 |title=The Applications of Elliptic Functions| publisher= MacMillan |url=https://archive.org/details/applicationselli00greerich/page/n5/ }}
* {{cite journal| last1=Guyou |first1=Émile |date=1887 |title=Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator |trans-title=New system of projection of the sphere |journal=Annales Hydrographiques |series=Série 2 |volume=9 |pages=16–35 |language=fr |url=https://www.retronews.fr/journal/annales-hydrographiques/1-janvier-1887/1877/4868382/23 }}
* {{cite book |last1= Houzel |first1=Christian |date=1978 |chapter=Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes |trans-chapter=Elliptic functions and Abelian integrals |editor-last=Dieudonné |editor-first= Jean |title= Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700–1900. II |publisher=Hermann |pages=1–113 |language=fr}}
* {{cite journal |last1=Hyde |first1=Trevor |year=2014 |title=A Wallis product on clovers |journal=The American Mathematical Monthly |volume=121 |issue=3 |pages=237–243 |url=https://math.uchicago.edu/~tghyde/Hyde%20--%20A%20Wallis%20product%20on%20clovers.pdf |doi=10.4169/amer.math.monthly.121.03.237 |s2cid=34819500 }}
* {{cite journal |last1=Kubota |first1=Tomio  |date=1964 |title=Some arithmetical applications of an elliptic function |journal=Crelle's Journal |volume=1964 |issue=214/215 |pages=141–145 |doi=10.1515/crll.1964.214-215.141 |s2cid=115823187 }}
* {{cite journal |last1=Langer |first1=Joel C. |first2=David A. |last2=Singer |year=2010 |title=Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem |journal=Milan Journal of Mathematics |volume=78 |issue=2 |pages=643–682 |url=https://case.edu/artsci/math/langer/jlpreprints/fortyeight2010.pdf |doi=10.1007/s00032-010-0124-5 |s2cid=1448521 }}
* {{cite journal |last1=Langer |first1=Joel C. |first2=David A. |last2=Singer |year=2011 |title=The lemniscatic chessboard |journal=Forum Geometricorum |volume=11 |pages=183–199 |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201119index.html }}
* {{cite book |last1=Lawden |first1=Derek Frank |title=Elliptic Functions and Applications |series=Applied Mathematical Sciences |date=1989 |volume=80 |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-1-4757-3980-0 |isbn=978-1-4419-3090-3 }}
* {{cite book |last1=Lee |first1=Laurence Patrick |date=1976 |title=Conformal Projections Based on Elliptic Functions |publisher=University of Toronto Press |series=''Cartographica'' Monograph |volume=16 |isbn=9780919870161 |url=https://archive.org/details/conformalproject0000leel |url-access=limited}}
* {{cite techreport |last1=Levien |first1=Raph |year=2008 |title=The elastica: a mathematical history |number=UCB/EECS-2008-103 University of California at Berkeley |url=https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-103.pdf}}
* {{cite journal |last1=Levin |first1=Aaron |title=A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant |journal=The American Mathematical Monthly |date=2006 |volume=113 |issue=6 |pages=510–520 |doi=10.2307/27641976 |jstor=27641976 }}
* {{cite journal |last1=Lindqvist |first1=Peter |last2=Peetre |first2=Jaak |title=Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals |journal=The American Mathematical Monthly |date=2001 |volume=108 |issue=5 |pages=403–410 |doi=10.1080/00029890.2001.11919766 |url=https://people.math.osu.edu/lang.162/book/LiPe3.pdf |jstor=2695794 |s2cid=43677974 }}
* {{cite book |last1=Markushevich |first1=Aleksei Ivanovich |title=The Remarkable Sine Functions |date= 1966 |publisher=Elsevier |url=https://archive.org/details/markushevich-the-remarkable-sine-functions/ }}
* {{cite book |last1=Markushevich |first1=Aleksei Ivanovich |title=Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions |series=Translations of Mathematical Monographs |date=1992 |volume=96 |publisher=American Mathematical Society |doi=10.1090/mmono/096 |isbn=9780821841648 }}
*{{cite techreport | last1=McGregor |first1= John L. |date=2005 |title=C-CAM: Geometric Aspects and Dynamical Formulation CSIRO Oceans and Atmosphere|number=70}}
* {{cite book |last1=McKean |first1=Henry |last2=Moll |first2=Victor |date=1999 |title=Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic |publisher=Cambridge |isbn=9780521582285}}
* {{cite book |last1=Milne-Thomson |first1=Louis Melville |date=1964 |contribution=16. Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions |pages=567–585 |contribution-url=https://archive.org/details/handbookofmathem00abra/page/567/ |editor1-first=Milton |editor1-last=Abramowitz |editor2-first=Irene Ann |editor2-last=Stegun |title=Handbook of Mathematical Functions |title-link=Abramowitz and Stegun |publisher=National Bureau of Standards }}
* {{cite journal |last1=Neuman |first1=Edward |year=2007 |title=On Gauss lemniscate functions and lemniscatic mean |journal=Mathematica Pannonica |volume=18 |issue=1 |pages=77–94 |url=http://mathematica-pannonica.ttk.pte.hu/articles/mp18-1/MP18-1(2007)pp077-094.pdf }}
* {{cite journal |last1=Nishimura |first1=Ryo |title=New properties of the lemniscate function and its transformation |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |date=2015 |volume=427 |issue=1 |pages=460–468 |doi=10.1016/j.jmaa.2015.02.066 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X15001870 }}
* {{cite journal |last1=Ogawa |first1=Takuma |title=Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point |journal=Tsukuba Journal of Mathematics |date=2005 |volume=29 |issue=1 |doi=10.21099/tkbjm/1496164894 |url=https://projecteuclid.org/journals/tsukuba-journal-of-mathematics/volume-29/issue-1/Similarities-between-the-trigonometric-function-and-the-lemniscate-function-from/10.21099/tkbjm/1496164894.full }}
* {{cite journal |last1=Peirce |first1=Charles Sanders |date=1879 |title=A Quincuncial Projection of the Sphere |journal=American Journal of Mathematics |volume=2 |issue=4 |pages=394–397 |doi=10.2307/2369491 |jstor=2369491 |url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1879_2/page/n403/mode/2up}}
* {{cite book |last=Popescu-Pampu |first=Patrick |date=2016 |title=What is the Genus? |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=2162 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-3-319-42312-8|isbn=978-3-319-42311-1 }}
* {{cite book |last1=Prasolov |first1=Viktor |last2=Solovyev |first2=Yuri |date=1997 |chapter=4. Abel's Theorem on Division of Lemniscate |title=Elliptic functions and elliptic integrals |series=Translations of Mathematical Monographs |volume=170 |publisher=American Mathematical Society. |doi=10.1090/mmono/170 |isbn=9780821805879 }}
* {{cite journal| last1=Rančić |first1=Miodrag |last2=Purser |first2=R. James | last3=Mesinger |first3=Fedor |date=1996 |title=A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates |journal=Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society |volume=122 |issue=532 |pages=959–982 |doi=10.1002/qj.49712253209 |bibcode=1996QJRMS.122..959R }}
* William P.; Walker, Peter L. (2010), "22. Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* William P.; Walker, Peter L. (2010), "23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* {{cite journal |last1=Robinson |first1=Paul L. |title=The Lemniscatic Functions |date=2019a |arxiv=1902.08614 }}
* {{cite journal |last1=Robinson |first1=Paul L. |title= The Elliptic Functions in a First-Order System |date=2019b |arxiv=1903.07147 }}
* {{cite journal |last1=Rosen |first1=Michael |title=Abel's Theorem on the Lemniscate |journal=The American Mathematical Monthly |date=1981 |volume=88 |issue=6 |pages=387–395 |doi=10.2307/2321821 |jstor=2321821 }}
* {{cite book  |chapter=Some milestones of lemniscatomy  |last1=Schappacher |first1=Norbert |date= 1997 |editor1-last=Sertöz |editor1-first=S. |title=Algebraic Geometry |type=Proceedings of Bilkent Summer School, August 7–19, 1995, Ankara, Turkey |publisher=Marcel Dekker |pages=257–290 | chapter-url=http://irma.math.unistra.fr/~schappa/NSch/Publications_files/1997_LemniscProvis.pdf}}
* {{cite journal |last1=Schneider |first1=Theodor |date=1937 |title=Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale |trans-title=Arithmetic investigations of elliptic integrals |language=de |journal=Mathematische Annalen |volume=113 |issue=1 |pages=1–13|doi=10.1007/BF01571618 |s2cid=121073687 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002278537 }}
* {{cite journal |last1=Schwarz |first1= Hermann Amandus | date=1869 |title=Ueber einige Abbildungsaufgaben |trans-title=About some mapping problems |language=de |journal=Crelle's Journal |volume= 1869 |issue= 70 |pages= 105–120 |url=https://archive.org/details/sim_journal-fuer-die-reine-und-angewandte-mathematik_1869_70/page/105 |doi=10.1515/crll.1869.70.105 |s2cid= 121291546 }} 
* {{cite book |mr=0257326 |last1=Siegel |first1=Carl Ludwig |title=Topics in Complex Function Theory, Vol. I |chapter=1. Elliptic Functions |pages=1–89 |publisher=Wiley-Interscience |date=1969 |isbn=0-471-60844-0}}
* {{cite thesis |last1=Snape |first1=Jamie |year=2004 |chapter=Bernoulli's Lemniscate |pages=50–56 |title=Applications of Elliptic Functions in Classical and Algebraic Geometry |chapter-url=https://www.jamiesnape.io/publications/mmath/ |publisher=University of Durham}}
* {{cite book |last1=Southard |first1=Thomas H. |date=1964 |contribution=18. Weierstrass Elliptic and Related Functions |pages=627–683 |contribution-url=https://archive.org/details/handbookofmathem00abra/page/627/ |editor1-first=Milton |editor1-last=Abramowitz |editor2-first=Irene Ann |editor2-last=Stegun |title=Handbook of Mathematical Functions |title-link=Abramowitz and Stegun |publisher=National Bureau of Standards }}
* {{cite journal| first1=Ramaiyengar |last1=Sridharan |date=2004| title=Physics to mathematics: from lintearia to lemniscate – I| journal=Resonance |volume=9 |issue=4 |pages=21–29 |doi=10.1007/BF02834853 |s2cid=122132138 |url=https://www.ias.ac.in/public/Volumes/reso/009/04/0021-0029.pdf }} {{cite journal |first1=Ramaiyengar |last1=Sridharan |display-authors=0 |title=From lintearia to lemniscate II: Gauss and Landen's Work |journal=Resonance |year=2004 |volume=9 |issue=6 |pages=11–20 |doi=10.1007/BF02839214 |s2cid=121521515 |url=https://www.ias.ac.in/public/Volumes/reso/009/06/0011-0020.pdf }}
* {{cite journal |last1=Todd |first1=John |title=The lemniscate constants |journal=Communications of the ACM |date=1975 |volume=18 |issue=1 |pages=14–19 |doi=10.1145/360569.360580 |s2cid=85873 }}
* {{cite journal |last1=Vigren |first1=Erik |last2=Dieckmann |first2=Andreas |title=Simple Solutions of Lattice Sums for Electric Fields Due to Infinitely Many Parallel Line Charges |journal=Symmetry |date=21 червня 2020 |volume=12 |issue=6 |pages=1040 |doi=10.3390/sym12061040 |bibcode=2020Symm...12.1040V |doi-access=free }}
* {{cite book |last1=Whittaker |first1=Edmund Taylor |last2=Watson |first2=George Neville |date= 1920  ed. 1902 |chapter=22.8 The lemniscate functions |pages=524–528 |chapter-url=https://archive.org/details/courseofmodernan00whit/page/524/ |edition=3rd |title=A Course of Modern Analysis |title-link=A Course of Modern Analysis |publisher= Cambridge }}
{{refend}}

[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:1718 у науці]]