Перегляд вихідного коду сторінки Лемніската Бернуллі

[[Зображення:Lemniscate of Bernoulli.svg|thumb|400px|right|Лемніската і її фокуси]]
{{unibox}}'''Лемніската Бернуллі''' ({{lang-el | λημνίσκοζ}} — пов'язка)&nbsp;— плоска [[алгебрична крива]], яку можна означити як  [[геометричне місце точок]] <math>P</math>, для кожної з яких добуток відстаней до двох заданих точок <math>F_1</math> та <math>F_2</math> ([[фокус]]ів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Тобто, для кожної точки <math>P</math> лемніскати виконується рівність:
::<math>PF_1 \cdot PF_2 = c^2</math>.
де <math>2 c</math>&nbsp;— відстань між фокусами <math>F_1 F_2</math>.

Назва походить з [[Стародавній Рим|античного Риму]], де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на [[Піфійскі ігри|спортивних іграх]]. Цю лемніскату називають в честь [[швейцарія|швейцарського]] математика [[Якоб Бернуллі|Якоба Бернуллі]], який поклав початок її вивченню в 1694 році.

Лемніската Бернуллі&nbsp;— алгебрична крива 4 порядку. Є окремим випадком [[Овал Кассіні|овалів Кассіні]] та [[Синусоїдальна спіраль|синусоїдальних спіралей]].

== Рівняння ==
Нехай фокуси лемніскати Бернуллі знаходяться на осі <math>Ox</math> в точках <math>F_1(-c;0)</math> і <math>F_2(c;0)</math>. Відстань між фокусами дорівнює <math>2c</math>, а точка <math>O</math>&nbsp;— [[початок координат]] ділить відрізок між фокусами навпіл.
Тоді наступні рівняння задають лемніскату Бернуллі:
* в [[прямокутні координати|прямокутних координатах]] в неявному виді:
: <math>\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2)</math>

{{Hider|
  title = Вивід|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Візьмемо довільну точку <math>M(x;y)</math>. Добуток відстаней від фокусів до точки <math>M</math> є 
:<math>\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}</math>,
і за означенням вона дорівнює <math>c^2</math>:
:<math>\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=c^2</math>
Піднесемо в квадрат дві частини рівності:
:<math>\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=c^4</math>
Розкриємо дужки в лівій частині:
:<math>\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=c^4</math>
Розкриємо дужки і згорнемо новий квадрат суми
:<math>\textstyle (x^2+y^2)^2-2x^2c^2+2y^2c^2=0</math>
Винесемо спільний множник і перенесемо:
:<math>\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)</math>
Далі можна зробити заміну <math>a^2=2c^2</math>:
:<math>\textstyle (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)</math>
}}
: Зробивши нескладні перетворення, можна отримати  рівняння у явному вигляді:
: <math>\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}</math>
{{Hider|
  title = Вивід|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: <math>\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)</math>
Піднесемо в квадрат і розкриємо дужки:
: <math>\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4=2c^{2}x^2-2c^{2}y^2</math>
Приведемо до вигляду
: <math>\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2=0</math>
Це [[квадратне рівняння]] відносно <math>y^2</math>. Розв'язавши його, отримаємо 
: <math>\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{c^4+2x^{2}c^2}</math>
Добувши корінь і відкинувши варіант з від'ємною другою змінною, отримаємо:
: <math>\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}</math>
де додатній варіант визначає верхню половину лемніскати, від'ємний&nbsp;— нижню.
}}
* в [[полярні координати|полярних координатах]]:
: <math>\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.</math>
Крива визначена при <math>\varphi \in \left [ 0,\frac{\pi}{4} \right ] \cup \left [ \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \right ] \cup \left [ \frac{7\pi}{4}, 2\pi \right ]</math> ;

або ж при <math> \varphi \in \left [-\frac{\pi}{4} ,\frac{\pi}{4} \right ] \cup \left [ \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \right ] </math>

{{Hider|
  title = Вивід|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
: <math>\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)</math>
Використовуючи формули переходу до [[полярні координати|полярної]] системи координат <math>x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,</math> отримаємо:
: <math>\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2=2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)</math>
Винесемо спільні множники і використаємо [[тригонометричні тотожності|тригонометричну тотожність]] <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>:
: <math>\textstyle\rho^4=2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)</math>
Використаємо ще одну тотожність: <math>\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha</math>:
: <math>\textstyle\rho^4=2c^2 \rho^2\cos 2\varphi</math>
Поділимо на <math>\rho^2</math>, вважаючи, що <math>\rho\neq 0</math>:
: <math>\textstyle\rho^2=2c^2\cos 2\varphi</math>
Як і в випадку прямокутної системи можна замінити <math>a^2=2c^2</math>:
: <math>\textstyle\rho^2=a^2\cos 2\varphi</math>
}}
* [[Параметричне рівняння]] в прямокутній декартовій системі координат:
: <math>\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}</math>, де <math>p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)</math>

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити [[Геометричне перетворення|перетворення координат]], при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

{{Hider|
  title = Приклад|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
[[Зображення:Moved Lemniscate.png|right|300px]]
Нехай, наприклад, <math>F_1(-1;2),\,F_2(2;-2)</math> — фокуси.

Існує [[прямокутні координати|прямокутна]] система координат (на рисунку&nbsp;— <math>\textstyle x''Oy''</math>), в якій рівняння лемніскати має вигляд 
:<math>\textstyle \Big((x'')^2 + (y'')^2\Big)^2 - 2c^2 \Big((x'')^2 - (y'')^2\Big) = 0</math>
Необхідно визначити перетворення системи координат, що переводить <math>\textstyle xOy</math> в <math>\textstyle x''Oy''</math>. Це перетворення здійснюється в два етапи: [[паралельне перенесення]] і поворот.

Середина відрізка <math>F_1F_2</math>&nbsp;— <math>\textstyle F\left (\frac{1}{2};0\right )</math>, значить паралельний перенос тільки на <math>\textstyle+\frac{1}{2}</math> по осі <math>OX</math>:
:<math>\begin{cases}x'=x-x_0 \\ y'=y-y_0\end{cases}=\begin{cases}x'=x-\frac{1}{2} \\ y'=y\end{cases}</math>

Після переносу системи координат її потрібно повернути на деякий кут. Для визначення кута спочатку знайдемо відстань між фокусами:
:<math>2c=|F_1 F_2|=\sqrt{(2+1)^2+(-2-2)^2}=5</math>
значить <math>c=\frac{5}{2},\,2c^2=\frac{25}{2}</math>.

Тепер із геометричних міркувань знайдемо синус і косинус кута нахилу <math>F_1 F_2</math> до осі <math>OX</math>:
:<math>\sin\alpha=\frac{-2-2}{5}=-\frac{4}{5},\,\,(\alpha\approx -53^\circ)</math>
:<math>\cos\alpha=\frac{2-(-1)}{5}=\frac{3}{5}</math>
Формули перетворення:
:<math>\begin{cases}x''=x'\cos\alpha+y'\sin\alpha \\ y''=-x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\end{cases}=\begin{cases}x''=\frac{3}{5}x'-\frac{4}{5}y' \\ y''=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y'\end{cases}</math>

Поєднавши обидва перетворення, отримаємо скінченні формули переходу:
:<math>\begin{cases}x''=\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y \\ y''=\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\end{cases}</math>

Для того, щоб отримати рівняння в стандартній системі координат, підставимо ці співвідношення в вихідне рівняння кривої:
:<math>\textstyle \bigg(\Big(\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y\Big)^2 + \Big(\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\Big)^2\bigg)^2 - 2c^2 \bigg(\Big(\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y\Big)^2 - \Big(\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\Big)^2\bigg) = 0</math>
Після перетворень:
:<math>x^4+y^4+24xy-2xy^2+2x^2y^2-2x^3+5x^2-4x-3y^2-12y+\frac{15}{16}=0</math>
Це рівняння задає лемніскату з фокусами <math>F_1(-1;2),\,F_2(2;-2)</math> в стандартній прямокутній системі координат.
}}

* {{Не перекладено|Рівняння Чезаро||en|Cesàro equation}} для лемніскати Бернуллі має вигляд:{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.156}} {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.819}} 
: <math>\ell = 3 \cdot \int \frac{dR}{\sqrt{\left ( \frac{3}{c} \cdot R \right )^4 - 1}} </math>
де <br/>
<math> \rho </math>&nbsp;— радіус кривини лемніскати Бернуллі в певній точці; <br/>
<math> \ell </math>&nbsp;— довжина дуги лемніскати від її початку до цієї точки.

== Властивості та особливості форми ==
[[Зображення:Lemniscate1.png|300px|right|Лемніската, вписана в коло]]
* Для довільної точки <math>P</math> лемніскати Бернуллі з фокусами <math>F_1</math> та <math>F_2</math> справедливе наступне твердження (альтернативне означення лемніскати):
:<math>\rm|PF_1-PF_2|=OP\,\sqrt2.</math>
де <math>O</math> — середина відрізка <math>F_1 F_2</math>.
{{Hider|
  title = Доведення|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>\begin{align}\rm(PF_1-PF_2)^2&=\rm PF_1^2+PF_2^2-2\,PF_1\cdot PF_2\\
&=\rm(OP^2+OF_1^2-2\,OP\cdot OF_1\cos\theta)+(OP^2+OF_2^2+2\,OP\cdot OF_2\cos\theta)-2\,PF_1\cdot PF_2\\
&=\rm2(OP^2+OF_1^2-PF_1\cdot PF_2)\end{align}</math>

Отже :

<math> PF_1\cdot PF_2=OF_1^2 \Leftrightarrow (PF_1-PF_2)^2=2\,OP^2 </math>
}}
* Лемніската&nbsp;— [[алгебрична крива]] четвертого порядку.
* Вона має дві осі [[симетрія|симетрії]]: пряма, на якій лежить <math>F_1 F_2</math>, і [[серединний перпендикуляр]] цього відрізка; для розглянутого випадку&nbsp;— вісь <math>Oy</math>.
* Точка, де лемніската перетинає саму себе, називається ''вузловою'' чи ''подвійною'' точкою.

Для розглянутого випадку подвійною точкою лемніскати є початок координат.
* [[Дотична|Дотичні]] в подвійній точці лемніскати&nbsp;— прямі <math>y= \pm x</math>, складають з відрізком <math>F_1F_2</math> кути <math>\textstyle\pm\frac{\pi}{4}</math> і є взаємно перпендикулярними. {{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.155}}
* Кут <math>\mu</math> між дотичною до лемніскати в її довільній точці радіус-вектором точки дотику дорівнює: {{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.156}}
:<math>\mu = 2 \varphi + \frac{\pi}{2}</math>.
* Дотичні до лемніскати, які проведені на кінцях хорди, що проходить через її подвійну точку, паралельні між собою.
* Кут між перпендикуляром, проведеним до дотичної із початку координат, та полярною віссю втричі більший за полярний кут <math>\varphi</math> точки дотику. Таким чином, лемніскату можна використовувати для [[Трисекція кута|трисекції кута]].{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.156}}

* Лемніската Бернуллі перетинає вісь <math>Ox</math> в точках 
<math>A(c \cdot \sqrt{2} ; 0)</math> та <math>B(-c \cdot \sqrt{2} ; 0)</math>.
* Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:
*:<math>\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}</math>
* Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі <math>Oy</math> в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.

* [[Інверсія (геометрія)|Інверсія]] лемніскати <math>\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.</math> з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в синусоїдальну спіраль  <math>\textstyle \rho^{-2} = 2c^2 \cos 2\varphi.</math>, тобто в [[рівнобічна гіпербола|рівнобічну гіперболу]].{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.157}}
* [[Подера|Подерою]] лемніскати Бернуллі є [[cинусоїдальна спіраль]] 
<math>\textstyle \rho^{\frac{2}{3}} = (\sqrt{2}c)^{\frac{2}{3}} \cos \left ( \frac{2}{3} \varphi \right )</math>

Лемніската в свою чергу є подерою рівнобічної гіперболи.
* Лемніската є геометричним місцем точок, що симетричні з центром рівнобічної гіперболи, по відношенню до її дотичних. {{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.157}}
* Кінематично лемніскату можна отримати як траекторію середини великої ланки шарнірного [[Антипаралелограм|антипаралелограма]], протилежна ланка якого нерухомо закріплена.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.158}}
* Відрізок бісектриси кута між фокальними радіусами-векторами точки лемніскати дорівнює відрізку від центру лемніскати до перетину її осі з цією бісектрисою. {{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.158}}
* Геометричне місце проєкцій центрів кривини лемніскати на відповідні радіуси-вектори є також лемніската, рівняння якої: 
: <math>\textstyle \rho^2 = \frac{4}{9}c^2 \cos 2\varphi.</math>

== Метричні характеристики ==
Нехай лемніската Бернуллі задана рівнянням в  [[полярні координати|полярній сисемі координат]]: <math>\rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi</math>. Тоді:
* Довжина дуги лемніскати між точками, що відповідають полярним кутам <math>0 \le \varphi \le \varphi_1</math>:
: <math>\ell = c\cdot \int_0^{\varphi_1} \frac{d \varphi}{\sqrt{1- 2 \sin^2\varphi}}</math>
Виконавши заміну <math>2 \sin^2\varphi = \sin^2\theta</math>, приводимо інтеграл до виду:
: <math>\ell = \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \int_0^{\theta_1} \frac{d \theta}{\sqrt{1- \frac{1}{2} \sin^2\theta}} = \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot F \left ( \frac{1}{\sqrt{2}}, \theta\right )</math>
де <math>F \left ( k, \theta\right )</math> — неповний еліптичний інтеграл 1-го роду.

Довжина всієї лемніскати Бернуллі:
: <math>\ell = 4 \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \theta}{\sqrt{1- \frac{1}{2} \sin^2\theta}} = 4 \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot K \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )</math>
де <math>K \left ( k \right )</math> — повний еліптичний інтеграл 1-го роду.


* [[Площа]] полярного [[Сектор (геометрія)|сектора]], що відповідає кутам <math>\varphi\in[0,\varphi]</math>, при <math>\textstyle 0\le \varphi \le\frac{\pi}{4}</math>: {{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.159}}
*:<math>S(\varphi) = \frac{c^2}{2} \cdot \sin (2 \varphi)</math>.
Перпендикуляр, проведений із фокуса лемніскати на радіус-вектор будь-якої її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.159}}

Площа кожної петлі: 
<math>2 \cdot S \left( \frac{\pi}{4} \right)=c^2</math>.

Тобто, площа, обмежена всією лемніскатою Бернуллі дорівнює площі квадрата зі стороною <math>c \sqrt{2}</math>.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.159}}

** [[Кривина (математика)|Радіус кривини]] лемніскати Бернуллі в довільній її точці можна обчислити за формулою: 
: <math>\textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho} = \frac{\rho}{3\cos 2\varphi} = \frac{N}{3}</math>.
де <math>\rho</math>&nbsp;— радіус-вектор цієї точки.
<math>N</math>&nbsp;— довжина полярної нормалі.

Тобто радіус кривини в довільній точці лемніскати втричі менший за довжину полярної нормалі в цій точці.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.156}}
{{Hider|
  title = Вивід|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =

Рівняння лемніскати в полярній системі:
: <math>\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}</math>

Формули переходу до полярної системи координат:
: <math>\begin{cases}x=\rho\cos{\varphi} \\ y=\rho\sin{\varphi}\end{cases}</math>

Виразимо <math>\textstyle\rho</math>:
: <math>\begin{cases}\rho=\frac{x}{\cos{\varphi}} \\ \rho=\frac{y}{\sin{\varphi}}\end{cases}</math>

Підставимо в рівняння лемніскати і виразимо <math>x</math> і <math>y</math>:
: <math>\begin{cases}\frac{x^2}{cos^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi} \\ \frac{y^2}{sin^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi}\end{cases}=
\begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases}</math>

— це параметричне рівняння відносно <math>\varphi</math>. Проводячи деякі [[тригонометричні тотожності|тригонометричні перетворення]], можна отримати рівняння відносно <math>\textstyle p</math>
Формула радіуса кривизни кривої, заданої параметрично:
: <math>R=\frac{\Big((x')^2+(y')^2\Big)^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}</math>

Знайдемо похідні по <math>\varphi</math>:
: <math>x'=c\sqrt{2}\left ( -\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\cos{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=-c\sqrt{2}\frac{\sin{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}</math>

: <math>x''=-c\sqrt{2}\frac{3\cos{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\sin{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\cos{\varphi}+\cos{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}}</math>

: <math>y'=c\sqrt{2}\left ( -\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\sin{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=c\sqrt{2}\frac{\cos{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}</math>

: <math>y''=c\sqrt{2}\frac{-3\sin{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\cos{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\sin{\varphi}+\sin{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}}</math>

Підставимо в формулу радіуса:
: <math>R=\ldots=\frac{\left (\frac{2c^2}{cos{2\varphi}}\right )^{3/2}}{\frac{6c^2}{\cos{2\varphi}}}=\frac{c\sqrt{2}}{3\sqrt{\cos{2\varphi}}}</math>

Повернемося до рівняння лемніскати:
: <math>\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}\,\,\Rightarrow\,\,\sqrt{\cos{2\varphi}}=\frac{\rho}{c\sqrt{2}}</math>

Підставимо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримаємо:
: <math>R=\frac{2c^2}{3\rho}</math>
}}

== Побудова ==
[[Файл:Lemniscate Building.gif|thumb|Побудова лемніскати з допомогою трьох відрізків. <math>AC=BD=\sqrt{2}a,CD=2a</math>]]

=== З допомогою трьох відрізків ===
Це один із найпростіших і найшвидших способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань. 

На площині вибираються дві точки — <math>A</math> і <math>B</math>&nbsp;— майбутні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох відрізків, скріплених в одну лінію так, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох місцях (точки вигину — <math>C</math> та <math>D</math>). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків: <math>\textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB</math>. Кінці лінії закріплюються до фокусів. При [[непаралельне повертання|непараллельному повертанні]] відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описуватиме лемніскату Бернуллі.

=== За допомогою січних (спосіб [[Колін Маклорен|Маклорена]]) ===

Будується коло радіуса <math>\textstyle\frac{c}{\sqrt{2}}</math> з центром в одному із фокусів. Із середини <math>O</math> фокусного відрізка будується довільна січна <math>OPS</math> (<math>P</math> i <math>S</math> — точки перетину з колом), і на ній в обидві сторони відкладаються відрізки <math>OM_1</math> і <math>OM_2</math>, рівні [[хорда|хорді]] <math>PS</math>. Точки <math>M_1</math>, <math>M_2</math> лежать на різних петлях лемніскати.

==Застосування==
* Лемніската використовується як перехідна лінія на заокругленнях малого радіуса на залізничних коліях в гірничій місцевості, а також трамвайних коліях.
* Еквіпотегційні лінії поля, яке створюється двома паралельними токами, що протікають вздовж нескінченно довгих провідників, в площині, яка перпендикулярна до них, в окремих випадках є лемніскатами.
* Як довів Бонаті, Лемніската є кривою, що володіє тією властивістю, що матеріальна точка великої ваги, виходячи із стану спокою, під дією сили тяжіння переміщається по дузі лемніскати за той самий час, що і по відповідній хорді. При цьому, центр лемніскати збігається з початковим положенням рухомої точки, а її вісь нахилена щодо вертикалі під кутом 45°.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp| стор.161-162}}

== Див. також ==
* [[Лемніската]]
* [[Овал Кассіні]]
* [[Синусоїдальна спіраль]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{cite book
 | last1 = Gutenmacher Victor
 | last2 = Vasilyev N. B.
 | doi = 
 | isbn = 
 | location = Moskou
 | page = 240
 | publisher = Mir Publishers
 | title = Straight Lines and Curves
 | year = 1980
 | url = https://archive.org/details/StraightLinesAndCurves/page/n141/mode/1up
 | ref = Gutenmacher V.
}}
* {{Книга| автор= Выгодский М.Я.
| заголовок= Справочник по высшей математике
| видання= изд.10
| видавництво= Наука| рік=1973
| isbn=
| місце= москва
| посилання= http://flibusta.site/b/744132
| ref= Выгодский М.Я.}}

* {{Книга| автор= Савелов А.А.
| заголовок= Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство).
| видання=
| видавництво= изд. физико-математической литературы| рік=1960
| isbn=
| місце= москва
| посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/52872
| ref= Савелов А.А.}}

* {{cite book | author= Robert C. Yates 
| title=A Handbook on Curves and their Properties 
| publisher=digital reprint by www.CircuitousRoot.com 
| year=1947 
| isbn=
| pages= 198
| url=https://archive.org/details/YatesHandbookCurves1947/page/n123/mode/1up 
| ref= Robert C. Yates }}

* {{cite book | author= Lockwood E. H. (Edward Harrington)
| title=A Book of Curves
| publisher=Cambridge, Eng. : University Press 
| year=1961
| isbn= 9780511569340
| pages= 198
| url= https://books.google.com.ua/books/about/Book_of_Curves.html?id=VI8MwwEACAAJ&redir_esc=y
| ref= Lockwood E. H. }}

== Посилання ==
* {{MathWorld|title=Lemniscate|urlname=Lemniscate}}
* {{MacTutor|class=Curves|id=Lemniscate|title=Lemniscate}}
* Robert FERRÉOL,  [https://mathcurve.com/courbes2d.gb/lemniscate/lemniscate.shtml LEMNISCATE OF BERNOULLI] на сайті [https://mathcurve.com/ ], 2017
* {{springer|title=Bernoulli_lemniscate|oldid=55730}} *[http://web.unife.it/progetti/geometria/divulg/Funzioniellittiche/Fagnano.htm Fagnano e gli archi di lemniscata] (Фаньяно та довжина дуги лемніскати) (італ.)

{{math-stub}}

[[Категорія:Криві]]
[[Категорія:1694 у науці]]