Перегляд вихідного коду сторінки Ланцюги Маркова з неперервним часом

У [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] ланцюгом Маркова з неперервним часом називається [[випадковий процес]] { ''X''(t) : ''t'' &ge; 0 } визначений у неперервному часовому проміжку, що приймає значення у деякій скінченній чи зліченній множині і задовольняє [[властивість Маркова]]. Відмінність цього виду ланцюгів Маркова від [[ланцюги Маркова|дискретних ланцюгів Маркова]] полягає в тому, що переходи між станами можуть відбуватися в будь-які моменти часу і час наступного переходу теж є [[Випадкова величина|випадковою величиною]].


== Формальне означення ==


Випадковий процес <math>\{X_t\}_{t \geqslant 0}</math>, що приймає значення в деякій скінченній чи зліченній множині називається ланцюгом Маркова (з неперервним часом), якщо
: <math>\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_s = x_s,\; 0 < s \leqslant t ) = \mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t)</math>.

Ланцюг Маркова  з неперервним часом називається однорідним якщо:
: <math>\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t) = \mathbb{P}(X_{h} = x_{h} \mid X_0 = x_0)</math>.

=== Матриця перехідних функцій і рівняння Колмогорова — Чепмена ===

Як і у дискретному випадку Ланцюги Маркова з неперервним часом повністю визначаються заданням початкового розподілу
: <math>\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top},\; p_i = \mathbb{P}(X_0 = i),\quad i=1,2,\ldots</math>
іматрицею перехідних функцій (''перехідних ймовірностей'')
: <math>\mathbf{P}(h)=(P_{ij}(h)) = \mathbb{P}(X_h = j \mid X_0 = i)</math>.
Матриця перехідних ймовірностей задовільняє [[рівняння Чепмена-Колмогорова|рівнянню Колмогорова — Чепмена]]: <math>\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s)</math> або
: <math>P_{ij}(t+s)=\sum_k P_{ik}(t)P_{kj}(s)</math>.

=== Матриця інтенсивностей ===
За визначенням , матриця інтенсивностей <math>\mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{I}}{h}</math>

чи еквівалентно:

: <math>\mathbf{Q}=(q_{ij})=\left(\frac{dP_{ij}(h)}{dh}\right)_{h=0}</math>.
Із рівняння Колмогорова-Чепмена випливають:
*'''Пряме рівняння Колмогорова''' 
*:<math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},</math>
*'''Обернене рівняння Колмогорова''' 
*:<math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).</math>
Для обох рівнянь початковим наближенням є <math>\mathbf{P}(0)=\mathbf{I}</math>. Відповідний розв'язок рівний: <math>\mathbf{P}(t)=\exp(\mathbf{Q}t).</math>

== Див. також ==
*[[Ланцюги Маркова]]
*[[Марківський процес]]


== Література ==
*S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], 1993. ISBN 0-387-19832-6.
*J. R. Norris. Markov Chains.  [[Cambridge University Press]], 1997. ISBN ISBN 0-521-48181-3 
 
[[Категорія:Теорія випадкових процесів]]