Перегляд вихідного коду сторінки Кільце Зариського

У [[Комутативна алгебра|комутативній алгебрі]] '''кільцем Зариського''' називається топологічне кільце для якого [[База околів|базою околів]] нуля є степені деякого [[Ідеал (алгебра)|ідеалу]], що задовольняє певні умови. Поняття такого кільця вперше ввів [[Оскар Зариський]], назву кільця Зариського вперше ввів П'єр Самуель.

== Означення ==
[[Кільце Нетер]] ''R'' називається '''кільцем Зариського''' щодо ідеалу ''R'' в ''R'', якщо ''R'' є топологічним кільцем для якого степені ідеалу ''I''<sup>''n''</sup> утворюють [[База околів|базу околів]] нуля і ''I'' є підмножиною [[Радикал Джекобсона|радикалу Джекобсона]] кільця ''R''.

Якщо ''R'' є кільцем Зариського щодо ідеалу ''I'' то воно є кільцем Зариського щодо будь-якого ідеалу, який має той же [[Радикал ідеалу|радикал]], що і ''I''. 

[[Топологія]] кільця Зариського завжди є [[Гаусдорфів простір|гаусдорфовою]].

== Приклади ==

* Нетерове [[локальне кільце]] щодо свого [[Максимальний ідеал|максимального ідеалу]].
* Нетерове кільце ''R'', що має лише скінченну кількість максимальних ідеалів <math>\mathfrak{m}</math>, щодо їх перетину. Таке кільце називається напівлокальним.
* Нетерове кільце ''R'', що є повним гаусдорфовим простором у своїй ''I''-топології. Дійсно, будь-який елемент <math>1 - m \  (m \in I)</math> множини <math>1 + I</math> є [[Оборотний елемент|оборотним]], оскільки елемент <math>1 + m + m^2 + \ldots + m^n + \ldots</math> є для нього [[Обернений елемент|оберненим]]. Зокрема, якщо ''R'' — кільце нетер і ''I'' — ідеал в ''R'', такий, що ''R'' є гаусдорфовим простором у своїй ''I''-топології, то його поповнення <math>\hat R</math> є кільцем Зариського, оскільки воно теж є нетеровим.
* [[Фактор-кільце]] ''R''/''J'' кільця Зариського є кільцем Зариського щодо ідеалу (''I'' + ''J'')/''J''.

== Властивості ==
Нехай ''R'' — топологічне нетерове кільце, топологія якого породжена ідеалом ''I''. Тоді еквівалентними є такі твердження, які можна використати в означенні кільця Зариського:

* Ідеал ''I'' міститься в [[Радикал Джекобсона|радикалі Джекобсона]] (перетині всіх [[Максимальний ідеал|максимальних ідеалів]]) кільця ''R''.
* Для будь-якого [[Скінченнопороджений модуль|скінченнопородженого]] ''R''-модуля ''E'' і його підмодуля ''F'', підмодуль ''F'' є [[Замкнута множина|замкнутим]] щодо ''I''-топології в ''E'', тобто <math>F = \bigcap_{n=1}^\infty (F + I^nE).</math>
* Кільце ''R'' є гаусдорфовим простором в своїй топології, і для кожного скінченнопородженого ''R''-модуля ''E'' і його підмодуля ''F'' виконується рівність <math>F = \hat A F \cap E.</math>
* Кожен скінченнопороджений ''R''-модуль ''E'' (зокрема, саме кільце ''R'') є гаусдорфовим простором у своїй топології.
* Кожен ідеал в ''R'' є [[Замкнута множина|замкнутою множиною]] у топології кільця ''R''.
* Кожен елемент із множини 1 + ''I'' є оборотним в ''R''.
* Для будь-якого скінченнопородженого ''R''-модуля ''E'' із рівності ''IE'' = ''E'' випливає ''E'' = 0.

Окрім того для кілець Зариського виконуються такі властивості

* Нехай ''R'' — кільце Зариського щодо ідеалу ''I''. Для того щоб кільце ''R'' було напівлокальним необхідно і достатньо, щоб [[фактор-кільце]] ''R''/''I'' було [[Кільце Артіна|кільцем Артіна]]. Для того щоб кільце ''R'' було локальним необхідно і достатньо щоб додатково у кільці ''R''/''I'' був єдиний [[простий ідеал]].
* Нехай ''R'' — кільце Зариського щодо ідеалу ''I''. Якщо ''f'' — лінійне відображення деякого ''R''-модуля ''E'' в ''R''-модуль ''F'', то ''f'' є [[Рівномірна неперервність|рівномірно неперервним]] щодо ''I''-топологій, тому що <math>f(I^nE) \subset I^nF.</math> Тому, ''f'' можна єдиним способом продовжити до неперервного відображення <math>\hat f</math> між поповненнями <math>\hat E</math> і <math>\hat F</math>. Відображення <math>\hat f</math> є <math>\hat R</math>-лінійним.
* Нехай ''R'' — кільце Зариського і <math>E  \;\xrightarrow{\ f\ }\;  F  \;\xrightarrow{\ g\ }\;  G</math> — [[точна послідовність]] скінченнопороджених ''R''-модулів і ''R''-лінійних відображень. Тоді послідовність <math>\hat E \;\xrightarrow{\ \hat f\ }\;  F  \;\xrightarrow{\ \hat g\ }\;  G</math> є точною.

== Див. також ==

* [[Поповнення (комутативна алгебра)]]

== Література == 

* {{Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру}}
* {{Бурбаки.Коммутативная алгебра}}
* {{Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том2}}
* {{citation|mr=0054995|last=Samuel|first=Pierre|title=Algèbre locale|url=http://www.numdam.org/issue/MSM_1953__123__1_0.pdf|series=Mémor. Sci. Math.|volume=123|publisher=Gauthier-Villars|place=Paris|year=1953|accessdate=8 квітня 2019|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125111623/http://www.numdam.org/issue/MSM_1953__123__1_0.pdf}}
* {{Citation|last1=Zariski|first1=Oscar|author1-link=Оскар Зариський|title=Generalized semi-local rings|mr=0022835|year=1946|journal=Summa Brasil. Math.|volume=1|issue=8|pages=169–195}}

{{Ізольована стаття}}
[[Категорія:Комутативна алгебра]]