Перегляд вихідного коду сторінки Кільце Дедекінда

'''Кільце Дедекінда''' — [[область цілісності]] ''R'' в якій кожен ненульовий власний [[ідеал (алгебра)|ідеал]] представляється у вигляді добутку [[простий ідеал|простих ідеалів]]. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені [[Ріхард Дедекінд|Ріхарда Дедекінда]], який їх вивчав у 70-их роках [[19 століття]]. При цьому означенні [[Поле (алгебра)|поля]] є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем. 
 
== Приклади ==

*Кожна [[кільце головних ідеалів|область головних ідеалів]] є кільцем Дедекінда. 
*Якщо ''R'' є кільцем Дедекінда, ''L'' — [[скінченне розширення|скінченне]] [[алгебраїчне розширення]] його [[поле часток|поля часток]], то [[ціле розширення кільця|ціле замикання]] ''R<sup>'</sup>'' кільця ''R'' в ''L'' знову буде кільцем Дедекінда. 
*Дедекіндовими є кільце [[ціле алгебраїчне число|цілих алгебраїчних чисел]] і максимальні порядки полів [[алгебраїчне число|алгебраїчних чисел]], тобто цілі замикання  [[кільце цілих чисел|кільця цілих чисел]] в скінченних алгебраїчних розширеннях поля [[раціональне число|раціональних чисел]]. 

== Еквівалентні означення ==

Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда. 
*Комутативна [[область цілісності]] є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли  
#''R'' є [[кільце Нетер|кільцем Нетер]], 
#кожен власний [[простий ідеал]] кільця ''R'' [[максимальний ідеал|максимальний]], 
#''R'' [[Цілозамкнута область|цілозамкнуте кільце]], тобто рівне своєму цілому замиканню в [[Поле часток|полі часток]]. 

:Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, [[розмірність Круля]] якого рівна одиниці. 
*Кільце ''R'' є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли [[напівгрупа]] дробових ідеалів цього кільця є [[група (алгебра)|групою]]. Кожен [[дробовий ідеал]] кільця Дедекінда ''R'' можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця ''R''. 

*Кільце Дедекінда ''R'' можна охарактеризувати також як [[кільце Круля]] розмірності один. 

* Кільцем Дедекінда називається [[Кільце Нетер|нетерова]] область цілісності для якої всі [[Локалізація кільця|локалізації]] по простих ідеалах є [[Кільце дискретного нормування|кільцями дискретного нормування]]. 
* Кільцем Дедекінда називається область цілісності для якої локалізація по кожному максимальному ідеалу є [[Кільце дискретного нормування|кільцем дискретного нормування]] і кожен ненульовий елемент належить лише скінченній кількості простих ідеалів. 
* Кільцем Дедекінда називається область цілісності ''R'' кожен ідеал якої є [[Проективний модуль|проективним модулем]] над ''R.'' 

== Властивості ==
* Для кільця Дедекінда ''R'' виконується так звана [[китайська теорема про залишки]]: для даного скінченного набору ідеалів ''I<sub>i</sub>'' і елементів ''x<sub>i</sub>'' кільця ''R, i=1,2,...,n'' система порівнянь  <math>x \equiv x_i \pmod {I_i}</math> має розв'язок <math>x \in R</math> тоді і тільки тоді, коли <math>x_i \equiv x_j \pmod {I_i + I_j}</math>, для <math>i \neq j</math>.
* Для будь-якої мультиплікативної підмножини <math>S</math> у кільці Дедекінда <math>R</math> локалізація <math>R_S</math> теж є кільцем Дедекінда.
* Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є [[Кільце головних ідеалів|кільцем головних ідеалів]].
* [[Фактор-кільце]] кільця Дедекінда за будь-яким ненульовим ідеалом є кільцем головних ідеалів.
* Кільце Дедекінда є [[Факторіальне кільце|факторіальним кільцем]] [[тоді й лише тоді]], коли воно є кільцем головних ідеалів.
* Нехай <math>R</math> — кільце Дедекінда, <math>I</math> — його ненульовий ідеал і <math>a \in I</math> — довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент <math>b \in I</math>, що елементи <math>a, b</math> породжують <math>I</math>. Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
* Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють [[Група (математика)|групу]]. [[Фактор-група]] цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається [[Група класів ідеалів|групою класів ідеалів]]. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної [[Абелева група|абелевої групи]] <math>G</math> існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна <math>G</math>. Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.

== Модулі над кільцем Дедекінда ==
Для кілець Дедекінда існує [[Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів|структурна теорема скінченнопороджених модулів]] яка є близькою до такої теореми для кілець головних ідеалів.

Нехай <math>R</math> — кільце Дедекінда і <math>M</math> — скінченнопороджений модуль над ним. Нехай <math>T \subset M</math> позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів <math>m \in M</math>, що <math>rm = 0</math> для деякого <math>0 \neq r \in R</math>. Тоді <math>M = T \oplus P</math>, де <math>P</math> — модуль без кручень.

Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.

Для модуля кручень <math>T \cong R/I_1 \oplus \ldots \oplus R/I_n</math>, де для ідеалів виконуються включення <math>I_i \supseteq I_{i+1}</math>. Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.

Для модулів без кручень <math>P \cong R^n \oplus I</math>, де <math>I</math> — ідеал кільця і <math>R^n \oplus I \cong R^m \oplus J \iff n = m \;\land \; I \cong J.</math>

== Див. також ==
* [[Область Прюфера]]
* [[Диферентний ідеал]]

== Посилання ==
* [http://www.imath.kiev.ua/~drozd/numth.pdf Теорія алгебричних чисел. Конспект лекцій КНУ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150117035939/http://www.imath.kiev.ua/~drozd/numth.pdf |date=17 січня 2015 }}

== Література ==
* {{книга
 |автор          = Боревич&nbsp;3.&nbsp;И., Шафаревич&nbsp;И.&nbsp;Р.
 |заголовок      = Теория чисел
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Москва
 |видання        = 2-е изд
 |видавництво    = 
 |рік            = 1972
 |том            = 
 |сторінок       = 
 |сторінки       = 
 |isbn           = 
}}{{ref-ru}}
*{{Бурбаки.Коммутативная алгебра}}
*{{Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1}}
*{{Курош.Лекции по общей алгебре}} 

[[Категорія:Теорія кілець]]
[[Категорія:Алгебраїчна теорія чисел]]