Перегляд вихідного коду сторінки Кільце (алгебра)

{{Otheruses}}
{{Алгебричні структури|ring}}
'''Кільце́'''&nbsp;— в [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] це [[алгебрична структура]], в якій визначено дві [[бінарна операція|бінарні операції]] з властивостями, подібними до додавання і множення [[цілі числа|цілих чисел]]. Властивості кілець вивчає [[теорія кілець]].

== Означення та нотація ==
Кільце <math>\ R</math>&nbsp;— це [[множина]] з двома [[бінарна операція|бінарними операціями]], що зазвичай позначаються «<math>+</math>» та «<math>\cdot</math>» і називаються додаванням та множенням, яка задовольняє такій системі [[аксіома|аксіом]]:

* <math>(R,+)</math> є [[комутативність|комутативною]] [[Група (математика)|групою]]. Її називають ''адитивною групою кільця'' і [[нейтральний елемент]] у ній позначають як <math>0</math> ('''нуль''');
* <math> a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c, \quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c </math> ([[дистрибутивність]] додавання відносно множення);
* <math> a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c </math> ([[асоціативність]] множення);
* в <math>(R,\cdot)</math> існує нейтральний елемент <math>1</math> ('''одиниця'''), що задовольняє: <math>a\cdot 1=1\cdot a=a.</math>

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею '''унітарними кільцями''' або '''кільцями з одиницею'''.

Розглядаються також кільця, в яких не задовольняється асоціативність множення, наприклад, [[алгебра Лі|кільця (або алгебри) Лі]]. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають '''асоціативними кільцями'''.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють вимогу [[комутативність|комутативності]] множення <math>a\cdot b=b\cdot a,</math> називають '''комутативними кільцями'''. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце [[матриця (математика)|матриць]] чи [[Кватерніони|кватерніонів]].

Символ <math>\cdot</math> зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, <math>a+bc</math> є скороченим записом <math>a+b\cdot c</math>.

Якщо для двох елементів кільця <math>a</math> та <math>b</math> виконується рівність <math> ab = ba = 1,</math> то кажуть, що <math>b</math> є '''оберненим''' елементом до <math>a</math> відносно множення. В цьому випадку елемент <math>b</math> однозначно визначається елементом <math>a</math> і позначається <math>b=a^{-1}</math> (звичайно, маємо також, що <math>a=b^{-1}</math>).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з <math>a b = 0</math> витікає, що або <math>a = 0</math>, або <math>b = 0</math>, то кажуть про '''кільце без дільників нуля'''. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають '''цілісним'''.

== Приклади ==

* [[Цілі числа]] <math>\Z</math> із звичайними [[додавання]]м і [[множення]]м утворюють комутативне кільце.

* Якщо <math>n</math>&nbsp;— будь-яке натуральне число, то множина <math>\Z/n\Z</math> [[залишок|залишків]] (<math>\operatorname{mod}n</math>) утворює комутативне [[кільце залишків]] з <math>n</math> елементів. Якщо <math>n=p</math>&nbsp;— [[просте число]], то <math>\Z/p\Z</math> є [[Поле (алгебра)|полем]].

* [[Раціональне число|Раціональні]], [[Дійсне число|дійсні]] та [[Комплексне число|комплексні числа]] є полями, тобто комутативними кільцями, в яких для кожного ненульового елемента існує [[обернений елемент]].

* [[Многочлен|Поліноми]] однієї змінної <math>x</math> із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається <math>\Z[x].</math> Додавання та множення поліномів&nbsp;— почленні, тобто

{{center|<math>
(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0)+(b_n x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots+(a_0+b_0),
</math>}}

{{center|<math>
(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0)\cdot(b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\ldots+b_0)=
a_n b_m x^{n+m}+(a_n b_{m-1}+a_{n-1} b_m) x^{n+m-1}+\ldots+a_0 b_0.
</math>}}

Комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної з раціональними, дійсними або комплексними коефіцієнтами.

* Для будь-якого натурального <math>N</math>, множина всіх <math>N\times N</math> [[Матриця (математика)|матриць]] із цілими елементами утворює кільце, яке позначається <math>M_{N}(\Z).\ </math> Це кільце&nbsp;— некомутативне, якщо <math>N\geqslant 2.</math>

* [[Кватерніони]]&nbsp;— некомутативне кільце. На відміну від кільця матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.

* [[Групова алгебра]] <math>\Z[G]</math> довільної [[Група (математика)|групи]] <math>G</math>&nbsp;— це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх [[теорія зображень|зображень]], до відповідних питань про кільця. Кільце <math>\Z [G]</math>&nbsp;— комутативне [[Тоді й лише тоді|тоді, і тільки тоді]], коли <math>G</math>&nbsp;— комутативна група.

== Властивості кілець ==

* Якщо кільце містить більше одного елемента, то <math>0 \ne 1</math>;
* <math>0\cdot a=a\cdot 0=0</math>;
* <math>(-1)\cdot a= -a</math>;
* <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},</math> якщо <math>a</math> і <math>b</math> обидва мають обернені елементи. Отже, множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається <math>R^{\times}</math>.
: Наприклад, <math>\Z^{\times}=\{1,-1\}\simeq\Z/2\Z</math>&nbsp;— [[циклічна група]] порядку <math>2.</math>

== Ідеали ==

Непорожня підмножина <math>I</math> кільця ''<math>R</math>'' називається '''правим ідеалом''', якщо:

* з <math>a,b \in I</math> випливає <math>a-b \in I</math>;
* з <math>a \in I</math> випливає <math>a r \in I</math> для будь-якого <math>r \in R</math>. Інакше кажучи, ідеал містить усі ''праві кратні'' <math>a r</math>.
'''Ліві ідеали''' визначаються подібно, з заміною правих кратних на ліві кратні <math>r a</math>. <br/>Нарешті, '''двосторонній ідеал'''&nbsp;— це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом. <br/>Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про '''ідеал'''.

Приклади ідеалів у комутативних кільцях:
* ''нульовий ідеал'', що містить лише нуль;
* ''одиничний ідеал'', що містить усі елементи кільця;
* ''ідеал <math>(a)</math>, породжений елементом <math>a</math>'', що складається з усіх його кратних елементів <math>ra</math>, де <math>r \in R</math>.

<math>(a)</math>&nbsp;— найменший серед ідеалів, які містять елемент <math>a</math>. Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент <math>a</math>. Наприклад, ідеал <math>(2)</math> у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел. Так само можна побудувати ідеал <math>(a_1,a_2,\ldots,a_n)</math>, породжений кількома елементами <math>a_1,a_2,\ldots,a_n</math>, як сукупність сум вигляду <math>\sum{r_i a_i}</math>, де <math>r_i \in R</math>, або як перетин усіх ідеалів кільця ''<math>R</math>'', які містять елементи <math>a_1,a_2,\ldots,a_n</math>. У цьому випадку кажуть, що елементи <math>a_1,a_2,\ldots,a_n</math> складають ''базис'' цього ідеалу.

'''Головний ідеал'''&nbsp;— це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали завжди головні, бо вони породжені нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа в кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів)&nbsp;— найбільшому спільному дільникові.

Множина [[простий ідеал|простих ідеалів]] кільця <math>A</math> називається [[Спектр кільця|спектром кільця]] й позначається <math>\mathrm{Spec}\,A.</math> Прості ідеали називаються точками спектру. Наприклад, <math>\mathrm{Spec}\,\Z</math> складається із простих ідеалів (2), (3), (5), (7), (11), … й нульового ідеалу. Або нехай <math>\mathcal{O}_{x}</math>&nbsp;— локальне кільце точки <math>x</math> на незвідній [[алгебрична крива|алгебричній кривій]]. <math>\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{x}</math> складається з двох точок&nbsp;— максимального й нульового ідеалу.

Розгляньмо гомоморфізм кілець <math>\varphi:A\rightarrow B,</math> який переводить одиницю одного кільця в одиницю іншого. Для будь-якого простого ідеалу кільця <math>B</math> його [[Образ відображення|прообраз]] це простий ідеал <math>A</math>. Зіставлення будь-якому простому ідеалу його прообразу визначає відображення <math>{}^{a}\varphi:\mathrm{Spec}\,B\rightarrow\mathrm{Spec}A,</math> яке називається асоційованим із [[гомоморфізм]]ом <math>\varphi</math>. Наприклад, спектр кільця [[Гауссові числа|гауссових чисел]] <math>\Z[i],\,\,i^{2}-1,</math> представляється за допомогою [[Занурення (топологія)|імерсії]] <math>\varphi:\Z\rightarrow\Z[i],</math> яка визначає відображення <math>{}^{a}\varphi:\mathrm{Spec}\,\Z[i]\rightarrow\mathrm{Spec}\,\Z.</math>

Нехай <math>\omega</math> та <math>\omega'</math> це точки <math>\mathrm{Spec}\,\Z</math> та <math>\mathrm{Spec}\,\Z[i],</math> які відповідають нульовим ідеалам. Таким чином, <math>(\varphi)^{-1}\omega=\omega'.</math> Інші точки відповідають простим числам.

<math>(\varphi)^{-1}(p)</math> складається з простих ідеалів кільця <math>\Z[i],</math> які ділять <math>p.</math> Усі такі ідеали є головними ідеалами (їх 2), якщо <math>p=1(\mod4),</math> та один, якщо <math>p=2\lor p=3(\mod 4).</math>
[[Файл:Erhherhherrheher.tif|центр|безрамки|343x343пкс]]
<br/>

== Евклідові кільця та кільця головних ідеалів ==
{{Main|Евклідове кільце}}

'''Евклідове кільце'''&nbsp;— це цілісне кільце, в якому для кожного елемента <math>a \ne 0</math> визначено число <math>g(a) \ge 0</math> з такими властивостями:
* Для будь-яких елементів кільця <math>ab \ne 0</math>, <math>b \ne 0</math> справедливо <math>g(ab) \ge g(a)</math>.
* Якщо елемент <math>a \ne 0</math>, то будь-який елемент <math>b</math> можна подати у вигляді
: <math>b=aq+r</math>,
де або <math>r=0</math>, або <math>g(r)<g(a)</math>.<br/>Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ''ділення з остачею'' в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел <math>g(a)=|a|</math> ([[Модуль (математика)|абсолютна величина]]), для многочленів <math>g(a)=\deg(a)</math> ([[степінь многочлена]]). Кільця названі на честь [[Евклід]]а, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як [[алгоритм Евкліда]]. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести таку теорему:

'''Теорема'''. ''В евклідовому кільці кожен ідеал є головним.''

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називається '''кільцем головних ідеалів'''. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

== Конструювання нових кілець з даних ==

* Якщо підмножина ''<math>S</math>'' кільця <math>(R,+,\cdot)</math> разом з операціями «<math>+</math>» та «<math>\cdot</math>», обмеженими ''<math>S</math>'', сама є кільцем, і нейтральний елемент <math>1\in R</math> міститься в ''<math>S</math>'', тоді ''<math>S</math>'' називають ''[[підкільце]]м'' кільця <math>(R,+,\cdot)</math>.
* ''Центром кільця'' ''<math>R</math>'' називають множину елементів ''<math>R</math>'', що комутують з кожним елементом з ''<math>R</math>''; таким чином, <math>c</math> міститься в центрі кільця, якщо <math>cr=rc</math> для кожного <math>r\in R</math>. Центр є підкільцем кільця ''<math>R</math>''. Кажемо, що підкільце ''<math>S</math>'' кільця ''<math>R</math>'' є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця ''<math>R</math>''.
* ''Прямою сумою'' двох кілець ''<math>R</math>'' і ''<math>S</math>'' називаємо [[Декартів добуток множин|декартів добуток]] ''<math>R\times S</math>'' разом із операціями

: <math>(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2)</math> та
: <math>(r_1,s_1)\cdot(r_2,s_2)=(r_1\cdot r_2,s_1\cdot s_2)</math>.

* Якщо дано кільце ''<math>R</math>'' та ідеал ''<math>I</math>'' кільця ''<math>R</math>'', кільце відношень (або ''[[фактор-кільце]]'') ''<math>R/I</math>'' є множиною суміжних класів ''<math>I</math>'' разом з операціями

: <math>(a+I)+(b+I)=(a+b)+I</math> та
: <math>(a+I)\cdot(b+I)=(a\cdot b)+I</math>.

* Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток ''<math>R</math>'' над кільцем ''<math>S</math>'' із іншим кільцем ''<math>T</math>'' і отримати інше кільце, якщо ''<math>S</math>'' є центральним підкільцем ''<math>R</math>'' та ''<math>T</math>''.
* До будь-якого кільця ''<math>R</math>'', можна ''приєднати змінну <math>x</math>'' і отримати <math>R[x]</math>&nbsp;— [[кільце многочленів]] над ''<math>R</math>''. Послідовно приєднуючі змінні, можна отримати <math>R[x_1, x_2, \ldots, x_n]</math>&nbsp;— кільце многочленів від <math>n</math> змінних над кільцем ''<math>R</math>''.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Напівкільце]]
* [[Поле (алгебра)]]
* [[Банахова алгебра]]
* [[Групове кільце]]

== Джерела ==
* {{Бурбаки.Алгебра.ч3}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Бондаренко.Теорія кілець}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Теорія кілець| ]]