Перегляд вихідного коду сторінки Кут

{{Otheruses}}
[[Файл:Angle Symbol.svg|thumb|Символ кута]]
[[Файл:Angles-13a.png|thumb|Побудова кута величиною 55° з використанням [[транспортир]]а]]
'''Кут''' плоский (площинний)&nbsp;— [[геометрична фігура]], утворена двома [[промінь (геометрія)|променями]] (''сторонами'' кута), які виходять з однієї [[точка|точки]], що називається ''[[Вершина (геометрія)|вершиною кута]]''<ref>[http://leksika.com.ua/14160117/ure/kut «Кут»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160605054003/http://leksika.com.ua/14160117/ure/kut |date=5 червня 2016 }} // {{УРЕ}}</ref>.

Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо [[точка|точки]] О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою відстані між двома променями, що виходять з однієї точки<ref>[http://cde.kpi.kharkov.ua/cdes/Yak/2_LP/4/index.htm 4.1 Фізичні величини, пов'язані з простором та часом] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130322100806/http://cde.kpi.kharkov.ua/cdes/Yak/2_LP/4/index.htm |date=22 березня 2013 }} / Нормалізована українська науково-технічна термінологія.</ref> або мірою повороту променя. Таке визначення дозволяє узагальнити поняття кута: залежно від напрямку обертання розрізняють додатні й від'ємні кути, розглядають кути, більші від розгорнутого і повного, кути, рівні нулю тощо. В [[тригонометрія|тригонометрії]] це дозволяє вивчати [[тригонометричні функції]] для будь-якого значення [[аргумент]]у.

Поняття кута узагальнюється також на різні об'єкти, що розглядаються в [[стереометрія|стереометрії]] (див. нижче).

== Позначення ==
[[Файл:Name of angles.svg|thumb|Позначення кута]]
Для позначення кутів в [[планіметрія|планіметрії]] найчастіше використовуються три великі латинські літери, середня з яких відповідає вершині, а дві інші разом із вершиною задають промені. Для того, щоб відрізнити позначення кута від позначення [[трикутник]]а перед трьома літерами ставиться знак <math> \angle </math><ref>Знак <math> \angle </math> вперше був запропонований у 1634 році французьким математиком П'єром Ерігоном ({{lang-fr|Pierre Hérigone}}).</ref>. Наприклад, <math>\angle \text{ABC}</math> означає кут з вершиною в точці B і променями BA та BC. У зв'язку з вибором в математиці напрямку відліку кутів проти годинникової стрілки, точки, що лежать на сторонах в позначенні кута, прийнято перераховувати також у напрямі проти стрілки годинника. Кут можна позначати також однією великою латинською літерою, що відповідає його вершині в тому випадку, коли це не призводить до неоднозначності.

Для зручності оперування з кутами деякі кути на [[рисунок|рисунках]] та [[креслення]]х і в формулах позначають малими грецькими літерами ({{math|α, β, γ, θ, φ}} тощо), перед якими знак кута не ставиться. Для позначення [[Тілесний кут|тілесних кутів]] (див. нижче) найчастіше використовують літери {{math|ω}} та {{math|Ω}}.

На схемах кути позначаються малими одинарними, подвійними або потрійними дужками, що проходять по внутрішній області кута з центрами у вершині кута. Рівність кутів може відзначатися однаковою кратністю дужок або однаковою кількістю поперечних штрихів на дужці. Якщо необхідно вказати напрямок відліку кута, він відзначається стрілкою на дужці. Прямі кути відзначаються не дужками, а двома сполученими рівними відрізками, розташованими так, що разом зі сторонами вони утворюють невеликий квадрат, одна з вершин якого збігається з вершиною кута.

== Конгруентність ==
Для порівняння кутів використовується поняття [[Конгруентність (геометрія)|конгруентності]], що є аналогом поняття [[відношення еквівалентності|рівності]] для [[число|чисел]]. Два кути називаються конгруентними, якщо їх можна сумістити за допомогою операцій [[ізометрія (математика)|ізометрії]]: переносу, обертання і дзеркального відбиття, тобто таких операцій, при яких не змінюється віддаль між будь-якими точками на площині.

Для порівняння кутів необхідно сумістити їхні вершини, й один із двох променів для кожного кута. Якщо при цьому другі промені теж накладаються один на одного, то ці кути конгруентні. Якщо при накладанні вершин і одного з променів простір, обмежений сторонами кута α повністю поміщається в просторі, обмеженому сторонами кута β, то кут α менший від кута β, і, відповідно, кут β більший від кута α.

Нестрого й неформально конгруентні кути називають рівними.

== Вимірювання ==
[[Файл:Angle measure.svg|thumb|Мірою кута є відношення довжини дуги ''S'' до радіуса ''r'']]
[[Файл:45, -315, and 405 co-terminal angles.svg|thumb|Ілюстрація від'ємних кутів та кутів, більших від повного]]

=== Одиниці вимірювання кутів у SI ===
{{Main|Радіан}}
У міжнародній системі одиниць [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] використовується спосіб вираження величини кута, за якого кут&nbsp;— безрозмірнісна величина. Цей спосіб вимірювання базується на означенні [[радіан]]а<ref name=DSTU3651_1>[http://zakon5.rada.gov.ua/laws/show/z1022-15. Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 №&nbsp;914.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190820095306/https://zakon5.rada.gov.ua/laws/show/z1022-15. |date=20 серпня 2019 }} Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.</ref>. За цього значення кута за означенням дорівнює відношенню довжини [[Дуга кола|дуги]] ''S'' кола з центром у вершині кута і будь-яким радіусом до величини цього радіуса ''r''. Це відношення не залежить від вибору радіуса. Кут величиною 1 радіан визначається як такий, за якого відношення довжини дуги до радіуса дорівнює одиниці, тобто довжина дуги дорівнює радіусу. Безрозмірнісні величини кутів зручно використовувати у [[тригонометрія|тригонометрії]].

=== Позасистемні одиниці вимірювання кутів ===
{{main|Градус, мінута, секунда}}
Традиційно кути вимірюють у кутових [[градус (геометрія)|градусах]], [[мінута]]х і [[кутова секунда|секундах]]. При цьому [[розгорнутий кут]] ділиться на 180 градусів, кожен із [[градус (геометрія)|градусів]] ділиться на 60 [[мінута|мінут]], кожна з мінут на 60 [[кутова секунда|секунд]]. Градуси позначаються значком&nbsp;°, наприклад, 37°, мінути штрихами, а секунди подвійними штрихами.

Кут можна розглядати і як фігуру, утворену обертанням променя, починаючи з певного початкового положення. Тоді, залежно від напрямку обертання, величина кута може набувати як додатних, так і від'ємних значень. За домовленістю вважається, що при обертанні променя проти годинникової стрілки величина кута зростає від нуля до додатних значень. При обертанні за годинниковою стрілкою величина кута зменшується, набуваючи від'ємних значень.

Такий підхід дозволяє також розглядати значення кутів, більші від повного кута, якщо промінь здійснить більше від одного оберту. Це зручно в [[тригонометрія|тригонометрії]] та [[фізика|фізиці]].
[[Файл:Compass Card B+W.svg|thumb|right|Шкала [[компас]]а]]
[[Файл:Nederlands verkeersbord J6.svg|thumb|right|Позначення кута нахилу дороги на [[дорожній знак|дорожньому знаку]]]]
У [[морська справа|морській справі]] кути вимірюються у [[румб]]ах. 1 румб дорівнює {{frac|1|32}} від повного кола (360 градусів) компаса, тобто 11,25 градуса чи 11°15′.

В [[астрономія|астрономії]] кут [[Пряме піднесення|прямого піднесення]] і [[годинний кут]] в [[Екваторіальна система координат|екваторіальній системі координат]] вимірюються в годинах, мінутах і секундах (що становлять відповідно {{frac|1|24}}, {{frac|1|1440}} та {{frac|1|86400}} від повного кола); це пов'язане з [[Кутова швидкість|кутовою швидкістю]] осьового обертання Землі, яка робить ''приблизно'' 1 оберт за 24 години<ref>В дійсності істинний період обертання Землі відносно зірок приблизно є на 4 хвилини коротшим, ніж 24 години, див. [[Зоряний час]].</ref>. Отже, за одну годину (хвилину, секунду) часу небесна сфера «повертається» приблизно на 1 годину (хвилину, секунду) у кутовій мірі. Інші кутові величини в астрономії виражаються зазвичай у градусах, мінутах та секундах дуги. Слід зазначити щоб уникнути плутанини, що одна секунда (мінута) прямого піднесення дорівнює 15 секундам (мінутам) дуги.

В [[Артилерія|артилерії]] та збройовій справі використовуються також [[Тисячна (кут)|тисячні]] (1/1000 частина радіана) та [[поділка кутоміра|поділки кутоміра]].

У деяких контекстах, таких як ідентифікація точки в [[Полярна система координат|полярних координатах]] чи опис орієнтації об'єкта у двох вимірах відносно його базової орієнтації, кути, що відрізняються на ціле число повних обертів, фактично є еквівалентними. Наприклад, у таких випадках можна вважати еквівалентними кути 15° та 360015° {{nobr|({{=}} 15° + 360°×1000)}}. В інших контекстах, таких як ідентифікація точки на спіральній кривій або опис сукупного обертання об'єкта у двох вимірах відносно його початкової орієнтації, кути, що відрізняються на ненульове ціле число повних обертів, не є еквівалентними.

Деякі плоскі кути мають спеціальні назви. Крім вищезгаданих одиниць вимірювання (радіан, румб, градус тощо), слід згадати:
* [[квадрант]]&nbsp;— прямий кут, {{frac|1|4}} кола);
* [[секстант]]&nbsp;— {{frac|1|6}} кола, величина шкали приладу для вимірювання кутів&nbsp;— [[секстант]]а;
* [[октант]]&nbsp;— {{frac|1|8}} кола; крім того, в [[Стереометрія|стереометрії]] октантом називають тригранний кут, утворений трьома взаємно перпендикулярними площинами.

Малі кути (наприклад, кут [[Похил (положення, покажчик крутизни)|похилу]] поверхні) іноді вимірюють не власне кутовою мірою, а її [[тригонометричні функції|тангенсом]] (або [[тригонометричні функції|синусом]]), тобто відношенням піднесення по нахилені площині до проєкції на горизонталь пройденого по ній шляху (або до самого цього шляху). Для випадку малих кутів похилу це відношення приблизно дорівнює куту, вираженому в [[радіан]]ах ({{math|tg α ≈ sin α ≈ α}} при {{math|α << 1}}). При цьому це відношення виражається зазвичай у [[відсоток|відсотках]] або [[проміле]]. Наприклад, похил дороги у 10&nbsp;% означає, що на кожні 100 метрів шляху (у проєкції на горизонталь) дорога піднімається на 10&nbsp;м; кут до горизонту дорівнює [[Обернені тригонометричні функції|arctg]](10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радіана.

=== Напрям відліку кутів ===
У [[Математика|математиці]] та [[Фізика|фізиці]], зазвичай, додатнім напрямом відліку кутів вважається напрям ''проти'' стрілки годинника. Переважно, кут починають вимірювати від [[Промінь (геометрія)|променя]], початок якого збігається з центром [[Система координат|системи координат]] (СК), а напрям&nbsp;— з додатним напрямом осі [[Абсциса|абсцис]].

Для визначення напряму відліку кутів у тривимірному просторі використовують [[правило гвинта]].

В [[Географія|географії]] та [[Геодезія|геодезії]] за початок відліку кутів по [[азимут]]у прийнято напрям «на ''північ''»; кут відлічується за годинниковою стрілкою. Отже, напряму «на ''схід''» відповідає азимутальний кут 90°, «на ''південь''»&nbsp;— 180°, «на ''захід''»&nbsp;— 270°. У військовій справі ([[Артилерія|артилерії]]) напрям відліку кутів є аналогічним, але відлік ведуть у тисячних або [[поділка кутоміра|поділках кутоміра]].

=== Прилади для вимірювання кутів ===
[[Файл:ImageABC2a.jpg|thumb|Кутоміри]]
Прилади для вимірювання кутів називаються [[кутомір]]ами. Найпопулярніший із них [[транспортир]]. Транспортир можна використовувати як для вимірювання, так і для побудови кута певної величини.

Вимірювання кутів є важливою практичною задачею в багатьох областях [[наука|науки]] і [[техніка|техніки]]: в [[астрономія|астрономії]], [[навігація|навігації]], в [[Будівельна справа|будівництві]] та [[Гірнича справа|гірництві]] тощо.

За допомогою тригонометрії вимірювання кутів дозволяє визначати віддалі між далекими об'єктами. Для задоволення потреби вимірювання кутів розроблено багато високоточних інструментів: [[теодоліт]]ів, [[гоніометр]]ів, [[секстант]]ів і&nbsp;т.&nbsp;д.

=== Постулат додавання кутів ===
У постулаті додавання кута зазначено, що якщо кут ''B'' знаходиться у внутрішній частині кута ''AOC'', то
: <math> m\angle AOC = m\angle AOB + m\angle BOC </math>
Міра кута ''AOC''&nbsp;— сума міри кута ''AOB'' і міри кута ''BOC''. У цьому постулаті не має значення, в якій [[Одиниця вимірювання|одиниці вимірюється]] кут, доки всі кути вимірюються в однаковій одиниці вимірювання.

=== Одиниці вимірювання ===
Одиниці, які використовуються для представлення кутів, перераховані нижче в порядку зменшення величини. Серед цих одиниць найчастіше використовуються [[Градус (геометрія)|градус]] і [[радіан]]. Кути, виражені в радіанах, є безрозмірними для [[Метод аналізу розмірностей|методу аналізу розмірностей]].

Більшість одиниць кутового вимірювання визначені таким чином, що один [[оберт]] (тобто одне повне коло) дорівнює n одиницям, для деякого цілого числа n. Два винятки&nbsp;— [[радіан]] та діаметрова частина.

; [[Оберт]] (''n'' = 1)
[[Оберт]], повне коло&nbsp;— це повний круговий рух (коли відбувається повернення до початкової точки). Оберт позначається {{mvar|τ}}, ''cyc'', ''rev'', ''rot''.

;[[Сектор (геометрія)|Квадрант]] (''n''&nbsp;=&nbsp;4): ''Квадрант'' це {{sfrac|4}} від оберту, тобто ''[[прямий кут]]''. Ця одиниця використовувалася в [[Начала Евкліда|Началах Евкліда]]. 1 кв. = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}}&nbsp;рад = {{sfrac|4}} оберт = 100&nbsp;°. У Німеччині для позначення квадранта використовують символ <sup>∟</sup>.

== Класифікація та різновиди плоских кутів ==

=== За величиною ===
{| class="wikitable"
|+Різновиди кутів за величиною
|- valign="bottom"
|[[Файл:Angle straight.png|thumb|center|200px|Розгорнутий кут]]
|[[Файл:Right angle.svg|thumb|center|100px|Прямий кут]]
|[[Файл:Angle acute.svg|thumb|center|100px|Гострий кут]]
|[[Файл:Angle obtuse.svg|thumb|center|160px|Тупий кут]]
|[[Файл:Reflex angle.svg|thumb|center|100px|Неопуклий кут]]
|[[Файл:Full angle.svg|thumb|center|100px|Повний кут]]
|}

Залежно від величини кути поділяються на декілька категорій.
* [[Розгорнутий кут|Розгорнутим кутом]] називають кут, обидва промені якого лежать на одній прямій, по різні боки від вершини. Величина такого кута приймається рівною 180° і дорівнює за означенням [[радіан]]а [[пі|<math>\pi</math>]] радіан.
* [[Прямий кут]] дорівнює половині розгорнутого кута. Прямі кути утворені взаємно перпендикулярними променями. Величина прямого кута становить 90° або <math>\pi/2</math> радіан.
* [[Гострий кут|Гострими кутами]] називають кути, менші за прямі. Величина гострих кутів лежить у проміжку від 0° до 90°, або в радіанах від 0 до <math>\pi/2</math>
* [[Тупий кут|Тупі кути]] більші від прямих, але менші від розгорнутих, їхня величина лежить у проміжку від 90° до 180°, або від <math>\pi/2</math> до <math>\pi</math>.
* Неопуклі кути (більше 180°, але менше 360°)
* Кут, вдвічі більший від розгорнутого, називається ''повним''. Його величина у радіанах дорівнює відношенню довжини [[коло|кола]] до радіуса, що становить <math>2\pi</math>. У градусах це 360°.

=== Вертикальні та прилеглі кути ===
{| class="wikitable"
|+Вертикальні кути та прилеглі кути і їх часткові випадки
|- valign="bottom"
|[[Файл:Consecutive angles.svg|thumb|center|135px|Прилеглі кути. Величина кута, утвореного зовнішніми (не спільними) їхніми сторонами, дорівнює сумі величин їх самих (''α'' + ''β'')]]
|[[Файл:OppositeAngles.svg|thumb|center|140px|Кути ''α'' і ''β'' є вертикальними. Кути ''α'' та ''γ'', а також ''β'' та ''γ'', складають пари суміжних]]
|[[Файл:Complementary angles.svg|thumb|center|130px|Комплементарні кути ''α'' і ''β'' взаємно доповнюють один одного до прямого кута (''α'' + ''β'' = 90°)]]
|[[Файл:Supplementary angles.png|thumb|center|240px|[[Суміжні кути]]: на рисунку гострий (''α'') і тупий (''β'')&nbsp;— утворюють розгорнутий кут (''α'' + ''β'')]]
|[[Файл:Explementary angles.png|thumb|center|240px|Спряжені кути&nbsp;— утворюють повний кут (360°); наведено частковий приклад: 150° + 210° = 360°]]
|}
Два кути, які мають спільну сторону, називаються ''прилеглими''.

При перетині двох прямих утворюються чотири нерозгорнуті кути: дві пари ''вертикальних кутів'', чотири пари ''[[Суміжні кути|суміжних кутів]]''. Протилежні між собою вертикальні кути конгруентні. Суміжні кути разом утворюють ''розгорнутий кут'', тому їхня сума дорівнює 180°, або в радіанах&nbsp;— <math>\pi</math>.

Два кути, які в сумі утворюють прямий кут, називаються ''[[комплементарні кути|комплементарними]]''. Сума комплементарних кутів дорівнює 90°, або, в радіанах, <math>\pi/2</math>. Обидва кути є гострими.

=== Центральний та вписаний кути ===
[[Файл:Inscribed angle theorem.svg|thumb|right|''Вписаний кут'' θ дорівнює половині величини ''центрального кута'' 2θ, що спирається основою на ту ж дугу (рожевого кольору). Тобто кут θ не змінює своєї величини при переміщенні вершини уздовж кола (зелений та блакитний кути). ''Зовнішній кут'' для вписаного з іншого боку кута кола має ту ж величину θ (коричневого кольору)]]
Будь-які конкретній дузі кола можна зіставити єдиний центральний і безліч вписаних кутів.

{| class="wikitable"
|+Центральний і вписаний кут
|- valign="bottom"
|[[Файл:Angle central1.svg|thumb|center|240px|Центральний кут θ]]
|[[Файл:Angle inscribed1.svg|thumb|center|240px|Вписаний кут α]]
|}

* ''Центральний кут''&nbsp;— кут з вершиною у центрі [[Коло|кола]]. Величина центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, розташованої між сторонами цього кута.
* ''Вписаний кут''&nbsp;— кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Величина вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, обмеженої його сторонами. Усі вписані кути, що спираються на одну і ту ж дугу, є однаковими.
* Величина ''вписаного кута'' дорівнює половині величини ''центрального кута'', що спирається біля основи на колі на ту ж дугу (див. рис.).

== Бісектриса кута ==
[[Файл:Bisection.svg|thumb|Бісектриса кута (червоний промінь)]]
''[[Бісектриса|Бісектрисою]]'' (від {{lang-la|bis}}&nbsp;— «двічі» та {{lang-la|seco}}&nbsp;— «розтинаю») ''кута'' називається промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута (і, навпаки, будь-яка точка внутрішньої області кута, що є рівновіддаленою від сторін кута, лежить на його бісектрисі).

Бісектриси вертикальних кутів є продовженням одна одної. Бісектриси суміжних кутів є взаємно перпендикулярними.

== Кути у многокутниках ==

=== Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника ===
''Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника'' <br/>У [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]] сума внутрішніх кутів {{math|α<sub>''i''</sub>}} довільного ''n''-кутника без самоперетинів дорівнює <math>\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}.</math>

Так, наприклад:
* [[Теорема про суму кутів трикутника|сума внутрішніх кутів]] [[трикутник]]а дорівнює 180°;
* чотирикутника 360°;
* п'ятикутника 540° тощо.

У [[гіперболічна геометрія|гіперболічній геометрії]] сума кутів трикутника завжди менша 180°.

У [[Сферична геометрія|сферичній геометрії]] сума кутів трикутника завжди більша 180°.

=== Теорема про зовнішній кут трикутника ===
[[Файл:Remint3.svg|thumb|Ілюстрація до теореми про зовнішній кут трикутника: <math>d = a + c.</math>]]
{{main|Теорема про зовнішній кут трикутника}}
''Теорема про зовнішній кут трикутника'': Зовнішній суміжний кут трикутника дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. (див. рис.): <math> d = a + c. </math>

== Кути у стереометрії ==
Поняття кута використовується також у [[стереометрія|стереометрії]], тобто в геометрії тривимірного простору, в якій вводяться поняття [[двогранний кут|двогранного]], [[тригранний кут|тригранного]] і&nbsp;т.&nbsp;д. та [[тілесний кут|тілесного кута]].

''[[Двогранний кут]]''&nbsp;— фігура, утворена двома [[півплощина]]ми, обмеженими спільною прямою. Півплощини, які утворюють тілесний називають гранями, а пряму, що їх обмежує, ребром. Для визначення величини двогранного кута використовується плоский кут на площині, перпендикулярній до площини ребра двогранного кута.

''[[Тригранний кут]]''&nbsp;— це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами зі спільною вершиною і попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Спільна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут.

''[[Багатогранний кут]]''&nbsp;— частина простору, обмежена декількома площинами, що перетинаються в одній точці.

''[[Тілесний кут]]'' або ''просторовий кут''<ref name=DSTU3651_1/>&nbsp;— частина простору, яка є об'єднанням усіх променів, що виходять з деякої точки (вершини кута) і перетинають деяку поверхню (яка називається поверхнею, що стягує даний тілесний кут). Тілесний кут задається вершиною і незамкненою поверхнею. Може розглядатись як узагальнення поняття плоского кута на випадок тривимірного простору. Для вимірювання тілесних кутів використовується спеціальна одиниця [[стерадіан]]. Повна сфера має тілесний кут <math> 4 \pi </math> стерадіан. Багатогранні кути (у тому числі і [[тригранний кут|тригранний]]) є частковим випадком тілесного кута.

<gallery>
Dihedral angle.svg|[[Двогранний кут]]
Haüy_1.jpg|[[Тригранний кут]]
Angles in science.jpeg|Багатогранні кути
Stéradian 01.png|Ілюстрація [[Тілесний кут|тілесного кута]]
</gallery>

За кут між двома кривими, що перетинаються у певній точці, у якій кожна з кривих має визначену [[дотична|дотичну]], приймають кут між цими дотичними. Поняття кута узагальнюється також на інші об'єкти, що розглядаються у стереометрії. Так, під кутом між прямою та площиною у просторі мають на увазі кут між цією прямою та її проєкцією на цю площину. Під кутом між двома мимобіжними прямими&nbsp;— розуміють кут між паралельними до них прямими проведеними через одну і ту ж точку.

== Спеціальні кути ==
{{multicol}}
* [[Кут вертикальний]]
* [[Граничний кут зрушення]]
* [[Кут диз'юнктиву]]
* [[Кут зенітний]]
* [[Кут максимального осідання]]
* [[Кут природного укосу]]
* [[Кут падіння пласта]]
{{multicol-break}}
* [[Кут укосу уступу]]
* [[Кут укосу ярусу відвалу]]
* [[Кути девіації підйомних канатів]]
* [[Кути повних зрушень]]
* [[Кути розривів]]
* [[Комплементарні кути]]
{{multicol-end}}

== Див. також ==
* [[Двогранний кут]]
* [[Тілесний кут]]
* [[Суміжні кути]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{книга |автор = Істер О.&nbsp;С.
|заголовок = Геометрія: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл.|посилання = http://schoolbooks.org.ua/sites/default/files/ister_o_s_geometriya_pidruchnik_dlya_7_klasu.pdf |відповідальний = О. С. Істер |місце = К. |видавництво = Освіта|рік = 2007  |сторінок = 159 |isbn = 978-966-04-0678-0|ref =}}
* {{книга |автор = Погорєлов О. В.
|заголовок = Геометрія: Планіметрія [Текст]: підруч. для 7-9 кл. серед. шк|відповідальний = О. В. Погорєлов.|видання = 4-те вид |місце = К. |видавництво = Освіта|рік = 2000  |сторінок = 223 |isbn = 966-04-0465-4}}
* {{книга |автор = Бурда М. І.
|заголовок = Геометрія [Текст]: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл. : академ. рівень|відповідальний = М.&nbsp;І.&nbsp;Бурда, Н.&nbsp;А.&nbsp;Тарасенкова|видання = |місце = К. |видавництво = Освіта|рік = 2013  |сторінок = 175 |isbn = 978-617-656-018-0}}
* {{книга |автор = Біляніна О. Я.
|заголовок = Геометрія. 10 клас. Академічний рівень [Текст]: підруч. для загальноосвіт. навч. закл.|відповідальний = О.&nbsp;Я.&nbsp;Біляніна, Г.&nbsp;І.&nbsp;Білянін, В.&nbsp;О.&nbsp;Швець|видання = 2-ге вид|місце = К. |видавництво = Генеза|рік = 2014  |сторінок = 253 |isbn = 978-966-11-0007-6}}
* {{книга |автор = |заголовок = Планіметрія [Текст]: міні-підручник|відповідальний = Роганін О. М., Титаренко О. М.|видання = |місце = Харків |видавництво = Торсінг Плюс|рік = 2014  |сторінок = 7 |isbn = 978-966-404-512-1}}
* {{книга |автор = Кушнир И. А.|заголовок = Геометрия: теоремы и задачи [Текст]: учебное пособие. Т. 1. Планиметрия|відповідальний = И.&nbsp;А.&nbsp;Кушнир|видання = |місце = К. |видавництво = Астарта|рік = 1996  |сторінок = 475 |isbn = 996-523-25-5}}
* {{книга |автор = Выгодский М. Я.|заголовок = Справочник по элементарной математике|відповідальний = |видання = |місце = М. |видавництво = Наука|рік = 1966  |сторінок = 424}}
* {{книга |автор = Чертов А. Г.|заголовок = Физические величины|відповідальний = |видання = |місце = М. |видавництво = Высшая школа|рік = 1990 |сторінок = 336|isbn = 5-06-001011-2}}

== Посилання ==
* {{ТС_Буд|частина=Кут|сторінки =115}}
{{Commons category|Angles}}
* {{MathWorld|title=Line Bisector|urlname=LineBisector}}
* {{MathWorld|title=Angle|urlname=Angle}}
* {{MathWorld|title=Polygon|urlname=Polygon}}
* {{citation |contribution=[[s:1911 Encyclopædia Britannica/Angle|Angle]] |title=''[[s:1911 Encyclopædia Britannica|''Encyclopædia Britannica'', 11th ed.]], [[s:1911 Encyclopædia Britannica/Volume II|Vol.&nbsp;II]]'' |editor-last=Chisholm |editor-first=Hugh |editor2-last=Phillips |editor2-first=Walter Alison |display-editors=0 |publisher=Cambridge University Press |location=[[Кембридж|Cambridge]] |date=1911 |ref={{harvid|EB|1911}} |p=14 }}
* {{cite book |ref=harv |first=Johan Ludvig |last=Heiberg |year=1908 |title=Euclid |editor-first=T. L. |editor-last=Heath |series=The Thirteen Books of Euclid's Elements |volume=1 |publisher=Cambridge University Press |location=[[Кембридж|Cambridge]] |url=https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ |accessdate=4 травня 2016 |archive-date=20 січня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210120114440/https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ }}
* [http://www.mathopenref.com/tocs/anglestoc.html Angles] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150315150936/http://www.mathopenref.com/tocs/anglestoc.html |date=15 березня 2015 }} на сайті «Math Open Reference» {{ref-en}}

[[Категорія:Геометричні фігури]]
[[Категорія:Фізичні величини]]
[[Категорія:Геометричне вимірювання]]
[[Категорія:Кути|*]]