Перегляд вихідного коду сторінки Куля

[[Файл:Куля в розрізі.png|міні|right|320px|Куля з витнутою 1/8 і позначенням радіусу]]
{{otheruses}}
{{перенаправлено|Кулька}}
'''Куля'''&nbsp;— тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Центром кулі називають центр круга, обертанням якого її утворено. Відрізок, який сполучає центр кулі з довільною точкою її поверхні,&nbsp;— радіус кулі. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні кулі,&nbsp;— її [[хорда (геометрія)|хорда]]. Хорда кулі, яка проходить через центр,&nbsp;— діаметр кулі.

Куля може бути '''[[Замкнута множина|закритою]]''' (включати точки на [[Межа (топологія)|межі]] які утворюють [[сфера|сферу]]) і '''[[Відкрита множина|відкритою]]''' (не включати їх).

Також можливе інше визначення терміна «куля»&nbsp;— це [[множина]] всіх точок простору, що перебувають від заданої точки <math>O</math> на відстані, не більшій за дану відстань <math>R</math>. При цьому точка <math>O</math> називається центром, а <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]]ом кулі. Будь-який [[відрізок]], який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Поверхня кулі називається [[сфера|сферою]]. Також дуже часто кулею називають частину [[Простір|простору]], обмежену сферою.

== Куля в [[Аналітична геометрія|аналітичній геометрії]] ==
: <math>(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \leqslant R^2</math>&nbsp;— [[рівняння]] кулі з центром в точці з [[Координати|координатами]] <math>(a, b, c)</math> та радіусом <math>R</math>.
Взагалі, рівняння кулі в n-вимірному просторі виглядає як
: <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \ldots + (x_n - a_n)^2 \leqslant R^2</math>, де <math>(a_1, a_2, \ldots , a_n)</math>&nbsp;— координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі&nbsp;— [[круг]], а в n-вимірному, якщо <math>n \geqslant 4</math>, вона називається [[Гіперсфера|гіперкулею]].

== Площа сфери та об'єм кулі ==
[[Площа|Площу]] сфери, яка обмежує кулю з радіусом <math>R</math>, можна підрахувати за формулою
: <math>S = 4 \pi R^2\,\!</math>, що приблизно дорівнює <math>12,6 R^2\,\!</math>.
Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь [[Стереометрія|стереометричних]] тіл з однаковим об'ємом.<br/>
[[Об'єм]] кулі можна знайти за формулою
: <math>V = \frac{4 \pi R^3}{3} \approx 4,2 R^3 \,\!</math>.

== Переріз кулі площиною ==
Будь-який переріз кулі площиною є [[круг]]. Центр цього круга є основою [[перпендикуляр]]а, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою
: <math>r = \sqrt{R^2 - l^2}</math>, де <math>R</math>&nbsp;— радіус кулі, <math>l</math>&nbsp;— відстань від центра кулі до перерізу.
Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі&nbsp;— [[Великий круг|великим кругом]], а переріз сфери&nbsp;— [[Велике коло|великим колом]]. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

== Частини кулі ==
[[Файл:Частини_кулі.png|thumb|left|300px|Частини кулі: зеленим кольором позначено сектор, сірим&nbsp;— сегмент, жовтим&nbsp;— зріз кулі.]]

=== Сегмент ===
{{Main|Кульовий сегмент}}
Сегмент кулі&nbsp;— це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі <math>R</math> та [[довжина]] перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, <math>H</math>. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює [[Різниця|різниці]] між радіусом <math>R</math> і відстанню від центра до перерізу <math>l</math>, тобто <math>H = R - l</math>. Таким чином об'єм сегмента дорівнює
: <math>V = \frac{1}{3}\pi H^2 (3R - H)</math>,
а площа поверхні&nbsp;—
: <math>S = 2\pi RH\,\!</math>
<br/>

=== Зріз ===
{{Main|Кульовий шар}}
Зріз (кульовий шар)&nbsp;— це [[Стереометрія|стереометричне]] тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:
* Радіус відповідної кулі, <math>R</math>;
* Відстань між двома перерізами, <math>H</math>;
* Радіуси обох перерізів, <math>r_1, r_2</math>.
[[Об'єм]] зрізу визначається формулою
: <math>V = \frac{1}{6}\pi H^3 + \frac{1}{2}\pi(r_1^2 + r_2^2)H</math>,
а площа поверхні&nbsp;—
: <math>S = 2\pi RH\,\!</math>.

=== Сектор ===
{{Main|Кульовий сектор}}
Сектор складається з кульового сегмента та [[конус]]а, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина&nbsp;— з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі <math>R</math> та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, <math>H</math>.
Об'єм сектора:
: <math>V = \frac{2}{3}\pi R^2 H</math>.
Площа його поверхні:
: <math>\pi R(2H + \sqrt{2HR - H^2})</math>.

== Вписані й описані кулі ==

=== Описана куля ===
{{Докладніше|Описана сфера}}
Куля називається описаною навколо [[багатогранник]]а, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника ([[Призма (математика)|призми]], [[Піраміда (геометрія)|піраміди]]) [[Перпендикулярність|перпендикулярно]] до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника&nbsp;— його радіус.

=== Вписана куля ===
{{Докладніше|Вписана сфера}}
Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його [[грань|граней]]. Він є точкою перетину [[Півплощина|півплощин]], проведених через ребра [[Двогранний кут|двогранних]] [[кут]]ів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней&nbsp;— його радіус.

== Додаткові відомості ==
Куля так само, як [[циліндр]] і [[конус]], є [[тіла обертання|тілом обертання]]. Вона утворюється при обертанні [[півкруг]]а навколо його [[діаметр]]а як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці&nbsp;— [[полюс]]ами кулі.<br/>
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

== Див. також ==
* [[Сфера]]
* [[Круг]] і [[Коло]]
* [[Гіперкуля]]
* [[Тіла обертання]]
* [[Площа]] і [[Об'єм]]

== Посилання ==
* {{ТС_Буд|частина=Куля|сторінки =114}}
{{без джерел|дата=жовтень 2014}}

[[Категорія:Геометричні тіла]]
[[Категорія:Сфери]]