Перегляд вихідного коду сторінки Куб (алгебра)

{{Otheruses|Куб (значення)}}

[[Файл:CubeChart.svg|thumb|220px|<math>y^3</math>, при цілих значеннях <math>x</math> на відрізку від 1 до 25]]

В [[арифметика|арифметиці]] та [[алгебра|алгебрі]] куб числа <math>n</math> є його третій степінь, тобто результат множення трьох однакових елементів <math>n</math>. Куб числа або будь-якого іншого [[Вираз (математика)|математичного виразу]] позначається за допомогою [[Верхній і нижній індекси|верхнього індексу]] 3, наприклад, <math>2^3=8</math> або <math>(x + 1)^3</math>.

Позначення «'''³'''» (читається: ''в кубі'' або ''у третьому степені'', при означеннях об'ємів&nbsp;&nbsp;— вживається термін ''кубічних одиниць'')&nbsp;— означає математичну операцію піднесення до степеня 3 та використовується при позначенні об'ємів таких як м³ (метр кубічний або кубометр) чи км³ (кілометр кубічний) тощо.

Куб числа [[типографія|типографічно]] може записуватись як окремий знак шрифту ('''³''') або як цифра 3 у верхньому індексі ('''<sup>3</sup>'''). У [[HTML|документах HTML]] використовується [[Список позначень символів у XML та HTML|код]] ''&amp;#179;'' або ''&amp;sup3;''.

Також куб&nbsp;— число помножене на його [[Квадрат (алгебра)|квадрат]]:

: <math>n^3=n\times n \times n=n \times n^2</math>.

[[Об'єм]] куба ― це куб довжини його сторони. [[Обернена функція|Обернена операція]], яка полягає у знаходженні числа, куб якого дорівнює <math>n</math>, називається [[Кубічний корінь|кубічним коренем]] з числа <math>n</math> (позначається як <math>n^\frac{1}{3}</math>). Він визначає сторону куба заданого об'єму.

== Кубічна функція ==

Кубічна функція&nbsp;— це функція <math>x \rightarrow x^3</math> (часто позначається як <math>y = x^3</math>), яка відображає число у свій куб. Ця функція є непарною, оскільки

: <math>-(n)^3=(-n)^3</math>.

[[Графік функції|Графік]] кубічної функції&nbsp;— кубічна парабола. Оскільки кубічна функція є непарною, то крива має [[Центральна симетрія|центр симетрії]] у [[Початок координат|початку координат]], але не має [[Вісь симетрії|осі симетрії]].

== Куби цілих чисел ==
''Кубічне число'', ''досконалий куб'' або ''просто куб''&nbsp;— це число, яке є кубом [[цілі числа|цілого числа]]. Нижче наведено початок [[Послідовність|числової послідовності]] для кубів невід'ємних чисел ({{OEIS|A000578}})

{| style="text-align:right;"
| style="padding-left:2em;"| 0<sup>3</sup> = || 0
|-
| style="padding-left:2em;"| 1<sup>3</sup> = || 1
| style="padding-left:2em;"|11<sup>3</sup> = || 1331
| style="padding-left:2em;"|21<sup>3</sup> = || 9261
| style="padding-left:2em;"|31<sup>3</sup> = || 29&nbsp;791
| style="padding-left:2em;"|41<sup>3</sup> = || 68&nbsp;921
| style="padding-left:2em;"|51<sup>3</sup> = || 132&nbsp;651
|-
| style="padding-left:2em;"| 2<sup>3</sup> = || 8
| style="padding-left:2em;"|12<sup>3</sup> = || 1728
| style="padding-left:2em;"|22<sup>3</sup> = || 10&nbsp;648
| style="padding-left:2em;"|32<sup>3</sup> = || 32&nbsp;768
| style="padding-left:2em;"|42<sup>3</sup> = || 74&nbsp;088
| style="padding-left:2em;"|52<sup>3</sup> = || 140&nbsp;608
|-
| style="padding-left:2em;"| 3<sup>3</sup> = || 27
| style="padding-left:2em;"|13<sup>3</sup> = || 2197
| style="padding-left:2em;"|23<sup>3</sup> = || 12&nbsp;167
| style="padding-left:2em;"|33<sup>3</sup> = || 35&nbsp;937
| style="padding-left:2em;"|43<sup>3</sup> = || 79&nbsp;507
| style="padding-left:2em;"|53<sup>3</sup> = || 148&nbsp;877
|-
| style="padding-left:2em;"| 4<sup>3</sup> = || 64
| style="padding-left:2em;"|14<sup>3</sup> = || 2744
| style="padding-left:2em;"|24<sup>3</sup> = || 13&nbsp;824
| style="padding-left:2em;"|34<sup>3</sup> = || 39&nbsp;304
| style="padding-left:2em;"|44<sup>3</sup> = || 85&nbsp;184
| style="padding-left:2em;"|54<sup>3</sup> = || 157&nbsp;464
|-
| style="padding-left:2em;"| 5<sup>3</sup> = || 125
| style="padding-left:2em;"|15<sup>3</sup> = || 3375
| style="padding-left:2em;"|25<sup>3</sup> = || 15&nbsp;625
| style="padding-left:2em;"|35<sup>3</sup> = || 42&nbsp;875
| style="padding-left:2em;"|45<sup>3</sup> = || 91&nbsp;125
| style="padding-left:2em;"|55<sup>3</sup> = || 166&nbsp;375
|-
| style="padding-left:2em;"| 6<sup>3</sup> = || 216
| style="padding-left:2em;"|16<sup>3</sup> = || 4096
| style="padding-left:2em;"|26<sup>3</sup> = || 17&nbsp;576
| style="padding-left:2em;"|36<sup>3</sup> = || 46&nbsp;656
| style="padding-left:2em;"|46<sup>3</sup> = || 97&nbsp;336
| style="padding-left:2em;"|56<sup>3</sup> = || 175&nbsp;616
|-
| style="padding-left:2em;"| 7<sup>3</sup> = || 343
| style="padding-left:2em;"|17<sup>3</sup> = || 4913
| style="padding-left:2em;"|27<sup>3</sup> = || 19&nbsp;683
| style="padding-left:2em;"|37<sup>3</sup> = || 50&nbsp;653
| style="padding-left:2em;"|47<sup>3</sup> = || 103&nbsp;823
| style="padding-left:2em;"|57<sup>3</sup> = || 185&nbsp;193
|-
| style="padding-left:2em;"| 8<sup>3</sup> = || 512
| style="padding-left:2em;"|18<sup>3</sup> = || 5832
| style="padding-left:2em;"|28<sup>3</sup> = || 21&nbsp;952
| style="padding-left:2em;"|38<sup>3</sup> = || 54&nbsp;872
| style="padding-left:2em;"|48<sup>3</sup> = || 110&nbsp;592
| style="padding-left:2em;"|58<sup>3</sup> = || 195&nbsp;112
|-
| style="padding-left:2em;"| 9<sup>3</sup> = || 729
| style="padding-left:2em;"|19<sup>3</sup> = || 6859
| style="padding-left:2em;"|29<sup>3</sup> = || 24&nbsp;389
| style="padding-left:2em;"|39<sup>3</sup> = || 59&nbsp;319
| style="padding-left:2em;"|49<sup>3</sup> = || 117&nbsp;649
| style="padding-left:2em;"|59<sup>3</sup> = || 205&nbsp;379
|-
| style="padding-left:2em;"|10<sup>3</sup> = || 1000
| style="padding-left:2em;"|20<sup>3</sup> = || 8000
| style="padding-left:2em;"|30<sup>3</sup> = || 27&nbsp;000
| style="padding-left:2em;"|40<sup>3</sup> = || 64&nbsp;000
| style="padding-left:2em;"|50<sup>3</sup> = || 125&nbsp;000
| style="padding-left:2em;"|60<sup>3</sup> = || 216&nbsp;000
|}

З геометричної точки зору, натуральне число <math>m</math>&nbsp;— досконалий куб [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли можна з <math>m</math> твердих одиничних кубів скласти більший, суцільний куб. Наприклад, з 27 маленьких кубиків можна скласти один більший, який має вигляд [[Кубик Рубіка|кубика Рубіка]], оскільки <math>3 \times 3 \times 3 = 27</math>.

Різницю між двома послідовними кубами цілих чисел можна представити у вигляді
: <math>n^3-(n-1)^3=3(n-1)n+1</math>
або
: <math>(n+1)^3-n^3=3(n+1)n+1</math>.

Не існує мінімального досконалого куба, оскільки куб від'ємного цілого числа від'ємний. Наприклад, <math>(-4) \times (-4) \times (-4)= -64</math>.

Сума кубів перших <math>n</math>додатних [[Натуральне число|натуральних чисел]] обчислюється за формулою:
: <math>\sum_{i=1}^n i^3  = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac {n(n+1)}{2}\right)^2</math>.

=== Доведення формули ===
Формулу суми кубів можна отримати, на основі [[таблиця множення|таблиці множення]] і формули суми [[арифметична прогресія|арифметичної прогресії]]<ref>{{книга|автор=Роу С.|заголовок=Геометрические упражнения с куском бумаги|издание=2-е изд|место=Одесса|издательство=Матезис|рік=1923|посилання=http://www.mathesis.ru/book/rou2|сторінки=68—70}}</ref>. Розглядаючи як ілюстрацію методу дві таблиці множення <math>5 \times 5</math>, наведемо міркування для таблиць розміром <math>n \times n</math>.

{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="background-color:transparent; width:50%;"
|- style="vertical-align:top;"

| style="width:50%; text-align: left;" |
{| class="wikitable" style="text-align:right;font-size:70%"
|+ Таблиця множення і куби чисел
!width="4%"| ×
!width="4.8%"| 1
!width="4.8%"| 2
!width="4.8%"| 3
!width="4.8%"| 4
!width="4.8%"| 5
|-
! 1
|bgcolor=mediumslateblue| 1 ||bgcolor=skyblue| 2 ||bgcolor=royalblue| 3 ||bgcolor=aquamarine| 4 ||bgcolor=deepskyblue| 5
|-
! 2
|bgcolor=skyblue| 2 ||bgcolor=skyblue| 4 ||bgcolor=royalblue|6 ||bgcolor=aquamarine| 8 ||bgcolor=deepskyblue| 10
|-
! 3
|bgcolor=royalblue| 3 ||bgcolor=royalblue| 6 ||bgcolor=royalblue| 9 ||bgcolor=aquamarine| 12 ||bgcolor=deepskyblue| 15
|-
! 4
|bgcolor=aquamarine| 4 ||bgcolor=aquamarine| 8 ||bgcolor=aquamarine| 12 ||bgcolor=aquamarine| 16 ||bgcolor=deepskyblue| 20
|-
! 5
|bgcolor=deepskyblue| 5 ||bgcolor=deepskyblue| 10 ||bgcolor=deepskyblue| 15 ||bgcolor=deepskyblue| 20 ||bgcolor=deepskyblue| 25
|}
| style="width:50%; text-align: left;" |
{| class="wikitable" style="text-align:right;font-size:70%"
|+ Таблиця множення і арифметична прогресія
!width="4%"| ×
!width="4.8%"| 1
!width="4.8%"| 2
!width="4.8%"| 3
!width="4.8%"| 4
!width="4.8%"| 5
|-
! 1
|bgcolor=mediumslateblue| 1 ||bgcolor=mediumslateblue| 2 ||bgcolor=mediumslateblue| 3 ||bgcolor=mediumslateblue| 4 ||bgcolor=mediumslateblue| 5
|-
! 2
|bgcolor=skyblue| 2 ||bgcolor=skyblue| 4 ||bgcolor=skyblue|6 ||bgcolor=skyblue| 8 ||bgcolor=skyblue| 10
|-
! 3
|bgcolor=royalblue| 3 ||bgcolor=royalblue| 6 ||bgcolor=royalblue| 9 ||bgcolor=royalblue| 12 ||bgcolor=royalblue| 15
|-
! 4
|bgcolor=aquamarine| 4 ||bgcolor=aquamarine| 8 ||bgcolor=aquamarine| 12 ||bgcolor=aquamarine| 16 ||bgcolor=aquamarine| 20
|-
! 5
|bgcolor=deepskyblue| 5 ||bgcolor=deepskyblue| 10 ||bgcolor=deepskyblue| 15 ||bgcolor=deepskyblue| 20 ||bgcolor=deepskyblue| 25
|}
|}
Сума чисел у <math>k</math>-й (''k'' = 1, 2, …) виділеній області першої таблиці:

: <math>k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3</math>.

А сума чисел у <math>k</math>-ї <math>(k=1,2,\dots)</math> виділеної області другої таблиці, що є арифметичною прогресією:
: <math>k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}</math>.

Провівши сумування по всіх виділених областях першої таблиці, отримаємо таке ж число, як і при сумуванні по всіх виділених областях другої таблиці:

: <math>\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=1}^n k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{k=1}^n k=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>

== Десяткова система числення ==
На відміну від [[Досконалий степінь|досконалих квадратів]], досконалі куби мають велику кількість можливостей для останніх двох цифр. За виключенням кубів кратних 5 для яких лише 25, 75, 00 можуть бути останніми двома цифрами, у загальному випадку будь-яка пара цифр із останньою непарною цифрою може бути останніми цифрами досконалого куба. Для кубів [[Парність (математика)|парних чисел]] існує значне обмеження, оскільки лише 00, <math>{\rm o}2</math>, <math>{\rm e}4</math>, <math>{\rm o}6</math> та <math>{\rm e}8</math> можуть бути останніми двома цифрами досконалого куба (де <math>{\rm o}</math> означає будь-яку непарну цифру, а <math>{\rm e}</math> ― будь-яку парну цифру).
Деякі кубічні числа також є квадратними числами; наприклад, 64 є квадратним числом <math>(8 \times 8)</math> і кубічним числом <math>(4 \times 4 \times 4)</math>. Це можливо тоді і лише тоді, коли число є досконалим шостого степеня (у даному випадку <math>2^6</math>).

Останніми цифрами кожного 3-го степеня є
{| width="45%"
|| 0 || 1 || 8 || 7 || 4 || 5 || 6 ||3 ||2 ||9 ||
|}
Однак, легко показати, що більшість чисел не є досконалими кубами, оскільки вони повинні мати [[цифровий корінь]] рівний 1, 8 або 9. Тобто їх значення за модулем 9 можуть бути лише <math>-1</math>, <math>1</math> і <math>0</math>. Більше того, цифровий корінь куба будь-якого числа може бути визначений остачею, яке число дає при діленні на 3:
* Якщо число кратне 3, то його куб має цифровий корінь 9; тобто,
*: якщо <math>x \equiv 0</math> <math>({\rm mod} \ 3)</math>, то <math>x^3 \equiv 0</math> <math>({\rm mod} \ 9)</math> (фактично 0 <math>({\rm mod} \ 27)</math>).
* Якщо число має [[Остача|остачу]] 1 при діленні на 3, то його куб має цифровий корінь 1; тобто
*: якщо <math>x \equiv 1</math> <math>({\rm mod} \ 3)</math>, то <math>x^3 \equiv 1</math> <math>({\rm mod} \ 9)</math>.
* Якщо число має остачу 2 при діленні на 3, то його куб має цифровий корінь 8; тобто
*: якщо <math>x \equiv -1</math> <math>({\rm mod} \ 3)</math>, то <math>x^3 \equiv -1</math> <math>({\rm mod} \ 9)</math>.

== Проблема Воринга ==
{{main|Проблема Воринга}}

Будь-яке натуральне число можна записати як суму дев'яти (або менше) додатних кубів. Цю верхню межу з дев'яти кубів не можна зменшити, оскільки, наприклад, число 23 не можна записати як суму менше ніж дев'яти додатних кубів:
: <math>23 = 2^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3</math>.

== Суми трьох кубів ==
{{main|Сума трьох кубів}}
Існує гіпотеза, що будь-яке ціле число (додатне чи від'ємне), яке не [[Конгруентне число|конгруентно]] <math>\pm 4</math> за модулем 9, можна записати як суму трьох (додатних чи від'ємних) кубів нескінченно багатьма способами.<ref>{{cite arXiv |last=Huisman |first=Sander G. |eprint=1604.07746 |title=Newer sums of three cubes |class=math.NT |date=27 квітня 2016 }}</ref> Наприклад, <math>6 = 2^3 + (-1)^3 + (-1)^3</math>.
Цілі числа, конгруентні <math>\pm 4</math> за модулем 9, виключаються, оскільки їх не можна записати як суму трьох кубів.

Найменшим таким цілим числом, для якого така сума невідома, є 114.
У вересні 2019 року було виявлено, що попереднє найменше таке ціле число 42, для якого було невідоме представлення у вигляді суми 3 кубів, можна записати у вигляді:<ref>«NEWS: The Mystery of 42 is Solved&nbsp;— Numberphile» https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210521045133/https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw |date=21 травня 2021 }}</ref>{{better source needed|date=March 2020}}
 <math>42 =(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3.</math>

По одному з розв'язків для <math>x^3+y^3+z^3=n</math> наведено в таблиці нижче для <math>n \leq 78</math>, і <math>n</math> не конгруентно 4 або 5 за модулем 9.
Вибраний розв'язок є примітивним <math>(\text{НСД} (x, y, z) = 1)</math>, не вигляду <math>c^3 + (-c)^3 + n^3 = n^3</math> або <math>(n+6nc^3)^3+(n-6nc^3)^3+(-6nc^2)^3=2n^3</math> (оскільки вони мають нескінченні сім'ї розв'язків), задовольняє умові <math>0 \leq | x | \leq | y | \leq | z |</math>, та має мінімальні значення для <math>| z |</math> та <math>| y |</math> (протестовано в цьому порядку).<ref>Sequences {{OEIS|A060465}}, {{OEIS|A060466}} and {{OEIS|A060467}} in [[OEIS]]</ref><ref>{{Cite web |url=http://cr.yp.to/threecubes/20010729 |title=Threecubes |accessdate=19 травня 2021 |archive-date=10 березня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210310133922/http://cr.yp.to/threecubes/20010729 }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm |title=n=x^3+y^3+z^3 |accessdate=19 травня 2021 |archive-date=6 травня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210506180346/http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm }}</ref>

Вказано лише примітивні розв'язки, оскільки непримітивні можна тривіально отримати з розв'язків для менших значень <math>n</math>. Наприклад, для <math>n = 24</math>: <math>2^3+2^3+2^3=24</math> отримується з <math>1^3+1^3+1^3=3</math> домноженням на <math>8 = 2^3</math>. Отже, це інший розв'язок, ніж який вибрано. Так само для <math>n = 48</math> виключається розв'язок <math>(x, y, z) = (-2, -2, 4)</math>, і вказано розв'язок <math>(x, y, z) = (-23, -26, 31 )</math>.

== Остання теорема Ферма для кубів ==
{{main|Велика теорема Ферма}}

Рівняння <math>x^3 + y^3 = z^3</math> не має нетривіальних (тобто <math>xyz \neq 0</math>) розв'язків у цілих числах. Насправді рівняння не має жодного розв'язку в [[Ціле число Ейзенштейна|цілих числах Ейзенштейна]]<ref>Hardy & Wright, Thm. 227</ref>.

Обидва ці твердження також справедливі для рівняння <math>x^3 + y^3 = 3z^3</math><ref>Hardy & Wright, Thm. 232</ref>.

== Сума перших <math>n</math> кубів ==
Сума перших <math>n</math> кубів ― це <math>n</math>-е [[трикутне число]] у квадраті:
: <math>1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^{2} = \left(\frac{n (n + 1)}{2} \right)^{2}</math>.

''Доведення.'' [[Чарльз Вітстон]](1854) навів особливо просте виведення, предсталяючи кожен куб у сумі як набір послідовних непарних чисел. Він починає з тотожності:
: <math>n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right) %+\left(n^{2}-n+1+4\right)
+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ послідовних непарних чисел}}}.</math>

Ця [[тотожність]] пов'язана з [[Трикутне число|трикутними числами]] <math>T_ {n}</math> наступним чином:
: <math>n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1)</math>
і, отже, доданти, що утворюють <math>n^{3}</math>, починаються відразу після тих, що утворюють усі попередні значення <math>1^{3}</math> аж до <math>(n-1)^{3}</math>. Використовуючи цю властивість разом із іншою добре відомою тотожністю
: <math>n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)</math>,
отримуємо
: <math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 + \cdots + n^3 \\
&= \underbrace{1}_{1^3} + \underbrace{3+5}_{2^3} + \underbrace{7 + 9 + 11}_{3^3} + \underbrace{13 + 15 + 17 + 19}_{4^3} + \cdots + \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n^3} \\
&= \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{1}_{1^2} + 3}_{2^2} + 5}_{3^2} + \cdots + \left(n^2 + n - 1\right)}_{\left( \frac{n^{2}+n}{2} \right)^{2}} \\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2
\end{align}</math>

У більш новій математичній літературі Штейн (1971) використовує інтерпретацію цих чисел за допомогою підрахунку прямокутників для геометричного доведення тотожності (див. також (see also Бенджамін, Куінн і Вурц 2006); він зазначає, що це можна також легко (але малоінформативно) довести за допомогою індукції, і стверджує, що Тепліц (1963) навів «цікаве старе арабське доведення».

Канім (2004) представив суто візуальне доведення, Бенджамін і Оррісон (2002) навели два додаткових доведення, а Нельсен (1993) ― сім геометричних доведень.

Наприклад, сума перших 5 кубів ― це квадрат 5-го трикутного числа,
: <math> 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 15^{2} </math>.
Подібний результат можна отримати для суми перших <math>y</math> [[Парність (математика)|непарних]] кубів,
: <math>1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}</math>,
але <math>x</math>, <math>y</math> має задовольняти від'ємне [[рівняння Пелля]] <math>x^2 - 2y^2 = -1</math>. Наприклад, якщо <math>y= 5</math> і 29, то
: <math> 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}</math>,
: <math>1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}</math>,
і так далі. Крім того, будь-яке [[Парність (математика)|парне]] [[досконале число]], крім найменшого, є сумою перших [[Степені 2|<math>2^\frac{p-1}{2}</math>]] непарних кубів <math>(p = 3, 5, 7,\ldots)</math>:
: <math>  28 = 2^{2} \left(2^{3} -1\right) = 1^{3} + 3^{3}, </math>
: <math>  496 = 2^{4} \left(2^{5} -1\right) = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3}, </math>
: <math> 8128 = 2^{6} \left(2^{7} -1\right) = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3} + 9^{3} + 11^{3} + 13^{3} + 15^{3}.</math>

== Сума кубів чисел в арифметичній прогресії ==
Існують приклади кубів чисел в [[Арифметична прогресія|арифметичній прогресії]], сума яких дорівнює кубу:
: <math>  3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}, </math>
: <math>  11^{3} + 12^{3} + 13^{3} + 14^{3} = 20^{3}, </math>
: <math>  31^{3} + 33^{3} + 35^{3} + 37^{3} + 39^{3} + 41^{3} = 66^{3}. </math>

У першому прикладі число <math>6^{3}</math> іноді називають загадковим числом [[Платон]]а.

Формула <math>F</math> для знаходження суми <math>n</math> кубів чисел в арифметичній прогресії із різницею <math>d</math> та початковим кубом <math>a^3</math>,
: <math>   F (d, a, n) = a^{3} + (a + d)^{3} + (a + 2d)^{3} + \cdots + (a + dn-d)^{ 3},</math>
має вигляд
: <math>   F (d, a, n) = \left(\frac {n}{4}\right) \left(2a-d + dn\right) \left(2a^{2} -2ad + 2adn-d^{2} n + d^{2} n^{ 2}\right).</math>
Параметричний розв'язок для рівняння
: <math> F (d, a, n) = y^{3}</math>
відомий для частинного випадку <math> d = 1</math> або послідовних кубів, але відомі лише окремі розв'язки для цілих чисел <math>d> 1</math>, такі як <math>d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39</math> тощо<ref>{{cite web|url=http://sites.google.com/site/tpiezas/update06|title=A Collection of Algebraic Identities}}{{Dead link|date=July 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>.

== Куби як суми послідовних непарних натуральних чисел ==
У послідовності непарних натуральних чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, <math>\dots</math>, перше є кубом <math>(1 = 1^3)</math>; сума наступних двох ― це наступний куб <math>(3 + 5 = 2^3)</math>; сума наступних трьох ― це наступний куб <math>(7 + 9 + 11 = 3^3)</math>; і так далі.

== Для раціональних чисел ==
Будь-яке додатне [[раціональне число]] є сумою трьох додатних раціональних кубів<ref>Hardy & Wright, Thm. 234</ref>, і існують [[Раціональне число|раціональні числа]], які не є сумою двох раціональних кубів<ref>Hardy & Wright, Thm. 233</ref>.

== Для дійсних чисел, інших полів та кілець ==
{{main|Кубічна функція}}

Для [[Дійсне число|дійсних чисел]] функція куба зберігає порядок: більші числа мають більші куби.
Іншими словами, куби (строго) [[Монотонна функція|монотонно]] зростають.
Крім того, [[область значень]] кубічної функції ― це вся дійсна пряма: функція <math>x \mapsto x^3\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> є [[Сюр'єкція|сюр'єкцією]] (приймає всі можливі значення).

Лише три числа дорівнюють власним кубам: [[-1 (число)|<math>-1</math>]], [[0 (число)|0]] та [[1 (число)|1]].
Якщо <math>-1< x< 0</math> або <math>1<x</math>, то <math>x^3>x</math>.
Якщо <math>x <-1</math> або <math>0<x<1</math>, то <math>x^3<x</math>.
Всі вищезазначені властивості стосуються також будь-якого вищого непарного степеня <math>(x^5, x^7, \dots)</math> дійсних чисел.
Рівності та [[Нерівність|нерівності]] також справедливі для будь-якого [[впорядковане кільце|впорядкованого кільця]].

Об'єми [[Подібність (геометрія)|подібних]] евклідових [[Стереометрія|тіл]] відносяться як куби їх лінійних розмірів.

Для [[Комплексне число|комплексних чисел]] куб суто [[Уявне число|уявного числа]] також є суто уявним. Наприклад, <math>i^3=-i</math>.

[[Похідна]] від <math>x^3</math> дорівнює <math>3x^2</math>.

Куби іноді мають сюр'єктивну властивість у випадку інших [[Поле (алгебра)|полів]], наприклад у випадку [[Поле Галуа|<math>\mathbb{F}_p</math>]] для такого простого <math>p</math>, що <math>p\neq1</math> <math>({\rm mod} \ 3)</math><ref>Мультиплікативна група <math>\mathbb{F}_p</math> є циклічною порядку <math>p - 1</math>, і якщо не має кратності <math>3</math>, тоді куби визначають групу автоморфізмів.</ref>, але не обов'язково: див. [[контрприклад]] із раціональними числами вище. Крім того, у <math>\mathbb{F}_7</math> лише три елементи <math>0</math>, <math>\pm 1</math> ― це досконалі куби, з семи. <math>-1</math>, <math>1</math> і <math>0</math> ― завжди досконалі куби та єдині елементи поля, що дорівнюють власним кубам:

: [[Факторизація многочленів|<math>x^3 - x ={x (x - 1)\cdot(x + 1)}</math>]]

== Історія ==
Визначення кубів великих чисел було дуже поширеним у багатьох [[Історія математики|древніх цивілізаціях]]. Месопотамські математики створили клинописні таблички з таблицями для обчислення кубів та коренів кубів до {{нп|старовавилонський період|старовавилонського періоду||First_Babylonian_dynasty}} (20—16 століття до н.&nbsp;е.)<ref>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|date=8 листопада 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63|accessdate=21 травня 2021|archive-date=21 травня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210521074633/https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63}}</ref><ref name="nen">{{cite book|last= Nemet-Nejat|first=Karen Rhea|title=Daily Life in Ancient Mesopotamia|url=https://archive.org/details/dailylifeinancie00neme|url-access= registration|year=1998|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|page=[https://archive.org/details/dailylifeinancie00neme/page/306 306]}}</ref>. Кубічні рівняння були відомі [[Давньогрецька математика|давньогрецькому]] математику [[Діофант Александрійський|Діофанту]]<ref>Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref>. [[Герон Александрійський|Герон]] розробив метод обчислення кубічних коренів у I&nbsp;ст. н.&nbsp;е.<ref>{{cite journal|last=Smyly|first=J. Gilbart|title=Heron's Formula for Cube Root|url=https://archive.org/details/sim_hermathena_1920_19_42/page/64|journal=Hermathena|year=1920|volume=19|issue=42|pages=64–67|publisher=Trinity College Dublin|jstor=23037103}}</ref> Методи розв'язання кубічних рівнянь та обчислення кубічних коренів представлені в [[Математика в дев'яти книгах|«Дев'яти розділах з математичного мистецтва»]], [[Китайська математика|китайському]] математичному тексті, складеному приблизно у II&nbsp;ст. до н.&nbsp;е. та прокоментованому [[Лю Хуей|Лю Хуеєм]] у III&nbsp;ст. н.&nbsp;e.

== Деякі властивості ==
* У десятковому записі куб числа може закінчуватися на будь-яку цифру (на відміну від [[квадрат (алгебра)|квадрата]]).
* У десятковій системі двома останніми цифрами куба числа можуть бути 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежність передостанньої цифри куба від останньої можна подати у вигляді наступної таблиці:

{| class="standard" style="text-align: center"
!width="50%"| Остання<br/>цифра
!width="50%"| Передостання<br/>цифра
|-
| 0 || 0
|-
| 5 || 2, 7
|-
| 4, 8 || парна
|-
| 2, 6 || непарна
|-
| 1, 3, 7, 9 || будь-яка
|}

== Див. також ==
* [[Кубічний корінь]]&nbsp;— зворотна операція до піднесення до куба.
* [[Квадрат (алгебра)|Квадрат]]
* [[Піднесення до степеня]]
* [[Куб Фібоначчі]]
* [[Кубічне рівняння]]
* [[Подвоєння куба]]
* [[Четвертий степінь]]
* [[Досконалий степінь]]
* [[Гіпотези Поллока]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* «Корн Г., Корн Т.» Справочник по математике.&nbsp;— 4-е издание.&nbsp;— М.: Наука, 1978.&nbsp;— 832&nbsp;с.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
* Wheatstone, C. (1854), On the formation of powers from arithmetical progressions, Proceedings of the Royal Society of London, 7: 145—151, Bibcode:1854RSPS….7..145W, doi:10.1098/rspl.1854.0036

{{Класи натуральних чисел}}

[[Категорія:Елементарна арифметика]]
[[Категорія:Фігурні числа]]
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:Цілі числа]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Унарні операції]]