Перегляд вихідного коду сторінки Кубічне рівняння

'''Кубі́чне рівня́ння'''&nbsp;— [[алгебричне рівняння]] вигляду
: <math>\ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>, де <math>\ a\ne 0</math>.

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду
: <math>\ z^3+pz+q=0.</math>

Це можна зробити, поділивши рівняння на старший коефіцієнт <math>\ a</math>, після чого провівши заміну змінної <math>x=z-\frac{b}{3a}</math>.

При цьому коефіцієнти будуть рівні:
: <math>q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a},</math>
: <math>p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}.</math>

== Історія ==

=== Стародавній період ===
Кубічні рівняння були відомі ще стародавнім єгиптянам, вавилонянам, стародавнім грекам, китайцям та індійцям<ref name="oxf">{{Книга
|автор = John Crossley, Anthony W.-C. Lun
|заголовок = The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary
|посилання = http://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA176
|рік = 1999
|видавництво = Oxford University Press
|ISBN = 978-0-19-853936-0
|сторінки = 176
}}</ref><ref name="wae">{{Книга
|автор = Van der Waerden
|заголовок = Geometry and Algebra of Ancient Civilizations
|посилання = https://archive.org/details/geometryalgebrai0000waer
|сторінки = chapter 4
|місце = Zurich
|рік = 1983
|ISBN = 0-387-12159-5
}}</ref>. Знайдено клинописні таблички [[Вавилонія|старовавилонського періоду]] ([[XX століття до н. е.|XX]]—[[XVI століття до н. е.|XVI&nbsp;ст. до н. <span>е.</span>]]), що містять таблиці значень кубів та [[Кубічний корінь|кубічних коренів]]<ref name="Cooke">{{Книга
|автор = Roger Cooke
|заголовок = The History of Mathematics
|посилання = http://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63
|рік = 2012
|видавництво = John Wiley & Sons
|ISBN = 978-1-118-46029-0
|pages = 63
|назва = 
|archivedate = 21 травня 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210521074633/https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63
}}</ref><ref name="nen">{{Книга
|автор = Karen Rhea Nemet-Nejat
|заголовок = Daily Life in Ancient Mesopotamia
|посилання = http://books.google.com/books?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306
|рік = 1998
|видавництво = Greenwood Publishing Group
|ISBN = 978-0-313-29497-6
|pages = 306
|назва = 
|archivedate = 22 грудня 2019
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20191222021109/https://books.google.com/books?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306
}}</ref>. Вавилоняни могли використовувати ці таблиці для розв'язування кубічних рівнянь, але не існує жодних свідчень, що вони це робили<ref name="co">{{Книга
|автор = Roger Cooke
|заголовок = Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses
|посилання = http://books.google.com/books?id=JG-skeT1eWAC&pg=PA64
|рік = 2008
|видавництво = John Wiley & Sons
|ISBN = 978-0-470-27797-3
|pages = 64
|назва = 
|archivedate = 29 червня 2014
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20140629012726/http://books.google.com/books?id=JG-skeT1eWAC&pg=PA64
}}</ref>.

Задача [[подвоєння куба]] використовує найпростіше і найстаріше з кубічних рівнянь, і [[Стародавній Єгипет|стародавні єгиптяни]] не вірили, що його розв'язок існує<ref>{{Harvnb|Guilbeau|1930}} утверждает, что «египтяне полагали, что решение невозможно, но греки подошли к решению ближе.»</ref>. У [[V століття до н. е.|V&nbsp;ст. до н.&nbsp;е.]] [[Гіппократ Хіоський|Гіппократ]] звів цю задачу до знаходження двох [[Середнє геометричне|середніх пропорційних]] між одним відрізком та іншим, вдвічі більшим від нього, але не зміг розв'язати її [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|за допомогою циркуля та лінійки]]<ref name="Guilbeau">{{Harvnb|Guilbeau|1930}}</ref>, що, як тепер відомо, неможливо зробити.

У [[III століття|III столітті]] [[Давньогрецька математика|давньогрецький математик]] [[Діофант Александрійський|Діофант]] знайшов цілі та раціональні розв'язки для деяких кубічних рівнянь з двома невідомими ([[Діофантові рівняння|діофантових рівнянь]])<ref name="wae"/><ref>{{Книга
|заголовок = Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra
|автор = Thomas L. Heath
|посилання = https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala
|рік = 2009
|ISBN = 978-1578987542
|видавництво = Martino Pub
}}</ref>. Вважається, що [[Гіппократ Хіоський|Гіппократ]], [[Менехм]] і [[Архімед]] підійшли ближче до розв'язання задачі про подвоєння куба за допомогою [[Конічні перетини|конічних перерізів]]<ref name="Guilbeau"/>, хоча деякі історики, такі як {{Нп|Ревіель Нетц|3=en|4=Reviel Netz}}, кажуть, що невідомо, чи думали греки про кубічні рівняння, чи просто про здачі, які можуть привести до кубічних рівнянь. {{Нп|Томас Літтл Гіт|Томас Гіт|ru|Хит, Томас Литтл}}, перекладач і коментатор усіх праць [[Архімед]]а, які дійшли до нас, не погоджується, вказуючи на свідчення, що Архімед дійсно розв'язував кубічні рівняння за допомогою перетину двох [[конус]]ів<ref>{{Книга
|заголовок = The works of Archimedes
|автор = Archimedes (translation by T. L. Heath)
|рік = 2007
|ISBN = 978-1603860512
|видавництво = Rough Draft Printing
}}</ref>.

Чисельні методи розв'язування кубічних рівнянь з'являються в [[Математика у стародавньому Китаї|китайському математичному тексті]] ''[[Математика в дев'яти книгах]]'', складеному близько другого століття до нашої ери і прокоментованому китайським математиком [[Лю Хуей|Лю Хуеєм]] у [[III століття|III столітті]]<ref name="oxf"/>.

У [[VII століття|VII столітті]], за часів [[Династія Тан|династії Тан]], [[астроном]] і математик {{Не перекладено|Ван Сяотун||en|Wang Xiaotong}} у математичному трактаті, під назвою ''Цзігу Суаньцзін,'' виклав і розв'язав 25 кубічних рівнянь вигляду <math>x^3+px^2+qx=N</math>, у 23 з яких <math>p,q \ne 0</math> і у двох рівняннях <math>q = 0</math><ref>{{Книга
|автор = Yoshio Mikami
|заголовок = The Development of Mathematics in China and Japan
|сторінки = 53—56
|видавництво = Chelsea Publishing Co.
|місце = New York
|рік = 1974
|видання = 2nd ed
|ISBN = 978-0-8284-0149-4
}}</ref>.

=== Середньовіччя ===
В [[XI століття|XI столітті]] [[Перська література|перський поет]] і математик [[Омар Хаям]] (1048—1131) досяг суттєвого прогресу в теорії кубічних рівнянь. У ранніх роботах, присвячених кубічним рівнянням, він виявив, що кубічне рівняння може мати два розв'язки (випадку трьох коренів він не помітив{{Sfn|История математики, том I|1970|с=225}}), і стверджував, що рівняння не можна розв'язати за допомогою циркуля та лінійки. Він також знайшов [[Кубічне рівняння|геометричний ров'язок]]<ref>Робота Омара Хаяма, Scripta Math. 26 (1963), стор. 323—337</ref><ref>у книзі О'Коннора і Робертсона «Omar Khayyam», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, можна прочитати ''Ця задача привела Хаяма до кубічного рівняння'' ''x''<sup>3</sup> + 200''x'' = 20''x''<sup>2</sup> + 2000'', і він знайшов додатний корінь цього рівняння як перетин рівнобічної гіперболи та кола. Наближений чисельний розв'язок потім знайдено шляхом інтерполяції тригонометричних таблиць''.</ref>. У його пізнішій праці ''Трактат про демонстрацію задач алгебри'' він описав повну класифікацію кубічних рівнянь зі своїми загальними геометричними розв'язками, що використовують перетини [[Конічні перетини|конічних перерізів]]<ref>J. J. O'Connor и E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110921071716/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html |date=2011-09-21 }}, в [[Архів історії математики MacTutor|архіві історії математики MacTutor]], стверджують, «Хаям, схоже, був першим, хто задумався про загальну теорію кубічних рівнянь.»</ref><ref>{{Harvnb|Guilbeau|1930}} стверджує, «Омар Аль Хей Хорасан близько 1079 року зробив багато для просування методів розв'язування алгебричних рівнянь за допомогою перетинних конічних перерізів.»</ref>.

У [[XII століття|XII столітті]] індійський математик [[Бхаскара II]] намагався розв'язувати кубічні рівняння без особливих успіхів. Однак він навів один приклад розв'язання кубічного рівняння<ref>{{Книга
|автор = Datta, Singh
|заголовок = History of Hindu Mathematics
|сторінки = 76,
|місце = Delhi, India
|рік = 2004
|ISBN = 81-86050-86-8
}} стр. 76, Equation of Higher Degree; Bharattya Kala Prakashan</ref>:

: <math>x^3+12x=6x^2+35. </math>

У тому ж XII столітті [[Математика ісламського Середньовіччя|перський]] математик [[Шарафуддін ат-Тусі|Шараф ад-Дін]] написав ''Al-Mu'adalat'' (''Трактат про рівняння''), в якому йдеться про вісім типів кубічних рівнянь з додатними розв'язками та про п'ять типів, що не мають додатних розв'язків. Він використав підхід, який пізніше став відомим як метод [[Правило Руффіні|Руффіні]]&nbsp;— [[Схема Горнера|Горнера]] для [[Обчислювальна математика|чисельної]] апроксимації [[Нуль функції|кореня]] кубічного рівняння. Він також розробив концепцію [[Похідна|похідної]] функції та [[екстремум]]ів кривої для розв'язування кубічних рівнянь, які можуть не мати додатних коренів<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref>. Він зрозумів важливість [[дискримінант]]а кубічного рівняння для знаходження алгебричного розв'язку деяких видів кубічних рівнянь<ref>{{Стаття|author=J. L. Berggren|date=1990|title=Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat|видання=Journal of the American Oriental Society|volume=110|issue=2|pages=304—309|doi=10.2307/604533}}</ref>.

У середньовічній Європі до [[XVI століття]] успіхів у розв'язанні кубічних рівнянь не було. Леонардо Пізанський, відомий також як [[Фібоначчі]] (1170—1250), умів знаходити додатні розв'язки кубічного рівняння <math>x^3 + 2x^2 + 10x = 20</math> за допомогою [[Вавилонські цифри|вавилонських цифр]]. Він вказав розв'язок <math>1,22,7,42,33,4,40,</math> що дорівнює <math>1 + 22/60 + 7/60^2 + 42/60^3 + 33/60^4 + 4/60^5+ 40/60^6</math> у стандартному записі і відрізняється від точного розв'язку лише на три трильйонних.<ref>{{Стаття|title=The life and numbers of Fibonacci|url=http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html|видання=Plus Magazine|author=R. N. Knott and the Plus Team|date=2013|accessdate=6 грудня 2021|archivedate=17 травня 2008|archiveurl=https://web.archive.org/web/20080517023612/http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html}}</ref>

[[Лука Пачолі]] у трактаті «Сума арифметики, геометрії, відношень і пропорцій» (1494) писав, що загальне розв'язання кубічних рівнянь «''так само неможливе за сучасного стану науки, як і розв'язання [[Квадратура круга|квадратури круга]] циркулем та лінійкою''»<ref>{{Книга
|автор = Андронов И. К.
|заголовок = Математика действительных и комплексных чисел
|сторінок = 158
|сторінки = 91—92
|видавництво = Просвещение
|рік = 1975
}}</ref>.

=== Відкриття дель Ферро&nbsp;— Тартальї ===
На початку [[XVI століття]] італійський математик [[Сципіон дель Ферро]] знайшов загальний метод розв'язувння важливого класу кубічних рівнянь, а саме, рівнянь вигляду <math>x^3 + mx = n</math> з невід'ємними ''n'' і ''m''. Фактично всі кубічні рівняння можна звести до такого вигляду, якщо допустити можливість <math>m</math> і <math>n</math> бути від'ємними, але [[Від'ємне число|від'ємні числа]] тоді ще не вважалися допустимими. Дель Ферро тримав своє відкриття в секреті, поки не розповів про нього перед смертю своєму учневі Антоніо Фіоре (Antonio Fiore).
[[Файл:Niccolò_Tartaglia.jpg|міні|187x187пкс| Ніколо Фонтана Тарталья]]
1530 року [[Нікколо Тарталья]] отримав від {{Нп|Дзуанне да Кої|3=es|4=Zuanne da Coi}} дві задачі у вигляді кубічних рівнянь і оголосив, що він їх може розв'язати. Він незабаром отримав від Фіоре виклик на математичне змагання, яке після його завершення стало знаменитим. Кожен із них мав запропонувати супернику розв'язати певну кількість задач. Виявилося, що всі задачі, які отримав Тарталья, зводилися до кубічних рівнянь типу <math>x^3 + mx = n</math>. Незадовго до закінчення терміну Тартальї вдалося розробити загальний метод розв'язання кубічних рівнянь цього типу (перевідкривши метод дель Ферро), а також узагальнити його на два інші типи (<math>x^3= mx + n</math> і <math>x^3 + n=mx</math>). Після цього він швидко розв'язав усі запропоновані йому задачі. Фіоре ж отримав від Тартальї задачі з різних розділів математики, багато з яких виявилися йому не під силу; як наслідок, Тарталья виграв змагання.

Пізніше [[Джироламо Кардано|Джероламо Кардано]] неодноразово намагався переконати Тарталью розкрити секрет розв'язування кубічних рівнянь. [[1539]] року йому це вдалося: Тарталья повідомив свій метод, але за умови, що Кардано нікому його не відкриє до виходу книги самого Тартальї про кубічні рівняння, над якою він працював і де збирався опублікувати метод. Через шість років Тарталья так і не опублікував свою книгу, а Кардано, дізнавшись на той час про роботи Ферро, вважав за можливе опублікувати метод дель Ферро (із згадкою про те, що Тарталья незалежно його відкрив) у своїй книзі «''[[Ars Magna (Джироламо Кардано)|Ars Magna]]''» 1545 року. Кардано виправдовувався тим, що обіцяв не повідомляти нікому результатів Тартальї, а не дель Ферро. Проте, Тарталья вважав, що Кардано порушив обіцянку і надіслав тому виклик на змагання, якого Кардано не прийняв. Виклик, зрештою, прийняв учень Кардано [[Лодовіко Феррарі]], і виявився переможцем<ref>{{Книга
|автор = Victor Katz
|заголовок = A History of Mathematics
|посилання = https://archive.org/details/historyofmathema00katz
|сторінки = [https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/220 220]
|місце = Boston
|видавництво = Addison Wesley
|рік = 2004
|ISBN = 9780321016188
}}</ref>.

Кардано зауважив, що метод Тартальї іноді (а саме&nbsp;— за наявності трьох дійсних коренів) вимагає добування квадратного кореня з від'ємного числа. Він навіть включив обчислення з цими [[Комплексне число|комплексними числами]] в ''Ars Magna'', але насправді до кінця проблеми не зрозумів. [[Рафаель Бомбеллі]] вивчав цю проблему детально, тому вважається першовідкривачем комплексних чисел.

[[Франсуа Вієт]] (1540—1603) незалежно вивів розв'язок кубічного рівняння з трьома дійсними коренями. Його розв'язок ґрунтується на тригонометричній формулі

: <math>(2{\cdot}\cos \phi)^3-3{\cdot}(2{\cdot}\cos \phi)=2{\cdot}\cos(3{\cdot}\phi).</math>

Зокрема, підстановка <math>x=2{\cdot}a{\cdot}\cos \phi</math> зводить рівняння

: <math>x^3-3{\cdot}a^2{\cdot}x=a^2\cdot b.</math>

до вигляду

: <math>2{\cdot}a{\cdot}\cos (3{\cdot}\phi)= b.</math>

Пізніше [[Рене Декарт]] поглибив роботу Вієта<ref name="Nickalls">{{Стаття|author=R. W. D. Nickalls|title=Viète, Descartes and the cubic equation|url=http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf|видання=Mathematical Gazette|том=90|date=July 2006|pages=203—208|accessdate=6 грудня 2021|archivedate=6 грудня 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20211206122944/http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf}}</ref>.

== Корені рівняння ==
Число <math>x</math>, що перетворює рівняння на [[тотожність]], називають '''коренем''' або '''розв'язком рівняння'''. Воно є також [[Корінь многочлена|коренем многочлена]] третього степеня, що стоїть у лівій частині канонічного запису.

Над [[Поле (алгебра)|полем]] [[Комплексне число|комплексних чисел]], відповідно до [[Основна теорема алгебри|основної теореми алгебри]], кубічне рівняння

: <math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>

завжди має 3 корені <math>x_1, x_2, x_3</math> (з урахуванням кратності).

Оскільки кожен дійсний многочлен непарного степеня має хоча б один дійсний корінь, усі можливі випадки складу коренів кубічного рівняння вичерпуються трьома, описаними нижче.

Ці випадки розрізняються за знаком [[дискримінант]]а:

: <math> \Delta = a^4{\cdot}(x_1-x_2)^2{\cdot}(x_1-x_3)^2{\cdot}(x_2-x_3)^2 =</math>
:: <math>= -4{\cdot} b^3\cdot d + b^2{\cdot} c^2 - 4{\cdot} a{\cdot} c^3 + 18{\cdot} a{\cdot} b{\cdot} c{\cdot} d - 27{\cdot} a^2{\cdot} d^2.</math>

Можливі три випадки:

* Якщо <math>\Delta > 0,</math> то рівняння має три різні дійсні корені.
* Якщо <math>\Delta < 0,</math> то рівняння має один дійсний і пару [[Комплексне число|комплексно спряжених]] коренів, якщо коефіцієнти рівняння&nbsp;— дійсні числа і не обов'язково комплексно спряжених в іншому випадку.
* Якщо <math>\Delta = 0,</math> то хоча б два корені збігаються. Це може бути, коли рівняння має подвійний дійсний корінь і ще один відмінний від них дійсний корінь; або всі три корені збігаються, утворюючи корінь кратності 3. Розділити ці два випадки допомагає [[результант]] кубічного рівняння та його другої похідної: многочлен має корінь кратності 3 [[тоді й лише тоді]], коли зазначений результант також дорівнює нулю.

За теоремою Вієта корені кубічного рівняння <math>x_1,\,x_2,\,x_3</math> пов'язані з коефіцієнтами <math>a,\,b,\,c,\,d</math> такими співвідношеннями<ref>{{Книга
|автор = [[Бронштейн, Илья Николаевич|Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.]], [[Семендяев, Константин Адольфович|Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.]]
|заголовок = Справочник по математике
|місце = М.
|видавництво = Государственное издательство технико-теоретической литературы
|рік = 1967
|видання = Изд. 7-е, стереотипное
|сторінки = 139
}}</ref> :

: <math>x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a},</math>
: <math>x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{c}{a},</math>
: <math>x_1\,x_2\,x_3 = -\frac{d}{a}.</math>

Діленням зазначених співвідношень одне на одне можна отримати ще кілька співвідношень:

: <math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{c}{d},\quad d\ne0,</math>
: <math>\frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_1x_3} = \frac{b}{d},\quad d\ne0,</math>
: <math>\frac{1}{x_1x_2x_3} = -\frac{a}{d},\quad d\ne0.</math>

== Методи розв'язування ==
Загальні точні методи розв'язування:

* [[Формула Кардано]]
* [[Тригонометрична формула Вієта]]
* [[Перетворення Чірнхауса]]

Для деяких особливих типів кубічних рівнянь існують спеціальні способи розв'язування. Наприклад,:

* [[Зворотне рівняння]]
* [[Теорема Безу]]

Також можна застосовувати [[Методи розв'язання нелінійних рівнянь|чисельні методи розв'язування рівнянь]].

=== Метод Кардано ===

{{main|Формула Кардано}}
Введемо дві змінні <math>\ u</math> та <math>\ v</math>, такі що
: <math>\ z = u+v,</math>
підставивши їх в рівняння отримаємо
: <math>\ u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q = 0.</math>

введемо додаткову умову для змінних, а саме:
: <math>\ 3uv + p = 0,</math>
підставивши її в рівняння, та використавши <math>uv=-\frac{p}{3},</math> отримаємо та розв'яжемо [[квадратне рівняння]] відносно <math>\ u^3</math> наступним чином:
: <math>\ u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0, \qquad u^3 = -{q\over 2}\pm \sqrt{D}, \qquad D = {q^2\over 4}+{p^3\over 27}.</math>

Всього є три розв'язки рівняння <math>\ z^3+pz+q=0,</math> один з них є
: <math>z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{D}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{D}}.</math>

Якщо <math>p,q \in \R</math> та:
* <math>\ D>0,</math> то рівняння має один [[дійсні числа|дійсний]] корінь і два [[комплексні числа|комплексні]].
* <math>\ D<0,</math> то всі три корені рівняння є різними дійсними числами.
* <math>\ D=0,</math> то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

==== Приклад ====
Розв'яжемо рівняння <math>\ z^3-z=0,</math> з очевидними коренями -1, 0, +1:
: <math>D = {0^2\over 4}+{-1^3\over 27} = -{1\over 27}<0.</math>

=== Підстановка Вієта ===
Як зазначалося вище, будь-яке кубічне рівняння можна звести до вигляду:

: <math>t^3 + pt + q = 0,</math>

Зробимо підстановку, відому як підстановка Вієта:

: <math>t = w - \frac{p}{3w}</math>

Результатом буде рівняння:

: <math>w^3 + q - \frac{p^3}{27w^3} = 0.</math>

Помноживши на <math>w^3</math>, отримаємо рівняння шостого степеня від ''<math>w</math>'', яке, насправді, є квадратним рівнянням від <math>w^3</math>:

: <math>w^6 + qw^3 - \frac{p^3}{27} = 0</math>

[[Файл:Omar_Kayyám_-_Geometric_solution_to_cubic_equation.svg|міні|250x250пкс| Геометричний розв'язок [[Омар Хаям|Омара Хаяма]] кубічного рівняння для випадку <math>a=2, b=16</math>, що дає корінь <math>2</math>. Те, що вертикальна пряма перетинає вісь <math>x</math> у центрі кола,&nbsp;— специфічне для даного конкретного прикладу.]]
Розв'язуючи це рівняння, отримаємо <math>w^3</math>. Якщо <math>w_1</math>, <math>w_2</math> і <math>w_3</math> є трьома [[Кубічний корінь|кубічними коренями]] <math>w^3</math>, то корені початкового рівняння можна отримати за формулами

: <math>t_1 = w_1 - \frac{p}{3w_1}, \quad t_2 = w_2 - \frac{p}{3w_2}\quad</math> і <math> \quad t_3 = w_3 - \frac{p}{3w_3}.</math>

=== Розв'язок Омара Хаяма ===
Як показано на графіку, для розв'язання рівняння третього степеня <math>x^3 + a^2x = b</math>, де <math>b>0,</math> [[Омар Хаям]] побудував параболу <math>y=\frac {x^2}{a},</math> та коло, діаметром якого є [[відрізок]] <math>\left [ 0, \frac{b}{a^2} \right ]</math> додатної півосі <math>x</math>,  після чого провів  вертикальну пряму, що проходить через перетин параболи та кола. Розв'язок визначається довжиною горизонтального відрізка від [[Початок координат|початку координат]] до перетину вертикальної прямої з віссю <math>x</math>.

Просте сучасне доведення побудови: множимо на <math>x</math> рівняння та групуємо члени

: <math>\frac{x^4}{a^2}= x\,\left(\frac{b}{a^2}-x\right)\,.</math>

Ліва частина&nbsp;— це значення <math>y^2</math> на параболі. Рівняння кола, <math>y^2+x\,\left(x-\frac{b}{a^2}\right)=0,</math> збігається з правою частиною рівняння та дає значення <math>y^2</math> на колі.

== Див. також ==
* [[Дискримінант]]
* [[Формула Кардано]]
* [[Кубика]]
* [[Рівняння четвертого степеня]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{Корн.Корн.Справочник}}
* {{книга|автор=[[Бронштейн Ілля Миколайович|Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.]], [[Семендяєв Костянтин Адольфович|Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.]]|заголовок=Справочник по математике|місце=М.|видавництво=Государственное издательство технико-теоретической литературы|рік=1967|видання=Изд. 7-е, стереотипное|сторінки=138—139}}

== Посилання ==
* [http://www.mathforyou.net/CubicSol.html Докладне онлайн розв'язання кубічного рівняння] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190830010956/http://www.mathforyou.net/CubicSol.html |date=30 серпня 2019 }}

{{Поліноміальні рівняння (список)}}

[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Рівняння]]