Перегляд вихідного коду сторінки Кубооктаедр

{| class="wikitable mw-collapsible" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="430"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Кубооктаедр
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Cuboctahedron.png|210x210пкс]] [[Файл:Cuboctahedron.gif|200x200пкс]]

|-
|bgcolor=#e7dcc3|Тип||[[Архімедове тіло|Багатогранник Архімеда]]<br/>[[Однорідний многогранник|Однорідний багатогранник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Властивості||Напівправильний [[Опуклий політоп|опуклий]], рівносторонній, {{Не перекладено|Квазіправильний багатогранник|3=en|4=Quasiregular polyhedron|Квазіправильний}} (тобто і [[Ізогональність|вершинно-транзитивний]] і [[Ізотоксальна фігура|реберно-транзитивний]])
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Елементи|| 14 граней (8{3}+6{4}) <br/>24 ребра<br/>12 вершин (4-го степеня)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |[[Грань (геометрія)|Грані]]||
8 [[Правильний трикутник|Правильних трикутників]],<br/>
6 [[Квадрат]]ів
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Характеристика Ейлера]]||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Конфігурація вершини]]|| 3.4.3.4 = [3.4]<sup>2</sup> В кожній вершині сходяться 2 трикутника та 2 квадрата.
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Вершинна фігура]]|| [[Файл:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px|]]<br/> Прямокутник з довжинами сторін 1 та √2
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Класифікація'''</big>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Позначення|| • aC, aaT (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|3=en|4=Conway polyhedron notation|нотації Конвея}})<br/> • [[Однорідний многогранник|U]]<sub>07</sub> (як однорідний багатогранник) <br/> • C<sub>25</sub> (в нотації Коксетера)<br/> • [[Список моделей многогранників Веннінґера|W]]<sub>11</sub> (в [[Список моделей многогранників Веннінґера|нотації Веннінґера]])
|-
| rowspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |[[Символ Шлефлі]]|| r{3,4} або <math>\left \{ \begin{matrix} 3  \\ 4  \end{matrix}\right \}</math> <br/>rr{3,3} або <math> r \left \{ \begin{matrix} 3  \\ 3  \end{matrix}\right \}</math>
|-
| t<sub>1</sub>{4,3} або t<sub>0,2</sub>{3,3}
|-
|bgcolor=#e7dcc3| [[Символ Висофа]]<sup> {{iw|Wythoff_symbol|[en]|en|Wythoff_symbol}} </sup> ||  | {{math|   2 {{!}} 3 4}} <br/> {{math| 3 3 {{!}} 2}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3| [[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]] ||
{{CDD|node|4|node_1|3|node}} або (o4x3o) <br/>
{{CDD|node_1|3|node|3|node_1}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]||[[Групи симетрії#Тривимірний простір|O<sub>''h''</sub>]], B<sub>''3''</sub>, [4,3], (*432), порядок 48 (Повна {{Не перекладено|Октаедрична група симетрії|октаедрична група симетрії|en|Octahedral symmetry}})<br/>
[[Групи симетрії#Тривимірний простір|T<sub>''d''</sub>]], [3,3], (*332), порядок 24
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Ортогональна група|Група поворотів]]|| [[Octahedral symmetry|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432), порядок 24

|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Дуальний многогранник]]||
[[Ромбододекаедр]] <br/>[[Файл:Polyhedron 6-8 dual blue.png|100px|]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Розгортка]]|| [[Файл:Polyhedron 6-8 net.svg|200px|]]

|}
[[Файл:Kuboctaeder-Animation.gif|150px|справа|Кубооктаедр, що обертається]]
'''Кубооктаедр'''&nbsp;— [[Напівправильний многогранник|напівправильний]] опуклий багатогранник, одне з [[Архімедове тіло|тіл Архімеда]], що володіє двома властивостями:

# Всі грані є правильними багатокутниками (двох типів: правильні трикутники та квадрати);
# Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух, що переводить багатогранник сам в себе), яка переводить одну вершину в іншу.

Складається з 14 граней (8 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 6 [[квадрат]]ів).

Важливою ознакою багатогранника є те, що він має тільки два типи граней, причому кожна грань одного типу сусідня тільки з гранями іншого типу, тобто грані чергуються навколо кожної вершини. Ці багатогранники реберно-транзитивні, тому на крок ближче до правильних багатогранників, ніж напівправильні, які лише вершинно-транзитивні. Багатогранники, що мають цю властивість, називаються ''квазіправильними''.<ref>{{Cite book
|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-92714-5_3
|title=Regular and Semiregular Polyhedra
|last=Coxeter
|first=H. S. M.
|date=2012-11-27
|series=Shaping Space
|publisher=Springer New York
|location=New York, NY
|pages=41–52
|isbn=978-0-387-92713-8
}}</ref> Існує ще тільки один опуклий квазіправильний багатогранник&nbsp;— [[ікосододекаедр]].

В кубооктаедрі 12 однакових вершин, в яких сходяться два трикутники і два квадрати, а також 24 однакових ребра, кожне з яких розділяє між собою трикутну і квадратну грані.

[[Двоїстий многогранник|Двоїстий]] до кубооктаедра многогранник&nbsp;— [[ромбододекаедр]].

== Графічне зображення ==

Кубооктаедр можна отримати з куба або октаедра, застосувавши до них геометричну операцію «{{Не перекладено|Повне зрізання (геометрія)|повне зрізання|en|Rectification (geometry)}}» ‒ процес зрізання багатогранника шляхом позначки середини всіх його ребер і відсічення всіх вершин аж до цих точок.

[[Файл:Cube truncation sequence.svg|520px]]

Наступна послідовність многогранників ілюструє утворення кубооктаедра:
{| {{prettytable}} border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="   margin:0 .5em .5em 0; margin-top:.5em; margin-bottom:.5em; border:1px solid #CCC; border-collapse:collapse;  font-family: Arial, Frutiger 45 Light, Helvetica, Arial Unicode MS, Lucida Sans Unicode, Lucida Grande, TITUS Cyberit Basic, Code2000, MV Boli, @MS Mincho;"
|[[Файл:Uniform_polyhedron-43-t0.png|100px]]<br/>{{center|[[куб]]}}
|[[Файл:Uniform_polyhedron-43-t1.svg|135px]]<br/>{{center|кубооктаедр}}
|[[Файл:Uniform_polyhedron-43-t2.png|100px]]<br/>{{center|[[октаедр]]}}
|}
[[Файл:Polyhedron_pair_6-8.png|безрамки]]Кубооктаедр з ребром <big><math>a</math></big> є спільною частиною поєднанняя куба з ребром <math>\sqrt{2}\cdot a</math> та октаедра з ребром <math>2\cdot a</math>. При цьому кубооктаедр займає <math>\frac{5}{6}</math> об'єму, що займає куб та <math>\frac{5}{8}</math> об'єму, що займає октаедр.

[[Файл:Cuboctahedron 3 planes.png|153x153px]][[Файл:Cuboctahedron B2 planes.png|158x158px]][[Файл:Розсічення кубооктаедра.png|безрамки|218x218пкс]]

Кубооктаедр можна розділити площиною на дві рівні частини. При цьому переріз матиме форму [[Шестикутник|правильного шестикутника]]. Таких шестикутних перерізів кубооктаедр має чотири. При цьому утворюються два [[Трисхилий купол|трисхилих купола]]&nbsp;— [[Правильногранний багатогранник|багатогранник Джонсона]] J3, повернені відносно один одного. Тому кубооктаедр також можна назвати '''скрученим трисхилим бікуполом'''.

При іншому екваторіальному перерізі кубооктаедра утворюється квадрат.

[[Файл:Cuboctahedron flat.svg|thumb|Ще одна [[Розгортка многогранника|Розгортка]] кубооктаедра]][[Файл:Cuboctahedron.stl|thumb|Тривимірна модель кубооктаедра]]

== Формули ==

=== Діагоналі ===
Кількість діагоналей опуклого багатогранника: <math>\binom{B}{2} - P</math>, де В&nbsp;— кількість вершин, Р&nbsp;— кількість ребер багатогранника. Для кубооктаедра:

<math>\binom{12}{2} - 24 = \frac{12}{2} \cdot \frac{11}{1} -24 = 42</math> діагоналі (12 граневих та 30 просторових).

{| border="2"
|----
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | <big>Діагоналі кубооктаедра з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" | [[Файл:Діагоналі кубооктаедра.png|180x180пкс]]
| Гранева діагональ
|<math>AB=\sqrt{2}\cdot a \approx 1.41421356237 \cdot a</math>
|-
| Просторові діагоналі
|<math>AC=\sqrt{3}\cdot a \approx 1.73205080756 \cdot a</math><br/><math> AD=2 \cdot a </math>
|}

=== Метричні характеристики ===
{| border="2"
|----
! colspan="4" bgcolor="#c0c0ff" | <big>Для кубооктаедра з довжиною ребра а:</big>

|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]]''' <br/> (проходить через всі вершини)
| <math>R= a </math>
|
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]''' <br/> (дотикається до всіх ребер)
| <math>\rho = \frac {\sqrt{3}}{2} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.8660254 \cdot a </math>
|----
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Радіус сфери <big>''r''<sub>3</sub></big> та <big>''r''<sub>4</sub></big>'''<br/> (дотична до всіх трикутних граней <br/> та відповідно, квадратних граней в їх центрах)
| rowspan="2" bgcolor="#DC DC DC" width="150" |'''Вписаної сфери кубооктаедр не має'''
|<math>r_3= \frac {\sqrt{6}}{3} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.8164965 \cdot a </math>
|----
|<math>r_4= \frac {\sqrt{2}}{2} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.7071067 \cdot a </math>
|----
| colspan="2" rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H<sub>3</sub></big>''' та ''' <big>H<sub>4</sub></big> ''' <br/> (Відстань між протилежними трикутними
та протилежними квадратними гранями)
|<math>H_3= 2\cdot \frac {\sqrt{6}}{3} \cdot a </math>
|<math>\approx 1.6329931 \cdot a </math>
|----
|<math>H_4 = \sqrt{2} \cdot a </math>
|<math>\approx 1.4142135 \cdot a </math>
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''[[Площа поверхні]]'''
| <math>S = 2\cdot (3+\sqrt{3}) \cdot a^2 </math>
|<math>\approx 9.4641016 \cdot a^2 </math>
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''[[Об'єм]]'''
| <math>V = \frac{5}{3} \sqrt{2} \cdot a^3</math>
|<math>\approx 2.3570226 \cdot a^3 </math>
|}

=== Кути ===
Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°.

Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300°.

{| border="2"
|----
! colspan="3" style="background:#c0c0ff" width="500" | <big>Кути багатогранника</big>
|----
|class ="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Кут між несусідніми ребрами'''<br/>'''при вершині'''
|<math> \varphi = \arccos \left (- \frac{1}{2} \right ) </math>
|<math> = \frac{2 \pi}{3}  </math> '''rad''' = '''120°'''
|----
|class ="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Кут, під яким ребро кубооктаедра''' <br/> '''видно з його центра '''
|<math> \theta = \arccos \left ( \frac{1}{2} \right ) </math>
|<math> = \frac{ \pi}{3}  </math> '''rad''' '''=''' '''60°'''
|-----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {4}'''
|<math> \alpha= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3}  \right ) = \arcsec \left ( -\sqrt{3} \right ) </math>
|'''≈''' '''2.18627603546528 rad'''
'''≈''' '''125° 15′ 51.80285791′′'''
|----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині'''
|<math> \Omega =  \arccos \left( -\frac{7}{9} \right) = 4 \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = </math> <br/>
<math> = 8 \arctan \left(\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) </math>
|<math> \Omega \thickapprox 2.4619188346815  </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
<math> \thickapprox 0.7837 \pi  </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|----
|class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Тілесний кут, під якимм трикутну грань '''
'''видно з центру кубооктаедра'''
|<math> \Omega_1 = 2 \pi - 6\cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)</math>
|<math> \Omega_1 \thickapprox 0.551285598432 </math> '''ср'''
|----
|class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Тілесний кут, під якимм квадратну грань '''
'''видно з центру кубооктаедра'''
|<math> \Omega_2  = 2 \pi -8\cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)</math>
|<math> \Omega_2 \thickapprox 1.359347637816 </math> '''ср'''

|----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" | [[Сферичність]]
|<math> \Psi = \sqrt [3] \frac{ {25 \pi \left(9 - 5 \sqrt{2}\right)}} {36} </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0,90499718 </math>
|}

== Зірчасті форми кубооктаедра ==

Продовження граней кубооктаедра призводить до чотирьох [[Зірчастий многогранник|зірчастих багатогранників]]:

<gallery>
Zeroth stellation of cuboctahedron.png|Кубооктаедр
First stellation of cuboctahedron.png|Перша зірчаста форма
Second stellation of cuboctahedron.png|Друга зірчаста форма
Third stellation of cuboctahedron.png|Третя зірчаста форма
Fourth stellation of cuboctahedron.png|Четверта зірчаста форма
</gallery>
Грані зірчастих форм кубооктаедра
<gallery>
Файл:Zeroth stellation of cuboctahedron.png|Кубооктаедр
Файл:First stellation of cuboctahedron trifacets.png|Перша зірчаста форма
Файл:Second stellation of cuboctahedron trifacets.png|Друга зірчаста форма
Файл:Third stellation of cuboctahedron square facets.png|Третя зірчаста форма
Файл:Fourth stellation of cuboctahedron trifacets.png|Четверта зірчаста форма
</gallery>

Перша зірчаста форма виходить шляхом добудови на гранях кубооктаедра трикутних та чотирикутних пірамід і є сполукою куба та октаедра.

Наступна зірчаста форма утворена шляхом приєднання 24 біпірамід до сполуки куба та октаедра.

Третя зірчаста форма кубооктаедра є поєднанням шести прямих квадратних пірамід.

Остання зірчаста форма кубооктаедра є поєднанням зірки Кеплера ([[Зірчастий октаедр|зірчастого октаедра]]) і трьох правильних чотирикутних призм, загальною частиною яких є вихідний куб.

== Ортогональні проєкції ==
Кубооктаедр має чотири спеціальних [[Проєкційна матриця|ортогональних проєкцій]], що центровані по вершині, ребру та двох типах граней (трикутній та квадратній). Дві останні відповідають [[Число Коксетера|площинам Кокстера]] B{{sub|2}} і A{{sub|2}}. Косі проекції показують квадрат і шестикутник, що проходять через центр кубоктаедра.
 {|class=wikitable
|+ Ортогональні проєкції кубооктаедра
|-
!Центровані по
!Вершині
!Ребру
!Трикутній<br/>грані
!Квадратній<br/>грані
!colspan=2|Косі проєкції
|-
!Зображення
|[[Файл:Polyhedron 6-8 from blue max.png|60px]]
|
|[[Файл:Polyhedron 6-8 from yellow max.png|80px]]
|[[Файл:Polyhedron 6-8 from red max.png|70px]]
|
|
|- align=center
|
|[[Файл:Cube t1 v.png|80px]]
|[[Файл:Cube t1 e.png|80px]]
|[[Файл:3-cube t1.svg|80px]]
|[[Файл:3-cube t1 B2.svg|80px]]
|[[Файл:Cuboctahedron B2 planes.png|80px]]
|[[Файл:Cuboctahedron 3 planes.png|80px]]
|- align=center
!Проєктивна<br/>симетрія
|[2]
|[2]
|[6]
|[4]
|
|-
!colspan=7|[[Ромбододекаедр]] (Двоїстий багатогранник)
|-
!Зображення
|[[Файл:Dual cube t1 v.png|80px]]
|[[Файл:Dual cube t1 e.png|80px]]
|[[Файл:Dual cube t1.png|80px]]
|[[Файл:Dual cube t1 B2.png|80px]]
|[[Файл:Dual cube t1 skew1.png|80px]]
|[[Файл:Dual cube t1 skew2.png|80px]]

|}

== Граф кубооктаедра ==
{{Граф|name=Граф кубооктаедра|vertices=12|edges=24|radius=3|diameter=3|chromatic_number=3|properties=[[Регулярний граф| Регулярний]], [[Планарний граф|планарний]], [[Гамільтонів граф | гамільтонів]], [[Ейлерів ланцюг|ейлерів]], квадратичний, [[Циклічний граф|циклічний]], [[Вершинно-транзитивний граф|вершинно-транзитивний]], [[Реберно-транзитивний граф|реберно-транзитивний]], [[Локально лінійний граф | локально-лінійний]]|image=[[File:Cuboctahedral graph.png|240px]]|girth=3|automorphisms=48|image_caption=4-fold symmetry}}
В [[Теорія графів|теорії графів]] граф кубооктаедра&nbsp;— це один з [[Архімедів граф|архімедових графів]], що має [[N-кістяк|кістяк]] [[кубооктаедр]]а.

Він має 12 вершин [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]] 4 і 24 ребра.

Граф кубооктаедра&nbsp;— планарний [[Локально лінійний граф|локально лінійний]] граф, який можна утворити як [[реберний граф]] куба або приклеюванням [[Квадратна антипризма|антипризм]] у внутрішню та зовнішню грані 4-циклу. Також він є {{Не перекладено|Квадратичний граф|квадратичним|en|Quartic graph}} та [[Симетричний граф|симетричним графом]].<ref>{{Cite book
|title=An Atlas of Graphs
|last=Read, R. C.; Wilson, R. J.
|year=1998
|publisher=Oxford University Press
|pages=269
|language=англ.
}}</ref>

Граф кубооктаедра є [[Цілий граф|цілим графом]] та має [[Спектральна теорія графів|спектр]] <math>Spec(G)=(-2)^50^32^34^1</math>

Має 200 [[Гамільтонів граф|гамільтонових циклів]]. Деякі з них:
[[Файл:Гамільтоновий цикл графа кубооктаедра.png|без|міні|Гамільтонів цикл графа кубооктаедра]]
{1&nbsp;— 2&nbsp;— 3&nbsp;— 4&nbsp;— 8&nbsp;— 9&nbsp;— 5&nbsp;— 10&nbsp;— 6&nbsp;— 11&nbsp;— 12&nbsp;— 7&nbsp;— 1}

{1&nbsp;— 2&nbsp;— 3&nbsp;— 4&nbsp;— 5&nbsp;— 9&nbsp;— 10&nbsp;— 6&nbsp;— 11&nbsp;— 7&nbsp;— 12 ‒ 8&nbsp;— 1}

{1&nbsp;— 2&nbsp;— 3&nbsp;— 4&nbsp;— 5&nbsp;— 10&nbsp;— 6&nbsp;— 11&nbsp;— 7&nbsp;— 12&nbsp;— 9 ‒ 8&nbsp;— 1}

== Цікаві відомості ==

==== Заповнення простору ====
Кубооктаедрами неможливо [[Стільник (геометрія)|заповнити]] тривимірний простір без проміжків та накладень, тому що при змиканні квадратів залишається незайнятим простір у вигляді октаедра, а при змиканні трикутників&nbsp;— у вигляді кубів. Заповнити тривимірний простір без проміжків і накладень можна за допомогою кубооктаедрів та інших багатогранників, наприклад, октаедрів чи кубів.
[[Файл:Icosahedron in cuboctahedron.png|міні|370x370пкс]]
<gallery>
HC A3-P3.png|Кубооктаедр + [[Октаедр]]
HC A5-A3-P2.png|Кубооктаедр + [[Ромбокубооктаедр|Ромбокубоктаедр]] + [[Куб]]
HC A1-A3-A4.png|Кубооктаедр + [[Зрізаний октаедр]] + [[Зрізаний тетраедр]]
</gallery>Кубоктаедр можна отримати, взявши екваторіальний переріз чотиривимірних [[Двадцятичотирьохкомірник|24-комірника]] або [[Шістнадцятикомірник|16-комірника]].

[[Правильний ікосаедр]] топологічно ідентичний кубооктаедру з 6 квадратними гранями, розбитими по діагоналях.

== Двоїстий багатогранник ==

Кубооктаедр має канонічно-[[Дуальний многогранник|двоїстий багатогранник]]. [[Напіввписана сфера|Середньовписані сфери]] канонічно двоїстої пари багатогранників співпадають. Для такого способу побудови&nbsp;— двоїстий багатогранник до двоїстого співпадає з початковим. Грань двоїстого будується [[Двоїстий однорідний многогранник#Побудова Дормана Люка|методом Дормана Люка]] (метод діє лише для однорідних багатогранників).

[[Файл:DormanLuke.svg]]

Канонічно двоїстим багатогранником до кубооктаедра є Ромбододекаедр.

Має 12 граней: ромби з гострим кутом <math>\alpha = \arccos \left ( \frac{1}{3} \right ) \approx 1.2309594  rad \approx 70^\circ 31'43.6057''</math> ; 24 ребер, 14 вершин.

Якщо ребро кубооктаедра дорівнює <big><math>a</math></big>, то ребро двоїстого ромбододекаедра дорівнює <math>\frac{3\sqrt{6}}{8} \cdot a \approx 0.91855\cdot a</math>

<gallery>
Polyhedron 6-8 dual blue.png|Ромбододекаедр
Rhombicdodecahedron net.svg|Розгортка ромбододекаедра
Dual compound 6-8 max.png|Поєднання кубооктаедра та ромбододекаедра
</gallery>

== Споріднені багатогранники ==
Кубооктаедр належить до родини [[Однорідний многогранник|однорідних многогранників]], пов'язаних з [[куб]]ом та [[октаедр]]ом.

Кубоктаедр має повну {{Не перекладено|Октаедрична група симетрії|октаедричну симетрію|en|Octahedral symmetry}} O<sub>h</sub>, порядок 48. В цьому випадку його можна розглядати як {{Не перекладено|Повне зрізання (геометрія)|повністю зрізаний|en|Rectification (geometry)}} ''октаедр'' або ''повністю зрізаний куб''.
{{Октаедричні зрізи}}

Кубоктаедр також має [[Тетраедрична симетрія|тетраедричну симетрію]] T<sub>d</sub>, порядок 24 з двома кольорами трикутників. Його можна розглядати як {{Не перекладено|Кантеляція (геометрія)|кантельований|en|Cantellation (geometry)}} тетраедр і можна назвати ''ромботетратетраедром'':

{| class="wikitable mw-collapsible" style="margin-bottom: 35px;"
|+ [[Однорідний многогранник|Родина однорідних тетраедричних багатогранників]]
! colspan="7" |[[Список груп сферичної симетрії|Симетрія]]: [[Тетраедрична симетрія|[3,3]]], (*332)
![3,3]<sup>+</sup>, (332)
|- style="text-align: center;"
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t0.png|54x54пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t01.png|53x53пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t1.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t12.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t2.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t02.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t012.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-s012.png|50x50пкс]]
|- style="text-align: center;"
!{{ДКД|node_1|3|node|3|node}}
!{{ДКД|node_1|3|node_1|3|node}}
!{{ДКД|node|3|node_1|3|node}}
!{{ДКД|node|3|node_1|3|node_1}}
!{{ДКД|node|3|node|3|node_1}}
!{{ДКД|node_1|3|node|3|node_1}}
!{{ДКД|node_1|3|node_1|3|node_1}}
!{{ДКД|node_h|3|node_h|3|node_h}}
|- style="text-align: center;"
|[[Чотиригранник|{3,3}]]
|[[Зрізаний тетраедр|t{3,3}]]
|r{3,3}
|[[Зрізаний тетраедр|t{3,3}]]
|[[Чотиригранник|{3,3}]]
|[[Кубооктаедр|rr{3,3}]]
|[[Зрізаний октаедр|tr{3,3}]]
|[[Ікосаедр|sr{3,3}]]
|-
! colspan="8" |Двоїсті многогранники
|- style="text-align: center;"
|[[Файл:Tetrahedron.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.jpg|56x56пкс]]
|[[Файл:Hexahedron.svg|56x56пкс]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.jpg|56x56пкс]]
|[[Файл:Tetrahedron.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:RhombicDodecahedron.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Tetrakishexahedron.jpg|52x52пкс]]
|[[Файл:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50x50пкс]]
|- style="text-align: center;"
!{{ДКД|node_f1|3|node|3|node}}
!{{ДКД|node_f1|3|node_f1|3|node}}
!{{ДКД|node|3|node_f1|3|node}}
!{{ДКД|node|3|node_f1|3|node_f1}}
!{{ДКД|node|3|node|3|node_f1}}
!{{ДКД|node_f1|3|node|3|node_f1}}
!{{ДКД|node_f1|3|node_f1|3|node_f1}}
!{{ДКД|node_fh|3|node_fh|3|node_fh}}
|- style="text-align: center;"
|[[Чотиригранник|V3.3.3]]
|[[Триакістетраедр|V3.6.6]]
|[[Куб|V3.3.3.3]]
|[[Триакістетраедр|V3.6.6]]
|[[Чотиригранник|V3.3.3]]
|[[Ромбододекаэдр|V3.4.3.4]]
|V4.6.6
|V3.3.3.3.3
|}
Кубоктаедр також має симетрію D<sub>3d</sub>, порядок 12. В цьому випадку його можна розглядати як трисхилий повернутий бікупол.

== Джерела ==
* {{MathWorld|urlname=Cuboctahedron|title=Кубооктаедр}}
* Пчелінцев В.&nbsp;О.&nbsp;Кристалографія, кристалохімія та мінералогія. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Суми: Вид-во СумДУ, 2008,&nbsp;— 232с.
* [https://scholar.google.com/citations?view_op=view_citation&hl=uk&user=rjljT6AAAAAJ&citation_for_view=rjljT6AAAAAJ:hqOjcs7Dif8C Гордєєва Є. П., Величко В.&nbsp;Л.&nbsp;Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007,&nbsp;— 198с.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170329142912/https://scholar.google.com/citations?view_op=view_citation&hl=uk&user=rjljT6AAAAAJ&citation_for_view=rjljT6AAAAAJ:hqOjcs7Dif8C |date=29 березня 2017 }}
* [[Александров Павло Сергійович|П.&nbsp;С.&nbsp;Александрова]], А.&nbsp;И.&nbsp;Маркушевича и А.&nbsp;Я.&nbsp;Хинчина. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963,&nbsp;— 568с.
{{Багатогранники}}

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Архімедові тіла|К]]