Перегляд вихідного коду сторінки Куб

{{Otheruses}}
{| border="2" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" width="400" style="margin-left:10px"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Куб</big></big> </span>
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл:Hexahedron.svg|210x210пкс]]
[[:Файл:Hexahedron.gif|Натисніть тут]], щоб подивитися обертання моделі

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Тип'''
|[[Правильний многогранник|Правильний багатогранник]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''
|[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній,[[Однорідний многогранник|однорідний]], [[Ізогональність|вершинно-транзитивний]], [[Ізоедральне тіло|гране-транзитивний]], [[зоноедр]], [[Многогранник Ганнера|багатогранник Ганнера]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''
|6 [[Грань (геометрія)|граней]] {4};<br />12 [[Ребро (геометрія)|ребер]];<br />8 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]).
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''
|6 [[Квадрат|квадратів]]<br/>[[Файл:regular quadrilateral.svg|50 пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''
|<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація вершини]]'''
|4.4.4 = 4<sup>3</sup> <br/> В кожній вершині сходяться 3 квадрати.
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація_вершини#Конфігурація_грані|Конфігурація грані]]'''|| V 3.3.3.3 = V (3)<sup>4</sup>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Вершинна фігура]]'''
|[[Файл:Cube_vertfig.png|100x100пкс]] <br/>[[Правильний трикутник]] з довжиною сторони  <math>\sqrt{2}  </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''
|• C (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|нотації Конвея|en|Conway polyhedron notation}} ) <br/> • P<sub>4</sub> (в [https://polytope.miraheze.org/wiki/Stewart_notation нотації Стюарта]) <br/>• [[Однорідний многогранник|U]]<sub>06</sub> (як однорідний багатогранник) <br/>• C<sub>18</sub> (в нотації [[Гарольд Коксетер| Г. Коксетера]]) <br/>• [[Список моделей многогранників Веннінґера|W]]<sub>3</sub> (в нотації [[Маґнус Веннінґер|М. Веннінґера]])
|-
| rowspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''
|<math>\{4,3\}</math>
|-
|border="1" |Як квадратна призма: <br/> <math>t\{2,4\}</math> або <math>\{4\}\times\{\}</math><br/> Як прямокутний паралелепіпед:<br/> <math>tr\{2,2\}</math> або <math>\{\}\times\{\}\times\{\}= \{\} ^3</math>  {{Sfn|N. W. Johnson|2018}} {{rp|ст.234}}
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |{{Не перекладено|Символ Витгоффа|Символ Витгоффа|en|Wythoff_symbol}} 
| <big>|3  {{!}} 2 4</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]'''
|{{ДКД|node_1|4|node|3|node}} (або x4o3o)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграма Шлегеля]]'''
|[[Файл:Cube skeleton.svg|80x80пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''
|{{Не перекладено|Октаедрична симетрія|O<sub>h</sub>|en|Octahedral symmetry}}, B<sub>3</sub>, [4,3], (*432), порядок 48 <br/>(Повна симетрія правильного октаедра)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Ортогональна група|Група обертань]]'''
|O, [4,3]<sup>+</sup>, (432), порядок 24
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''
|[[Правильний октаедр]] <br/> [[Файл:Octahedron.png|94x94пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Розгортка]]'''
|[[Файл:Hexahedron flat color.svg|200x200пкс]]
|}'''Куб''' (від {{lang-la|cubus}} і далі від {{lang-grc|κύβος}}, первісно&nbsp;— «кубічна кістка для гри»)<ref>{{ЕСУМ3}}</ref> або '''правильний''' '''гекса́едр''' (від {{lang-grc|ἑξα-}}&nbsp;— «шість» + {{lang-el2|ἕδρα}}&nbsp;— «грань, поверхня»)&nbsp;— [[Правильний многогранник|правильний]] [[Шестигранники|шестигранник]], поверхня якого складена з шести [[Квадрат|квадратів]], є одним з п’яти опуклих [[Правильний многогранник|правильних багатогранників]] (тіл Платона).
[[Файл:Cube Animation.gif|ліворуч|безрамки]]
Куб складений з 6 квадратних граней.

Має 12 ребер однакової довжини та 8 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (у кожній сходяться 3 ребра). Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів.

Куб також є квадратним [[паралелепіпед]]ом, рівностороннім кубоїдом, прямим (правильногранним) [[Ромбоедр|ромбоедром]], правильною квадратною [[Призма (математика)|призмою]], прямокутним {{Не перекладено|Трикутний трапецоедр|трикутним трапецоедром|en|Trigonal trapezohedron}}. Куб є [[Зоноедр|зоноедром]] та {{Не перекладено|Параллелоедр|параллелоедром|en|Parallelohedron}}.

Куб є мірним багатогранником [[Тривимірний простір|тривимірного простору]]. Тобто куб з довжиною ребра <math>1</math> є одиницею виміру [[Об'єм|об'єму]] простору (так само як квадрат є одиницею вимірювання [[Площа|площі]]).

Куб має повну {{Не перекладено|Октаедрична симетрія|октаедричну симетрію|en|Octahedral symmetry}} O<sub>h</sub>, [[Група Коксетера|групу Коксетера]] [4,3], порядку 48, з абстактною структурою групи   [[Перестановка|''S''<sub>4</sub>]] × [[Циклічна група|''Z''<sub>2</sub>]]. 

Підгрупа із 24 симетрій обертання (тих, що зберігають орієнтацію простору) ізоморфна групі ''S''<sub>4</sub> перестановок з 4 елементів.

[[Файл:01 Würfel-Symmetrie.svg|ліворуч|міні|255x255пкс]]
Куб має 13 [[Вісь симетрії|осей]] [[Ортогональна група|обертової симетрії]]:

‒ 3 осі 4-го порядку — проходять через центри протилежних граней; (поворот на 90°, 180° і 270°);

‒ 4 осі 3-го порядку — проходять через протилежні вершини; (поворот на 120° і 240°);

‒ 6 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180°).

Має 9 площин [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]]: 3 з них проходять через середини паралельних реберта перпеддикулярні до них, а 6 — через [[Діагональ|діагоналі]] протилежних граней (через протилежні паралельні ребра  куба).

Має [[Центральна симетрія|центр симетрії]] (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Сума плоских кутів при кожній з 8 вершин дорівнює 270°.

У різних дисциплінах використовуються значення терміна, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в [[алгебра|алгебрі]] ''[[Куб (алгебра)|кубом числа]]'' називають значення цього числа, [[піднесення до степеня|піднесене до 3-го степеня]]. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.

== Властивості ==
*Куб має найбільший об'єм серед [[Прямокутний паралелепіпед|прямокутних паралелепіпедів]] із такою ж [[Площа поверхні|площею поверхні]]. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).

* Площини, що проходять перпендикулярно до осей симетрії куба, утворюють [[Переріз (креслення)|перерізи]] у вигляді [[Правильний многокутник|правильних багатокутників]]. <ref name="Villemin">{{Lien web|auteur=Gérard Villemin|titre=Section du cube|url=http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/CubeSect.htm|date=|site=|consulté le=3 octobre 2019}}.</ref>

Зокрема, [[Переріз (креслення)|переріз]] куба площиною, перпендикулярною до осей симетрії 4-го порядку, є [[Квадрат|квадратом]]. Перерізом куба площиною, перпендикулярною до осей симетрії 3-го порядку (діагоналей куба), може бути: 

# [[правильний трикутник]] ; Найбільший за площею переріз у вигляді правильного трикутника (проходить через три вершини куба) ділить діагональ куба у співвідношенні 2:1;
# [[правильний шестикутник]] (якщо площина проходить також через центр куба; таких перерізів у куба є 4);
# [[Ізогональність|напівправильний рівнокутний шестикутник]] (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Також 12 перерізів куба площинами, перпендикулярними до осей симетрії 2-го порядку, є [[Квадрат|квадратами]]. Ці перерізи знаходяться на відстані  <math> \frac{\sqrt2-1}{2} \cdot a</math> від діагональних площин симетрії.

{{Clear}}<gallery widths="160" heights="160" perrow="4">
Файл:Cube section.svg|Переріз куба у вигляді [[Правильний трикутник|правильного трикутника]]
Файл:01 Würfel-Schnittebene-Quadrat.svg|Переріз куба у вигляді [[Квадрат|квадрата]]
Файл:Cube section hexagone.svg|Переріз куба у вигляді [[Правильний шестикутник|правильного шестикутника]]
Файл:Cube section square.svg|Переріз куба у вигляді квадрата
</gallery>

* Куб утворює [[Стільник (геометрія)|стільник]], тобто кубами можна замостити [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень. Куб є єдиним [[Правильний многогранник|правильним багатогранником]], що має таку властивість.

{{multiple image|align=left|total_width=500
|image1=Cubo desarrollo.gif
|image2=The 11 cubic nets.svg
|caption1= Анімація складання розгортки куба
|caption2= 11 розгорток куба.
|footer=
}}
* Куб має 11 різних [[Розгортка многогранника|розгорток]] <ref>{{cite web|url=http://www.gwydir.demon.co.uk/jo/solid/cube.htm|title=Cube|last=Edkins|first=Jo|year=2007|website=Solid shapes and their nets|language=англ.|archive-url=https://web.archive.org/web/20191226042359/http://www.gwydir.demon.co.uk/jo/solid/cube.htm|archive-date=2019-12-26|url-status=}}</ref> <ref name="mathworld" /> {{Sfn|Richard Goldstone, Robert Suzzi Valli|2016}}  <ref>{{Cite web|url=https://demonstrations.wolfram.com/All11FoldingNetsOfTheCube/|title=All 11 Folding Nets of the Cube - Wolfram Demonstrations Project|website=demonstrations.wolfram.com|access-date=2024-05-30}}</ref>(так само як і правильний октаедр).

Тобто, існує одинадцять способів зробити із куба пласку розгортку, розрізаючи його по семи ребрах.  

* Для того, щоб зафарбувати куб так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.{{Clear}}
=== Зв'язок з правильним октаедром ===
[[Файл:Dual compound 8 max.png|ліворуч|безрамки]]
Куб та [[правильний октаедр]] є взаємно [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстими]] багатогранниками. Тобто центри граней куба відповідають вершинам правильного октаедра, і навпаки, центри граней правильного октаедра відповідають вершинам куба.



Якщо куб має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий октаедр (вершини знаходяться в центрах граней початкового куба) має ребро довжиною <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071067811 </math>,  а канонічно двоїстий октаедр ([[Напіввписана сфера|напіввписані сфери]] канонічно-двоїстої пари багатогранників збігаються) має ребро довжиною <math>\sqrt{2} \approx 1.414213562</math> <ref name= "mathworld">{{mathworld |urlname=Cube |title=Cube}}</ref>{{Clear}}{{multiple image|align=right|total_width=400
|image1=Dual Cube-Octahedron.svg
|image2=Cube in the octahedron.png

|caption1= Октаедр, вписаний в куб
|caption2= Куб, вписаний в октаедр
}}
*У куб можна вписати [[правильний октаедр]] таким чином, що всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.
* Куб можна вписати в [[правильний октаедр]] таким чином, що всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.
{{Clear}}

=== Зв'язок з іншими правильними багатогранниками ===
{{multiple image|align=left|total_width=600
|image1=Stellated octahedron in cube.jpg
|image2=Додекаедр,_вписаний_куб.png
|image3=Icosaèdre cube.jpg
|caption1= Два [[Правильний тетраедр|тетраедри]] (або [[зірчастий октаедр]]), вписані в куб
|caption2= Куб, вписаний в [[правильний додекаедр]]
|caption3= [[Правильний ікосаедр]], вписаний в куб.
}}
* У куб можна вписати [[правильний тетраедр]] двома способами таким чином, що чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і збігатимуться з його граневими діагоналями.
* Куб можна вписати в вершини [[Правильний додекаедр|правильного додекаедра]]. При цьому ребра куба будуть збігатися з граневими діагоналями додекаедра.
В вершини додекаедра можливо вписати п'ять різних кубів. При цьому буде утворено однорідне з'єднання багатогранників — {{Не перекладено|З'єднання п'яти кубів|з'єднання п'яти кубів|en|Compound of five cubes}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Compound of five cubes]] (→ [[:en:Cube#Compound of cubes]]) перекладена як [[Куб]], хоча хотіли [[З'єднання п'яти кубів]] (SashkoR0B0T)-->.
* У куб можна вписати [[правильний ікосаедр]], при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.<br />
== Формули ==
[[Файл:01_Würfel-Raumwinkel.png|праворуч|міні|304x304пкс|Тілесний кутl <math>\Omega</math> в центрі <math>\mathrm{M}</math>&nbsp;(=&nbsp;0-точка) одиничної сфери (<math>r = 1</math>) ]]
Для куба, довжина ребер якого дорівнює <math>a</math>:

{| class="wikitable"
|-
|'''[[Діагональ]] грані'''
| align="center" |<math>d_1 = \sqrt{2} \cdot a</math>
|'''Радіус [[Вписана сфера|вписаної сфери]]'''<br/>(дотична до всіх граней)
| align="center" |<math>r = \frac{a}{2}</math>
|-
|[[Просторова діагональ|'''Просторова діагональ''']]
|align="center" |<math>d_2 = \sqrt{3} \cdot a</math>
|'''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]'''<br/>(дотична до всіх ребер)
|align="center" |<math>\rho = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a</math>
|-
|
| align="center" |
|'''Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]]'''<br/>(проходить через всі вершини)
| align="center" |<math>R = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot a</math>
|-
|[[Площа|'''Площа поверхні''']]
| align="center" |<math>S = 6 a^2\,</math>
|
| align="center" |
|-
|'''[[Об'єм]]'''
|align="center" |<math>V = a^3\,</math>
|'''[[Двогранний кут]]''' між гранями
|align="center" |<math>\frac{\pi}{2}</math> ([[радіан]])
|-
|
| align="center" |
|[[Тілесний кут|'''Тілесний кут''']] при вершині
| align="center" |<math>\frac{\pi}{2}</math> ([[стерадіан]])
|-
| colspan="2" |'''[[Сферичність]] <math> \Psi = \sqrt [3] {\frac{\pi}{6}} \approx 0.805995  </math>'''
|[[Тілесний кут|'''Тілесний кут''']], під яким<br/>грань видно з центру куба
|align="center" |<math>\frac{2\pi}{3}</math> ([[стерадіан]])
|}

Куб має найбільший об'єм серед [[Прямокутний паралелепіпед|прямокутних паралелепіпедів]] із такою ж [[Площа поверхні|площею поверхні]]. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів, вписаних в задану сферу та  серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).

[[Центр інерції|Центр масс]] куба знаходиться в його геометричному центрі.

[[Момент інерції]] суцільного куба з  [[Маса|масою]] ''<big>{{mvar|m}}</big>'' та довжиною ребра ''<big>{{mvar|a}}</big>'' (вісь обертання проходить через центри протилежних граней):<ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=Cube+inertia+tensor|title=Cube inertia tensor - Wolfram Alpha|website=www.wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>

<math>I = \frac{1}{6} \cdot m \cdot a^2 \approx 0.1666666667 \cdot m \cdot a^2</math>

=== Точка в просторі ===
Нехай описана сфера куба має радіус ''R.'' Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин куба дорівнюють ''d<sub>i</sub>'' . Тоді виконується рівність: <ref>{{Стаття
|автор = Poo-Sung Park
|назва = Regular polytope distances
|заголовок = 
|volume = 16
|рік = 2016
|pages = 227-232
|мова =англ.
|doi=
|issn= 1534-1178
|видавництво = Forum Geometricorum
|місце = 
|посилання = http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf 
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161010184811/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
|archivedate=2016-10-10
}}</ref>  <ref name="Mamuka2">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065|journal=Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|arxiv=2010.12340|doi=10.26713/cma.v11i3.1420}}</ref> {{rp|стор.353, теор.7.2}}  

: <math>\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^4}{8} + \frac{16R^4}{9} = \left(\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^2}{8} + \frac{2R^2}{3}\right)^2. </math>
Якщо точка знаходиться на описаній сфері куба, то виконується рівність:<ref name="Mamuka2" /> {{rp|стор.354, теор.7.6}}

:<math>\sum_{i=1}^8 d_i^2 = 6 \cdot \sum_{i=1}^8 d_i^4 </math>

== Декартові координати вершин ==
Декартові координати восьми вершин куба з довжиною ребра <math>a=1 </math>, центр якого знаходиться в початку координат, мають значення:

* <math>\left( \pm \frac{1}{2} , \pm \frac{1}{2} ,\pm \frac{1}{2} \right) </math>

Вісім вершин куба лежать по чотири у двох паралельних площинах (паралельних до площини ''Oxy''), утворюючи в них два [[Квадрат|квадрати]].

При цьому осі координат ''Ox'', ''Oy'' та ''Oz'' збігаються з осями [[Ортогональна група|обертової симетрії]] 4-го порядку, а координатні площини ''Oxz'', ''Oyz'' та ''Oxy'' є площинами [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]] куба. Центр багатогранника знаходиться в [[Початок координат|початку координат]].

Для всіх внутрішніх точок (x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) цього куба виконується нерівність : <math> - \frac{1}{2} < x_i < \frac{1}{2} </math>

== Граф куба ==
{{Граф|name=Граф куба|vertices=8|edges=12|radius=3|diameter=3|girth=4|chromatic_number=2|properties=[[Регулярний граф| Регулярний]], [[Планарний граф | планарний]], [[Багатогранний граф | багатогранний]], [[Граф (математика) | простий]], [[Зв'язний граф | зв'язний]], [[Симетричний граф | симетричний]][[Гамільтонів граф | Гамільтонів]], [[граф Келі]], [[Циклічний граф|циклічний]] , кубічний,  вершинно-транзитивний, реберно-транзитивний, [[Дистанційно-транзитивний граф|дистанційно-транзитивний]], [[Двочастковий граф|двочастковий]], [[Дистанційно-регулярний граф|дистанційно-регулярний]], [[k-вершинно-зв'язний граф|3-вершинно-зв'язний граф]]|image=[[Файл:Cube skeleton.svg|240пкс]]|image_caption=4-fold symmetry|automorphisms=48}}В [[Теорія графів|теорії графів]] '''граф куба'''  — це граф з 8 вершинами та 12 ребрами, що має [[N-кістяк|кістяк]] куба.<ref>{{Cite book
|title=An Atlas of Graphs
|last=Read, R. C.; Wilson, R. J.
|year=1998
|publisher=Oxford University Press
|pages=
|language=англ.
}}</ref>

Всі 8 вершин графа мають [[Степінь вершини (теорія графів)|степінь]] 3, а отже, граф є [[Кубічний граф|кубічним]].

Цей граф є окремим випадком [[Граф гіперкуба|графа гіперкуба]].<ref>{{cite journal|last1=Harary|first1=Frank|last2=Hayes|first2=John P.|last3=Wu|first3=Horng-Jyh|year=1988|title=A survey of the theory of hypercube graphs|url=http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/handle/2027.42/27522/0000566.pdf?sequence=1|journal=Computers & Mathematics with Applications|volume=15|issue=4|pages=277–289|doi=10.1016/0898-1221(88)90213-1|mr=949280}}</ref> Також він є одним з 5 [[Платонів граф|платонових графів]], [[N-кістяк|кістяк]] якого є [[Правильний многогранник|багатогранником Платона]].


[[Спектральна теорія графів|Спектр]]  графа : <math>Spec(G)=(-3)^1 ( -1) ^3\, 1^3\, 3^1</math> <ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/CubicalGraph.html|title=Cubical Graph|last=Eric Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|language=англ.}}</ref> <ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=Cubical+Graph|title=Cubical Graph|website=wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>


Узагальненням графа куба є тривимірний ''k''-ARY [[граф Геммінга]], який для k = 2 є кубічним графом. Графи такого типу зустрічаються в [[Паралельні обчислення|теорії паралельних обчислень]] в комп'ютерах.
[[Файл:H3hamilton.png|ліворуч|міні|186x186пкс|Приклад гамільтонового циклу на ребрах куба]]
Граф куба має 12 різних [[Гамільтонів граф|гамільтонових циклів]]. Гамільтонів цикл — замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз.

Граф куба не має [[Ейлерів ланцюг|ейлерових циклів]]. 

[[Реберний граф|Реберним графом]] для графа куба є [[Кубооктаедр#Граф кубооктаедра|граф кубооктаедра]].

{{^|150px}}
== Ортогональні проєкції ==
''Куб'' має чотири спеціальні [[Проєкційна матриця|ортогональні проєкції]], із центом, на одній з вершин, ребрі, грані і нормалі відносно її [[Вершинна фігура|фігури вершин]]. Перша і друга відповідають A<sub>2</sub> і B<sub>2</sub> [[Діаграми Коксетера — Динкіна|площинам Коксетера]].
{|class=wikitable width=400
|+ Ортогональні проєкції
|-
!Центровані по
!Грані
!Вершині
|- align=center
!Площини Коксетера
|'''B<sub>2</sub>'''<BR/>[[Файл:2-cube.svg|100px]]
|'''A<sub>2</sub>'''<BR/>[[Файл:3-cube t0.svg|100px]]
|- align=center
!Проєктивна <BR/>симетрія
|[4]
|[6]
|-
!Фронтальний вид та<br/>вид  під нахилом
|[[Файл:Cube t0 e.png|100px]]
|[[Файл:Cube t0 fb.png|100px]]
|}
{{Clear}}

== Сферичний багатогранник ==
[[Куб]] може бути представлений як [[Сферичний многогранник|сферичний багатогранник]] і спроектований на площину за допомогою стереографічної проекції. Ця проекція є конформною, тобто зберігає кути, але не площі чи довжини. Прямі лінії на сфері проєктуються на площину як дуги кола.
{| class="wikitable"
|[[Файл:Uniform tiling 432-t0.png|160x160пкс]]
|[[Файл:Cube stereographic projection.svg|160x160пкс]]
|-
![[Ортографічна проєкція]]
![[Стереографічна проєкція]]
|}

== Стільники ==
[[Куб]] є єдиним правильним багатогранником, яким можна [[Стільник (геометрія)|замостити]] [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень.

Також [[Тривимірний простір|тривимірний евклідів простір]] можна заповнити без проміжків за допомогою кубів в комбінації з [[Архімедове тіло|багатогранниками Архімеда]] (і [[Призма (математика)|призмами]]) з однаковою довжиною ребра. Такі  тривимірні [[Теселяція|паркети]], що заповнюють простір, називаються [[Стільник (геометрія)|стільниками]]. Наступні стільники містять куби:<gallery widths="150" heights="150">
Файл:HC-P2.png|Стільник з [[Куб|кубів]]
Файл:HC A5-A3-P2.png|Стільник з [[Ромбокубооктаедр|ромбокубооктаедрів]], [[Кубооктаедр|кубооктаедрів]] та [[Куб|кубів]]
Файл:HC A5-P2-P1.png|Стільник з [[Ромбокубооктаедр|ромбокубооктаедрів]], [[Куб|кубів]] та [[Правильний тетраедр|тетраедрів]]
Файл:HC A5-A2-P2-Pr8.png|Стільник з [[Ромбокубооктаедр|ромбокубооктаедрів]], [[Зрізаний куб|зрізаних кубів]], [[Восьмикутна призма|восьмикутних призм]] та кубів
Файл:HC A6-A4-P2.png|Стільник зі [[Зрізаний кубооктаедр|зрізаних кубооктаедрів]], [[Зрізаний октаедр|зрізаних октаедрів]] та [[Куб|кубів]]
</gallery>
== Узагальнення на інші виміри ==

{{details|Гіперкуб}}

Куб в довільній розмірності простору ''<big>{{mvar|n}}</big>'' також називають '''''<big>{{mvar|n}}</big>''-вимірним кубом''' або '''гіперкубом''', або просто '''''<big>{{mvar|n}}</big>''-кубом'''. Гіперкуби в кожній розмірності простору тако́ж є правильними політопами, а та́кож мірними політопами (по аналогії як у квадратах вимірюють [[Площа|площу]], а в кубах — [[об'єм]]). <br />

''<big>{{mvar|n}}</big>''-вимірний куб має <math> 2^{n-k} \cdot \tbinom{n}{k}</math> гіперграней розмірності ''{{mvar|k}}'' , що його обмежують{{Sfn|Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert|1999}}{{rp|стор 262; табл.15.2.1}}.

Наприклад:

* Нульвимірний куб ([[точка]]) має 1 вершину;

* Одновимірний куб ([[відрізок]]) має 2 вершини;

* Двовимірний куб ([[квадрат]]) має 4 вершини і 4 ребра;

* Чотиривимірний гіперкуб ([[тесеракт]]) має 16 вершин, 32 ребра, 24 грані (квадрати) і 8 комірок (куби);

* ''<big>{{mvar|n}}</big>''-вимірний гіперкуб має:
** <math> 2^n </math> вершин (гіпергрань розмірністю ''<math>k = 0</math>'' — точка);
** <math> n \cdot 2^{n - 1} </math> ребер (гіпергрань розмірністю ''<math>k = 1</math>'' — відрізок);
** <math> n \cdot (n - 1) \cdot 2^{n - 3} </math> граней (гіпергрань розмірністю ''<math>k = 2</math>'' — квадрат);
** <math> \tfrac{1}{3} \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot 2^{n - 4} </math> комірок (гіпергрань розмірністю ''<math>k = 3</math>'' — тривимірний [[куб]]);
** <math> 2 \cdot n </math> [[Фасета (геометрія)|фасетів]] розмірністю ''<math>n - 1</math>'' (гіпергрань розмірністю ''<math>k = n - 1</math>'' — {''<big>{{mvar|n}}</big>''-1}-вимірний гіперкуб). 

Гіперплоща ''<big>{{mvar|n}}</big>''-вимірного гіперкуба з довжиною ребра 2 дорівнює <math> 2n \cdot 2^{n-1}</math> ;<br/>
[[Гіпероб'єм]] ''<big>{{mvar|n}}</big>''-вимірного гіперкуба з довжиною ребра 2 дорівнює <math> 2^n</math>.{{Sfn|Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert|1999}}{{rp|стор 262; табл.15.2.1}}

Моделлю для ''<big>{{mvar|n}}</big>''-вимірного куба є '''одиничний куб <math>I^n</math>''' у векторному просторі <math>\R^n</math>. А саме, замкнений одиничний куб має вигляд

*<math> I^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\} </math>
* <math> I^n = [0,1] \times \cdots \times [0,1] </math>, <math>n</math>-кратний [[Декартів добуток множин|декартів добуток]] одиничного інтервалу 
* [[Опукла оболонка]] <math>2^n</math>вершин з координатами <math>0</math> та <math>1</math>
* [[Множина#Перетин множин|Перетин множин]] <math>2n</math> [[Півпростір|півпросторів]] <math> x_i \ge 0 </math> та <math> x_i \le 1 </math>

Одиничний куб — це паралельний координатним осям куб з довжиною ребра <math>1</math> і вершиною у [[Початок координат|початку координат]]. Узагальненням цього поняття є [[Кубоїд|кубоїди]] в <math>\R^n</math>, які відіграють важливу роль у [[Багатовимірна статистика|багатовимірному аналізі]]. {{Sfn|Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert|1999}}

== Пов'язані та споріднені багатогранники та мозаїки ==
Куб можна розглядати як окремі випадки інших типів багатогранників. В цьому випадку куб буде мати не повну {{Не перекладено|Октаедрична симетрія|октаедричну симетрію|en|Octahedral symmetry}} O<sub>h</sub> , а симертії, які є підгрупами повної групи. Тобто куб, як частинний випадок призм, кубоїдів, трапецоедрів — є менш симетричним, ніж куб як правильний багатогранник.  Це також можна побачити в розфарбовці його граней.

Куб має три однорідні розфарбування, названі за унікальними кольорами квадратних граней навколо кожної вершини: 111, 112, 123.

Куб має чотири класи симетрії, які можна представити за допомогою вершинно-транзитивного розфарбовування граней. Найвища октаедрична симетрія O<sub>h</sub> має всі грані однакового кольору. {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|Діедрична симетрія|en|Dihedral symmetry in three dimensions}} D<sub>4h</sub> походить від куба,що є тілом,всі шість граней якого забарвлені в різні кольори. Призматична підмножина D<sub>2d</sub> має таке ж забарвлення, як і попередня, а D<sub>2h</sub> має почергове забарвлення граней — попарно протилежні грані забарвлені в три кольори. Кожна форма симетрії має свій {{Не перекладено|Символ Витгоффа|символ Витгоффа|en|Wythoff symbol}}.
{| class="wikitable"
!Назва
!Правильний [[Шестигранники|шестигранник]]
![[Квадратна призма]]
!Прямокутна трапецієва призма
![[Прямокутний паралелепіпед]]
!Прямокутна ромбічна призиа
!Трикутний трапецоедр
|- align="center"
![[Діаграми Коксетера — Динкіна]]
|{{ДКД|node_1|4|node|3|node}}
|{{ДКД|node_1|4|node|2|node_1}}
|{{ДКД|node_1|4|node_h|2x|node_h}}
|{{ДКД|node_1|2|node_1|2|node_1}}
|{{ДКД|node_1|2|node_f1|2x|node_f1}}
|{{ДКД|node_fh|2x|node_fh|6|node}}
|- align="center"
![[Символ Шлефлі]]
|{4,3}
|{4}×{ } <br/> rr{4,2}
|s<sub>2</sub>{2,4}
|{ }<sup>3</sup> <br/> tr{2,2}
|{ }×2{ }
|
|- align="center"
!{{Не перекладено|Символ Витгоффа|символ Витгоффа|en|Wythoff symbol}}
|3 &#x7C; 4 2
|4 2 &#x7C; 2
|
|2 2 2 &#x7C;
|
|
|- align="center"
![[Список груп сферичної симетрії|Симетрія]]
|O<sub>h</sub> <br/>[4,3] <br/> (*432)
|D<sub>4h</sub> <br/> [4,2] <br/> (*422)
|D<sub>2d</sub> <br/> [4,2<sup>+</sup>] <br/> (2*2)
| colspan="2" |D<sub>2h</sub> <br/> [2,2] <br/>(*222)
|D<sub>3d</sub> <br/> [6,2<sup>+</sup>] <br/> (2*3)
|- align="center"
!Порядок симетрії
|24
|16
|8
| colspan="2" |8
|12
|- align="center"
!Зображення <br/> (з однорідним розфарбуванням)
|[[Файл:Hexahedron.png|80x80пкс]] <br/> (111)
|[[Файл:Tetragonal_prism.png|80x80пкс]] <br/> (112)
|[[Файл:Cube_rotorotational_symmetry.png|81x81пкс]] <br/> (112)
|[[Файл:Uniform_polyhedron_222-t012.png|80x80пкс]] <br/> (123)
|[[Файл:Cube_rhombic_symmetry.png|85x85пкс]] <br/> (112)
|[[Файл:Trigonal_trapezohedron.png|85x85пкс]] <br/> (111), (112)
|}



{{multiple image|align=left|total_width=400
|image1=R1-cube.gif
|image2=Tetrakis cube.png

|caption1= Уктворення [[Ромбододекаедр|ромбододекаедра]] з куба.
|caption2= Тетракіс куб
}}

Куб можна розрізати на шість однакових квадратних пірамід. Якщо ці квадратні піраміди приєднати до граней іншого куба, то отримаємо багатогранник, візуально схожий на  

[[ромбододекаедр]] (з парами компланарних трикутників, об'єднаних у ромбічні грані). 

Однак багатогранник з таким способом побудови схожий лише візуально на ромбододекаедр, але топологічно він еквівалентний до {{Не перекладено|Тетракіс куб|тетракіс куба|en|Tetrakis cube}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Tetrakis cube]] (→ [[:en:Tetrakis hexahedron]]) перекладена як [[Тетракісгексаедр]], хоча хотіли [[Тетракіс куб]] (SashkoR0B0T)--> (одного з [[Напівправильний многогранник#Каталанові тіла|напівправильних багатогранників Каталана]]), оскільки має додаткові вершини і ребра, що належать цим пірамідам (дві бічні грані пірамід знаходяться в одній площині і візуально створюють враження однієї ромбічної грані).{{Clear}}

Геометрична операція [[Зрізання (геометрія)|'''зрізання''']], застосована до куба, утворює чотири [[Однорідний многогранник|однорідних багатогранники]] на певних стадіях процесу зрізання.

'''[[Зрізаний куб]]''' є опуклим [[Однорідний многогранник|однорідним багатогранником]] U<sub>09</sub>, одним з [[Архімедове тіло|напівправильних багатогранників Архімеда]] що має [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграму Коксетера — Динкіна]]  {{ДКД|node_1|4|node_1|3|node}} та [[символ Шлефлі]] t{4,3}. Утворюється при зрізанні вершин куба до моменту, коли всі грані стають правильними багатокутниками. Має 14 граней (8 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 6 [[Правильний восьмикутник|правильних восьмикутників]]), 36 ребер та 24 вершини.


'''[[Кубооктаедр]]''' утворюється при [[Повне зрізання (геометрія)|'''повному зрізанні''']]<sup>[en]</sup> ('''ректифікації''') куба, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.Він є опуклим [[Однорідний многогранник|однорідним багатогранником]]  U<sub>07</sub>, одним з [[Архімедове тіло|напівправильних багатогранників Архімеда]]. Має 14 граней (8 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 6 [[Квадрат|квадратів]]), 24 ребер та 12 вершин.

Подальше зрізання ({{Не перекладено|Глибоке зрізання (геометрія)|'''глибоке зрізання'''|en|Bitruncation}} або '''бітрункація''') призводить до появи  [[Зрізаний октаедр|'''зрізаного октаедра''']], Процес зрізання проводиться до моменту, коли грані від зрізаних вершин початкового куба (трикутні грані) стануть правильними шестикутниками. Зрізаний октаедр є опуклим [[Однорідний многогранник|однорідним багатогранником]]  U<sub>08</sub>, одним з [[Архімедове тіло|напівправильних багатогранників Архімеда]]. Має 14 граней (8 [[Правильний шестикутник|правильних шестикутників]] та 6 [[Квадрат|квадратів]]), 36 ребер та 24 вершини.


Процес зрізання куба завершується (при '''повному глибокому зрізанні''' або '''біректифікації''') утворенням '''[[Дуальний многогранник|двоїстого]]''' до нього багатогранника — [[Правильний октаедр|правильного октаедра]], коли грані початкового багатогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають.
{| class="wikitable" width="850"
!Назва
![[Куб]]
![[Зрізаний куб]]
![[Кубооктаедр]]
![[Зрізаний октаедр]]
![[Правильний октаедр]]
|- align="center"
![[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера&nbsp;— Динкіна]]
|{{ДКД|node_1|4|node|3|node}} <br/> x4o3o
|{{ДКД|node_1|4|node_1|3|node}} <br/> x4x3o
|{{ДКД|node|4|node_1|3|node}} <br/> o4x3o 
|{{ДКД|node|4|node_1|3|node_1}} <br/> o4x3x
|{{ДКД|node|4|node|3|node_1}} <br/> x4x3o
|- align="center"
![[Символ Шлефлі]]
|{4,3}
|t{4,3}
|r{4,3}
|t{3,4}
|{3,4}
|- align="center"
!Зображення
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t0.svg|106x106пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t01.svg|100x100пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t1.svg|100x100пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t12.svg|100x100пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t2.svg|106x106пкс]]
|}
{{Октаедричні зрізи}}

Деякі [[Правильногранний многогранник|багатогранники Джонсона]] можна утворити шляхом нарощення граней куба [[Квадратна піраміда|квадратними пірамідами]]  (J<sub>1</sub>):

* [[Подовжена чотирикутна піраміда]] (J<sub>8</sub> ) — нарощено одну грань;

* [[Подовжена чотирикутна біпіраміда]] (J<sub>15</sub>) — нарощено дві протилежні грані.

При застосуванні щодо куба геометричної операції {{Не перекладено|Зрізання носів (геометрія)|Зрізання носів|en|Snub (geometry)}} '''(снубифікація),''' отримаємо [[Напівправильний многогранник|напівправильний багатогранник]] Архімеда — [[кирпатий куб]].

При застосуванні щодо куба геометричної операції {{Не перекладено|Фаска (геометрія)|Фаска|en|Chamfer (geometry)}} '''(зрізання ребер),''' отримаємо {{Не перекладено|Багатогранник Ґолдберга|багатогранник Ґолдберга|en|Goldberg polyhedron}} —  {{Не перекладено|Куб з фаскою|куб з фаскою|en|Chamfered cube}}.
{| class="wikitable"
|[[Файл:Snubhexahedroncw.jpg|160x160пкс]]
|[[Файл:Polyhedron 6 slightly chamfered.png|безрамки|175x175пкс]]
|[[Файл:Polyhedron chamfered 6 edeq max.png|160x160пкс]]
|-
!Кирпатий куб
!Куб з малою фаскою
!{{Не перекладено|Куб з фаскою|Куб з фаскою|en|Chamfered cube}}
|}


Два [[Однорідний многогранник|однорідних]] з'єднання багатогранників складаються з кубів:
{| class="wikitable"
|+
!{{Не перекладено|З'єднання трьох кубів|З'єднання трьох кубів|en|Compound of three cubes}}
!{{Не перекладено|З'єднання п'яти кубів|З'єднання п'яти кубів|en|Compound of five cubes}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Compound of five cubes]] (→ [[:en:Cube#Compound of cubes]]) перекладена як [[Куб]], хоча хотіли [[З'єднання п'яти кубів]] (SashkoR0B0T)-->
|-
|[[Файл:UC08-3 cubes.png|250x250пкс]]
|[[Файл:Compound of five cubes.png|250x250пкс]]
|}


{{Таблиця кирпатих фігур}}

{{Таблиця мозаїк порядку 3}}
== Додатково ==
[[Файл:Platonic Solids Stereo 2 - Cube.gif|міні|298x298px|Будова куба у стереопроєкції.|без]]
{| class="wikitable" width="480"
! colspan="5" |{{Не перекладено|Багатокутник Петрі|Багатокутник Петрі|en|Petrie polygon}} куба
|- valign="top"
|[[Файл:Petrial_cube.gif|200x200пкс]]
|[[Файл:Face_of_petrial_cube.gif|200x200пкс]]
|[[Файл:Skeleton 6, Petrie, stick, size m.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Skeleton 6, Petrie, stick, size m, 3-fold.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Skeleton 6, Petrie, stick, size m, 4-fold.png|180x180пкс]]
|-
| colspan="5" |Просторовими {{Не перекладено|Багатокутник Петрі|багатокутниками Петрі|en|Petrie polygon}} куба є 4 [https://polytope.miraheze.org/wiki/Skew_hexagon просторових шестикутників].
|}

== Див. також ==
* [[Шестигранники]]
* [[Блазенський ковпак]]
* [[Куб (алгебра)#Куби цілих чисел|Кубічне число]] — вид [[Фігурні числа|фігурних чисел]].
* [[Подвоєння куба]] — одна з класичних задач давнини.
* [[Кубик Рубіка|Кубик Рубика]] — [[головоломка]] у вигляді куба.
* [[Кубічна піраміда]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література == 
*{{Книга
|автор = N. W. Johnson
|назва = Geometries and Transformations
|заголовок = 
|рік = 2018
|тираж = 
|серія = 
|allpages = 437
|columns = 
|pages = 234
|мова =англ.
|isbn= 978-1-107-10340-5
|том = 
|видавництво = Cambridge University Press / United Kingdom 
|частина = Розділ 11: ''Finite symmetry groups'' — Дивись 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c.
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = https://books.google.com/books?id=adBVDwAAQBAJ&pg=PA223
|оригінал = 
|посилання частина = 
|ref = N. W. Johnson
}}

*{{Стаття
|автор = Richard Goldstone, Robert Suzzi Valli
|назва = Unfoldings of the Cube
|заголовок = 
|рік = 2016
|pages = 17
|мова =англ.
|doi=10.48550/arXiv.1604.05004
|видавництво = 
|місце = 
|посилання = https://arxiv.org/pdf/1604.05004
|ref = Richard Goldstone, Robert Suzzi Valli
}}
*{{Стаття
|автор = Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler
|назва = Basic properties of convex polytopes
|заголовок = 
|розділ = 15
|рік = 1999
|pages = 243-270
|мова =англ.
|doi=10.1201/9781420035315.pt2
|видавництво = Technische Universität Berlin
|місце = 
|посилання = https://page.math.tu-berlin.de/~henk/preprints/henk%20richter-gebert%20ziegler&basic%20properties%20of%20convex%20polytopes.pdf
|ref = Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert
}}
== Посилання ==

* {{ТС_Буд|частина=Куб|сторінки =114}}
* {{MathWorld|urlname=Cube|title=Cube}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Cube|title=Cube}}
* {{Dmccooey|urlname=Cube|title=Cube}}
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/cube.htm "cube"].
* Quickfur. [https://www.qfbox.info/4d/cube "The Cube"]
* Wedd, N. [https://www.weddslist.com/rmdb/map.php?a=R0.2p "The Cube"]
* Hi.gher.Space Wiki Contributors. [http://hi.gher.space/wiki/Cube "Cube"]

* [http://www.korthalsaltes.com/ Paper Models of Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130226042323/http://www.korthalsaltes.com/ |date=26 лютого 2013 }}
** [https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=cube Paper Cube]

* https://www.mathros.net.ua/cube-definition.html

* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080211233246/http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ |date=11 лютого 2008 }}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080223132026/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html |date=23 лютого 2008 }}

{{Правильні многогранники}}{{Багатогранники}}{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
[[Категорія:Правильні многогранники]]
[[Категорія:Многогранники, які заповнюють простір]]
[[Категорія:Призматоїди]]