Перегляд вихідного коду сторінки Критерій Куранта — Фрідріхса — Леві

'''Умова Куранта-Фрідріхса-Леві (КФЛ)''' - це необхідна умова для збіжності при чисельному розв'язуванні певних [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частковими похідними]] (зазвичай гіперболічні РЧП) [[Метод скінченних різниць|методом скінченних різниць.]] <ref> Загалом, це не є достатньою умовою; Крім того, це може бути вимогливим умовою для деяких проблем. Дивіться «Наслідки цього CFL умови» даної статті для короткого огляду цих питань.</ref> Вона виникає при [[Обчислювальна математика|чисельному аналізі]] схем інтеграції явно часу, коли вони використовуються для чисельного рішення. Як наслідок, в багатьох [[Імітаційне моделювання|комп'ютерних моделюваннях]], часовий крок повинен бути меншим, за певне значення, в іншому разі результати будуть неправильними. Умову названо в честь Річарда Куранта, Курта Фрідріха, і Ханса Льюї, які описали його в своїй статті 1928 р .. <ref> Див посилання {{harvnb|Courant|Friedrichs|Lewy|1928}} . Там існує також [[Англійська мова|англійський]] [[Переклад|переклад]] 1928 [[Німецька мова|Німецький]] оригінал: див посилання {{harvnb|Courant|Friedrichs|Lewy|1956}} і {{harvnb|Courant|Friedrichs|Lewy|1967}} .</ref>

==Евристичний опис==
Принципом умови є те, що, наприклад, якщо хвиля рухається по дискретній просторовій сітці, і ми хочемо, обчислити її [[Амплітуда|амплітуду]] в різних часових проміжках однакової тривалості, <ref> Ця ситуація зазвичай виникає, коли частковий диференційний гіперболічний оператор був апроксимований рівнянням скінченних різниць, яке потім вирішується за допомогою чисельних методів лінійної алгебри.</ref> то ця тривалість повинна бути менше, ніж час за який хвиля переходить в сусідні точки сітки. Як наслідок, коли відстань між точкою сітки зменшується, верхня межа для часового кроку також зменшується. По суті, чисельна область залежно від будь-якої точки в просторі і часі (як визначено початковими умовами і параметрами схеми апроксимації) повинні включати в себе аналітичну область залежності (в якій вихідні умови впливають на точне значенням розв'язку в цій точці), з тим, щоб гарантувати, що ця схема може отримати доступ до інформації, необхідної для утворення розв'язку.

==Формулювання==
Для того, щоб зробити досить формально точне формулювання умови, необхідно визначити наступні величини
*''Просторова координата:''  це одна з координат з фізичного простору, в якому ставиться задача.
*''Просторовий аспект проблеми:''  це число <math>n</math> просторових вимірів, тобто кількість просторової координати фізичного простору, де ставиться завдання. Типові значення <math>n=1</math> , <math>n=2</math> і <math>n=3</math> .
*''Час:''  це координата, що діє як [[параметр]], який описує еволюцію системи, відмінної від просторових координат.
Просторові координати і час повинні бути дискретно незалежними змінними, які розміщені на однаковій відстані називаються ''довжиною інтервалу''  <ref> Ця величина не обов'язково є однаковою для кожної просторової змінної, як показано в розділі «Два і взагалі ''p''  - вимірний випадок» цього запису: він може бути обраний для того , щоб дещо послабити умову.</ref> і ''часовим кроком''  відповідно. Використовуючи ці означення, умова КФЛ це відношення довжини тимчасового кроку до функції довжин інтервалів кожної просторової координати і максимальної швидкості, з якою інформація може переміщатися в фізичному просторі.

===Одновимірна випадок===
Для одновимірного випадку, умова КФЛ має наступний вигляд:

: <math>C = \frac {u\,\Delta t} {\Delta x} \leq C_\max </math>

де безрозмірне число називається '''число Куранти,''' 

*<math>u</math> - швидкість переносу (довжина / час)
*<math>\Delta t</math> - часовий крок (час)
*<math>\Delta x</math> - інтервал довжини (довжина).

Значення <math>C_\max</math> змінюється за допомогою методу, використовуваного для вирішення рівняння дискретизації, особливо в залежності від того, є метод явним чи неявним. Якщо явний, в розв'язуванні зазвичай використовується <math>C_\max = 1</math>. Неявні методи, як правило  менш чутливі до чисельної нестабільності, тому великих значень <math>C_\max</math> має бути достатньо.

===Двох вимірний і ''n'' - мірний випадок===
У двовимірному випадку умова КФЛ має вигляд

:<math>C = \frac {u_ x\,\Delta t}{\Delta x} + \frac {u_ y\,\Delta t}{\Delta y} \leq C_\max </math>

Значення змінних очевидні. За аналогією з двовимірним випадком, загальний вигляд КФЛ для <math>n</math> - мірного випадку є наступним:

:<math>C = \Delta t \sum_{i=1}^n\frac{u_{x_i}}{\Delta x_i} \leq C_\max. </math>

Довжина інтервалу не потрібна, бо вона однакова для кожної просторової змінної <math>\Delta x_i, i = 1, \ldots , n</math>. Ці [[Ступені вільності|«ступені вільності»]] можна використати для того, щоб оптимізувати величину кроку по часу для конкретного завдання, шляхом зміни значень інтервалу для того, щоб він був не надто малим.

==Наслідки умови КФЛ ==

===Достатність умови КФЛ===
Умова КФЛ є необхідною, але не достатньою, для збіжності різницевої апроксимації даної чисельної задачі. Таким чином, для того, щоб встановити збіжність кінцево-різницевої апроксимації, необхідно використовувати інші методи, які, в свою чергу, можуть давати додаткові обмеження на довжину кроку за часом і / або на довжини просторових інтервалів.

== Нотатки ==
{{reflist|30em}}

== Посилання ==
*3. 
*{{Citation
  | last = Courant
  | first = R.
  | author-link = Richard Courant
  | last2 = Friedrichs
  | first2 = K.
  | author2-link = Kurt Otto Friedrichs
  | last3 = Lewy
  | first3 = H.
  | author3-link = Hans Lewy
  | title = On the partial difference equations of mathematical physics
  | place = New York
  | publisher = AEC Computing and Applied Mathematics Centre – [[Courant Institute of Mathematical Sciences]]
  | series = AEC Research and Development Report
  | volume = NYO-7689
  | origyear = 1928
  |date=September 1956
  | edition = 
  | pages = V + 76
  | url = https://archive.org/details/onpartialdiffere00cour
  | archiveurl = https://archive.org/stream/onpartialdiffere00cour#page/n0/mode/2up
  | archivedate = October 23, 2008
  | doi = 
  | id = 
  | isbn = 
}} :. Переклад з [[Німецька мова|німецької]] Філліс Фокс. Це більш рання версія статті {{harvnb|Courant|Friedrichs|Lewy|1967}}, який був поширений як дослідницький звіт.
*3.  Вільно завантажувана копія може бути знайдена [http://www.stanford.edu/class/cme324/classics/courant-friedrichs-lewy.pdf тут] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121020203641/http://www.stanford.edu/class/cme324/classics/courant-friedrichs-lewy.pdf |date=20 жовтня 2012 }} .
*http://ami.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2013/10/Pi-120P.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220123224029/https://ami.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2013/10/Pi-120P.pdf |date=23 січня 2022 }}

== Зовнішні посилання ==
*{{springer
 | title=Courant–Friedrichs–Lewy condition
 | id= C/c026760
 | last= Bakhvalov
 | first= N. S.
 | author-link= Nikolai Sergeevich Bakhvalov
}}
*{{MathWorld |title=Courant-Friedrichs-Lewy Condition |id=Courant-Friedrichs-LewyCondition}}

{{DEFAULTSORT:Courant-Friedrichs-Lewy condition}}
[[Категорія:Чисельні диференціальні рівняння]]
[[Категорія:обчислювальна гідродинаміка]]