Перегляд вихідного коду сторінки Криза основ математики

'''Криза основ математики'''&nbsp;— термін, що позначає пошук фундаментальних основ [[математика|математики]] на межі [[19 століття|XIX]] та [[20 століття|XX]] століть.

== Початок кризи ==
Теоретико-множинний підхід [[Георг Кантор|Кантора]] ([[наївна теорія множин]]), що отримав широкий розвиток наприкінці [[XIX століття]], здавалося, дозволив звести всі галузі математики на його фундаменті. Він дозволив виразити в термінах цієї теорії всі основні математичні поняття. Можливість побудови математики на теоретико-множинному фундаменті [[Давид Гільберт|Гільберт]] охарактеризував як «рай для математиків», а вже побудовану на цій основі частину математики називав «симфонією нескінченного».

Однак захоплення змінилося розпачем, коли були виявлені [[парадокси теорії множин]].

Сутність парадоксів полягає в тому, що за допомогою логічно правильних міркувань вдається обґрунтувати (довести засобами даної теорії) одночасно деяке [[твердження]] та його [[заперечення]], тобто [[протиріччя]]. Це означає [[суперечлива теорія|суперечливість]] даної теорії, тобто в ній можна довести будь-яке твердження.

== Шляхи усунення парадоксів ==
З метою уникнення деяких парадоксів було запропоновано обмежити [[принцип згортання]]&nbsp;— поширену математичну конструкцію, що дозволяє утворювати [[множина|множини]] за допомогою тих чи інших властивостей об'єктів.

=== Принцип згортання ===
Принцип згортання полягає в тому, що для будь-якої властивості <math>\mathcal {P}</math> вважається існуючою множина, що складається з тих і тільки тих об'єктів, які мають властивість <math>\mathcal {P}</math>. Формально:
: <math>\exists M (x) (x \in M \leftrightarrow P(x)  )</math>
де <math>\mathcal{P}</math>&nbsp;— довільна множина.

=== Обмежений принцип згортання ===
В обмеженому принципі згортання, до умови <math>\mathcal{P}(x)</math> додається умова, згідно з якою елементи <math>\mathcal{M}</math> беруться з деякої заданої множини <math>\mathcal{E}</math>, існування якої виведено з деякого («надійного») списку аксіом. Формально обмежений принцип згортання можна записати наступним чином:
: <math>\exists M (x) (x \in M \leftrightarrow P(x) \land x \in E  )</math>

== Критика принципів основ математики ==
Однак позбавлення від виявлених парадоксів не гарантувало [[Теорія множин|теорію множин]] від появи нових парадоксів. Тому, «криза основ математики» і надалі залишалася. Перед математиками стояло завдання переосмислення логічних засобів, що використовуються в математичних міркуваннях, їх надійності та їх відповідності суті математики.
Гарантувати неможливість протиріч у математичній теорії міг лише доказ несуперечності цієї теорії.

Сутність кризи не вичерпувалася тільки парадоксами, а полягала також у наступному.

* Серед математиків намітилися істотні розбіжності в поглядах на теоретико-множинні та логічні принципи, що використовувались у математиці.
* Виникли розбіжності в поглядах на вибір шляхів позбавлення від парадоксів.
* Існували принципові труднощі обґрунтування несуперечливості математики, багато з яких не подолано й досі.

=== Критика деяких теоретико-множинних принципів ===
[[Файл:Banach-Tarski Paradox.svg | thumb | 350px | Згідно з теоремою Банаха-Тарського можна «розбити» кулю на шматки і зібрати з них дві таких же кулі.]]
Критика передусім була спрямована на [[нескінченність|абстракцію актуальної нескінченності]].

Іншим теоретико-множинним принципом, що викликав численні суперечки серед математиків, стала [[аксіома вибору]]. Суперечки навколо аксіоми вибору були викликані, з одного боку очевидністю твердження, а з іншого&nbsp;— неефективністю розуміння існування множини вибору, а також несподівані результати, одержані з її використанням (див. [[парадокс Банаха—Тарського]]). Варто відзначити, що незважаючи на явне протиріччя між твердженням теореми й повсякденним досвідом, дане твердження не є парадоксом.

=== Критика деяких логічних законів ===
Основними об'єктами критики стали такі логічні закони, як [[закон виключення третього]] <math> A \vee \neg A, </math> [[закон подвійного заперечення|закон зняття подвійного заперечення]] <math>\neg \neg A \rightarrow A </math>, а отже і побудований на ньому [[метод доведення від супротивного]].

== Поява логічних шкіл ==
У результаті різних поглядів на використання логічних і теоретико-множинних принципів, а також різних поглядів на шляхи виходу з кризи сформувалися різні математичні школи, що протистояли один одному.

Лідируючою школою була [[формалізм (математика)| формалістська]], з її лідером [[Давид Гільберт|Гільбертом]]. Свої ідеї він зібрав у так званій «Гільбертовій програмі», що передбачала обґрунтувати математику на невеликому логічному базисі, що міститься в [[фінітизм]]і.

Основним противником даної школи була школа [[інтуїціонізм|інтуїціоністів]], що заперечувала можливість використання подвійного заперечення і яка вважала неприпустимим прийняття принципу абстракції актуальної нескінченності. Очолював школу [[Лейтзен Егберт Ян Брауер]]. Брауер відкидав формалізм як безглузду гру з символами. В 1920 році Гільберт домігся виключення Брауера, якого він вважав загрозою математиці, з групи редакторів [[Mathematische Annalen]], головного математичного журналу того часу.

Однак [[теореми Геделя про неповноту]], доведені в 1931 році, показали, що ключові аспекти програми Гільберта не можуть бути досягнуті.

[[Курт Гедель|Гедель]] показав, як побудувати для довільної несуперечливої рекурсивно аксіоматизованої системи (досить сильної, щоб аксіоматизувати [[арифметика|арифметику]] [[Натуральні числа|натуральних чисел]]), твердження, для якого може бути показана його правдивість, але яке не може бути доведене в цій системі. Таким чином, стало зрозуміло, що математичні основи не можуть бути зведені до суто [[Формальна система|формальної системи]], як передбачалося у гільбертовій програмі, яка передбачала, що несуперечність може бути встановлена фінітичними засобами.

У той же час, інтуїціоністська школа не привернула до себе постійних послідовників серед активних математиків через проблеми [[конструктивна математика|конструктивної математики]].

== Висновок ==
Розбіжності серед математиків з приводу логічних законів, що використовуються в математиці, свідчили про необхідність вивчення логічних засобів та їхнього перегляду. Ці розбіжності сприяли створенню «некласичних логік». Найважливішою з них є [[інтуїціоністська логіка]].

Криза все ще не пройдена, але затихла. Більшість математиків у роботах використовують несуперечливість системи [[ZFC]], найпопулярнішої аксіоматичної системи.

{{Математика-доробити}}
{{Без джерел|дата=листопад 2015}}


{{Металогіка}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Історія математики]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Основи математики]]